Алгоритм метода обобщенных потенциалов для задач оптимального синтеза коммуникационных сетей при наличии неопределенных факторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.854

O.A. Косоруков1

АЛГОРИТМ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА КОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ФАКТОРОВ

В статье рассмотрена задача оптимального распределения ресурсов для задачи Гейла о спросе и предложении при наличии неопределенных факторов. Основываясь на методе декомпозиции Данцига-Вулфа и метода обобщенных потенциалов, разработанного автором ранее для детерминированного варианта задачи, построен и обоснован численный алгоритм решения.

Ключевые слова: задача о спросе и предложении, оптимальное распределение ресурсов, дискретная оптимизация, теория двойственности, метод потенциалов, метод декомпозиции.

1. Математическая постановка детерминированной задачи. Работа основана на полученных в [1] результатах и является дальнейшим развитием представленного там метода обобщенных потенциалов. Рассматривается задача синтеза сети для модели Гейла о спросе и предложении [2].

Пусть задан ориентированный граф с вершинами из множества Р = {рг, г = 1,... ,п} и дугами ] из множества Г Рассмотрим некоторую совокупность вершин А (подмножество множества Р

вершин С = {рг, г = п — т + 1,..., п}> которые назовем стоками (или пунктами потребления). Пусть оставшиеся вершины, которые будем называть промежуточными вершинами, образуют множество В = {рг, г = п + 1,... ,п — т}- Пусть каждой вер шине рг € А поставлена в соответствие некоторая неотрицательная функция фг(х) ^ 0, х € X, где X — множество допустимых распределений ресурсов. Кроме того, известны неотрицательные функции фз (х) ^ 0, задающие пропускные способности дуг сети в зависимости от выбранного распределения ресурсов. Таким образом, ресурсы распределяются как между вершинами-источниками, определяя тем самым мощности источников, так и между дугами сети, определяя их пропускные способности. Для вершин-стоков известны величины потребностей в продукте — В дальнейшем для упрощения записей будем писать г € А, г € В, г € С вместо рг € А, рг € В, рг € С.

Известно, что модель с несколькими вершинами производства и ограниченными запасами продукции может быть сведена к задаче с одним пунктом производства с неограниченным запасом продукта путем добавления некоторых дуг с заданными пропускными способностями [3]. Задача состоит в рассмотрении допустимых распределений ресурсов и связанных с ними допустимых потоков, которые за счет предложения продукта в источниках удовлетворяют потребности в продукте для стоков сети. Математическая постановка задачи имеет следующий вид:

шт У^ х,-,

X, у

з е г

У, — £ Уз = 0, г € А и В,

з ее (г) з ев(г) (1)

^ Уз — £ Уз = г € С,

зев(г) з ее (г) Уз — азХз ^ Ьз, хз ^ 0, Уз ^ 0, ] € Г,

1 Факультет Высшая школа управления и инноваций МГУ, проф., д.т.н., e-mail: kosorukovoaQmail.ru

где С (г), ^(г) — множество индексов дуг для вершины г, входящих и исходящих соответственно. Предполагаем, что а, ^ 0, Ъ, ^ 0, ] € Г.

Для линейных сепарабельных задач синтеза коммуникационных сетей данного типа автором был разработан и обоснован метод обобщенных потенциалов [1].

2. Математическая постановка задачи при наличии неопределенных факторов.

Рассматривается конечное число неопределенных факторов, влияющих на функции пропускных способностей коммуникаций сети. Математическая постановка задачи оптимального синтеза при наличии неопределенных факторов имеет следующий вид:

шт У^ ж,,

X, у

г

Е ук - Е Ук =0, г € А и В,

, еС(г) к е£(г) (2)

Е У. - Е У. ^ ^ г € С'

к€Д(г) ,€С(г)

ук - ак ж, ^ Ък, ж, ^ 0, ук ^ 0, j € Г, к = 1,...,1.

Задача (2) есть задача линейного программирования. Двойственная к ней задача имеет следующий вид:

1пах( Е йг Е - ЕЕ ^, \ге С г У

I

1 -Е $ а, > 0, j € Г, (3)

к=1

ЛП2(к) - - < 0, j € Г \ С(0), лП2(,) - ^ < 0, j € С(0), ^ ^ 0, j € Г, лк ^ 0, г € С, к = 1,..., I,

где П1 (, п^О) — индексы вершин начала и окончания дуги j соответственно.

Если для приведения ограничений к системе равенств ввести вспомогательные векторные переменные г, г1, ..., г1, размерность каждой из которых р, р = |Г|, то матрица ограничений задачи (3) примет вид, представленный в таблице, где Е — единичная матрица, /Ж — матрица инцидентности графа сети, а Ак — диагональная матрица: Ак = diag (ак,..., а^).

Матрица ограничений

Л1 31 Л2 /X2 г2 г ъ

Блочная матрица

0 А1 0 0 А2 0 Е ж (1-1)г

тт Е -Е 0 0 0 0 у1 (0...0)г

0 0 0 0 Шт Е -Е 0 у1 (0...0)г

Учитывая, что ^к ^ 0, к условиям задачи (3) можно добавить ограничения ^как ^ 1, j €

€ Г, к = 1,..., I. При этом задача (3) не изменится.

3. Метод декомпозиции задачи. Матрица ограничений задачи (3) есть блочная матрица с группой связующих строк. Для таких задач эффективно применение методов декомпозиции. Рассмотрим известный метод декомпозиции Данцига-Вулфа [4]. Не будем излагать здесь общую схему метода. Отметим только, что суть его состоит в замене решения исходной задачи решением серии задач меньшей размерности. В нашем случае на каждой итерации необходимо решать l задач следующего вида:

max К] dt\k фЦ ,

Ф \ie C je г J

1 - ^ j > 0, j £ Г, (4)

XMj) - - j < 0, j £ Г \ С (0), \kn2j - j < 0, j £ С (0),

j > 0, j £ Г, ^ 0, i £ C, k = 1,...,l,

где ЪЗ — коэффициенты, меняющиеся на итерациях.

Задача, двойственная к задаче (4), имеет следующий вид:

mm

x, y

j e г

EXj,

E yk - E yk = o, i £A u

j ec (i) j eD(i) ^

Eyi- E у3 > di, i £ C,

jeD(i) jec(i) k „k^ ^ Xk ™ ^ n „.k

yk - akj х3 ^ j, х3 ^ 0, yi ^ 0, j £ Г, k = 1,...,l. Рассмотрим множества:

Г1 = { з € Г > 0 }, Г2 =Г \ Г1.

Для 3 € Г2 имеем хз ^ —Ц/0^ = х0 ^ 0. Произведем следующую замену пвременных: хз = хЬз + х0, 3 € хз = хЬз, з € Г1. В новых переменных задача (5) будет иметь вид:

min / xj,

X, y

j e г

E yk - E yjk = 0, i £ A и В,

jeC(i) jeD(i)

E yk - E yk > di, i £ C,

jeD(i) jeC(i)

yk3 - ajXj < bk3, j £ Г1, yjk - ajXj < 0, j £ Г2, Xj > 0, yjk > 0, j £ Г, k = 1,...,l.

4. Применение метода обобщенных потенциалов. Задача (6) допускает решение методом обобщенных потенциалов, изложенным в [1]. При этом наряду с оптимальным решением (х, у) в ходе реализации метода одновременно получаем вектор (А,/Ь), являющийся решением задачи, двойственной к задаче (6). Положим = /к, 3 € Г1; /к = 1/ак, 3 € Г2.

(А, / )

Доказательство. Нетрудно заметить, что вектор (Л, д) является допустимым решением задачи (4). Пусть вектор (ж, у) есть решение задачи (5), а вектор (ж, у) — решение задачи (6). Покажем, что векторы (ж, у) и (Л, д) связаны условиями дополняющей нежесткости. Отсюда и будет следовать доказываемое утверждение.

1. Пусть ж, > 0 и j € Г1; тогда дк = , Д^а^ = 1 и, следовательно, д^а^ = 1. Если j € Г2, то

Дк ак = 12. Пусть у, > 0. Если д^ = Д^ т0 Лп2(,) -Лга1(,) - Дк = 0 и> следовательно, ЛП2(,) -ЛП1(,) - дк = 0. Если дк = Дк^о ж, = 0 и, следовательно, у, = 0.

3. Пусть ук - ак ж, < Ък, тогд а j € Г1 и, следовател ьно, дк = Дк =0- Утверждение доказано. Итак, применяя метод декомпозиции Данцига-Вулфа и вышеизложенный алгоритм, можно (Л, Д)

(Л, Д) (ж, у)

ляющийся оптимальным решением задачи (2). Рассмотрим задачу, которая является некоторой модификацией задачи (2):

шт > ж,,

х,у '

г

Е ук - Е ук < 0, г € А и В,

, еС(г) , ед(г) (7)

Е ук - Е ук ^ ^ г € C,

,ед(г) , еС(г)

ук - ак ж, < Ък, ж, ^ 0, ук ^ 0, j € Г, к = 1,...,1.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Оптимальные значения минимизируемых функций в задачах (2) и (7) совпадают. Если вектор (ж, у) есть решение задачи (7), то существует вектор (ж, у), являющийся решением, задачи (2).

Доказательство. Начнем с доказательства второго положения утверждения. Допустим,

г

Е ук - Е ук=р>

¿€Я(г) ,€С(г)

0

вершину г. Пусть Ау есть минимальный поток, протекающий по дугам данного пути. Тогда положим У = шт(Ау,р). Уменьшим величины потоков дуг данного пути на величину У. При этом останутся выполненными все ограничения задачи (7). Причем сохранятся ограничения равенства вида ^ ук - ^ ук = 0. , €Я(г) ,€С(г)

р = 0 г

потоков. Иначе — повторим процедуру выбора пути. Ясно, что применение описанного алгоритма

г

а следовательно, и для любой другой вершины. Таким образом, за конечное число шагов будет (ж, у)

А

а В — значение минимума в задаче (7). Заметим, что значения функционалов для векторов (ж, Ж) (ж, у)

А ^ В. Поскольку множество допустимых решений задачи (7) шире, чем задачи (2), то А ^ В. Таким образом, окончательно имеем А = В. Утверждение доказано.

Поскольку переход от решения (ж, Ж) к решению (ж, у) весьма прост, будем искать лишь решения (ж, Ж) задачи (7).

Запишем задачу, двойственную к задаче (7), в каноническом виде:

inaxí £ di £ \Ч - ££ ßk 6П , \ie с k=i je г k=i )

i

1 -£ ßk ak = z3, j e Г, (8) k=l

xMi) - xMj) - ßk + vjk = 0, j e г \ с(0), \kMj) - ßk + vjk = 0, j e C(0),

ßk ^ 0, zjk ^ 0, vk ^ 0, j e г, Ak ^ 0, i e A и в и с, k = i,...,l.

Эта задача отличается от задачи (3) неотрицательностью всех своих переменных. Найденное (A, ß)

дачи (8). По найденному вектору (A, ß) однозначно определяются компоненты векторов z и v. Таким образом, окончательно имеем вектор (A,ß,z,v), являющийся решением задачи (8).

(A, ß, z, v)

го множества, а, во-вторых, являться вырожденной крайней точкой. В первом случае выделим максимальную линейно независимую систему среди столбцов, соответствующих положительным

(A, ß, z, v) в

в

жительным компонентам, меньше, чем ранг матрицы системы ограничений. Тогда дополним ее

вв

приведению матрицы к треугольному виду.

Пусть b — вектор правых частей ограничений задачи (7). Из теории двойственности линейного программирования известно, что если имеется пара взаимодвойственных задач

max(b, A), AA = c, A ^ 0,

A

min(c, x), ATx ^ b,

x

и B есть базис оптимального решения одной из задач A*, то вектор x* = (BT)-lbß есть оптимальное решение другой задачи. Используя данное утверждение, в нашем случае можно утверждать, что вектор (x,y) = (BT)-lbß есть оптимальное решение задачи (7).

5. Заключение. В статье представлен метод для решения задачи оптимального распределения однородного сепарабельного ресурса в задаче линейного синтеза коммуникационной сети при наличии неопределенных факторов, основанный на методе декомпозиции Данцига-Вулфа и методе обобщенных потенциалов, разработанного ранее автором для детерминированных задач данного типа. Данный метод позволяет свести первоначальную задачу большой размерности к серии более простых задач меньшей размерности и более простых с вычислительной точки зрения, основанных на использовании эффективных алгоритмов сетевой дискретной оптимизации, описанных в [5,6]. Предложен алгоритм синтеза оптимального решения исходной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К о с о р у к о в O.A. Об одном алгоритме линейного синтеза коммуникационных сетей / / Системное программирование и вопросы оптимизации. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 174-180.

2. Гей л Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.

3. Давыдов Э. Г. Игры, графы, ресурсы. М.: Радио и связь, 1981.

4. Ц у р к о в В. И. Декомпозиция в задах большой размерности. М.: Наука, 1981.

5. Б а с а к е р Р., С а а т и Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.

6. Косоруков О.А., Давыдов Э.Г. Некоторые вопросы нелинейного синтеза коммуникационных сетей // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. № 2. С. 31^36. (К о s о г u к о V О. A., D а V у d о V Е. G. Some questions of nonlinear synthesis of communication networks // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 1986. N 2.)

Поступила в редакцию 24.04.18 После доработки 18.05.18 Принята к публикации 18.05.18