Алгоритм оптимальной корректировки процесса развертывания сложных технических комплексов космической инфраструктуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

УДК 623.46

DOI 10.26732/2618-7957-2018-1-10-16

АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОЙ КОРРЕКТИРОВКИ ПРОЦЕССА РАЗВЕРТЫВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ КОСМИЧЕСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ

А. А. Толмачев1, В. Ф. Волков2, А. С. Андрианов2

1Военная академия воздушно-космической обороны имени Маршала Советского Союза Г. К. Жукова,

г. Тверь, Российская Федерация 2Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Российская Федерация

Рассматривается задача управления расходом ресурсов в процессе развертывания сложных технических комплексов, таких как малогабаритная модульная квантово-опти-ческая система «Сажень-ТА». Развертывание сложных технических комплексов для их применения по целевому назначению обычно ограничено жесткими директивными сроками, поэтому любая задержка недопустима. Ее устранение может быть реализовано чаще всего только за счет привлечения дополнительных ресурсов на последующих этапах. Разработанный алгоритм базируется на принципе оптимальности Р. Беллмана, позволяющем разрабатывать гибкую программу управляющих воздействий, зависящих от конкретного исхода каждого этапа, длительность которого превысила заданный норматив. Данная программа может быть реализована в соответствующих системах поддержки принятия решений, а также включена в имитационные модели процессов развертывания и применения квантово-оптической системы «Сажень-ТА». В статье описывается детальный алгоритм оптимальной корректировки, соответствующий нормальному распределению продолжительности каждого из этапов. Оперативные характеристики развертывания сложных технических комплексов определяются требованиями вышестоящих уровней управления, а специфика задач, решаемых потребителями, может ограничить функционирование сложных технических комплексов пределами одного технологического цикла. На практике из-за влияния случайных или неучтенных факторов всегда существует риск не уложиться в заданный заказчиком срок. Один из возможных подходов к расчету данных рисков заключается в последовательном уточнении значений вероятностей успешного выполнения задачи развертывания с учетом фактического времени, затраченного на предыдущие этапы.

Ключевые слова: адаптивная корректировка, развертывание, инновационная космическая инфраструктура, ретроспективная развертка, принцип оптимальности, условно-оптимальное управление, дополнительные ресурсы.

Введение

Рассмотрим процесс управления развертыванием сложных технических комплексов (СТК), функционирующих по жесткому временному регламенту. Оперативные характеристики развертывания СТК определяются требованиями вышестоящих уровней управления, а специфика задач, решаемых потребителями, может ограничить функционирование СТК пределами одного технологического цикла. На практике из-за влияния случайных или неучтенных факторов всегда существует риск не уложиться в заданный заказ-

© Толмачев А. А., Волков В. Ф., Андрианов А. С., 2018

чиком срок. Один из возможных подходов к расчету данных рисков заключается в последовательном уточнении значений вероятностей успешного выполнения задачи развертывания с учетом фактического времени, затраченного на предыдущие этапы.

Постановка задачи

Обозначим гпл плановое (нормативное) значение продолжительности всего цикла развертывания системы; - продолжительность /-го эта-

N

па, / = (1, Л), т. е. =

г=1

Будем полагать, что параметры распреде- где

N

ления величин и т = однозначно связаны с соответствующими директивными характеристиками.

Пусть первыйэтап процесса развертывания

* * пл

был реализован за время , причем ^ > ^ , т. е. величина ^ > ?1пл - это величина задержки (опоздания), и продолжительность выполнения задачи развертывания подлежит уточнению:

¿1 = = + 4 + ?з +••• + *м [1]. '1

Обозначим 1 -у{> = - риск невыполнения требований потребителя (заказчика) по сроку развертывания малогабаритной модульной квантово-оптической системы (ММКОС) «Сажень-ТА». Применив аппарат теории вероятностей, получим:

(V-)

1 ® - N / \

^ е 1 = ^*ГР>(х;\к.))^

—<Ю V

Задача оптимальной корректировки процесса развертывания формулируется следующим^ образом. Требуется определить такие значения У^к ^ вектора корректировок на каждом этапе, для которых минимизируются дополнительно привлекаемые ресурсы при ограничении на риск невыполнения задач развертывания в заданный срок [3].

^ (Г< *2>,..., 7{ Кы}) = = шш As(г^,..^) (1)

при ограничениях:

1 ( ) = 1ДИР'

у)((4) = 1дир; Ф,) (0=Ф?2 (*,(А{к2)+));

у

^пл

ф,* = |ф51 (*

где

У* =

1 г- М",) 2п

ум-1 ((, • • •, ^{км) ~1 дир;

да . N

Ге~^—'ёы * Пе]ыхф? (х;А/г Л ёх. (Л ( Л

1 и ^ {КV Фм-1 (?) = Ф^м_1 (<>(АКм-г)+ 7(км_)^) •

При невыполнении неравенства у > > удир, где удир - директивное значение, на оставшихся этапах необходимо проведение дополнительных оперативных мероприятий по обеспечению гарантированного выполнения задачи развертывания с требуемой вероятностью удир в заданный срок гпл. В результате этих мероприятий в конечном счете произойдет корректировка параметров А(к) оставшихся этапов. В данной статье ограничимся рассмотрением корректировки только одного последующего этапа.

Обозначим У к ^ дополнительно привлекаемые ресурсы, т. е. А'= А^ + У^к )'; /2) -функция зависимости стоимости А5(2) корректировки от значений дополнительных ресурсов, т. е. ^ 2) = /< ) [2].

Тогда вектор корректировок должен обеспечивать выполнение равенства у ( = удир.

Пусть реализовано (V - 1) этапов, т. е.

М)

■ = 2,.

V1)

г=1

тогда риск невыполнения задачи развертывания в заданный срок с учетом исхода (V - 1)-го этапов определяется по формуле

Специфика данной задачи оптимизации (многоэтапность процесса, случайный характер исхода каждого этапа, зависимость исхода этапа от корректировки параметров распределения его продолжительности, аддитивность показателя (1) делают естественным обращение к алгоритмам стохастического динамического программирования для получения решения задачи. Для некоторых законов распределения величин и небольшого числа этапов решение может быть получено аналитически. Покажем это на примере четырех-этапного процесса развертывания для варианта нормального закона распределения продолжительности величин I:.

Параметр состояния

Проведем следующие рассуждения. Пусть реализован первый этап, он продолжался t]_ единиц времени и вероятность у* оказывается меньше заданной удир.

Надо полагать, что стоимость дополнительных ресурсов, выделяемых и используемых на 2-м пропорциональна величине «опоздания»

Я

:1 (*)*>

жре пр - тх) . Пусть М р "

после корректировки параметров р2 ] реализован 2-й этап и у2 < у.

11

№ 1 (23) 2018

Том 2

12

Тогда стоимость дополнительно используемых на 3-м этапе ресурсов будет пропорциональна суммарной величине «опоздания»: - щ + {* - т2). Аналогично, 4) ~ - т1 + Ь* - т2 +I* - т3.

Выберем в качестве параметра состояния х величину «опоздания». Это дискретная случайная величина, принимающая значения:

X = Ч - т{;

х2 = ^ - т1 + {2 - т2;

х3 = ^ - т1 + {2* - т2 + % - т3

д^ ~ {* -г™ =

Ъ =-

Ф

2Х - - т2 - т3 - т4

£

р У2 + . + . •л/2 ,

+1

2 х ч где Ф (х) = -2= {в' +С v ' 0

При у* < у:

т2 = т2 + у1, а2 = а2 + у[, т.е. Г(к2) = УхУх .

Ф

2\ -т - т2 - У\ -т3 -т4

ст2+ у] I +с>2+а2

V Vх ' У

•72

-=1

= Ъ

или у = V! (У1, ** ) .

\ ** * . ' . ** Пусть ¿2 = t 2 = t2(у1,у1) . Вероятность у2

равна:

Ф

^ ПЛ п* ^

7 -'2 -т3 -т4

л/сГ+ССС^ -С2Т

+1

= Ъ 2

Введем пснятие «2уммарного показателя затрат на корректировку», после реализации и корректировки третьего эта а н равен:

■ 2,3 (Ъ'УъУх У ,у2 ) =

= А?1'

' ( х1, У1 ,У1) + У >У2),

(8)

где компоненты у2, у2 вектора корректировки на третьем этапе удовлетворяют равенству:

(2)

Алгоритм динамической корректировки

Вероятность своевременного информационного обеспечения с учетом исхода ^ первого этапа равна:

Д2)

(

Ф

А

- - '2 - т3 - У2 - т4

с3(ив+У2) + и4

2 ^

+1

(9)

(3)

(4)

, , Затраты, на 1 корректировку равны: А.?^ ' = Ат -I х^т^д), а компоненты вектора корректировки должны удовлетворятьравенству

/ А

(5)

| / \ или У2 = V 2 (У2> *1> г2 ) .

Аналогично рассуждая, получим задачу определения оптимальных (в смысле выбранного критерия) значений вектора корректировки. Заметим, что обратить в минимум величину ц2 3 4 нельзя, т.к. при любой нашей корректировке суммарные затраты ц2 3 4 (а также и затраты А?^ на каждом шаге) остаются случайной величиной. Однако мы можем выбрать такую корректировку, при которой среднее значение М Цт^ 3 4 | стоимости дополнительно используемых ресурсов будет минимально [4, 5].

Функция

дополнительных затрат

*

Пусть ^ = ^ . Чтобы «уложиться» в заданное время гпл, нужно каким-то образом распределить «опоздание» Х( = I* — т* по оставшимся этапам. Если мы хотим компенсировать это «опоздание» х1 на втором этапе, то, очевидно, должны проводить такую корректировку параметров распределения его продолжительности, которая уменьшит и математическое ожидание 12, и среднеквадрати-

ческое отклонение а, т.е. должно быть:

А t2 = 12-12 < 0, Лст£2 =°\2 < °

(6)

При этом очевидно, что стоимость корда модулям величин

ректировки щзопорциональна

Т2,а1 , т. е. А/2) ~ |/2|; А/2)

Но Аг2 = уъ Ат- = у 1.

При у2 <: у:

т '3 = у2,о '3=о3+у2;

К3) = у2у2 ;

А?(3) =

(Х-,У2, у 2 )•

Можно доказать, что среднее значение суммарного показателя эффективности корректировки равно: ^ 2,з,4 ( Хи 5 у2г , уз, ) =

= ]ГСуХХу+ о^у 2У+ суА° у;,

У=1

где

X = ¿i* - Щ, У1 = Wi (У1, t* ),

x2 = x+Уl, У2 = w 2 (y 2, tl*, ¿2*),

' / * ** *** \ x3 = x2 + У2, Уз = W (Уз, ^ ¿2 , ¿3 ) •

при Уз у =Уз ( Уз у, 4 ) •

Величина (2(х2) определяется так же, как (^(х^, однако на вспомогательные переменные У21, У 21 на-

у21,г*,г2 ),

а на вспомогательные переменные ^22, У22 используемые для определения (1(х3), - ограничение

У22 = ^з (У22, Ь, С С ) :

Лу(3)(*2> У21' У21 ) + Ш (*3 )

ц2 (х2 )= mil!

У21' У21

. / 2 22 \ У21 = W2 (У21' ¿1 > ¿2 ) > *2 = *1 + У1у •

( X3 )= ml1? 4)( x3' У22' У22 );

У22, y22

У22 = ^3 (y22' ' ^2 ' ^3 ) ' X3 = X2 + У22'

Составление и решение рекуррентных функциональных уравнений

Сформулируем задачу оптимизации корректировки процесса развертывания для рассматриваемого примера. Требуется определить такие значения у,у,у2,у2,у3,у3 компоненты вектора корректировки на каждом шаге, которые дают ми- Рекуррентные соотношения (14), (15), (16)

нимум среднего суммарного показателя затрат на соответствуют ретроспективной развертке (обрат-

(15)

(16)

корректировку (10):

П2,3,4 (Х1' y1> У1' У2' У2' y3' У3 ) = = ^ (Х1' У' У' У2> У2' У3' У3 ) = Ц

при ограничениях:

у1 = Vi (Ух,h ),

(* ** \ У2,h ),

' / * ** *** \ .Уз =^3 (Уз^ ¿1 , ^2 , ^3 ) •

ному ходу) алгоритма, а значения:

у3 у ( Х) ' У 3 у ( Х ) ' У2у = у21' У 2у =

= У '21, У1 у ( Х) = У22' У \у ( Х) = У '22

являются условно-оптимальными значениями компонентов вектора корректировки [6].

Решив последовательно функциональные уравнения (14), (15), (16), при х = х = - , определяем минимальные средние дополнитель-(11) ные затраты на развертывание:

( = (з(х1). (17)

Затем, построив прямую развертку (прямой Для отыскания решения задачи введем в рас- ход алгоритма), определяем оптимальные значения компонент вектора корректировки [7].

Оптимальная корректировка на 2-м этапе:

смотрение функцию:

^n (*) = min П2Д...,N (* Ух, Уи-> Ум-х, Уы-1)• (12)

{Y}

Пусть Цх(х) - средние минимальные затраты на корректировку программы работ в одношаго-вой операции, начинающейся в состоянии х. Для второго этапа (первого шага):

(х)= min ^2)(^ Уху, Уху ) (13)

У1 у, У1 у

при y y =Vi (yXy, t[ ).

Далее переходим к 2-шаговой операции:

^2 (Х) = т1П ^ У2у ) + (x2)

У2 y ( x ) У2 y ( x )L

и к 3-шаговой операции, объединяя при этом 2-й и 3-й шаги в один шаг. Тогда в соответствии с принципом оптимальности

^3 (Х)= mil? As(2)(X2, ^31. У31 +^2 (x2 )) (14)

Уъ\>У31

Ух = Уэ (), У х = У 'э ( хх) • Оптимальная корректировка на 3-м этапе:

у2 = У2 у ( X ),

У '2 = У '2у ( X ) • Оптимальная корректировка на 4-м этапе:

Уэ = Уху (X),

У 3 = у X у ( *х) •

Пример работы алгоритма

Рассмотрим пример работы алгоритма оптимальной корректировки процесса развертывания сложных технических комплексов космической

(18)

(19)

(20)

13

№ 1 (23) 2018

Том 2

плуатационной практики. Проведем моделирование процессов развертывания по 200 раз, каждый без коррекции и с ней. Усреднённые результаты моделирования показаны на рис. 1.

Как видно из результатов, после корректировки плана развертывания время первого этапа развертывания превышает директивное на 30 %, как и без корректировки, а время второго и третьего этапов снизилось на 10 % и 20 % соответственно. Таким образом, время развертывания уменьшилось с 2,5 часа до 2,2 часа.

Заключение

Из вышеизложенного метода управления следует, что найденная оптимальная корректировка (18-20) является адаптивной и зависит от того, как будет развиваться случайный процесс развертывания.

Мы не определили жесткую «программу корректировки», но указали для каждой фазы процесса то «управление», которым следует отвечать на любой случайный исход предыдущей фазы.

Представленный алгоритм может быть переработан для других видов закона распределения продолжительности каждой из фаз, а также для вариантов с перестановкой этапов (например, вследствие изменения приоритетов или при целенаправленной рандомизации чередования фаз) [8, 9, 10]. Точность оценивания выигрыша от оптимизации в основном будет определяться степенью адекватности зависимостей, используемых при расчете затрат Дт '.

Список литературы

1. Александров А. Э., Якушев Н. В. Стохастическая постановка динамической транспортной задачи с задержками с учетом разброса времени доставки // Управление большими системами. М. : ИПУ РАН, 2006, вып. 12-13. С. 5-14.

2. Бородинова И. А., Сараев Л. А. Стохастические транспортные задачи // Вестник Самарского госуниверситета. 2010. Вып. 7 (81). С. 1-20.

3. Грушин Д. А. Построение модели идентификации рисков при реализации компонентов системы // Системы управления бизнес-процессами. 2014. № 13. С. 10-15.

4. Иконникова А. Д., Соколов Б. В. Динамическая модель планирования, модернизации и функционирования информационной системы // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2008. № 11. С. 62-69.

5. Петухов Г. Б., Якунин В. И. Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем. М. : АСТ, 2006. 502 с.

6. Толмачёв С. Г. Принятие проектных решений на основе нечеткого отношения предпочтения // Информационно-управляющие системы. СПб., 2014. № 5 (72). С. 42-51.

7. Фридман А. Я., Курбанов В. Г. Ситуационное моделирование надежности и безопасности промышленно-при-родных систем // Информационно-управляющие системы. СПб., 2014. № 4 (71). С. 32-41.

8. Лясковский В.Л. [и др.]. Общесистемное проектирование и содержание работ по проектированию АСОИУ : учеб. пособие. Тверь : ВА ВКО, 2010. 188 с.

9. Наблюдение и измерение характеристик космических объектов : учеб. пособие / В. Н. Алдохина, А. А. Бабишкин, В. О. Королев, Д. А. Рогов, Р. В. Катюха ; под общ. ред. В. Н. Алдохиной. СПб. : ВКА имени А. Ф. Можайского, 2016. 174 с.

14

■ без корректировки

■ с корректировкой

Рис. 1. Время этапов развертывания до и после корректировки

инфраструктуры. При помощи имитационного моделирования создадим две модели развертывания сложных технических комплексов космической инфраструктуры, таких как ММКОС «Сажень-ТА», при этом в одной из моделей будет применен алгоритм корректировки. Процесс развертывания данных комплексов согласно эксплуатационной документации производится в три этапа: 1) выбор места установки комплекса; 2) установка комплекса на выбранном месте; 3) настройка и начало работы комплекса. На каждом из этапов комплекс подвержен ряду случайных событий, замедляющих развертывание комплекса и приводящих к срыву плана по развертыванию. Согласно эксплуатационной документации время на развертывание составляет 2 часа: первый этап - 1 час, второй и третий этапы - по 30 минут, соответственно вероятность выполнения задачи за это время должна равняться 1. Средние вероятности событий, задерживающих развертывание, и время задержек были получены в ходе полевых испытаний и экс-

10. Волков В. Ф., Толмачев А. А. Методика обоснования рационального варианта системы информационного обеспечения АСУ специального назначения // Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли. СПб., 2014. № 5. С. 52-59.

История статьи

Поступила в редакцию 6 марта 2018 г. Принята к публикации 9 апреля 2018 г.

ALGORITHM OF OPTIMAL CORRECTION OF THE PROCESS OF DEPLOYMENT OF COMPLEX TECHNICAL COMPLEXES OF

SPACE INFRASTRUCTURE ^

A. A. Tolmachev1, V. F. Volkov2, A. S. Andrianov2

1Military Aerospace Defense Academy, Tver, Russian Federation Military Space Academy, Saint Petersburg, Russian Federation

The problem of resource consumption control in the process of deployment of complex technical complexes, such as small-sized modular quantum-optical system "Sazhen-TA" is considered. The deployment of complicated technical complexes for their use for the intended purpose are usually limited to hard policy terms, therefore, any delay is unacceptable. Its elimination can be realized, most often, only by attracting additional resources in the subsequent stages. The developed algorithm is based on the principle of optimality of R. Bellman, which allows not to determine the final plan of correction, but to develop a flexible program of control actions that depend on the specific outcome of each stage, the duration of which exceeded the specified standard. This program can be implemented in appropriate decision support systems, as well as included in the simulation models of the deployment and application of quantum-optical system "Sazhen-TA". The article describes a detailed algorithm of optimal correction corresponding to the normal distribution of the duration of each stage. Operational characteristics of expansion of difficult technical complexes are defined by requirements of higher levels of management, and the specifics of the tasks solved by consumers can limit functioning of difficult technical complexes to limits of one production cycle. In practice because of influence of random or unaccounted factors there is always a risk not to meet the deadline set by the customer. One of possible approaches to calculation of these risks consists in consecutive specification of values of probabilities of successful performance of a problem of expansion taking into account the

actual time spent for the previous stages.

Keywords: adaptive adjustment, the deployment of innovative space infrastructure, the retrospective scan, principle of optimality, conditionally-optimal control, additional resources.

References

1. Aleksandrov A. E., Yakushev N. V. Stokhasticheskaya postanovka dinamicheskoy transportnoy zadachi s zaderzhkami s uchetom razbrosa vremeni dostavki [Stochastic statement of the dynamic transport problem with delays taking into account the spread of the delivery time ]. Upravleniye bol'shimi sistemami. Moscow, IPU RAN, 2006, no. 12-13, pp. 5-14. (In Russian)

2. Borodinova I. A., Sarayev L. A. Stokhasticheskiye transportnyye zadachi [Stochastic transport problems ]. Vestnik Samarskogo Gosuniversiteta, 2010, no. 7 (81), pp. 1-20. (In Russian)

3. Grushin D. A. Sistemy upravleniya biznes -protsessami [Building a risk identification model for the implementation of system components], 2014, no. 13, pp. 10-15. (In Russian)

4. Ikonnikova A. D., Sokolov B. V. Dinamicheskaya model'planirovaniya, modernizatsii i funktsionirovaniya informat-sionnoy sistemy [Dynamic model of planning, modernization and functioning of the information system ]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroyeniye, 2008, no. 11, pp. 62-69. (In Russian)

5. Petukhov G.B., Yakunin V.I. Metodologicheskiye osnovy protsessaproyektirovaniya tselenapravlennykh protsessov i tseleustremlennykh sistem [Methodological basis of external design of purposeful processes and purposeful systems]. Moscow, AST Publ., 2006. 502 p.

6. Tolmachov S.G. Prinyatiye proyektnykh resheniy na osnove nechetkogo otnosheniya predpochteniya [Adoption of design solutions based on a fuzzy preference relation]. Informatsionno-upravlyayushchiye sistemy, Saint-Petersburg, 2014, no. 5 (72), pp. 42-51. (In Russian)

16

№ 1 (23) 2018

TOM 2

7. Fridman A. YA., Kurbanov V. G. Situatsionnoye modelirovaniye nadezhnosti i bezopasnostipromyshlenno-prirodnykh sistem [Situational modeling of reliability and safety of industrial natural systems]. Informatsionno-upravlyayushchiye sistemy, Saint-Petersburg, 2014, no. 4 (71) pp. 32-41. (In Russian)

8. Lyaskovskiy V. L. e.a. Obshchesistemnoye proyektirovaniye i soderzhaniye rabot po proyektirovaniyu ASOIU: uchebnoye posobiye [System-wide design and maintenance of design works of ASOIU: a tutorial]. Tver', VA VKO Publ., 2010, 188 p.

9. Aldokhina V N., Babishkin A. A., Korolev V. O., Rogov D. A., Katyukha R. V. Nablyudeniye i izmereniyekharakteristik kosmicheskikh ob"yektov: uchebnoye posobiye [Observation and measurement of the characteristics of space objects: a tutorial]. Saint-Petersburg, VKA imeni A.F. Mozhayskogo, 2016. 174 p.

10. Volkov V.F. Tolmachev A.A. Metodika obosnovanija racional'nogo varianta sistemy informacionnogo obespechenija ASU special'nogo naznachenija [The method of substantiation of a rational variant of the information system of the special purpose ACS]. Naukojomkie tehnologii v kosmicheskih issledovanijah Zemli, Saint-Petersburg, 2014, no. 5, pp. 52-59. (In Russian)

Article history

Received 6 March 2018 Accepted 9 April 2018