CC BY
17Алгоритм определения частоты регуляризации в МНК идентификации импульсной и частотных характеристик
Г.П. Чикильдин, И.В. Маевский
ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет», Новосибирск, Россия.
630090, просп. Карла Маркса, д. 20.
Аннотация: Рассматривается задача идентификации импульсной и частотных характеристик по измеряемым входному и выходному сигналам посредством метода наименьших квадратов, базирующимся на интегральном уравнении свертки. В результате несложных преобразований (ограничение длительности импульсной характеристики, замена интеграла квадратурной формулой) решение интегрального уравнения свертки сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Из-за плохой обусловленности матрицы, наличия методических и инструментальных погрешностей МНК-оценки импульсной характеристики получаются очень грубыми. Для улучшения получаемых оценок применяется частотная регуляризация, суть которой в обнулении амплитудно-фазовой характеристики за некоторой частотой, близкой к максимальной частоте полосы пропускания объекта, поскольку ошибка идентификации носит высокочастотный характер. В работе предлагаются два алгоритма автоматического определения частоты регуляризации. Первый из них базируется на определении некоторого показателя, характеризующего уклонение от нуля оценки импульсной характеристики на интервале за ее эффективной длительностью. Указанный показатель определяется в итерационном процессе при изменении частоты регуляризации от задаваемых минимального значения и шага изменения. Если отношение показателя на текущем шаге к его значению на предыдущем шаге превысит некоторую наперед задаваемую величину, то итерационный процесс заканчивается и частота регуляризации определена. Во втором алгоритме, после определения оценки амплитудной частотной характеристики вычисляется отношение ее амплитудных значений в двух рядом стоящих точках (следующее к предыдущему). За частоту регуляризации принимается частота, при которой это отношение станет больше единицы в области малых (порядка 0,1 от максимального) амплитудных значений частотной характеристики. Приводятся результаты модельных экспериментов по предлагаемым алгоритмам для четырех объектов с различной степенью колебательности импульсных характеристик. Дается сравнительный анализ алгоритмов определения частоты регуляризации.
Ключевые слова: идентификация, импульсная характеристика, частотные характеристики, оценки, интегральное уравнение свертки, метод наименьших квадратов, частота регуляризации, алгоритм определения частоты регуляризации, погрешности идентификации.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] был предложен алгоритм частотной регуляризации метода наименьших квадратов (МНК) при идентификации импульсной (ИХ) и частотных (АЧХ и ФЧХ) характеристик динамического объекта.
МНК базируется на решении интегрального уравнения свертки, которое посредством элементарных преобразований сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с неточно заданной правой частью из-за методических погрешностей преобразований и наличия помех, искажающих входной и выходной сигналы идентифицируемого объекта [2,3]. Минимизация среднеквадратичного функционала приводит к алгебраической системе «усеченного» вида, без неизмеримого вектора в правой части, в результате чего можно определить лишь МНК -оценку ИХ. Среднеквадратичные относительные погрешности, возникающие при решении «усеченной» системы, достигают очень высокого уровня (порядка сотен процентов даже без помех на сигналах входа и выхода объекта) [4].
Модельный анализ показал, что указанные погрешности возникают по причине плохой обусловленности матрицы решаемой системы алгебраических уравнений, методической составляющей ошибок преобразования и в общем случае инструментальной составляющей, порожденной наличием помех. Однако, при анализе частотных свойств погрешностей идентификации, что наглядно наблюдается на оценке АЧХ, полученной путем дискретного преобразования Фурье оценки ИХ, было замечено, что спектр ошибки идентификации носит высокочастотный характер и эффективная мощность этого спектра располагается за максимальной частотой эффективной
длительности АЧХ объекта [1,4].
Существенного снижения ошибки
идентификации (примерно на два порядка) удается обеспечить за счет определения оценки ИХ из регуляризированной алгебраической системы уравнений по А.Н.Тихонову [3,4]. Однако при этом возникает проблема выбора величины параметра регуляризации, поскольку
никаких рекомендаций по этому поводу, в общем случае, нет.
Частотная регуляризация предполагает обнуление амплитудно -фазовой характеристики (АФХ) за некоторой частотой регуляризации, где начинается подъем уровня спектра ошибки идентификации и последующее обратное преобразование Фурье для получения новой, улучшенной оценки ИХ. Если обозначить частоту регуляризации как О р, а максимальную частоту
эффективной длительности АЧХ объекта через О^, то можно дать рекомендации по выбору
частоты регуляризации из условия Ор < О^ , что
наглядно иллюстрируют многочисленные модельные эксперименты на различных объектах (не колебательная, слабо колебательная, средне колебательная, сильно колебательная ИХ см. Рис. 1, 2).
Условие Ог
D-W в
некоторых случаях
позволяет при выбранной частоте Ор дать
оценку максимальной частоты О^ эффективной
длительности АЧХ объекта, что дополнительно характеризует использование частотной регуляризации с положительной стороны.
Алгоритм выбора частоты регуляризации, предложенный в [1], требует информации об эффективной длительности идентифицируемой ИХ, что связано с дополнительными исследованиями объекта, а также задания некоторых констант по неоднозначным рекомендациям.
В данной работе предлагается два подхода к выбору частоты регуляризации. Ниже изложены алгоритмы и результаты исследований по этому поводу, проведенных на модельных объектах, рассмотренных в [4].
На Рис. 1 и 2 приведены ИХ и АЧХ указанных объектов. Объекты (1), (2), (3) имеют порядок п = 4, а у объекта (4) п = 8 .
Полные результаты исследований будут приведены по объекту (3), имеющему средне колебательную ИХ, а по остальным объектам лишь основные.
•К») (3)
/(1)
\
Рис. 1. ИХ модельных объектов
о ю а эо
Рис. 2. АЧХ модельных объектов
На Рис. 3 и 4 показаны ИХ и АЧХ (сплошные линии) и их оценки (пунктирные линии), полученные классическим МНК в отсутствии помех, искажающих измеренные сигналы. Среднеквадратичные относительные
погрешности даже в этом случае составляют в„0 = 2.6825 по ИХ и еНо = 2.6712 по АЧХ.
Погрешности идентификации модифицированным МНК (с частотной регуляризацией) при частоте Ор = 28,5 р/с соответственно
ewo = 0.0120
и еНо = 0.0102, что свидетельствует об эффективности частотной регуляризации. Следует отметить, что регуляризация по А.Н.Тихонову позволила получить погрешности того же порядка, но более высокого уровня.
Рис. 3. ИХ объекта (3)
Рис. 4. АЧХ объекта (3)
С целью корректности анализа результатов по алгоритмическому выбору частоты
регуляризации приведем кривые погрешностей идентификации в зависимости от частоты регуляризации, полученные «вручную» (см. Рис. 5). Идентификация проводилась в присутствии широкополосной помехи, искажающей выходной сигнал у(0 объекта, уровня Ъут = 0.5 (отношение максимальных по модулю уровней). Входной сигнал помехой не искажался. Как следует из Рис.5 погрешности в^о «0,04 и
еИо ~ 0,03 имеют место быть в достаточно широком диапазоне изменения Ор е [21; 30] р/с
при полосе пропускания объекта юе[0, 32] р/с(третья часть полосы). Отметим, что у остальных модельных объектов качественно ситуация выглядит аналогично. Полученные результаты (широкий диапазон
квазиоптимальных значений частоты
регуляризации) существенно облегчает возможности алгоритмического выбора этой частоты.
В данной работе предлагаются два подхода для алгоритмического выбора частоты регуляризации.
Рис. 5. Влияние частоты регуляризации на ошибки идентификации
АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Первый алгоритм использует результаты по данной проблеме, приведенные в [1]. Этот алгоритм базируется на разнице ошибок идентификации, вычисляемых на эффективной длительности характеристик Кш и на всем интервале их определения N.
Последовательность функционирования
алгоритма можно представить в следующем виде.
Классическим МНК определяются оценки ИХ ) и АЧХ Н^ю).
В частотной области задается минимально возможное значение частоты регуляризации Оpmin (например Оpmin = 0), шаг изменения
ЛQp (например, AОp = 2п /(Ыр -Л/), где Ыр -
длина интервала определения ИХ, Л/ - шаг дискретизации по времени), параметр ц = 1, и запускается итерационная процедура по г = 1, 2, 3,..., на каждом шаге которой определяется г - тая частота регуляризации Оpr =Оpmin + (г-1) -Л^, = -1)-Лю ,
производится обнуление АФХ за частотой О pг, вычисляется оценка ИХ
Wor ^гО®)} , находится значение показателя
dwr
1 F
-1--I
nF - Kw k = к +1
2
work
вычисляется параметр
Цг =
лм(г-1)
и производится анализ, если цг < ц, то осуществляется переход на следующий (г + 1) шаг, если цг > ц, то итерационный процесс заканчивается и принимается Оp = (г -1) - ЛОp .
Следует отметить, что в процессе модельных исследований иногда возникала ситуация, когда параметр цг > ц при тех значениях частоты регуляризации, где наблюдался либо
нежелательный рост оценки АЧХ Н^ю) в связи с особенностями МНК, либо действительный рост АЧХ Н(ю) в связи с особенностями объекта. Поскольку Qp предполагается выбирать из условия Оp < О^, т.е. вблизи максимальной
частоты эффективной длительности АЧХ объекта, где Н(ю)« 0,01^0,10 от максимальной величины Hmax, то в процессе итераций по г осуществляется поиск Н^^ путем вычисления Н (Оp(г+1)) и сравнения с Н (Оp). При этом,
останов итерационной процедуры по г из условия цг > ц следует осуществлять только в случае, если Н (Qp)/Hmax < 0,1
В данном алгоритме, в отличие от предложенного в [1], необходима априорная информация только об эффективной длительности ИХ Тм = (Км -1) - Л/.
В Таблице 1 приведены результаты функционирования описанного алгоритма выбора частоты регуляризации Qp для объектов (1) - (4).
На Рис. 6 показаны ИХ м(/) и ее оценка w0 (/), а на Рис.7 - АЧХ Н(ю) и ее оценка Н^ю), полученные модифицированным МНК при идентификации объекта (3) в условиях действия не коррелирующей широкополосной помехи §у(/) уровня Ъут = 0,5
(Оp = 31,0рад/с ,ем() = 0,038 , еш = 0,029).
Таблица 1
Частота регуляризации при различных помехах уровня §ут = 0,5
№ Объекта sym = 0 НЧ-помеха ШП-помеха ВЧ-помеха
- некор. кор. некор. кор. некор. кор.
(1) 32,2 32,0 31,8 31,6 30,4 31,4 31,4
(2) 33,0 31,4 31,6 31,0 30,0 31,4 31,4
(3) 31,8 31,4 31,6 30,8 30,4 31,0 31,0
(4) 31,6 31,6 31,6 31,0 30,4 31,6 31,6
Второй алгоритм выбора частоты регуляризации Ор базируется на анализе
амплитудных значений оценки Ио (ю) объекта, полученной классическим МНК.
Задается параметр V = 1. Определяется отношение
Ио(юг)
V„ =-
Нс(Юг-1)
r = 1, 2, ...
и производится сравнение, если
V-!- ¿V ,
то осуществляется переход на (г +1) шаг, в противном случае делается останов и принимается Ор = Ю(г _1).
Здесь, как и в предыдущем алгоритме, предусмотрена ситуация, связанная с увеличением амплитудных значений оценки АЧХ Ио(ю) в диапазоне частот, где И(юг)/Ишах < 0,1 Задание параметра V в виде V = 1 производится из соображения, что АЧХ объекта не может изменяться скачком вблизи частоты О^, в отличие от ее оценки и если, при
достаточно малом шаге Дю округлить величину V,., то она не будет превышать задаваемое V. Резкий подъем амплитуды АЧХ может иметь место из-за наличия резонанса, но предполагается, что это явление резонанса не происходит в области частот, где И(юг)/Итах < 0,1, т.е. вблизи верхней частоты полосы пропускания объекта. Многочисленные результаты, полученные на различных модельных объектах, иллюстрируют это положение.
В Таблице 2 приведены результаты функционирования алгоритма по выбору частоты регуляризации, а на Рис. 8, 9 характеристики и их оценки объекта (3) (Ор = 24,5 р/с, в„о = 0,034,
еИо = 0,026 , ШП-помеха, не коррелирующая с входным сигналом).
Таблица 2
Частота регуляризации при различных помехах уровня 8ут = 0,5
№ Объекта 8ym = 0 НЧ-помеха ШП-помеха ВЧ-помеха
- не кор. кор. не кор. кор. не кор. кор.
(1) 31,4 30,4 26,5 27,5 10,8 30,4 30,4
(2) 30,9 30,4 24,5 25,0 17,7 30,4 29,0
(3) 30,4 27,5 23,1 24,5 18,2 29,9 28,5
(4) 29,2 29,2 29,9 28,2 30,7 29,9 28,2
Рис. 8. ИХ и ее оценка объекта (3)
\ч Дв Сед).....
: / /
ш, р/с
Рис. 9. АЧХ и ее оценка объекта (3)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исходя из результатов функционирования приведенных методов алгоритмического выбора частоты регуляризации следует отметить, что оба метода позволяют устранить недостатки классического МНК и выбирают частоту регуляризации в диапазоне ее квазиоптимальных значений, а погрешности идентификации оказываются очень близкими.
Первый метод требует априори знание эффективной длительности ИХ
идентифицируемого объекта. Кроме того, многократное (на каждой r - ой итерации) использование обратного и прямого дискретных преобразований Фурье существенно увеличивает количество вычислительных
операций и, соответственно, время функционирования алгоритма.
Второй алгоритм лишен этих недостатков и потому его использование представляется более целесообразным.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Чикильдин Г. П. Частотная регуляризация при идентификации импульсной характеристики динамических объектов. Мехатроника, 2000. № 6. С. 8-12.
[2] Чикильдин Г. П. Идентификация динамических объектов: Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. - 88 с.
[3] Анисимов А. С., Чикильдин Г. П. Алгоритмы идентификации импульсной характеристики: Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 93 с.
[4] Анисимов А. С., Симонов М. М., Чикильдин Г. П. Исследование алгоритмов идентификации импульсной и частотных характеристик: Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 49
Геннадий Павлович Чикильдин,
к.т.н., доцент кафедры Автоматики НГТУ.
Новосибирск, 530073, просп. К.Маркса, д.20 E-mail: chikildin@cn.ru
Игорь Владимирович Маевский,
магистрант группы ААМ-17 кафедры Автоматики НГТУ.
Новосибирск, 530073, просп.
К.Маркса, д.20
E-mail: i v maevskiy@ngs.ru
Статья поступила 22 августа 2018 г.
The Algorithm for Regularization Frequency Determining by the LSM of Impulse and
Frequency Responses Identification
G.P. Chikildin, I.V. Maevskiy
с
FGBOU VO «Novosibirsk State Technical University», Novosibirsk, Russia. 630090, prosp. Karl Marx, 20.
Abstract: The problem of impulse and frequency responses identification on a measured input and output signals by least squares method which based on the convolution integral is considered. As a result of simple transformations (limiting the impulse response duration, replacing the integral by a quadrature formula), solution of the convolution integral is solution a system of linear algebraic equations. Due to the poor matrix conditioning, the presence of methodological and instrumental errors, the LSM estimates of impulse response are very rough. To improve the obtained estimates, frequency regularization is used, the essence of which is zeroing of amplitude-phase response at a certain frequency close to a maximum frequency of an object's transmission bandwidth, and since the identification error have a high-frequency nature. In this paper, two algorithms are proposed for automatically regularization frequency determining. The first of them is based on the calculation of a certain parameter which characterizing the deviation from zero of impulse response estimate on the interval after its effective duration. The parameter is determined in iterative process with a change of the regularization frequency from the set minimum value and the change step. If ratio of the parameter at the current step to its value in the previous step exceeds a certain predetermined value, the iterative process terminates and the regularization frequency is determined. In the second algorithm, after determining amplitude-frequency response estimation, ratio of its amplitude values at two neighboring points (the next one to the previous one) is calculated. The frequency at which the ratio becomes greater than one in the range of small (about 0.1 of a maximum value) values of frequency response is taken as the regularization frequency. The model experiments result on the proposed algorithms for four objects with different oscillation degrees of impulse responses are presented. A comparative analysis of the algorithms for regularization frequency determining is given.
Keywords: identification, impulse response, frequency responses, estimates, Convolution Integral, Least Square Method, regularization frequency, algorithm for regularization frequency determining, identification error.
REFERENCES
[1] Chikildin G.P. Chastotnaya regulyarizaciya pri identifikacii impulsnoj xarakteristiki dinamicheskih ob'ektov. Mehatronika, 2000. № 6. s. 8-12.
[2] Chikildin G.P. Identifikaciya dinamicheskih ob'ektov: Uchebnoe posobie. - Novosibirsk: izd-vo NGTU, 2017. - 88 s.
[3] Anisimov A.S., Chikildin G.P. Algoritmy identifikacii impulsnoj harakteristiki: Uchebnoe posobie. - Novosibirsk: izd-vo NGTU, 1996. - 93 s.
[4] Anisimov A.S., Simonov M.M., Chikildin G.P. Issledovanie algoritmov identifikacii impulsnoj i chastotnyh harakteristik: Uchebnoe posobie. -Novosibirsk: izd-vo NGTU, 1996. - 49 s.
Gennadiy Pavlovich Chikildin,
Department of Automation in NSTU, Docent, Candidate of Technical Sciences.
Novosibirsk, 530073, prosp. K.Marx, 20
E-mail: chikildin@cn.ru
Igor Vladimirovich Maevskiy,
Department of Automation in NSTU, Student.
Novosibirsk, 530073, prosp. K.Marx, 20
E-mail: i v maevskiy@ngs.ru
The paper was received on August 22, 2018
