CC BY
9
ш
единой базы данных сооружений сведениями о геодинамических нагрузках и блоками математического анализа с определением допустимых, расчетных показателей, коэффициента и категорий геодинамической безопасности сооружения. Предложенная технология содержания мостов применена на Академическом мосту через реку Ангара в г. Иркутске как система мониторинга геодинамической безопасности [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Быкова Н. М., Баранов Т. М. Технологии управления геодинамической безопасностью и долговечностью городских мостов // Превентивные и геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий : материа-
лы IV Междунар. геотехн. симпозиума. Хабаровск, 2011. С. 225-229.
2. Баранов Т. М. Особенности методологии мониторинга геодинамической безопасности мостов // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : материалы Третьей всерос. науч.-практ. конф. (Иркутск, 15-19 мая 2012 г.). в 2 т. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. С. 511-517.
3. СНиП 11-7-81. Строительство в сейсмических районах. Система нормативных документов в строительстве. Строительные нормы и правила // Минстрой России. М. : ГП ЦПП, 2000. 44 с.
4. Комбинированная система мониторинга геодинамической безопасности моста через реку Ангара в г. Иркутске / Н. М. Быкова, Д. А. Зайна-габдинов, В. О. Мишутин, Т. М. Баранов // Транспортное строительство 2011. №7. С. 11-13.
УДК 621.33 Лыткина Екатерина Михайловна,
к. т. н., ст. преподаватель кафедры «Электроподвижной состав», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)63-83-66
Дульский Евгений Юрьевич, аспирант кафедры «Электроподвижной состав», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-983-403-46-43
Васильев Антон Александрович,
зам. начальника мотор-вагонного депо ст. Иркутск-Сортировочный по ремонту, тел. 8-902-510-31-15
АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЁТА ОСНОВНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ В ТЕХНОЛОГИИ КАПСУЛИРОВАНИЯ ИЗОЛЯЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН ТЯГОВОГО ПОДВИЖНОГО СОСТАВА ТЕПЛОВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
E.M. Lytkina, E. YU. Dulskiy, A.A. Vasilev
ALGORITHM AND PROGRAM OF CALCULATION OF MAIN ENERGY PARAMETERS IN TECHNOLOGY OF LOCOMOTIVES ELECTRIC MACHINES INSULATION CAPSULATING BY THERMAL RADIATION USING MONTE CARLO METHOD
Аннотация. С целью исследования процесса передачи тепловой энергии в системе «инфракрасный излучатель - материал» авторами разработан алгоритм расчёта основных энергетических параметров по методу Монте-Карло.
Ключевые слова: изоляция, капсулирование, теплообмен излучением, метод Монте-Карло.
Abstract. For the study of the transfer of thermal energy in the system «infrared emitter - material» the authors have developed a basic algorithm for calculating the main energy parameters using the Monte Carlo method.
Keywords: isolation, encapsulation, heat radiation, Monte Carlo method.
Было затрачено много усилий на разработку стандартных аналитических методов решения задач теплообмена излучением. Такой подход был реализован в работе Е.М. Лыткиной применительно к технологии капсулирования изоляции лобовых частей обмоток якорей электрических машин тягового подвижного состава [1]. Это часто делалось с помощью такого числа допущений (по возможности обоснованных), которое требовалось для получения ответа, при этом терпимо относились если не к утрате справедливости решения, то, во всяком случае, к некоторой потере его точности. К числу таких допущений относятся предположения
о черных, серых, диффузных или зеркальных поверхностях, а также о непрозрачных, почти прозрачных, серых или изотермических газах. Немного задач переноса излучения решено аналитически без явного или неявного применения одного или более из этих допущений. Известен также путь исследования взаимодействия системы «излучатель -материал» с помощью составления и решения дифференциальных уравнений энергетического баланса с использованием трёх допущений при анализе этих уравнений. Метод Монте-Карло заключается в статистической выборке событий для определения среднего поведения системы и базируется на теории вероятности и математической статистике.
Основная польза от применения этого метода к анализу теплового излучения состоит в следующем: сложность программы Монте-Карло возрастает примерно пропорционально сложности задачи, в то время как трудность получения обычных решений возрастает примерно пропорционально квадрату сложности задачи, что обусловлено матричной формой записи таких задач.
Метод Монте-Карло несколько более труден в приложении к простейшим задачам, однако он наиболее эффективен при решении задач, в которых рассматриваются сложные геометрические конфигурации и учитываются переменные свойства. Применительно к сложным геометрическим конфигурациям преимущество метода Монте-Карло состоит в том, что путь данного пучка энергии описывается простыми соотношениями, в то время как в большинстве других методов требуется
явное или неявное интегрирование по площадям поверхностей. Такое интегрирование трудно выполнить для поверхностей с переменной кривизной или перекошенных поверхностей. Лобовые части обмоток электрических машин следует отнести к таким поверхностям.
Используя модель решения методом Монте-Карло задач радиационного обмена между прозрачными поверхностями, можно учесть большое количество различных эффектов в задачах излучения в газах. Это можно сделать, не прибегая к упрощающим допущениям, которые часто бывают необходимы при аналитических подходах.
Дополнительным фактором, введенным в модель радиационного обмена между излучателем и лобовой частью, разделёнными газовой средой, является длина пути, пройденного отдельным пучком излучения прежде, чем он поглотится или покинет систему [2]. Необходимые соотношения даны в табл. 1, где переменные выражены через случайные числа. Можно учесть переменность свойств газа вдоль пути пучка; например, искривляя пути пучков, можно учесть изменения показателя преломления среды, можно учесть химический состав пропиточной жидкости.
Если в процессе капсулирования сделать предположение о радиационном равновесии, то, чтобы не происходило накопления энергии, поглощение пучка средой в любой точке должно сопровождаться испусканием нового пучка в той же точке. Новый пучок можно рассматривать просто как продолжение истории поглощенного пучка до тех
Т а б л и ц а 1
Переменная Излучение Соотношение
Полярный угол в Диффузное Направленное серое Направленное несерое • о п 1/2 sin р = R 2^ «sin р-cos рЖ R= • s р ™ 2л[|Ел(л,p-)u(^)sinр- cosp'dkdp* R = 00 . р SaT4
Азимутальный угол 9 Длина волны X Диффузное Чёрное или серое Диффузное несерое Направленное несерое e = 2%R0 F = R 1 0-Л R л R = 0 . л SaT4 Л я/2 2rcJ J S¿ (л, р- )л4 (л- )sin р cos р dp Ж' R = 00 . л SaT
пор, пока не произойдет передача энергии граничной поверхности.
Для поддержания равновесия внутри системы элементарный объём dV должен испускать и поглощать одинаковый поток
* 3Яке = = Т, Р)ви (X, . (1)
Это выражение учитывает как спонтанное, так и индуцированное излучение.
В условиях радиационного равновесия интегральный поток излучения d2Qe, испускаемый элементом объема dV, описывается уравнением (1), проинтегрированным по всем длинам волн X, без учета индуцированного излучения
dQ = 4dVj axexbdX •
(2)
1-5-, (4)
оТ
где аР - средний планковский коэффициент поглощения, и подставляя (4) в (2), исключим интеграл. Затем, приравняв (2) и (3), получим
( о V'4
T =
1 dV
raS,
4a р a dV
(5)
V Р J
Это выражение позволяет определить локальную температуру в газе через параметры газа и величины, полученные путем решения методом Монте-Карло. Если аР зависит от TdV, то приходится прибегать к итерациям. Задавая в первом приближении некоторое распределение температуры, методом Монте-Карло определяют истории пучков. Затем, подставляя в (5) полученные величины, находят новое распределение температуры, которое затем используется как второе приближение. Процесс повторяется до достижения сходимости температуры.
Имеется так много эффективных вариантов этой схемы расчета, что здесь не представляется возможным упомянуть обо всех них. В одном из наиболее часто используемых способов предполагается частичное поглощение излучения в момент достижения пучком поверхности с известной по-глощательной способностью. Согласно такой схе-
ш
Кроме того, энергия пучков, испускаемых объемом, должна быть равна энергии поглощенных пучков, т. е.
* 2 бе , (3)
где w - энергия одного пучка,
SdV - число пучков, поглощенных dV в единицу времени.
| aie,bd¿
ме, энергия пучка уменьшается после каждого отражения. История пучка прослеживается до тех пор, пока не произойдет достаточное число отражений, в результате которых энергия пучка станет меньше некоторого заранее заданного уровня. Этот уровень выбирается из условия, чтобы влияние пучка в последующих отражениях было незначительным. На этом рассмотрение пучка заканчивается. Такая процедура приводит к большей точности для многих задач, так как история каждого пучка содержит в среднем значительно большее число событий и определение средних величин при заданном числе пучков производится на основе большего числа событий. Хаджи-Шейх и Спэрроу [3] предложили другие способы уменьшения трудностей, возникающих при программировании задач с учетом спектральных и направленных свойств. Можно рекомендовать использование упрощений там, где это возможно, не ограничиваясь готовыми рецептами.
Серый газ с постоянным коэффициентом поглощения заключен между бесконечными параллельными черными пластинами. Пластина 1 имеет температуру Т1, а пластина 2 температуру Т2 = 0. Пластины отстоят друг от друга на расстоянии D. Блок-схема программы расчета методом Монте-Карло плотности потока излучения и распределения температуры газа представлена на рис. 1. Соотношения между случайными числами и переменными, характеризующими испускание излучения, представлены в табл. 1.
Плотность потока излучения, испускаемого поверхностью 1, равна
ЧеЛ =оТ14- (6)
Если в единицу времени испускается N пучков энергии, то каждый из них переносит количество энергии ю
ш = УеЛ =aT_. (7)
N N
Полярный угол Р , под которым испускаются пучки, определяется соотношением, приведенным в первой строке табл. 2,
sin P = JRP, (8)
где Re, - случайное число в интервале от 0 до 1.
После испускания типичный пучок пройдет путь I. Вследствие закона Бугера вероятность его распространения на данное расстояние S до поглощения в среде с постоянным коэффициентом поглощения а равна
о
-л
Начало
Ввод исходнвых данных
КХъ, к
Печатание
результатов
41 = 1 - N
иТ14
42 ^2 Ш2
< N
Г Б. > 1/4
©1 =
^ 4к о NДXV
1 < 3 < к
т
Установка счётчиков
sj= о 1 < у < к
S„1 = ^ = о
п = 0
п = п + 1
Выбор нового пучкау
Да
Конец
п > N7 Все ли пучки уже ^ выпущены?
± Нет
Установление
X о = 0 начало пути на стенке 1
Определение расстояния, пройденного до поглощения
Выбор Яр
3 = агсзтЯр У
Выбор угла испускания излучения стенкой 1
Выбор Я
X = X-С^ 1пК,
Хп
Испускание пучка данным ^элементарным объёмом под новым углом
данный пучок
поверхности? г
Х< 0?
г Нет
] = тят
Б. = Б. +1
3 3
Да
Да
9 - 9 -1-1
2 2 + 1
9 - 9 -1-1
SW1 + 1
Регист■ рация поглощения стенкой
Определение элементарного объёма, в котором поглощается пучок
Рис. 1. Блок-схема программы расчёта методом Монте-Карло теплообмена излучением в системе «излучатель - материал»
P(S ) = -
■ = ae
(9)
j е-aSdS
С помощью уравнения
к
Л(^)= |р(к*)с, (10)
-а
где Я (к) может принимать любые значения от 0 до 1, поскольку интеграл под всей кривой P (к) равен 1 согласно функции плотности вероятности, определяемой уравнением
/(к) _ зк2
р(^ = то
j f fed
1000
(11)
есть то среднее распределение, которому должны удовлетворять значения к , определённые с помощью выбранной схемы моделирования. Функция плотности вероятности физически представляет собой долю от всех величин, которые лежат в области Дк в окрестности к .
Теперь с помощью уравнения (11) уравнение (10) можно представить в виде кумулятивной функции распределения
j e-aSdS
R = ^т
=1-e a или
l = - Tln (1 - R ). (12)
j e-aSdS
Однако, поскольку случайные числа Rt равномерно распределены между 0 и 1, это соотношение можно также представить в виде
l = Т ln R¡ или L = —— ln R¡,
(13)
l
где ь =—• хВ = аВ. В
Безразмерное расстояние в направлении нормали к пластине X = x/D, на которое переместится пучок, пройдя путь L, равно
X = L cos р = C0S Р ln R,.
X D
(14)
ш
шло, запоминается путем увеличения показания счетчика Sj в памяти машины на единицу. Эта операция обозначается следующим образом:
Sj = Sj + 1. (16)
Если пучок поглощается некоторым элементарным объемом газа, то тут же происходит испускание пучка тем же самым объемом, что следует из условия сохранения энергии в стационарной задаче. Это учитывается выбором угла испускания в с помощью функции вероятности распределения излучения по всем полярным углам в единичную сферу, окружающую dV,
Sin pdp (17)
rj sin pdp
Используя кумулятивную функцию распределения
Rp=j Р(Р-)Г= T-C0SP
(18)
получим угол испускания, выраженный через слу-
чайное число,
Р = arccos (l - 2Rp).
(19)
Расстояние от стенки до следующей точки поглощения определяется теперь в виде
(20)
X = X о - C0sP ln R¡,
X D
где Х0 - координата предыдущей точки поглощения.
Процесс поглощения и испускания продолжается до тех пор, пока пучок не достигнет черной границы. Это произойдет при Х> 1 или Х< 0. В этом случае показания счетчиков Swl или Swt увеличиваются на 1, регистрируя поглощение на черной поверхности.
Затем испускается новый пучок, и процесс повторяется до тех пор, пока не будут испущены все N пучков. Безразмерная плотность потока результирующего излучения, исходящего с поверхности 1, равна полному числу испускаемых пучков за вычетом поглощенных ею же пучков, т. е.
9т
Разделим расстояние между пластинами D на k равных отрезков безразмерной ширины ДХ = Дх / В.
Тогда номер отрезка, на котором происходит поглощение, равен
з = ттыс^ 1, (15)
где TRUNC обозначает операцию округления Х/АХ до его целочисленного значения. При каждом поглощении пучка отрезок, на котором это произо-
д.,1 = ю(М - ЯШ1 ) = | (21) оТ4 оТ4 оТ4 N '
Плотность потока результирующего излучения, падающего на поверхность 2, равна
- ^ = = . (22) оТ* оТ* N
Температуру газа на каждом отрезке можно определить с помощью соотношения (5)
T<
roS,
T ^ 4XDaAXTi4
S
4XdNAX
(23)
aS
e
0
0
0
0
a
0
a
x
D
Блок-схема программы расчета приведена на рис. 1. Заметим, что, поскольку + = N,
41
аТ;
. = 1 -
Б,
и2
42
N N
(24)
аТ
и, как и следовало ожидать, qx = Обе величины выводятся на печать для проверки результатов.
С учетом линейности задачи относительно Т с помощью этой блок-схемы можно получить решения для любых комбинаций температур поверхности [3]. Кроме того, с помощью соотношений для обобщенных угловых коэффициентов можно получить решения для любых комбинаций степени черноты серых поверхностей. На рис. 1 изображена блок-схема программы расчёта методом Монте-Карло теплообмена излучением в системе «излучатель - материал».
Обозначения на рис. 1: а - коэффициент поглощения; D - расстояние между параллельными пластинами; е - поверхностная плотность потока излучения; F0-X - доля энергии интегрального излучения черного тела в интервале длин волн 0-^; у - индекс приращения объема; к - число приращений объема; Ь = 1Ю - безразмерная длина пути; I - длина пути свободного пробега излучения в процессе его поглощения; N - полное число пучков в единицу времени в методе Монте-Карло; п -индекс пучка; Р - функция плотности вероятности; р - индекс приращения; Q - поток энергии; Q» - объемная плотность внутренних источников энергии; q - плотность потока энергии; Я - случайным образом выбранные числа в интервале от 0 до 1; г - радиальная координата; - координата вдоль пути излучения (не имеет индекса); число событий, происходящих в некоторой точке в еди-
ницу времени (имеет индекс); Т - абсолютная температура; V - объем; w - энергия, переносимая одним пучком в методе Монте-Карло; X - хЮ -безразмерное расстояние; х - расстояние в направлении нормали к поверхности; Р - полярный угол; £ - степень черноты; 0 = Т/Т2 - безразмерная температура; 0 - азимутальный угол; хЮ = аЮ - оптическая толщина; X - длина волны; а - постоянная Стефана - Больцмана.
Подстрочные индексы: Ь - черное тело; е - испускаемое излучение; / -внутренняя поверхность; у - ]-е приращение объема; I - длина пути; о - исходная величина (наружная поверхность); Р - планковское среднее значение; dV - относится к элементарному объему ёУ; w - относится к стенке; 1, 2 - поверхности 1 или 2; в - относится к полярному углу; 0 - относится к азимутальному углу; X - спектральная величина.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лыткина Е. М. Повышение эффективности кап-сулирования изоляции лобовых частей обмоток тяговых двигателей электровозов инфракрасным излучением : дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2011. 205с.
2. Зигель Р., Хауэль Дж. Теплообмен излучением : пер. с англ. / Под ред. Б. А. Хрусталева. Москва, 1975. 936 с.
3. Спэрроу Э. М., Аьберс Л. У., Эккерт Э. Р. Г. Характеристики теплового излучения цилиндрических полостей // тр. амер. о-ва инж.-мех. Сер. С. Теплопередача 1962. Т. 84 № 1, 90-100.
