CC BY
7
DOI 10.36622^Ти.2023.19.2.013 УДК 681.51
АЛГОРИТМ АДАПТИВНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Нгуен Хак Тунг
Национальный исследовательский университет ИТМО, г. Санкт-Петербург, Россия
Аннотация: рассматривается задача оценивания неизвестных параметров для класса нелинейных нестационарных систем. В этом случае предполагается, что матрица состояния системы содержит неизвестные нестационарные параметры. Допустим, что нестационарные параметры системы могут быть представлены как выходы линейных генераторов с неизвестными матрицей состояния и вектором начальных условий. Предлагается, что вектор состояния, сигнал управления и выходная переменная измеряемы. На первом шаге решается задача параметризации исходной динамической модели к линейной статической регрессионной модели. Вторым шагом выполняется оценка неизвестных постоянных параметров линейной регрессионной модели с применением метода динамического расширения ре-грессора и смешивания, позволяющего получать монотонные оценки и обеспечивающего ускорение сходимости оценок к истинным значениям. Результаты компьютерного моделирования показали работоспособность разработанного алгоритма. В работе был синтезирован адаптивный алгоритм оценивания переменных параметров и приведены результаты компьютерного моделирования. В отличие от аналогов, в настоящей работе рассмотрены более сложные допущения по неизвестным нестационарным параметрам, что нестационарные параметры системы могут быть представлены в виде линейных генераторов с неизвестными матрицей состояния и вектором начальных условий
Ключевые слова: нелинейные нестационарные системы, идентификация параметров, регрессионная модель
Введение
Представлен новый метод оценивания переменных параметров для класса нелинейных нестационарных систем. Данная проблема является актуальной для широкого круга научно-технических и практических задач.
Задача оценивания параметров нестационарных систем и синтез наблюдений переменных состояния хорошо изучена в работах [1-11]. В трудах [1-2] предложены методы управления нестационарными системами на основе метода прямого адаптивного управления. Предлагаемые методы не требуют процедуры идентификации параметров объекта управления. Развитие методов непрямого адаптивного управления позволяет для большого класса задач использовать именно идентификационные подходы адаптивного управления. Применение непрямых походы для синтеза наблюдателей нестационарных систем рассматриваются в работах [3-9].
В [3] предложен алгоритм оценивания полиноминальных параметров для нестационарных систем. Метод для решения поставленной задачи основан на преобразовании математической модели управления линейного регрессионного выражения.
В [4] представлен алгоритм оценивания неизвестных переменных параметров линейных
нестационарных объектов управления. Неизвестные параметры рассматриваются в виде линейной функции времени, а их производные представляют собой кусочно-постоянные сигнал. Для параметризации линейного нестационарного объекта управления используется линейный фильтр. В результате можно наблюдать линейную регрессионную модель.
В работах [6-9] предложены методы синтеза наблюдений для нестационарных систем, основанных на методе GPEBO (обобщенный наблюдатель, основанный на оценке параметров) [12].
В настоящей работе рассмотрены более сложные допущения по неизвестным нестационарным параметрам, таким образом нестационарные параметры системы могут быть представлены в виде линейных генераторов с неизвестными матрицей состояния и вектором начальных условий.
Постановка задачи
Рассмотрим нелинейные нестационарные системы
¿1 = В^^) + Х2 + Ъ^а,
= 62/2(^2) + *3 + ^2 и, (1)
Хп = 6п/з(хп) + Ьпи,
У = *1, (2)
© Тунг Нгуен Хак, 2023
где %1 е Е1 - измеряемое состояние,
ё!1 - неизвестный нестационарный параметр,
ё!1 - неизвестный параметр, иё!1 - известный входной сигнал, уб!1 - измеряемая выходная переменная, Ь (х() - известная нелинейная функция, I = 1, п.
Требуется синтезировать алгоритм идентификации неизвестных параметров 91 (£), 1)1 (£), чтобы
1\т(в1-§1 (0) = 0, Ш^-В^Ь)) = 0.
(3)
(4)
с учетом следующих допущений.
Допущение 1. Допуская что ) Ф 0.
Допущение 2. Нестационарные параметры в^ могут быть представлены в виде линейных генераторов
91 = (5)
& = Ш (6)
г> = го + у!к г0 = [0 0], = [1 0 ... 0].
где ё ! - вектор состояния, Ц ё !гхг - матрица неизвестных параметров, ё !г - вектор соответствующей размерности,
ё !г - вектор неизвестных параметров.
Метод параметризации модели объекта управления
В данном разделе представлен метод для параметризации нестационарных систем (1) -(2) к линейному регрессионному выражению.
Лемма. Рассмотрим объект управления (1) - (2) и модель генератора (5) - (6), существуют значения а¿1, «¿2,..., ац, удовлетворяющие следующему соотношению
= аи^и + а12^2 + - + , (7) ^ = &1, = ^(2,
^П = Уи^и + Г12^2 + - + УИ^И ■
где - линейный фильтр,
р = ^ - дифференциальный оператор, параметр Л >0, а(т ё !, I = 1,п, т = 1,1.
Доказательство леммы. Применим к левой и правой части (7) через оператор (р + А)
(Р + ^ = (Р + Л)(ац&1 + а{2^2 + ■■■ +
),г = 1, п.
(9)
Преобразовав уравнение (9) следующим образом
Хи = (ацЪц + Щ2%12 + - + а-иХи)
+ Да 1 + а 12X12 + - + а 1X11).
= аИ^2 + а12^3 +-----+ а1(1-1)%И +
+Яц (Уц%ц + 1x2^2 + ■■■ + Уи&1) +
+ + + - + ац$ц) . ( 1 0)
С учетом уравнения (10) получим следующие соотношение
(Лац + аиуи = 1, 1^2 + «иУ12 + ац = 0,
+ айу1 + аКк-1) = где к = 2,
Перепишем (11) в матричном виде
(11)
X 0 0 - 0 0 Ун ап 1
1 X 0 - 0 0 712 «12 0
0 1 X - 0 0 Га «¡3 = 0
0 0 0 - 1 X УК1-1) аЮ-1) 0
0 0 0 - 0 1 X + уи\ аи 1-0
. (12)
Из модели (12) можем найти ак, к = 1,1 следующим образом
. (13)
что и требовалось доказать. Следствие. Если параметры а^ известны, то можем найти у^ как
0] + 0 Т 7и V1 1
)
( ^ 0] Уи. 1
-ац. .1. / 0
= 1-Лац = -ацк-р-Л^к _ —,
аи ' аи
'-,к =2,1,1 = 1,п. (14)
С учетом допущения 1, разделив две части модели (1) на ^ (х;), I = 1,п, получим
( = а + + 1 и
/¡(xI) 1 1 /£(^1),
= а + Х3 + ^ и
КШ 2 КШ 2/к^)'.
(15)
лп _ а .и
Ч&п) = + °ПГ1(ХпУ
Из выражения (15) имеем
в1 = и
/|(*1) л(*1) чк^)'
а = ^2___Х3 - и и
2 П(х2) г1(*2) 2г1Ш'
в = хп - ь и
■ п /¡(хп) П/1(хп)'
(16)
Применим линейный фильтр к выраже-
нию (16)
(р+~лв1 = = ттл2-11 -т+1212 -^
= = ти221-т+л222 -к2ь2' (17)
= ¿гл^1" = тгл2п1 - кпьп■
П Г йх^гг и Г7 XI,
где ^ = I Ты'= ^ = ^'1 = 1,п'
Г (XI)
] = 2,п-1. Заметим, что
<(2 = <¿1 ,
с = с(1) = с(2) _
ь(3 '(2 ьл ' I = 1',г_
с = с(1) = с('-1) - $1(1-1) -
тогда перепишем выражение (7) в следующем виде
Т+х^и = а11^11 + а12%1_1 +' +«1зй? + - + апй11-1)
Т+Л ^21 = а21^21 + а22^2^) +
+а23%21 + + а21%2г 1)'
р+Х^п1 = ап1^т + ап2^п1 + -+®п3^п1) + + ап1^п1 1)■
(18)
Применим линейный фильтр стеме (18), и получим
(р+а)г
к си-
ь) =
(р+Л)
60
+
+—+
+—+
(19)
— =(^1ап1 (^т) + — +
(р+Л)1\р+Л •
На основе уравнения (17) перепишем уравнение (19) в следующем виде
т^(т++а211 тга212 т+хК1ь1) =
= (р+ау-1 а11 (т+Л211 - т+Л212 -т~АК1 ь1) + — +
+ \ , аирп-1(—г11-—г12 - к-,ьА'
(р +Л)1-1 V р+Л 11 р+Л 12 1 1)'
(р 1у (р+А221 р!я222 р +№) =
= (р+лу-1а21 (ТГл221 -ТГ^22 -~!^к2ь2) + — +
+, ' ., а21рп-1(-^г21-^г22-^к2ь2)'
(р+А)1-1 \р+я 21 р+Л 22 р+Л 2 2!
+
1 „ ( Р 7 - 1 К
г,1 I . ^п1 р+х г-
(р +л)1-1 п1 Ур+л
ап1р п-1 (Т+12п1 - кпъп) ■
Ьп)
+ — +
Из уравнения (20) имеем
т+т1 (тгл211-тгл212 -т1лк1ь1) =
+
(р +л)-1и 11 Кр+л
ап(р.г11 р^г12 р+л +—+
+ 1 1
+ \ , аир п-1(—111-—112 -К-, ЬА' ( + ) -1 1 + 11 + 12 1 1
(т+л221-т+л222 -^К2Ь2) =
= (^+5т-1 а21(Т+л221-Т+л222 -Т~лК2Ь2) +—+
( + ) -1 2 + 21 + 22 + 2 2 Т+) (Т+Л2п1 -~АКп Ьп) =
+
1 „ ( Р 7 - 1 К
г,1 ( . ^п1 р+х г-
(р +л)1-1 п1 Ур+л
ап1р п-1 (т+12п1 - кпьп) ■
Ьп)
+ — +
На основе уравнения (21) построим регрессионную модель для каждого канала
где £; =
^( 0 = х! ( 00¿,
1
1 (р +Х)1 Чр+Я 11 р+л'
12
е Е
1хп
вычислимая функция, т
XI =
[Ри . Рй Рь(1+1) Рщ+2) . Рг(21+1)] Ё
Ш^и^п - регрессор, ^ = (_1_(-+^1-
1 1 1+1) = (^Лу
1 1
&( I+2) = - (_ + ,)I-1 -+1113, 1*1(21+1) =
„ 1-1
(р+A)i-1 р+Л -Z3
(р+л я - элементы регреccорa,
в¿ = [ац ... аа Ъi Ъьац ... Ььаи]Т Ё Ш(2 г+1)хп _ вектор неизвестных параметров, I = 1, п.
Синтез наблюдателей нестационарных параметров
На основе оценки неизвестных параметров матрицы Ц и параметра Ь1, в этом разделе представляется метод оценивания параметров вектора (0) модели (5) - (6) методом GPEBO [12].
Рассмотрим вспомогательную систему вида
01 = (23)
(ш = (24)
Рассмотрим ошибку
Ч = ^ - Ь (25)
и ее производную с учетом уравнений (6) и (24)
= Пь. (26)
Решение дифференциального уравнения (26), имеем
^ = е Г1 % (0) = Ф & (0) = Ф(27)
где Ф1 = ЦФ1 - фундаментальные матрицы, ФI (0) = 1пхп, гЦ = [Л 11 . Лпь] - векторы неизвестных параметров.
Допустим, что начальные условия системы (23) - (24) нулевые, тогда
^ (0) = -&(0).
(28)
Откуда заметим, что задача оценивания векторов ^ (0) может быть сведена к оцениванию векторов неизвестных параметров ^, перепишем в в следующем виде
вь = К-Ф л 1. (29)
Подставим (29) в уравнение (17) и получим
Из уравнения (3 0) получаем стандартное регрессионное уравнение
q i ( t) = Mfr] t.
(31)
где qt( t) = n. £ К1 - измеряемые
■ Vin] ЕШп -
+
£ Wl -векторы
функции, М? =
регрессоры , г]'[ = [V п неизвестных параметров.
Для оценивания параметров модели (21) и (31) используем метод Динамического Расширения регрессора и Смешивания (DREM) [13]. После использования известного метода (DREM) получается независимых регрессионных моделей первого порядка.
Математическое моделирование
Моделирование проводилось при следующих параметрах системы
х1 = в ^ (х1) + х2 + Ь1 и,
*2 = в 2 А*2) + Ь 2 и,
где
р1 = [Л 1], ^ = [3], Ь1 = 3,А (Х1) =3 +
81п(х1), и = -(3 + 8Ш(С))х.
Г2 = [Л о], ^2 (0) = [2], Ь2 = 2, ^ Ш = 2 +
На рис. 1 приведены переходные процессы оценки неизвестных параметров сс11 (С), й12(С) при а11 = 0,5, а12 = -0,5. На рис. 2 показываются переходные процессы оценки неизвестных параметров уц(0, у^Ю при уц = -1, у 12 = 0. На рис. 3, 4, 5 приведены результаты моделирования оценивания параметра Ь^) вектора начальных условий <^(0), и в1(Ь), в1(1) соответственно, а на рис. 6 приведен график ошибок 01 (0 - §1 (0.
На рис. 7 представлены переходные процессы оценки неизвестных параметров «21 (О, «22 (О при ац = 0,2, а-2 = -0,2, на рис. 3, 4, 5 приведены результаты моделирования оценивания параметра о- (С) вектора начальных условий |2(0), и д2(Ь), в2(Ь), соответственно, на рис. 12 приведен график ошибок 02(С) —
Ш-
<3
2 1 О -1 -2
---ац -а„(4) ---а 12 -аи(0
10
20
30
40
Рис. 1. График оценки параметров (Хц (£:)
<с-
и
■ -711
-7и(0
■ -712 -712(4)
10
20
30
40
Рис. 2. График оценки параметров у-ц (£:)
1-11
.Г
-Ь
10
20
30
40
Рис. 3. График оценки параметров Ь1(Ь)
10
5
-и § 0
<<5.5 -10
И
----£ц(0)
-«п(0)
- - -Ы0)
-¿12(0)
0
10
20
30
40
Рис. 4. График оценки параметров ^(0)
Рис. 5 . График в^) и 8^)
10 20 30 40
Рис. 6 . График ошибки в1 (£:) — б^)
0.5
-0.5
- ~ы
Г — — -СХ21 -¿21 (£) — — -а;22 -0!22(£)
10
20
30
40
Рис. 7. График оценки параметров а21 (£:)
---721 -721 (t) ~ ~ '722 -722 (t)
рЛ IU
л
'[ rJ V
h If
О 10 20 30 40
С
Рис. 8. График оценки параметров foïM
Рис. 12. График ошибки 02 (О — ^2 (О
-2
fs
1
-b2 —Sait)
10
20
t, С
30
40
Рис. 9. График оценки параметров ^(t)
10
5
,,—v 0
О
<<ку
-b
-10
---ЫО)
-4 i(o)
---Ыо)
-&а(0)
10
20
£,С
30
40
Рис. 10. График оценки параметров «^(О)
10
5
3
¿0
-5
ЛЛЛАЛД
О
10
20
С
30
40
Рис. 11. График 02 (О и i?2 (О
На рис. 1 - 12 приведены результаты моделирования предложенного в работе алгоритма оценивания параметров линейных нестационарных систем. Результаты моделирования показывают, что предложенный алгоритм гарантирует сходимость ошибки оценивания к нулю.
Заключение
В статье предложен новый метод оценивания неизвестных параметров для нестационарных нелинейных систем. Для решения данной задачи используется непрямого адаптивного управления или идентификационные методы. Выполнена оценка неизвестных параметров регрессионных моделей с использованием метода динамического расширения регрессора. Результаты моделирования подтверждают сходимость оценивания параметров к истинным значениям.
Литература
1. Бобцов A.A. Адаптивное управление по выходу линейными нестационарными объектами // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 163-174.
2. Бобцов А.А. Алгоритм адаптивного управления нестационарным объектом в условиях возмущения и запаздывания // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 1. С. 8-14
3. Идентификация полиномиальных параметров нестационарных линейных систем / Д. Бинь, А.А. Пыркин, А.А. Бобцов, А.А. Ведяков // Известия высших учебных заведений. Приборостроение 2021. Т. 64. №2 6. С. 459-468.
4. Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем / Т. Ван, М.М. Коротина, А.А. Бобцов, С.В. Аранновский, К.Д. Во // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20. № 5. С. 259 -265.
5. Идентификация кусочно-линейных параметров регрессионных моделей нестационарных детерминированных систем / Ц. Ван, В. Т. Ле, А. А. Пыркин, С. А. Колюбин, А.А. Бобцов // Автоматика и телемеханика. 2018. № 12. С. 71-82.
6. Синтез адаптивного наблюдателя для нестационарных нелинейных систем с неизвестными полиномиальными параметрами / Д. Бинь, А.А. Пыркин, А.А. Бобцов,
А.А. Ведяков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики [Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics]. 2021. Т. 21. № 3(133). С. 374-379.
7. Адаптивный наблюдатель переменных состояния линейной нестационарной системы с частично неизвестными параметрами матрицы состояния и вектора входа / А.А. Бобцов, Н. А. Николаев, Р. Ортега, О.В. Слита, О.А. Козачек // Мехатроника, автоматизация, управление [Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie]. 2022. Т. 23. № 6. С. 283-288
8. Бобцов А.А., Лямин А.В., Сергеев К.А. Синтез закона адаптивного управления для стабилизации не точно заданных нестационарных объектов // Изв. вузов. Приборостроение. 2001. № 3. С. 3-7.
9. Куок Д., Бобцов А.А. Адаптивный наблюдатель переменных состояния линейных нестационарных систем
с параметрами, заданными не точно // Автоматика и телемеханика. 2020. № 12. С. 100-110.
10. Клейман Е.Г., Мочалов И.А. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 3-22.
11. Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными объектами // Автоматика и телемеханика. 1996. № 2. С. 117—125
12. Generalized parameter estimation-based observers: Application to power systems and chemical-biological reactors / R. Ortega, A. Bobtsov, N. Nikolaev, J. Schiffer, D. Dochain // Automatica. 2021. Vol. 129. Pp. 109-635.
13. Adaptive state observers using dynamic regressor extension and mixing / A. Pyrkin, A. Bobsov, R. Ortega, A. Vediakov, S. Aranovskiy // Systems & Control Letters. 2019. -Vol. 133. P. 104519.
Поступила 02.03.2023; принята к публикации 20.04.2023 Информация об авторах
Тунг Нгуен Хак - аспирант факультета систем управления и робототехники, Национальный исследовательский университет ИТМО (197101, Россия, г. Санкт-Петербург, Кронверкский проспект, д. 49), e-mail: [email protected], тел. +7(904) 338-66-19
ALGORITHM FOR ADAPTIVE ESTIMATION OF PARAMETERS FOR NONLINEAR
NONSTATIONARY SYSTEMS
N.K. Tung ITMO University, St. Petersburg, Russia
Abstract: the paper considers the problem of estimating unknown parameters for a class of non-linear non-stationary systems. In this case, it is assumed that the system state matrix contains unknown non-stationary parameters. Let us assume that non-stationary parameters of the system can be represented as outputs of linear generators with unknown state matrix and initial conditions vector. It is proposed that the state vector, control signal and output variable are measurable. At the first step, the problem of parameterizing the initial dynamic model to a linear static regression model is solved. The second step is to estimate the unknown constant parameters of the linear regression model using the Dynamic Regressor Extension and Mixing method, which allows obtaining monotonic estimates and ensures the acceleration of the convergence of the estimates to the true values. The results of computer simulation showed the efficiency of the developed algorithm. In the paper an adaptive algorithm for estimating variable parameters was synthesized and the results of computer simulation were presented. Unlike analogues, in this paper we consider more complex assumptions for unknown non-stationary parameters, that the non-stationary parameters of the system can be represented as linear generators with unknown state matrix and initial conditions vector
Key words: non-stationary nonlinear systems, identification of parameters, regression model
References
1. Bobtsov A.A. "Adaptive output control of linear non-stationary objects", Automation and telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 2006, no. 12, pp. 163-174.
2. Bobtsov A.A. "Algorithm for adaptive control of a non-stationary object under conditions of disturbance and delay", Mechatronics, automation, control (Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie), 2007, no. 1, pp. 8-14.
3. Bin D., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Vedyakov A.A. "Identification of polynomial parameters of non-stationary linear systems", Proceedings of higher educational institutions. Instrumentation (Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroyeniye), 2021, vol. 64, no. 6, pp. 459-468.
4. Vav T., Korotina M.M., Bobtsov A.A., Aranovskiy S.V., Vo K.D. "Identification of parameters of non-stationary systems linearly changing in time", Mechatronics, automation, control (Mechatronika, avtomatizatsiya, upravlenie), 2019, vol. 20, no. 5, pp. 259-265.
5. Van T., Lev V.T., Pyrkin A.A., Kolyubin S.A., Bobtsov A.A. "Identification of piecewise linear parameters of regression models of non-stationary deterministic systems", Automation and telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 2018, no. 12, pp. 71-82.
6. Bin D ., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Vedyakov A.A. "Synthesis of an adaptive observer for non-stationary nonlinear systems with unknown polynomial parameters", Scientific and technical journal of information technologies, mechanics and optics (Nauchno-tekhnicheskiy vestnik informatsionnykh tekhnologiy, mekhaniki i optiki), 2021, vol. 21, no. 3 (133), pp. 374-379.
7. Bobtsov A.A., Nikolaev N.A., Ortega R., Slita O.V., Kozachek O.A., "Adaptive observer of state variables of a linear nonstationary system with partially unknown parameters of the state matrix and input vector", Mekhatroniks, automation, control (Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie), 2022. vol. 23, no. 6, pp. 283-288.
8. Bobtsov A.A., Lyamin A.V., Sergeev K.A. "Synthesis of an adaptive control law for stabilization of inaccurately specified nonstationary objects", Proceedings of higher educational institutions. Instrumentation (Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroyeniye), 2001, no. 3, pp. 3-7.
9. Kuok D., Bobtsov A.A. "Adaptive observer of state variables of linear nonstationary systems with inaccurately specified parameters", Automation and telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 2020, no. 12, pp. 100-110.
10. Kleiman E.G., Mochalov I.A. "Identification of non-stationary objects", Automation and telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1994, no. 2., pp. 3-22.
11. Tsykunov A.M., "Robust control of non-stationary objects", Automation and telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1996, no. 2, pp. 117-125.
12. Ortega R., Bobtsov A., Nikolaev N., Schiffer J., Dochain D. "Generalized parameter estimation-based observers: application to power systems and chemical-biological reactors" Automatica (Avtonatica), 2021, vol. 129, pp. 109-635.
13. Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R., Vediakov A., Aranovskiy S. "Adaptive state observers using dynamic regressor extension and mixing" Systems & Control Letters, 2019, vol. 133, p. 104519.
Submitted 02.03.2023; revised 20.04.2023 Information about the authors
Nguyen K. Tung, Post-graduate student, Faculty of Control Systems and Robotics, National Research University ITMO (49 Kron-verkskiy prospect, St. Petersburg 197101, Russia), e-mail: [email protected], tel. +7 (904) 338-66-19
