Алгоритм определения средней длины очереди системы массового обслуживания через обобщенную формулу Хинчина - Поллячека Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ ОЧЕРЕДИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ЧЕРЕЗ ОБОБЩЕННУЮ ФОРМУЛУ ХИНЧИНА - ПОЛЛЯЧЕКА Б.Я. Лихтциндер, И. С. Макаров

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

443100, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23

Рассматривается стационарный ординарный поток заявок, поступающих на обработку в систему массового обслуживания. Определяется средняя доля недообслуживания через корреляционные моменты числа заявок на интервалах обслуживания.

Ключевые слова: система массового обслуживания; теория массового обслуживания; анализ трафика.

При анализе систем массового обслуживания (СМО) наиболее часто применяются две вероятностные характеристики распределения. Это распределение интервалов и между соседними заявками и распределение интервалов времени обработки заявок 2 .

На основе указанных распределений легко определяются параметры

р = 2 и у; = А-v (т)2

входящие в формулу Хинчина - Полячека:

= р2(1+у2,), (1)

_ 2(1 - р) _

где q - средняя длина очереди; т - среднее время обслуживания заявки; v - средний интервал между соседними заявками; D2 - дисперсия времени обработки заявок.

Существенным ограничением формулы (1) является ее применимость исключительно к простейшим потокам, для которых интервалы между заявками распределены экспоненциально.

Имеется много попыток модернизации формулы (1) с целью ее применения для неэкспоненциальных потоков заявок [1]. Однако все полученные результаты применимы лишь для слабо изменяющихся входных потоков, для которых коэффициент вариации интервалов между заявками не превышает единицу. Современные мульти-сервисные телекоммуникационные сети имеют входные потоки пакетов, для которых коэффициент вариации в несколько раз превышает единицу. К таким потокам применение аналитических соотношений, указанных в [1], становится невозможным.

Вместе с тем Л. Клейнроком [2] показано, что длина очереди одноприборной СМО в общем случае определяется случайной величиной m - числом поступивших заявок, приходящихся на одну обработанную заявку.

Рассмотрим предлагаемый алгоритм [3] на конкретном примере. Предположим, что все заявки, поступающие в СМО, имеют одинаковое время обслуживания т и алгоритм обслуживания FIFO. Поток заявок показан на рис. 1.

Борис Яковлевич Лихтциндер (д.т.н., проф.), профессор кафедры МСИБ. Игорь Сергеевич Макаров, аспирант.

Процесс обработки заявок в любой СМО всегда состоит из последовательности чередующихся периодов занятости обслуживающего прибора (прибор обрабатывает заявки) и периодов простоя, в течение которых заявки в обслуживающем приборе отсутствуют.

Предположим, что перед началом рассмотрения СМО была свободной, поэтому с приходом первой заявки период простоя завершается и начинается период занятости (заявка начинает обрабатываться обслуживающим прибором). В течение интервала временит вначале поступают четыре заявки (первая, вторая, третья и четвертая) (рис. 2).

Заявка с номером один сразу же поступает в обслуживающий прибор, а остальные три заявки становятся в очередь (рис. 3). В течение следующего интервала времени т в обслуживающем приборе находится заявка с номером два, при этом очередь уменьшается на одну заявку. Аналогичное уменьшение очереди происходит при поступлении в обслуживающий прибор заявки с номером три. В течение следующего интервала т, когда происходит обработка четвертой заявки, в СМО поступают еще две с номерами пять и шесть, которые становятся в очередь.

Так последовательно происходит непрерывная обработка всех заявок, включая заявку с номером девять. Если интервал между очередными заявками 9 и 10 окажется достаточно большим, таким, что во время обработки заявки с номером 9 не успеет поступить очередная заявка с номером 10, то непрерывный процесс обработки (период занятости) закончится и наступит период простоя. Период простоя длится до момента появления заявки с номером 10.

1 : з 4 ? в II 7 1 8 9

Номер интервала і > 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 1. Поступление заявок в систему 4|0|0|2|0|і|2 0 0

Поступившие заявки 4

3

"7 9

і 5 7 9

Номер нитсроалэ і 4 6 7

Рис. 2. Поступление заявки в течение интервалов обработки

| 3 I 2 1 1 1 > 1 0

Заявки в очереди 4

3 4 6 9

і X 3 4 5 6 7 8 9

обслуживаемые 1 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 3. Формирование очередей на каждом интервале обработки

Поступление любой заявки в систему сопровождается появлением некоторой работы, связанной со временем, необходимым на обслуживание заявки.

Обозначим число заявок, поступивших в і -й интервал т , через т. (т). Так, в течение первого интервала в систему поступило тх (Т) = 4 заявки. Поскольку первый 228

интервал начинается непосредственно после периода простоя (система свободна), заявка с номером один сразу попадает на обслуживание, а заявки вторая, третья и четвертая образуют очередь. Обозначим длину очереди, образующуюся на і -м интервале обработки, через qi (т). Следовательно, очередь на первом интервале q1(т) = 3 . Очевидно, что очередь на интервале т , предшествующем первому и расположенном в периоде простоя, q0(т) = 0 .

Из анализа рис. 3 следует простое рекуррентное соотношение

Гді (т) + ті (т) -1, если ді (т) Ф 0 или ті (т) Ф 0

ді = 1 0 ( ) ( ) 0 (2) [ 0, если qi-1(т) = ті (т) = 0.

Здесь необходимо подчеркнуть, что все переменные составляют целые, неотрицательные числа заявок.

Очевидно, что на всех участках т , соответствующих периодам простоя, значения qi (т) будут равны нулю и указанные временные участки из рассмотрения исключаются автоматически.

Однако очередь может отсутствовать и в период занятости системы, как это происходит на промежутке времени обработки заявки с номером 9, показанном на рис. 3. Об окончании периода занятости обслуживающего прибора и начале периода простоя на промежутке і свидетельствует одновременное равенство нулю величин

qi-1(т) и т(т).

Уравнения (2) могут быть объединены в одно уравнение:

qi(т) = qi-l(т)+ті(т) -8,-, (3)

где 8І = 1, если qi-1 (т) + ті (т) Ф 0 ; 8І = 0, если qi-1 (т) = ті (т) = 0 .

Обозначим Лт = р, поскольку т - это постоянное время обработки одной заявки.

Обратим внимание на то, что 8г2 = 8І; ті (т) • 8І = ті (т); qi-1 (т) • 8І = qi-1 (т).

Введем обозначение: q(т) - средняя длина очереди на всех промежутках т, включая промежутки простоя процессора.

Из соотношения (3) определим второй начальный момент.

Учитывая, что при достаточно больших значениях к (т)

Zqг2(т) = Zqг2-l(т),

і=1 і=1

а также, что 8 = Лт = р, возведя в квадрат левую и правую части (3), после соответствующих преобразований получим

к

X qi-l(т) • ті(т)

q(T)=ы----------------+т (т)-т<т>+р-тт (4,

к(т) 2 2 ^

Ут,- (т)

----- 1 N

Определим т(т) =1----------=------= р .

к(т) к(т)

Следовательно,

k

X 4г-і(т) • mi (т) 2

/ л ¡4 т Т) - т(Т)

д(т) = ^^------------------------------------------------------------+ о • (5)

к(т) 2

Определим ковариацию последовательностей дг-1(т) и ш1 (т) на интервале времени Т :

1 к ---------------- --------------

с°Ч Чг-1(т); т(т)) = ттгХ (<7м(т) - ФЖт(т) - т(т))-к (т) ¡=1

Подставляя в (4), получим

m2 (т) - т(т)

д(т)=--------2------+т(т) • q(T)+cov(qi-i(т); m(т)) •

Обозначим а(т) = т 2(т) - т(т).

Получим окончательно:

q(т) = а(т) + 2cov[q(т);т(т)] (6)

2(1 - Лт) ‘

Выражение (6) обобщает известную формулу Хинчина - Полячека и справедливо для СМО с непуассоновскими потоками заявок. В частности, для пуассоновского потока заявок зависимость между величинами qi-1 и ті отсутствует, поэтому

соу^(т); т(т)]= 0, а а(т) = Л2т2, и мы приходим к формуле Хинчина - Полячека в ее обычном виде.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 208 с.

2. КлейнрокЛ. Теория массового обслуживания / Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.

3. Лихтциндер Б.Я., Макаров И.С. Определение средней длины очереди СМО через корреляционные моменты числа заявок на интервалах обслуживания // Инфокоммуникационные технологии. - № 1. - 2011. - С. 72-77.

Статья поступила в редакцию 24 декабря 2011 г.

THE ALGORITHM OF SMS QUEUE’S AVERAGE LENGTH DEFINITION WITH SPECIAL FORMULA HINCHIN-POM.IACHIK

B.J. Lihtcinder, I.S. Makarov

Volga region state university of telecommunications and computer science 23, Lev Tolstoi st., Samara, 443100

This article is about stationary ordinary stream of the demands arriving on processing in System of Mass Service. The average share of not-for-served through the correlation moments of number of demands on service intervals is defined.

Keywords: system of mass service; queuing service; the traffic analysis.

Boris J. Lihtcinder (Dr. Sci. (Techn.)), Professor. Igor S. Makarov, Postgraduate Student.