Применение метода неподвижных точек в задачах оптимизации динамических систем по параметрам и начальным условиям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-38-48

© И.-Х. Д. Хишектуева

Применение метода неподвижных точек в задачах оптимизации

динамических систем по параметрам и начальным условиям 1

В статье предлагается метод последовательного улучшения управляющих параметров динамических систем, основанный на решении конструируемой задачи о неподвижной точке определяемого оператора управления. Применение метода иллюстрируется на примере задачи идентификации параметров и начальных условий динамической системы.

Ключевые слова: динамическая система, параметрическая оптимизация, задача о неподвижной точке.

© I.-Kh. D. Khishektueva

Application of the fixed points method for the problems of dynamic systems optimization on parameters and initial conditions

In the article we have proposed the method for continual improvement of control parameters of dynamic systems. It is based on the solution of constructed fixed point problem defined by the control operator. Application of the method is exemplified by the problem of identification the parameters and initial conditions of a dynamical system.

Keywords: dynamic system, parametric optimization, fixed point problem.

Введение

Задачи оптимизации параметров динамических систем возникают и актуальны во многих приложениях [1]. В настоящей работе рассматривается следующая задача параметрической оптимизации динамической системы:

ф(а) = (p(x(t1),u) + f F(x(t),u,t)dt ^ inf, (1)

JT aeQ

x(t) = f (x(t), u, t), x(t0) = a, u eU, a e A, t e T = [t0, t1], (2) где x(t) = (x1(t),..., xn (t)) - вектор состояния, u = (u1,..., um), a = (a1,..., an) -векторные управляющие параметры. Множества U с Rm, A с Rn замкнуты и выпуклы. Интервал T фиксирован, а = (u,a) - допустимое управление со значениями из множества Q = U х A .

Предполагаются выполненными следующие условия:

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-01-03680-а; МОН РФ, проект №3808

1) функция р(х,и) непрерывно-дифференцируема на Rn х и , функции F(х,и,г), /(х,и,г) и их частные производные по х,и непрерывны по совокупности аргументов (х,и,г) на множестве Rn х и х Т;

2) функция /(х,и,г) удовлетворяет условию Липшица по х в Rn х и х Т с константой L > 0: ||/(х,и,г) - /(у,и,г)|| < Щ||х - у||.

Условия гарантируют существование и единственность решения х(г,и), г <еТ системы (2) для любого допустимого управления и е О.

Функция Понтрягина с сопряженной переменной ц е Rn и стандартная сопряженная система принимают вид:

Н (ц, х, и, г) = Цц, / (х, и, г)} - F (х, и, г), ц (г) = -Нх (ц(г), х(г), и, г), г еТ, ц(г1) = -рх (х(г1), и). (3)

Для допустимого управления иеО обозначим ц/(г,и), г еТ - решение стандартной сопряженной системы (3) при х(г) = х(г,и) и аргументах и, а, соответствующих компонентам управления и .

Одним из основных подходов к оптимизации управления является последовательное решение задач улучшения управления, в которых для заданного управления и1 е О требуется найти управление и" е О с условием Ф(ия) -Ф(и7) < 0.

В данной работе для решения задачи улучшения предлагается решить специальную задачу о неподвижной точке конструируемого оператора в пространстве управлений с помощью стандартной операции на максимум функции Понтрягина. Решение предлагаемой задачи о неподвижной точке позволяет улучшать неоптимальные управления, удовлетворяющие принципу максимума, и получать новые необходимые условия оптимальности в рассматриваемом классе задач.

1. Формула приращения целевой функции

Обозначим для удобства частное приращение произвольной вектор-функции g (у1,..., у1) по переменным у , у

Луч+Дуч, л2 +Лу2 £ (Уl,..., у) = £ СУ! — Л +4yl,..., У*2 +лУs2,..., У1) - £ СУ! — У,).

Приращение целевой функции (1) на допустимых управлениях и, и1 в соответствии с введенным обозначением выписывается в виде:

ЛиФ(и1) = Ф(и) - Ф (и1) = р( х(г1,и), и) + | F (х(г,и), и, ^ -

-р( х(г1,и1), и1) -1 F (х(г ,и1), и1, г ^ = (4)

—а

■ Лх(А,и),иР(х(г1,и Xи' ) + |Т Лх(í,и),uF(х(г,и ),и' , г№

1\ - -.1

Дополнительно обозначим Лх(г) = х(г,и) - х(г,и ), Ла = а - а . Приращение терминальной части функционала в выражении (4) можно

записать в виде:

Ax(4,a),uP( x(t1,a), u1) = p(x(t1,a), u) - p( x(t„a7), u7) =

= p( x(t1,a), u) - p( x(t1,a), u7) + p( x(t1,a), u7) - p( x(t1,a7), u7) =

= AuP( x(tl,a), u7) + Ax (t,,a)P(x(t1,a7), u7). Аналогично [2] введем непрерывную кусочно-дифференцируемую вектор-функцию p(t) = (p1(t),...,pn(t)), t e T с условиями:

P(0 = -Px (x(t1,a7),u7) - q, (5)

где величина q удовлетворяет алгебраическому уравнению

px(x(t1,a7),u1) + q,Arft)) = AXй,стр(x(t„a7),u7) . (6)

При этом по определению полагаем q = 0 в случае линейности функции p по x, а также в случае x(t1,a) = x(t1,a7).

Тогда приращение терминальной части функционала в выражении (4) можно записать в виде:

A x(t1 ,a),u Р( x(t1,a X u' ) = КР^а^ u ) + Ax(t1a)P(x(t1,a X u ) =

= AuP( x(t„a), u1) + px (x(t„a7 ),u7) + q, Arft)) = = AuP( x(t1, a), u1) - (p(t1), Axft)) = = AuP( x(t„a), u1) - (p(t0), Aa) - jT|(p(t), Ax(t)) dt =

= Aup( x(t„a), u1) - ( p(t0), Aa) - Jt (( p (t), Ax(t)) + (p(t), Ax(t))) dt = = AuP( x(t„a), u7) - (p(t0), Aa) --f,((p(t), Ax(t)) + (p(t), Ax(t,a),uf (x(t,a),u7,t)))dt.

Далее приращение функционала при помощи функции Понтрягина можно представить следующим образом:

AaФ(a7) = A x(AaXuP( x(t„a'), u1) + A x ^F (x(t,a7), u7, t )dt = = AuP( x(t„a), u7) - ( p(t0), Aa) --fT (( P (t), Ax(t )) + ( p(t), A ^(t ,a),uf (x(t, a7), u7, t)) ) dt + +fT A Х(( ,a),uF (x(t,a), u7, t )dt = = Aup( x(t„a), u7) - ( p(t0), Aa) -f^p (t), Ax(t) )dt --fT (( P(t), A x(t ,a),uf (x(t ,a7), u7, t ))-A x (t ,a),uF (x(t,a), u7, t)) dt = = AuP(x(t„a),u1) - (p(t0), Aa) --fT <P(t), Ax(t))dt - Jt AaluH(p(t), x(t, a7),u7, t)dt = = AuP(x(t„a),u1) - (p(t0), Aa) -

-|т ((р (г), Лх(0) + ЛиН (р(г), х(г,и), и1, г) + Л х аи) Н (р(г), х(г,и1), и1, г) .(7) Введем дифференциально-алгебраическую систему для функции р(1) с условиями (5),(6) в форме:

р (г) = - Нх (р(г), х(г, и1), и1, г) - г (г), (8)

где кусочно-непрерывная величина г (1) = (г1 (г),..., гп (1)), г еТ определяется в каждый момент времени г еТ из алгебраического уравнения

(Нх (р(г), х(г, и1), и1, г) + г(г), Лх(г)) = Лх (г Н (р(г), х(г, и1), и1, г). (9) При этом по определению полагаем г (1) = 0 в случае линейности функций F, / по х, а также в случае равенства х(г,и) = х(1, и ).

Тогда в силу дифференциально-алгебраической системы (8),(9) для р(г) с начальными условиями (5),(6) формула приращения (7) принимает вид:

ЛиФ(и1) = ЛиР(х(г,и),и1) - (р(10), Ла) -- |Т (( р (г), Лх(г)) + ЛиН (р(г), х(г, и), и1, г) + Л х (г и) Н (р(г), х(г, и1), и1, г) ^ = = ЛиР(х(^,и),и1) - (р(10),Ла) --|Т (( р (г), Лх(г )) + ЛиН (р(г), х(г,и), и1, г) + +(Нх (р(г), х(г, и1), и1, г) + г (г), Лх(г ))) dt =

= ЛиР( х(11,и), и1) - (р(1о), Ла) --|Т (( р (г), Лх(г)) + ЛиН (р(1), х(г,и), и1, г) - (р (г), Лх(г)) )dt = = ЛиР( х(11,и), и1) - ( р(1о), Ла) - |Т ЛиН (р(1), х(г,и), и1, г)^ =

= -Ли {-р(х(11,и),и1) + |ТН(р(1),х(1,и),и1 №}-{р(Ч),Ла). (10)

Для удобства записи явной зависимости р(1) от управления введем модифицированную дифференциально-алгебраическую сопряженную систему в форме

р(г) = -Нх (р(г), х(г),и ,г) - г(г), (11)

Н (р(1), х(1),и, 1) + г(1), у(1) - х(0) = Лу(1 )Н(р(1), х(1),и, 1) (12) с краевыми условиями

р(0 = -Рх (х(0, и) - q, (13)

р (х(0, и) + q, у(11> - х(^)) = Лу (г1)р( х^), и), (14)

в которой по определению полагаем q = 0 , г(1) = 0 в случае линейности функций р, F, / по х (линейная по состоянию задача (1), (2)), а также в случае х(1 ,и) = х(1,и1) при соответствующих 1 еТ .

Отметим, что в линейной по состоянию задаче (1), (2) модифицированная сопряженная система (11)-(14) совпадает со стандартной сопря-

женной системой (3).

Для допустимых управлений а е О, а1 е О обозначим р(^,а1 ,а), t еТ - решение модифицированной сопряженной системы (11)-(14) при х^) = ), J(t) = х(^а), и = и1 . Из определения следует очевидное равенство р^,а,а) = у^,а), t е Т .

Формула приращения (10) в новых обозначениях, в которых указывается явная зависимость фазовых и спряженных переменных от управления, принимает вид

ЛстФ(ст7) = - Ды |-р( х(^, а), и1) +1Н (р(^ а1, а), х^, а), и1, t )dt | -

-(р(^,а< ,а),Да) . (15)

Формула (10) не содержит каких-либо остаточных членов разложений. Методы улучшения управления, основывающиеся на таких формулах, обладают свойством нелокальности улучшения и позволяют получить новые условия оптимальности, а также возможность улучшать управления, удовлетворяющие принципу максимума [2 - 4].

Используемые обозначения решений фазовых и сопряженных систем, явно указывающие их зависимость от управления, позволяют удобно интерпретировать условия улучшения и оптимальности управления как задачи о неподвижной точке определяемых операторов управления.

2. Задача о неподвижной точке на основе операций на максимум

При заданном а1 е О определим оператор Л: а ^ а* на множестве допустимых управлений О следующими выражениями:

а = (и, а) ^ а* = (и*, а*),

( \

и = а^тах

иеи

-ф( х(^, а), и) +1Н (р(^ а1, а), х(^ а), и, t)dt

Т

аеЛ

а* = а^тах/р^0,а' ,а),а).

Рассмотрим задачу о неподвижной точке а = Л(а) для рассматриваемого оператора Л*, которая определяется следующей системой уравне-

ний:

( \

и = а^ тах

иеи

x(t1, а), и) +1Н (р(^ а1, а), x(t, а), и, t )dt

Т

t еТ, (16)

а = а^тах(р^0,а ,а),а). (17)

аеЛ '

Предположим, что задача (16)-(17) имеет решение а11 = (и11, а11), (возможно не единственное). Тогда, в силу определения отображения Л*, получаем

Аня \-ф(х(^,оп),и1) + JH(p(t,a',и"),x(t,on),и1,t)dtj> 0, t е T,

(p(t0,^,и"),a11 - a^ > 0. Отсюда и из формулы (15) следует ДиЯФ(и7) < 0 .

Таким образом, предлагаемый метод улучшения управления и1 ей, состоит в решении задачи о неподвижной точке (16) - (17). Для решения задачи о неподвижной точке

и = А*(и), ffeQ, (18)

можно использовать метод простой итерации при k > 0 [5]:

ик+1 = А\ик), и0 ей. (19)

Расчет задачи о неподвижной точке производится до первого улучшения исходного управления и1. Далее строится новая задача улучшения для полученного управления и" и расчет повторяется. Критерием остановки служит условие

|ф(ия)-Ф(и7 )| <е|ф(и7)|, где е > 0 - заданная точность расчета.

3. Пример (задача идентификации)

В качестве примера рассмотрим метод улучшения в задаче идентификации динамических систем.

Пусть на фиксированном отрезке времени T = [t0, t1] конечной длины известны выходные характеристики х(t) = (x1(t),...,xn(t)) динамического объекта. Пусть заданы система дифференциальных уравнений

X(t) = f (x(t),и,t), x(t0) = a, и = (и, a), и е U, a е А (20)

и функционал

1(и) = 1Y Л (x, (t) - X (t))2dt ^ min, (21)

J ией

t , =1

l0

характеризующий близость решений x(t) системы (20) к функции X(t) на отрезке T . В качестве подынтегральной функции здесь выступает средневзвешенная квадратичная ошибка с весовыми коэффициентами

Л е R, i = 1, n . Предполагаются выполненными условия непрерывности функции f (x,и,t) вместе с их производными по переменным x, и . и = (и, a) - допустимое управление со значениями в Q = U х А . U с Rm, А с Rn - замкнутые и выпуклые множества.

Задача состоит в поиске таких управляющих параметров и* = (и*, a ), на которых функционал (21) принимает наименьшее значение.

Функция Понтрягина и дифференциально-алгебраическая сопряженная система здесь принимают вид:

H(p, х,u,t) = (p,f(x,u,t))-£4(x - x(t))2 , (22)

i= 1

p (t) = -Hx (p(t), x(t), u, t) - r (t), (23)

(Hx (p(t), x(t),u, t) + r(t), y(t) - x(t)) = Ay(t)H(p(t), x(t),u, t), (24) P(ti) = 0. (25)

Для допустимых управлений и е Q, и7 ей обозначим p(t,CT7,и), t еТ - решение дифференциально-алгебраической сопряженной системы (23) - (25) при x(t) = x(t,^), y(t) = x(t^), u = u7 .

Задача о неподвижной точке для улучшения управления и7 ей принимает вид:

u = argmax jH(p(t,и7,и),x(t,и),u,t)dt, t е T, (26)

ue^ т

a = argmax/р(^,и7,и),a) . (27)

йеА * '

Продемонстрируем работу метода улучшения на простом примере. Рассмотрим задачу:

x = u, x(0) = a, t е T = [0,1], u еи = [-1,1], aе А = [0,2]. Зафиксируем решение x (t) = t, t е T при u = 1, a = 0 и рассмотрим задачу идентификации этого решения:

1

ф(и) = j(x -1)2dt ^ min ,

J CT=(u ,a)

0

Функция Понтрягина имеет вид: H(p, x,u,t) = pu - (x -1)2. Дифференциально-алгебраическая сопряженная система:

p(t) = 2x(t) - 2t - r(t), t е T,

(-2x(t) + 2t + r(t))(y(t) - x(t)) = -(y(t) -1)2 + (x(t) -1)2,

p(1) = 0.

После упрощений система принимает вид:

p(t) = 2x(t) - 2t - r(t), t е T, (y(t) - x(t) + r (t))(y(t) - x(t)) = 0,

p(1) = 0.

Если y(t) = x(t), то по определению r(t) = 0 . Если y(t) Ф x(t), то r(t) = x(t) - y(t). В итоге получаем общую формулу для r(t):

r (t) = x(t) - y (t), t еТ . Отсюда окончательно получаем сопряженную систему в форме:

p(t) = x(t) + y(t) -2t, t еТ,

p(1) = 0.

Обозначим p(t,И,и), t еТ - решение сопряженной системы при

y(t) = x(t,o), x(t) = x(t,ol).

Задача о неподвижной точке примет вид:

u = arg max

JH(p(t,ol,o),x(t,o),u,t)dt = sign jp(t,0,o)

a = arg max

aeA

{p(t0,0 ,o) • a}

0, p(t0,ol ,o) < 0, 2, p(t0,0,o) > 0, a e [0, 2], p(t0,ol,o) = 0.

I. Рассмотрим случай и1 = (-1,2). Соответствующие и1 фазовая тра-

4

ектория и значение функционала равны х(^ и1) = 2 -1, t е Т , Ф(ст1) = —.

Сопряженная

система

при

y(t) = x(t, o) = ut + a,

x(t) = x(t, ol) = 2 -1, t e T принимает вид:

[p(t) = (u - 3)t + (a + 2),

I p(1) = 0.

Отсюда получаем p(t) = — —(t2 -1) + (a + 2)(t -1), t e [0,1].

Задача о неподвижной точке принимает вид:

u - 3

a = arg max

2

- (a + 2)

u - 3 a + 2

u = sign

3 2 Рассмотрим возможные случаи: u - 3

1. a = 0 ^---2 < 0 u +1 > 0 .

2

1.1. u = 1 ^ -

u-3

-1 > 0 ^ u < 0 (противоречие).

1.2. u = -1 ^ -

u - 3

-1 < 0 ^ u > 0 (противоречие).

1.3. u = u ^ - u—3 -1 = 0 ^ u = 0. 3

Таким образом, существует решение u = 0, a = 0.

u - 3

2. a = 2 ^ --

2

- 4 > 0 ^ u <-5 (противоречие).

u-3

3. a = a ^ -+ (a + 2) = 0.

2

„ , , u - 3 a + 2 „ u - 3 u - 3

3.1. u = 1 ^----> 0 ^---< 0 ^ u < 3.

3

3

3

2

3

4

Для возможного и = 1 получаем а = —1 (противоречие).

„ , и - 3 а + 2 „ и - 3 и - 3

3.2. и = -1 ^----< 0 ^---> 0 ^ и > 3

3 2 3 4

(противоречие).

и - 3 а + 2 и -3 и -3

3.3. и = и ^ —:--1--:— = 0 ^ —:---:—= 0 ^ и = 3 (про-

3

2

3

4

тиворечие).

В итоге получаем единственное решение а = (0,0) с траекторией x(t,а) = 0. На полученном управлении достигается строгое улучшение

Ф(а) = 1 < Ф(а1).

II. Рассмотрим случай а1 = (-1,1). Соответствующие а1 фазовая траектория и значение целевой функции равны x(t,а1) = 1 -1, t еТ,

Ф(а)=3.

Сопряженная

система

при

y(t) = x(t, и) = ut + a,

x(t) = x(t,а1) = 1 -1, t еТ принимает вид: Гp(t) = (и - 3^ + (а +1),

I p(1) = 0

Отсюда имеем p(t) = (и - 3) (t2 -1) + (а +1)^ -1), t е [0,1]

Задача о неподвижной точке: a = arg max

a

u = sign

u - 3

- (a +1)

u - 3 a +1

и - 3

1. а = 0 ^---1 < 0 и -1 > 0 и = 1 ^

2

^ 1=^ (!- 2 ]. Таким образом, существует решение и = 1, а = 0 .

2. a = 2 ^ -

u - 3

- 3 > 0 ^ u <-3 (противоречие).

u-3

3. a = a ^--+ a +1 = 0.

u - 3 u -3 3.1. u = 1 ^---1--> 0 ^ u < 3.

3

4

Отсюда получаем и = 1. Следовательно, а = 0 . В итоге получаем реше-

2

3

2

2

2

ние, совпадающее с предыдущим, а = (1, 0).

и -3 и -3

3.2. и = -1 ^---—I—-—< 0 ^ и > 3 (противоречие).

3.3. и = и ^

и - 3 ~ , „

+ а +1 = 0

2 ' и - 3 и - 3

^--+-= 0 ^

и - 3 а +1 „ 3 4

=0

32

^ и = 3 (противоречие).

Таким образом, имеем единственное решение а = (1,0), x(t,а) = t, Ф(а) = 0, которое является оптимальным в рассматриваемой задаче идентификации.

Заключение

Предлагаемый метод сводит решение задачи параметрической оптимизации к последовательному решению конструируемых задач о неподвижной точке специального оператора управления.

В отличие от стандартных градиентных методов рассматриваемый метод характеризуется следующими особенностями:

1) нелокальность улучшения управления, т.е. улучшение гарантируется не только в достаточно малой окрестности улучшаемого управления;

2) отсутствие трудоемкой операции варьирования управления по малому параметру в окрестности улучшаемого управления для обеспечения свойства улучшения.

Указанные особенности являются существенными факторами повышения вычислительной эффективности решения задач параметрической оптимизации динамических систем.

Литература

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. — 392 с.

2. Булдаев А.С. Метод неподвижных точек в задачах параметрической оптимизации систем / А.С. Булдаев, И.-Х. Д. Хишектуева // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 12. — С. 5-15.

3. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления.— М.: Физматлит, 2000. — 160 с.

4. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008.— 260 с.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.— 432 с.

References

1. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [The Mathematical Theory of Optimal Processes]. Moscow: Nauka Publ., 1976. 392 p.

2. Buldaev A. S., Khishektueva I.-Kh. D. Metod nepodvizhnykh tochek v zadachakh parametricheskoi optimizatsii sistem [Method of Fixed Points in Problems of Systems Parametric Optimization]. Avtomatika i telemekhanika -Automation and Telecontrol. 2013. No. 12. Pp. 5-15.

3. Srochko V. A. Iteratsionnye metody resheniya zadach optimal'nogo upravleniya [Iterative Methods for Solving Optimal Control Problems]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2000. 160 p.

4. Buldaev A. S. Metody vozmushchenii v zadachakh uluchsheniya i optimizatsii upravlyaemykh system [Perturbation Methods in Problems of Improvement and Optimization of Control Systems]. Buryat State University Publ., 2008. 260 p.

5. Samarskii A. A., Gulin A. V. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow: Nauka Publ., 1989. 432 p.

Хишектуева Ишин-Хорло Дамбадоржиевна, инженер-программист Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации Бурятского государственного университета, email: [email protected]

Ishin-Khorlo D. Khishektueva, Software Engineer, Scientific-Educational and Innovative Center for Systems Study and Automation, Buryat State University.