CC BY
59
1
УПРАВЛЕНИЕ И АВТОМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ ВНЕШНИХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ: ОПЕРАТОРНЫЙ
МЕТОД СИНТЕЗА Г.В. Лукьянова, В.О. Никифоров
Предложен регулятор выходной переменной линейного объекта, обеспечивающий стабилизацию объекта управления с полной компенсацией внешних детерминированных возмущений выделенного класса.
Введение
Задача компенсации внешних детерминированных возмущений имеет большое значение для теории и практики систем автоматического управления. Один из подходов к ее решению состоит в использовании принципа внутренней модели [1-4]. В соответствии с данным принципом, внешнее детерминированное возмущение рассматривается в качестве выхода автономной системы (так называемого генератора возмущений), возбуждаемого ненулевыми начальными условиями. Для полной компенсации внешнего возмущения модель его генератора должна быть соответствующим образом учтена (воспроизведена) в структуре регулятора.
В настоящее время принцип внутренней модели является хорошо разработанным для широких классов линейных [1-6] и нелинейных систем [7-9], систем с неизвестными параметрами [10-12]. Также он нашел свое применение в задачах управления реальными техническими объектами [13-16].
Однако в подавляющем большинстве публикаций принцип внутренней модели формулируется в терминах пространства состояний. С практической точки зрения это означает построение регуляторов состояния или применение в синтезированных системах специальных "расширенных" наблюдателей [5,16].
В настоящей работе представлен новый метод синтеза регулятора выходной переменной с компенсацией внешних детерминированных возмущений. Метод основан на решении специального полиномиального уравнения и предусматривает использование операторной формы записи математической модели объекта и генератора возмущения.
Постановка задачи
Рассматривается линейный динамический объект
а(р) у (г) = кв(р)и(г), (1.1)
с регулируемой переменной
У = у (г) +1(г), (1.2)
где у (г) - неизмеряемый выход объекта; р = Л / Л - оператор дифференцирования; а(р) = рп +ап_1р"-1 +ап_2 р"-2 +... + а и 0(р) = рт + Ът_хрт-1 + Ьт_2 рт-2 + ... + Ъ0 -известные нормированные полиномы; к - "высокочастотный" коэффициент усиления; и (г) - сигнал управления; / (г) - внешнее неизмеряемое возмущение. Рассматриваемая задача состоит в синтезе управления, обеспечивающего стабилизацию объекта (1.1) и нулевое значение регулируемой переменной в установившемся режиме, т.е. выполнение условия
Иш у(г) = 0. (1.3)
При решении сформулированной задачи будем полагать выполненными следующие гипотезы.
Гипотеза 1: полином P(p) является гурвицевым.
Гипотеза 2: ограниченное детерминированное возмущение f (t) имеет изображение Лапласа
F (s) = L{f (t)} = Ф\
Ф)
с известным полиномом cp(s); при этом взаимонеприводимые полиномы cp(s) и y/(s) комплексной переменной s имеют степени / и у < /, соответственно.
Вспомогательный результат
Синтез искомого управления основан на решении полиномиального уравнения специального вида. Поэтому приведем сначала вспомогательный математический результат, устанавливающий достаточные условия существования и единственности решения. Предлагаемое утверждение отличается от приведенного в работе [И], а его доказательство содержит конструктивный метод решения полиномиального уравнения рассматриваемого класса.
Лемма. Пусть заданы произвольные нормированные полиномы
S( p) = pM +5m ipm- +... + S0. A( p) = pN + aN-XpN-1 +... + ao,
где M > N . Тогда существуют единственные полиномы
R( p) = rN-ipN-1 + rN-2 pN-2 + ... + ro.
D( p) = pM -N + dM -n-ipM -N-2 + ... + d
удовлетворяющие уравнению
S(p) = A(p) D(p) + R(p). (2.1)
Доказательство леммы является конструктивным и предлагает алгоритм расчета коэффициентов искомых полиномов. Рассмотрим правую часть уравнения (2.1)
A( p)D p)+R( p) = (pN + aN-ipN -1 + .+ao)(pM-N + dM-n -ipM-N -1 +.+do) +
+rN-ipN-1 + rN-2 pN-2 + K+ro = pM + (aN-1 + dM-N-1 )pM-1 +
+ (aN-2 + aN-1dM-N-1 + dM-N-l)pM 2 + (aN-3 + aN-2dM-N-1 + aN-1dM-N-2 + dM-N-3,)pM 3 +
+ K+(a2N-M + a2N -M+1dM - N-1 +K+do)pN + ($N-l(ai>dj ) + rN-\)pN~l + K+^o(ai,dj ) + ro > где 3t (ai, dj) - постоянные коэффициенты, зависящие от ai и dj.
Очевидно, что для справедливости уравнения (2.1) коэффициенты левой и правой частей, стоящие при одинаковых степенях переменной p , должны быть равны, т.е.
SM-1 = aN-1 + dM -N-1, SM-2 = aN-2 + aN-1dM-N-1 + dM-N-2,
SN = a2 N -M + a2 N -M+1dM -N -1 + K + do, (2.2)
SN -1 =$Nn-1(a,, dj ) + rN
So =$o(ar, d¡) + ro.
Разрешая уравнение (2.2) относительно коэффициентов di и rj, находим:
ЛМ ^-1 ^М -1 aN-1, ЛМ-N-2 = ^М-2 - aN-2 - aN-1ЛМ^-1,
Л0 = ^ - a2N-M - a2N-М+1ЛМ-N-1 - к a2N-M+1Л1, (2.3)
Г, -1 = ^-1 ^N"-1 (а1, X
Го = ^0 , ).
Таким образом, формулы (2.3) устанавливают алгоритм последовательного расчета коэффициентов искомых полиномов, чем подтверждается существование единственного решения полиномиального уравнения (2.1). Лемма доказана.
Основной результат
Сформируем искомое управление в виде
и(г) = -!-^-у, (3.1)
" к в(р)в(р)?(рУ' у }
где полиномы
*(р) = гп+м-1р"+м-1 + гп+м-2р"+"-2 + к + Г0, (3.2)
Б(р) = р"-"-1 + Лп-т-2 р"-"-2 + . + ¿0 (3.3)
являются решением уравнения
8(р) = а(р)р(р)Б( р) + Я(р) (3.4)
с произвольным гурвицевым полиномом
8(р) = р 2п+ц-т-1 +52п+м-т-2 р 2п+ц-т-2 + . + ¿0. (3.5)
С учетом подстановок А(р) = а(р)р(р), N = п + ц, М = 2п + ц-т -1 из леммы следует существование единственных полиномов (3.2) и (3.3), удовлетворяющих равенству (3.4).
Для исследования свойств замкнутой системы (см. рис. 1) запишем ее уравнение
' у(г) = у (г) + / (г),
а(р)у(г) = кр(р)и(г), (3.6)
кр(р)Б(р)^(р)и(г) = - Я( р) у(г). Вычисляя преобразование Лапласа системы (3.6), получим:
У (у) = У (у) +
а(5)У(у) + 0(у) = к0(з)и (у), (3.7)
кв(у)^(у)р(у)и(у) = -адУ(у) - ад,
где У (у) = Ь[у(г)},и (у) = Ь\и (г)}, У (у) = Ь{у(г)}, а 0(у) и в(у) - полиномы, зависящие от начальных условий.
Из третьего уравнения системы (3.7) найдем управление и (у) :
и (У)=-1—£(£>— У (У) _1 ад
к ададад 4 к адад^)
Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы (1.1)
Подставим найденное управление во второе уравнение и выразим образ Лапласа выходной переменной динамического объекта:
т=__г с) - В(в) ^
Тогда образ Лапласа регулируемой переменной замкнутой системы будет иметь вид
г (в) = _ к(?) г (в) _ вс?) _ да + т.
После элементарных преобразований окончательно получаем:
г(в) = Р(?)а(в)^(в) _ В(в) _ П(в)фЩв) (3 8)
( ) 5(в) ' ( ' ) Тогда для выходной переменной замкнутой системы будем иметь
Ж) = Ж), (3.9) где функция
ст(0 = [В(в)а(в)¥(в) _ В(в) _ В(в)ф)А(в) } (3 10)
I 5(в) I .
экспоненциально затухает в силу гурвицевости полинома 5(в) .
Таким образом, из уравнения (3.10) следует асимптотическая устойчивость замкнутой системы (в силу гурвицевости характеристического полинома 5(в)), а из уравнения (3.10) - выполнение целевого условия (1.3). Следовательно, предложенный регулятор обеспечивает стабилизацию объекта управления с полной компенсацией внешних детерминированных возмущений выделенного класса.
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках тематического плана НИР СПбГИТМО (ТУ).
Литература
1. Johnson C.D. Accommodation of external disturbances in linear regulator and servomechanism problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. V. 16, № 6.
2. Francis B.A., Wonham W.M. The internal model principle for linear multivariable regulators // Applied Mathematics and Optimization. 1975, № 2.
3. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1976. V. 21. № 1.
4. Уонем М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.
5. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков Л.: Машиностроение, 1983.
6. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывных объектов. Бишкек: Илим, 1991.
7. Di Benedetto M.D. Synthesis of an internal model for nonlinear output regulation // International Journal of Control. 1987. V. 45.
8. Khalil H.K. Robust servomechanism output feedback controller for feedback linearizable systems // Automatica. 1994. V. 30. № 10.
9. Никифоров В.О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4.
10. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. № 2.
11. Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control. 1998. V. 4. № 2.
12. Nikiforov V.O. Nonlinear servocompensation of unknown external disturbances // Automatica. 2001. V. 37.
13. Buchner H.J., Hemami H. Servocompensation of disturbance in robotic systems // International Journal of Control. 1988. V. 48.
14. Никифоров В.О., Дроздов В.Н. Адаптивное управление мехатронным поворотным столом // Мехатроника, автоматизация и управление. 2002. Часть I - № 4. Часть II -№ 5.
15. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Ленинград: Машиностроение, 1989.
16. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. Санкт-Петербург: Наука, 1999.
17. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.
