АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-12-1050-1059

АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА

М. Ш. Та, А. А. Пыркин*

Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия [email protected], [email protected]

Аннотация. Для статического объекта управления с переменным параметром решена задача слежения с нулевой ошибкой за детерминированным задающим воздействием. Предложен алгоритм синтеза динамического регулятора, который позволяет выполнять параметризацию генераторов переменных параметров с неизвестной матрицей состояния, в котором решена проблема потенциального деления на нуль.

Ключевые слова: нестационарные системы, динамическая параметризация, геометрический подход, управление по выходу

Благодарности: работа поддержана грантом Президента Российской Федерации № МД-3574.2022.4 и Министерством науки и высшего образования РФ (паспорт госзадания № 2019-0898).

Ссылка для цитирования: Та М. Ш., Пыркин А. А. Алгоритм параметризации нестационарных систем с использованием динамического регулятора // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 12. С. 1050—1059. DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-12-1050-1059.

PARAMETERIZATION ALGORITHM FOR NON-STATIONARY SYSTEMS USING A DYNAMIC CONTROLLER

М. S. Та, А. А. Pyrkin*

ITMO University, St. Petersburg, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. For a static control object with a variable parameter, the problem of tracking a deterministic reference action with zero error has been solved. An algorithm for the synthesis of a dynamic controller is proposed, which allows a parameterization of variable parameter generators with an unknown state matrix, in which the problem of potential division by zero is solved.

Keywords: non-stationary systems, динамическая параметризация, dynamic parameterization, geometric approach, output control

Acknowledgments: the work was supported by a grant from the President of the Russian Federation No. MD-3574.2022.4 and the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (state assignment passport No. 2019-0898).

For citation: Та М. S., Pyrkin А. А. Parameterization algorithm for non-stationary systems using a dynamic controller. Journal of Instrument Engineering. 2023. Vol. 66, N 12. P. 1050—1059 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2023-6612-1050-1059.

Введение. Исследование задач управления нестационарными объектами не теряет актуальности, поскольку для большинства современных объектов управления ключевые параметры математической модели зависят от времени или от режима функционирования, что негативно сказывается на показателях качества.

Существует несколько эффективных подходов к параметризации моделей нестационарных параметров. Важно отметить, что для построения модели переменного параметра необходимо задать два вектора постоянных параметров, один из которых определяет матрицу состояния генератора этого параметра, а второй — начальные условия. Например, в статьях

© Та М. Ш, Пыркин А. А., 2023

[1—4] допускалось, что матрица состояния точно известна, это справедливо для линейно изменяющихся [1] и полиномиальных параметров [2, 3]. В работе [5] предпринята попытка снять допущение об известности матрицы состояния, однако выдвинуто предположение, что такой нестационарный параметр является коэффициентом при переменной, строго отличной от нуля. В статье [6] решена задача оценивания как матрицы состояния, так и начальных условий, однако для дискретной модели объекта управления, описываемого разностными уравнениями.

Алгоритмы оценивания параметров матрицы состояния могут быть синтезированы с использованием итеративного дифференцирования модели с целью явного выделения искомых коэффициентов и получения соответствующего регрессионного соотношения при помощи леммы о перестановках [7]. В серии публикаций [8—10] развит метод оценивания вектора начальных условий динамических генераторов, в этих работах также формируется линейное регрессионное соотношение с вектором искомых параметров и измеряемыми (вычислимыми) сигналами.

В настоящей работе решена задача слежения с нулевой ошибкой за детерминированным задающим воздействием и предложен алгоритм синтеза динамического регулятора, который позволяет выполнять параметризацию генераторов переменных характеристик с неизвестной матрицей состояния, в котором, в отличие от [5], преодолена проблема потенциального деления на нуль.

Постановка задачи. Рассмотрим модель статического объекта управления

у(г) = (1)

с выходной регулируемой переменной у (г)е Я , управляющим воздействием и (г)е Я и нестационарным параметром, являющимся выходом линейного генератора с переменными состояния (г) е Яп :

е(0 = иТад, ад = гад,

с некоторыми начальными условиями (0) и параметрами

1

(2)

И =

, Г = Го + ЬуТ, Го =

0 4-1 о о

ъ =

"0" У1

У 2

0 , У =

1 _ Уп _

где 1п_1 — единичная матрица размерности п -1, а все элементы вектора у являются константами, которые могут быть априори неизвестными.

В предположении е (г) ^ 0, с использованием измерения только выходной переменной

у (г) требуется синтезировать закон управления и (г), обеспечивающий выполнение

Нт( у (г)- у* (г)) = 0, (3)

где переменная у (г) означает желаемое поведение выходной переменной и может быть задана в виде линейного генератора с состоянием £ (*) е Ят и точно определенными значениями параметров / е Ят, М е Ятхт , £(0)е Ят :

у* (г) = /ТС(г), С(*) = МС (г) . (4)

Предварительный анализ задачи. Достаточно очевиден выбор закона управления, ес, ч , ^ у* (t) ли известно мгновенное значение параметра 0 (t) в каждый момент времени: и ()= ^ ( ) .

Если параметр 0 () заранее неизвестен, но доступны значения элементов вектора параметров у , то синтез закона управления также не представляет больших трудностей (он описан в публикациях [4, 10]). В самом деле, проинтегрировав уравнение (2), нетрудно найти

§ ^ ) = вП § (0 ),

откуда можно получить линейное регрессионное уравнение вида

у ^ ) = ПТ Ф^ ) (5)

с вычислимым регрессором ф^) = ИТeГtu (t) и вектором неизвестных параметров п = § (0) . На основе (5) можно получить оценки постоянных параметров вектора п и переменного па-

~ т г^ У ^)

раметра 0 () = Ив п, что позволит синтезировать управление: и () = 0 ( ) .

В случае полной параметрической неопределенности модели параметра 0 (t) даже для

статического объекта вида (1) решение неочевидно. В следующем разделе представлен подход, основанный на выборе динамического регулятора, позволяющего оценить неизвестные параметры модели параметра 0 () (вектор у и начальные условия § (0) ), а также определить

закон управления и (), обеспечивающий достижение цели (3).

Параметризация нестационарной модели. Чтобы получить соотношение с вектором параметров у в явном виде, продифференцируем уравнение (1) п раз. Параметр 0 и соответствующие производные будем выражать через вектор состояния генератора § (). Тогда получим соотношения:

у ^) = (и ^)ИТ + и ^)ИТГ)) () , у ^) = (и ( ) ИТ + 2и ^ ) ИТ Г + и ^ ) ИТ Г2 ) ) ^),

: (6)

у(п-1) ^) = (и(п-1) (t) ИТ + (п -1) и(п-2) ^) ИТГ +... + и ^) ИТГп-1) § ^),

у(п^) = (и(п)(t)ИТ + п и(п-1)(^ИТГ + п-к) (t)ИТГк + ...+ и(^ИТГп)§^),

где в последнем уравнении С^ обозначает сочетание из п по к, где к = 1, п, что соответствует коэффициентам разложения бинома Ньютона.

Введем обозначение И для вектор-столбца, в котором элемент с номером г равен 1, а все остальные элементы — 0. В силу структуры матриц Г и И заметим, что

И = И1, ИТГ = И2Т, ИТГп-1 = Ип, ИТГп = уТ.

Тогда система (6) примет вид (для удобства опустим аргумент времени):

У и и 0

У и 2ии и

(п-1) у1 ; и(п-1) (п -1) и(п-2) с,?-1»("-3)

(п) _ у ] (п) , и ' + У1и (п-1) , п и '+ у ^2 (п-2) , СпиУ Узи

0 0

и

пи + у пи

§.

(7)

Выразим вектор § из (7) и подставим в (1) с учетом (2):

Ж =

и

и

и

2и

У = иИтЖ-1Г, 0 и

(8)

и

М

п-1)

(п -1)

/(п-2)

Сп-1и

(п-3)

0 у

0 у

Г =

и (п-1) у1 ;

пи + у пи (п)

_ у ' ]

(п-1 К ^2 (п-2) ,

+ у1и п и '+ у2и Спиу '+ узи В результате получим основу для линейного регрессионного соотношения относительно вектора неизвестных параметров у . Однако (8) содержит недоступные сигналы производных выходной переменной у и управления и .

Утверждение 1. Пусть сигнал управления является выходом динамической системы

вида

и (¿) = к\ (Г), X (0 = ГоХ (0 + Ъу (¿) (9)

с начальными условиями %(0) и новым управляющим входом у (^) . Тогда для системы (1), (2) существует линейное регрессионное соотношение вида

* ) = Ут Я к) (10)

с доступными для вычисления функциями времени г (^) е Я и я ()е Яп .

Доказательство утверждения 1. Благодаря выбору управления в виде (9) можно видеть, что все переменные вектора % и новый параметр управления у доступны для дальнейшего синтеза, откуда следует, что матрица Ж зависит от параметров у и доступных сигналов:

Ж =

X 2 X з

%1 2% 2

0 %1

Xп (п -1) Xп-1 0?-1 %п-2

0 0

X!

^2 + Уп ^

_у + 71X1 п Xп + У2 ^ Сп Xп-1 + Уз ^ Перепишем (8) в виде

^Ит (аё]Ж)Г = у(е! Ж), (11)

Для исключения недоступных производных переменной у в (11) используем линейный

стационарный фильтр вида настроечный параметр:

1

(—-—), где р = — оператор дифференцирования, а > 0 —

(р + а)

хИ (аё]Ж) Г

(р + а)

-[(е!Ж)у] .

(12)

Заметим, что выражение (ёй Ж ) у представимо в виде

(сСе1 Ж) у = уЧ + Г0, (13)

где qo = qo ^) е Яп и ^0 = ^ (t)е Я — вычислимые функции времени. В самом деле, вычислив определитель матрицы Ж поэлементно по нижней строке, легко увидеть соотношение (13). Для определения вида вектор-строки ИТ (аСуЖ) необходимо воспользоваться правилом Крамера, позволяющего вычислить все элементы вектора как определители матрицы, полученной из Ж путем замены каждой строки на И . Пользуясь логикой вычисления определителя, предложенной выше, нетрудно показать, что каждый элемент вектор-строки

Х1ИТ (асУ Ж) с номером i = 1, п имеет вид уТqi + , где qi = qi () е Яп и = ()е Я — известные функции времени. Также можно заметить, что qn = 0. Таким образом, выражение (12) может быть переписано в виде

(p + а у

YT q + z1

У qn _1 + zn -zn

У

У y(

n-1)

= y

[q0 ]+■

(p + a) (p + a)

[z0 ].

(14)

Приведя подобные слагаемые, можно получить соотношение вида (10), где

1

z = •

[Z0 ]_■

1

(p + a )n (p + a )n

Ц zy

i=1

q =

1

(p + a )n

i=1

1

(p + a)

n[q0]. (15)

Выражения (15) вычислимы благодаря лемме о перестановках (swapping lemma) [7].

1 1 1 Фильтр - представим в виде -—-г. Далее i раз итеративно применим

фильтр

(p + a )n 1

p + a

к произведениям z

(p + a )n 1 (p + a) (ziy(i)) и (qiy(i)) , вынося за пределы действия оператора

функции zi и qi соответственно. Производные у(г^ в результате преобразований будут заме

нены на вычислимые функции

(p + a)

[y ]. Однако необходимо в результате применения

леммы о перестановках дифференцировать выражения zi и qi как минимум i раз.

В силу структуры матрицы Ж и закона управления (9) можно показать, что функции z(г^ и q(г^ вычислимы. В самом деле, выражения zi и qi являются функциями от производных управления, где старшая производная имеет степень (п - i), что может быть установлено

при вычислении этих функций с помощью правила Крамера. Поскольку закон управления (9) позволяет использовать п производных от управляющего воздействия и , то можно заключить, что утверждение доказано. ■ С целью иллюстрации применения Утверждения 1 рассмотрим частные случаи выражения (12) для различных п . Для п = 1 имеем скалярную матрицу Ж1 := Ж|п= = V + У1Х1, как следствие, (12) примет вид

-1— [Х1у ] = -1— [( + У1Х1 )у ],

р + а р + а1- -1

откуда с использованием леммы о перестановках получим соотношение вида

р + а

[у ]-

1

р + а

р + а

[у ]

1

1

р + а

[у у] = ъ^— Ы

р + а

что соответствует (10). Для п = 2 задача усложняется видом матрицы Ж:

Ж2 := Жп=2 =

X 2 ^

у + 71X1 2 X 2 + У 2 XV

аё]Ж2 =

2 X 2 + У 2 ^ - Xl -у - 71X1 X2 .

^ Ж2 = 2X2 - yXl - 71X1 + У2^2 . Выражение (12) представим в виде

1

(р + а)

2 ш 2 у + У 2 X2 у - X2 у

1

(р + а)

у

( 2X 2

-yXl - 71X1 + У2 ^

(16)

Нетрудно видеть, что с использованием леммы о перестановках правая часть (12) может быть преобразована в виде суммы компонентов выражения (16), покажем это также для левой части, рассмотрев все слагаемые без учета постоянных коэффициентов, которые могут быть вынесены за пределы действия линейного оператора:

~ 1 ~2 [а2у ] = —+-

(р + а)2 р + а

^ 2'

1

(р + а) 1

= ^

(р + а)

(р + а )

[у ]-4

X2 у

X2 у

1

р + а 1

X?

р + а

р + а р

р + а

2

[у]-

1

[у ]-

р + а 1

(X2 + ^у ))- [у ]

' р + а

2 р

р + а

[у ]-

р + а 1

р + а

т 2

(р + а)

[у ]

+ 2-

р + а 1

р + а

2

[у ]

2 •

(р+а )2

р + а (X 2+ Xly)

[у ]

(р + а)

[у]

Выражение (12) соответствует (10), где все функции вычислимы:

1

г = ■

(р + а)

2

(р + а)

2X 2 у - yXl у

[у ]-4

- 2-

1

р + а

^ 2"

р + а

[.у ]-

1

р + а

(X 2+ ))- [у]

V / р + а

р + а

т 2

(р + а)

[у ]

+ 2-

Я1 =

(р + а)

X2 у

Я2 =•

р + а

р + а

[у ]-

р + а

(р + а )

2XlX 2 ■

(X 2+ Xly)

[у ]

р + а

р + а р2

(р + а) 1

-[у]

(р + а)

-[а 2 у].

Синтез наблюдателя нестационарного параметра и производных выхода. На первом шаге благодаря Утверждению 1 имеем линейное регрессионное уравнение (10), на основе которого может быть сформирован вектор оценок у (г), стремящийся асимптотически или за конечное время к параметрам вектора у. Для этого необходимо воспользоваться, например, методом наименьших квадратов [11], методом градиентного спуска [11] или методом динамического расширения и смешивания регрессора (ОКЕМ) [12]. В настоящей статье будем считать, что для синтеза доступен вектор у (г) = У + £г, где £г является обобщенным обозначением функции времени, экспоненциально стремящейся к нулю.

На втором шаге благодаря соотношению (5) может быть сформирован вектор оценок г) () = 5 (0) + 8Г. Следовательно, можно синтезировать наблюдатель переменных состояния генератора нестационарного параметра

5 (0 =е(Го+*Т п (,), (17)

для которого нетрудно установить, что 5 (^) = 5 (^) + 8Г.

На третьем шаге на основе (7) можно построить наблюдатель (п -1) производных выходной переменной у ():

у Х 2 Х1 0 .. 0"

у = Х 3 2Х 2 Х1 .. 0 5 (), (18)

- (п-1) _ у _ Х п (п - 1) Хп-1 С 2 Сп-1 Х п-2 • •• Х1 _

где можно показать экспоненциальный характер сходимости к нулю ошибок оценивания для (18), а именно у(1) - у() = 81, I = 1, (п -1) .

Синтез закона управления. Напомним, что закон управления и (^) задан выражением (9), в котором требуется доопределить сигнал V(^), обеспечивающий достижение цели (3).

Введем в рассмотрение переменную ошибки слежения е (^) = у ()- у () и запишем выражения для ее производной степени п :

*

е у у у

(п ) (п) *(п) (п )

у ' у ' ' у '

IТ М с

IТМ пс

(19)

Для е(п) с учетом (7) имеем:

е( п)= ЕТ 5 -1ТМ пС + ,

(20)

где Е = е(у)= У1Х1 п Хп + У2 Х1 СП2 Хп-1 + Уз Х1 ••• пХ2 + Уп Х1

Утверждение 2. Реализуемый закон управления (9) обеспечивает выполнение цели (3), если функция V () вычислена по формуле

V (/)=в-1 (-е (у )Т 5+1 Тм пс - ьТб)

наблюдатели у , 5 определены в предыдущем разделе, функции 6 и в :

(21)

у " I ~

6 = у -1Т М

- (п-1) _ у _ Мп-1 _

С, в =

если 51

р, если

51

>р, <р

(22)

для некоторого р > 0, а вектор Ь соответствует коэффициентам гурвицева полинома £ (р) степени п :

i (p) = pn + i о (p) = Pn + LT

1

P

„n-1

Доказательство Утверждения 2. Оценки у , § могут быть представлены как сумма наблюдаемого параметра и сигнала соответственно и экспоненциально затухающей функции

,(п-1П .

времени st, а функция 6 означает оценку вектора col (e, e,..., e

'(t) + s r.

Следовательно, для (21) можно показать

V(г) = Р"1 (-g(у)т § +1ТМПС-4 (р)е(/)) + £[, в = §1 +« Тогда (20) примет вид

e " 1 "

e P

6 = + st =

e(n-1) _ Pn-1 _

pne(t) = -i0 (P)e(t) + «

или

i ( P ) e (t ) =

откуда следует экспоненциальное стремление к нулю переменной е (г). ■

Пример численного моделирования. Рассмотрим объект (1), (2) и задающее воздействие (4) с параметрами

" 0 " " 2 " "1" "0 1 0" "1"

n = m = 3 , y = -1 = 1 , l = 0 , M = 0 0 1 . с (0) = 1

0 _0,5_ 0 0 -2 0 1

Алгоритмы оценивания у и п выбраны с помощью метода БЯЕМ для декомпозиции векторных регрессионных уравнений (10) и (5) на скалярные регрессионные уравнения с теми же параметрами [12].

Размерность регрессора в уравнении (10) для числового примера равна 1, и алгоритм оценивания у выбран в виде

^ (г) = ку д (г)(^ (г) - д (г) у (г)), ку = 10.

Размерность регрессора в уравнении (5) для числового примера равна 3. Согласно методу БЯЕМ выбраны два оператора запаздывания Т1 = 0,2 и Т2 = 0,4 и масштабирующий коэффициент ц = 2 для получения матричного регрессионного уравнения вида

" У (t) " " ФТ (t) "

Y(t) = Ф(t)n , Y(t) = ц У (t - T1) = фТ (t - T1)

_У (t - T2 )_ ФТ (t - T2 )

на основе которого формируется алгоритм оценивания параметров п :

П (г) = к^А (г)(()-А (г) п (г)), А = ёй Ф, та = ( аё]Ф) У, кц = 0,3. На рис. 1 представлены результаты моделирования алгоритма управления (21), (22) с

адаптивными наблюдателями (17), (18), где оценки у и п синтезируются последовательно с

t

помощью регрессионных моделей (10) и (5); рис. 1 — нормы ошибок оценивания параметров у и п = 5 (0), рис. 2 — ошибки оценивания параметра 0 (t) и регулирования е () .

а)

|У - у|, У-е. 1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2 0

а)

|0(t)-ё(/)|, у.е.

2,5 2

1,5 1

0,5 0

-0,5

И_

б)

I - flCOH, у.е. 2

1,5 1

0,5 0

"UL

Рис. 1

-0,5

0

б)

e, у.е. 10 0 -10 -20 -30

10

15

20 t, c

0

10

15

20 ^ с 0

Рис. 2

Заключение. В статье предложен алгоритм синтеза законов адаптивного управления нестационарными объектами с неопределенностями, развивающий метод внутренней модели. Рассмотрен статический объект управления для того, чтобы подробно показать методику синтеза регулятора. Более общие случаи произвольного динамического порядка будут рассмотрены в последующих работах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ле В. Т., Коротина М. М., Бобцов А. А., Арановский С. В., Во К. Д. Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, № 5. С. 259—265.

2. Данг Б., Пыркин А. А., Бобцов А. А., Ведяков А. А. Идентификация полиномиальных параметров нестационарных линейных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 6. С. 459—468.

3. Данг X Б., Пыркин А. А., Бобцов А. А., Ведяков А. А., Низовцев С. И. Синтез адаптивных наблюдателей по выходу для линейных нестационарных систем с полиномиальными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 8. С. 404—410.

4. Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R., Isidori A. An adaptive observer for uncertain linear time-varying systems with unknown additive perturbations // Automatica. 2023. Vol. 147. Р. 110677.

5. Пыркин А. А., Бобцов А. А., Нгуен X. Т. Алгоритм адаптивного оценивания параметров для класса нелинейных нестационарных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 4. С. 266—275.

6. Pyrkin A., Ta M. S., Nguen Q. C., Sinetova M. Adaptive observer design for time-varying systems with relaxed excitation conditions // IFAC-PapersOnLine. 2022. Vol. 55, N 12. Р. 312—317.

5

7. Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R., Vedyakov A., Aranovskiy s. Adaptive state observers using dynamic regressor extension and mixing // Systems & Control Letters. 2019. Vol. 133. Р. 104519.

8. Ortega R., Bobtsov A., Pyrkin A., Aranovskiy S. A parameter estimation approach to state observation of nonlinear systems // Systems & Control Letters. 2015. Vol. 85. Р. 84—94.

9. Ortega R., Bobtsov A., Dochain D., Nikolaev N. State observers for reaction systems with improved convergence rates // Journal of Process Control. 2019. Vol. 83. Р. 53—62.

10. Ortega R., Bobtsov A., Nikolaev N., Schiffer J., Dochain D. Generalized parameter estimation-based observers: Application to power systems and chemical-biological reactors // Automatica. 2021. Vol. 129. Р. 109635.

11. ЛьюнгЛ. Идентификация систем: Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

12. Ortega R., Aranovskiy S., Pyrkin A. A., Astolfi A., Bobtsov A. A. New results on parameter estimation via dynamic regressor extension and mixing: Continuous and discrete-time cases // IEEE Transact. on Automatic Control. 2020. Vol. 66, N 5. Р. 2265—2272.

Поступила в редакцию 03.07.2023; одобрена после рецензирования 12.07.2023; принята к публикации 27.10.2023.

1. Le V.T., Korotina M.M., Bobtsov A.A., Aranovskiy S.V., Vo Q.D. Mechatronics, Automation, Control, 2019, no. 5(20), pp. 259-265. (in Russ.)

2. Dung Kh.B., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Vedyakov A.A. Journal of Instrument Engineering, 2021, no. 6(64), pp. 459-468. (in Russ.)

3. Dung Kh.B., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Vedyakov A.A., Nizovtsev S.I. Mechatronics, Automation, Control, 2021, no. 8(22), pp. 404-410. (in Russ.)

4. Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R., Isidori A. Automatica, 2023, vol. 147, pp. 110677.

5. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Nguen K.T. Journal of Instrument Engineering, 2023, no. 4(66), pp. 266-275. (in Russ.)

6. Pyrkin A., Ta M.S., Nguen Q.C., Sinetova M. IFAC-PapersOnLine, 2022, no. 12(55), pp. 312-317.

7. Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R., Vedyakov A., Aranovskiy S. Systems & Control Letters, 2019, vol. 133, pp. 104519.

8. Ortega R., Bobtsov A., Pyrkin A., Aranovskiy S. Systems & Control Letters, 2015, vol. 85, pp. 84-94.

9. Ortega R., Bobtsov A., Dochain D., Nikolaev N. Journal of Process Control, 2019, vol. 83, pp. 53-62.

10. Ortega R., Bobtsov A., Nikolaev N., Schiffer J., Dochain D. Automatica, 2021, vol. 129, pp. 109635.

11. Ljung L. System Identification, Theory for the User, NJ, PTR Prentice Hall, 1987.

12. Ortega R., Aranovskiy S., Pyrkin A.A., Astolfi A., Bobtsov A.A. IEEE Transactions on Automatic Control, 2020, no. 5(66), pp. 2265-2272.

Антон Александрович Пыркин

Минь Шон Та

Сведения об авторах Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники; E-mail: [email protected]

REFERENCES

Data on authors

Anton A. Pyrkin

Minh Shon Ta

ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [email protected]

Dr. Sci., Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; E-mail: [email protected]

Received 03.07.2023; approved after reviewing 12.07.2023; accepted for publication 27.10.2023.