CC BY
54
УДК 517.97
© И.-Х.Д. Хишектуева
АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ1
Приводятся результаты численных экспериментов по анализу эффективности метода оптимизации параметров нелинейных динамических систем, основанного на поиске неподвижных точек специального оператора проектирования.
Ключевые слова: параметрическая оптимизация, задача о неподвижной точке.
© I.-Kh.D. Khishektueva
ALGORITHM FOR OPTIMIZATION OF PARAMETERS OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS
The results of numerical experiments on the analysis of efficiency of the method for optimization of parameters of nonlinear dynamic systems, based on the search of fixed points of special projection operator are given.
Keywords: parametric optimization, problem of a fixed point.
1. Метод решения
Рассматривается задача оптимизации управляющих параметров
Ф(ы) = p(x(tx)) + f F(x(t), u, t)dt ^ min, (1)
JT ueU
X(t) = f (x(t),u,t), x(t0) = x°, t eT = \t0,tj], (2)
в которой x(t) = (xt(t),...,xn(t)) - вектор состояния, u = (u,...,um) - вектор управляющих параметров
со значениями в выпуклом множестве U с Rm . Начальное состояние x0 и промежуток управления T
заданы.
Предполагаются выполненными следующие условия:
1) функция р(x) непрерывно-дифференцируема на Rn, вектор-функция F(x,u, t), векторная функция f (x,u, t) и их производные F (x,u, t) , F (x,u, t), f (x,u, t) , f (x,u, t) непрерывны по совокупности аргументов (x, u, t) на множестве Rn x U x T;
2) функция f (x, u, t) удовлетворяет условию Липшица по x в Rn x U x T с константой L > 0
||f (x, u, t) - f (y, u, t)|| < L ||x - y||.
Строится релаксационная (улучшающаяся) последовательность управлений, определяемых на каждой итерации в ходе решения задач улучшения, формулируемых в следующей форме: для заданного управления u eU требуется найти управление v eU с условием Av®(u) < 0 .
Для реализации задачи улучшения предлагается решить задачу о неподвижной точке [1]:
v = Pv (u + Hu (p(t, u, v), x(t, v), u, t)dt + 5)), u eU, v eU, s e Rm, (3)
где P - оператор проектирования на множество U в евклидовой норме, а > 0 - параметр проектирования, H(p, x,u, t) - функция Понтрягина, x(t, v) - решение системы (2) при u = v, p(t,u, v) - решение дифференциально-алгебраической сопряженной системы вида
P(t) = -Hx (p(t), x(t), w, t) - r(t),
(Hx (p(t), x(t), w, t), y(t) - x(t)) + (r(t), y(t) - x(t)) = Ay(t)H(p(t), x(t), w, t)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00914, 12-01-98011, 13-01-92200)
39
с краевыми условиями
р(К) = ~ФХ (х(Ч)) - Ч ,
&(Щ)),У(Ь)-х(^)) + (ч,у(\)-х^')) = Ам&х(^)) .
Величина 5 определяется соотношением
^ А Н (р(У, и, V), х(,, V), и,
= (|г Ни (ри, и, и), *и, и, и, ои, V - и + (5, V - и) (4)
Для решения задачи о неподвижной точке (3) используется итерационный алгоритм при к > 0 :
Vм = Ри(и + а($тНи (рЦ,и,ик),х(,,ик),и,,)й + 5к)), V0 е и,
Величина 5к удовлетворяет соотношению (4) при V = Vк.
2. Численные эксперименты
Численный расчет задачи о неподвижной точке (3) проводился до первого строгого улучшения управления и е и . Далее строилась новая задача о неподвижной точке и итерационный алгоритм повторялся. В качестве критерия остановки итерационного процесса выбиралось условие ^+1 - vk|| <г||vk|| в евклидовой норме, где £> 0 - заданная точность. Численное интегрирование
дифференциальных систем реализовывалось методом Рунге-Кутта-Вернера переменного (5-6) порядка и шага с помощью программы DГVPRK библиотеки IMSL Фортран PowerStatюn 4.0. Значения вычисленных фазовых и сопряженных переменных запоминались в узлах заданной равномерной сетки с шагом дискретизации й = 103.
Пример 1.
\_\ 2
Ф(и) = — |(х2(,) + и2)й, ^ шт,
о
х(У) = и, х(0) = 1, и е и = [-1;1], , еТ = [0,1].
Рассматривается начальное управление и = 0 с соответствующей фазовой траекторией
х(,,и) = 1, У е Т и значением целевой функции Ф(и) = 1. Дифференциально-алгебраическая сопряженная система принимает вид
р (,) = х(,, и) - г (,),
-х(,. и)(«+1 -х(,, „»+г(, м«+1 -х(,. „»=2( а,, „ у- - («+V).
р(1) = -ч,
+1 - х(,,и)) = 0.
После преобразований она сводится к дифференциальной системе
Р(I) = 1(х(,,и) + V, +1), р(1) = 0.
Задача о неподвижной точке и соответствующий итерационный процесс имеют вид
V = Р (и + &(§р(,,и,4)^ - 1(и + V))),
0 ^
Vм = р(и + &(§р(,,и,^к)й - 1(и + V1к))). 0 2
Результаты численных расчетов для разных расчетных параметров представлены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты численных расчетов (пример 1)_______________
V0 а є * V Ф(у) Число итераций
0 10-2 10-4 -0,3750 0,40625 150
10-6 -0,3750 0,40625 150
10-1 10-4 -0,3750 0,40625 25
10-6 -0,3750 0,40625 27
0,2 10-4 -0,3750 0,40625 15
10-6 -0,3750 0,40625 17
0,3 10-4 -0,3750 0,40625 10
10-6 -0,3750 0,40625 16
0,4 10-4 -0,3750 0,40625 10
10-6 -0,3750 0,40625 14
0,5 10-4 -0,3750 0,40625 20
10-6 0,3750 0,40625 25
0,8 10-4 -0,3750 0,40625 86
10-6 -0,3750 0,40625 118
1 10-4 -0,3750 0,40625 43
10-6 -0,3750 0,40625 62
-1 10-2 10-4 -0,3750 0,40625 184
10-6 -0,3750 0,40625 184
10-1 10-4 -0,3750 0,40625 25
10-6 -0,3750 0,40625 33
0,2 10-4 -0,3750 0,40625 11
10-6 -0,3750 0,40625 16
0,4 10-4 -0,3750 0,40625 11
10-6 -0,3750 0,40625 15
0,8 10-4 -0,3750 0,40625 14
10-6 -0,3750 0,40625 19
1 10-4 -0,3750 0,40625 47
10-6 -0,3750 0,40625 68
1 10-2 10-4 -0,3750 0,40625 123
10-6 -0,3750 0,40625 183
10-1 10-4 -0,3750 0,40625 20
10-6 -0,3750 0,40625 26
0,4 10-4 -0,3750 0,40625 14
10-6 -0,3750 0,40625 18
1 10-4 -0,3750 0,40625 47
10-6 -0,3750 0,40625 68
Улучшаемое управление и = 0 . В качестве начальных приближений для итерационного процесса рассматривались управления V0 = 0, -1,1. Параметр а варьировался от 10-2 до 1,2. Наилучшие результаты по точности достигнуты при а = 0,4 , расчетное значение параметра V = -0,3750 , соответствующее значение целевой функции Ф(V ) = 0,40625. При а > 1,1 наблюдалась расходимость итерационного процесса. В данном примере легко аналитически определяется оптимальное управление
* 3
и = —.
8
Пример 2. «Самолет с автопилотом» [2]
*1 = 22’ *2 = 23’ *3 = 24’ *4 = 25’ *5 = 26’
і6 = -291.1^ - 771.2г2 -1146.5г3 - 364.2г4 -107.4^ -16.4г6, ^ (0) = 0, г2 (0) = 20, г3 (0) =. . . = г6 (0) = 0 .
Аппроксимация исходной системы задавалась в виде системы второго порядка [3]
X = X, х2 = и2х + ,
X (0) = ^ (0) = 0, X (0) = X (0) = 20.
Мерой близости решений служил интеграл:
7 2
I ={^А [ хі (ґ) - (ґ )]2 Ж.
0 І=1
В данном случае дифференциально-алгебраическая сопряженная система имеет вид
[р1 (ґ) = -Р2(ґ)и2 + 2^Х1(ґ,и) - 2\*1 (ґ) - г (ґ),
[р2 (ґ) = -р (ґ) - р2 (ґ)щ + 2^х2 (ґ,и) - 2^2(ґ) - г (ґ),
(р2(ґ)и2 - 2\х1 (ґ,и) + 2\*^ (ґ))(х (ґ,V) - х (ґ,и)) + г (ґ)(X (ґ,V) - X (ґ,и)) =
(Р2(ґ)и2 + 2^1 (ґ))(X (ґ,V) - х (ґ,и)) - А (X (ґ,V)2 - Х1 (ґ,и)2'),
(р ( ґ) + р2( ґ)щ - 2^X2 ( ґ,и) + 2^*2 ( ґ))(X ( ґ,V) - X( ґ,и)) + г2( ґ)(x2( ґ,V) - X (ґ, и)) =
.(Р1 (ґ) + Р2(ґ)и + 2Аа(ґ))(^2(ґ,V) - Х2(ґ,и)) -Х2(x2(ґ,V)2 - x2(ґ,и)2)
Р1(1) = -Ч^
Р2(1) =-Чі,
чАx(ґl,V) - Xl(ґl,и)) = 0,
Ч2(^2(1,V) - Х2(1,и)) = 0.
После преобразований система сводится к дифференциальной системе
[рх (ґ) = -р2(ґ)и2 + Ах (ґ,и) - 2^^ (ґ) + (ґ,V), р (1) = 0,
[р2(ґ) = -р (ґ) - р2(ґ)иг + АX(ґ,и) - 2А,х(ґ) + АX(ґ,V), Р2(1) = 0.
Задача о неподвижной точке принимает форму
/
V = Р (и +а(| р2 (ґ, и, V) X (ґ, v)dґ + ^)),
0
7
V = Р (и2 +а(| Р2 (ґ, и, v)xl (ґ, v)dґ + я2)),
0
7 7
|р2 (ґ,и, V)X(ґ, v)(v1 - и ^ґ =|р2 (ґ,и, V)х(ґ, v)dґ • (V - щ) + ^ (V - и),
0 0
7 7
|р2(,,и,V)х (,,v)(v2 - и2)Л =|р2(,,и,v)x (У,у)Л • ^2 - и2) + х V - и2). 0 0 Отсюда получаем уравнения для неподвижных точек в виде
7
V = и +а| р2 (,, и, V) х (У, v)dt,
v2 = и +а| р2 (ґ, и, V) X (ґ, v)dґ,
0
и соответствующий итерационный процесс
7
vkl +1 = и +а| р2 (,, и, Vк) х (,, Vк )й,,
0
7
VI 1 = и2 +а| р2 (,, и, Vк) х (,, Vк )й,.
0
Задача решалась для фиксированных значений: а) \ = 0, \ = 1; б) \ = 1, \ = 1. Результаты расчетов представлены соответственно в таблицах 2 и 3.
Таблица 2
Результаты численных расчетов (пример 2, а)
V0 а є * V Ф(у) Число итераций
-0,6 -0,25 10'5 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 709
10'3 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 171
-1 -0,5 10'5 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 710
10'3 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 172
-0,5453 -0,2899 10'5 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 751
10'3 10"4 -0,5573 -0,3536 15,089 168
В качестве начального улучшаемого управления рассматривались параметры щ = -0.6, щ = -0.25 , указанные в [2] как оптимальные. За начальные приближения для итерационного процесса принимались значения: vl0 =-0.6, V° =-0.25, vl0 =-1, =-0.5 и vl0 =-0.5453, =-0.2899 . Параметр а
варьировался от 10-5 до 10 2. Наилучшие результаты достигнуты при а = 10-3, расчетные значения параметров vl* = -0.5573, V* = -0.3536 , соответствующее значение целевой функции Ф(V) = 15.0789 . При а> 0.001 итерационный процесс не сходится. В [2] указано оптимальное значение целевой функции 25,8030.
Таблица 3
Результаты численных расчетов (пример 2, б)
V0 а є * V Ф(у) Число итераций
-0,6 -0,25 10'5 10'4 -0,5486 -0,2927 28,526 71
-0,3 -0,1 10'5 10'4 -0,5486 -0,2927 28,526 68
-0,5589 -0,2940 10'5 10"4 -0,5486 -0,2927 28,526 144
Во втором случае аналогично в качестве начального улучшаемого управления рассматривались параметры щ = -0.6, и2 = -0.25 . За начальные приближения для итерационного процесса были взяты
значения: vl0 =-0.6, v2 =-0.25, vl0 =-0.3, =-0.1 и vl0 =-0.5589, =-0.2940 . Расчетные значе-
ния параметров vl =-0.5486, v2 =-0.2927, соответствующее значение целевой функции Ф(V ) = 28.526. При а > 10 5 итерационный процесс не сходится. В [2] указано оптимальное значе-
ние целевой функции 36,1646.
Заключение
Проделанные численные расчеты и полученные результаты позволяют сделать вывод о достаточной эффективности предлагаемого метода в задачах параметрической оптимизации нелинейных систем. В задаче управления самолета с автопилотом получено меньшее значение целевой функции по сравнению с известными результатами. Расчеты показывают, что скорость сходимости алгоритма существенно регулируется выбором проекционного параметра а .
Литература
1. Булдаев А.С., Очирбат Б., Хишектуева И.-Х.Д. Поиск неподвижных точек операторов проектирования в задачах параметрической оптимизации систем // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика, информатика. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2012. - № 2. - С. 4-14.
2. Каляев А.В. Расчет переходного процесса в линейных системах методом понижения порядка дифференциального уравнения // АиТ. - 1959. - Т. 20, № 9. - С. 1171-1179.
3. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - 193 с.
Хишектуева Ишин-Хорло Дамбадоржиевна, инженер-программист Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации (НОИЦ СИА) Бурятского государственного университета, тел. (914) 8363885, e-mail: [email protected]
Khishektueva Ishin-Khorlo Dambadorzhievna, software engineer, Scientific-Educational and Innovative Center for Systems Study and Automation (SEIC SSA), Buryat State University, e-mail: [email protected]
