CC BY
52Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2015
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ
Малыш В.Г., Степаньян В.В.
АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА ОБРАБОТКИ МАССИВОВ НЕНОРМИРУЕМЫХ ДАННЫХ О СОСТОЯНИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
При исследовании физических, технических, экономических и социальных процессов существует проблема обработки массивов, размеры которых могут превышать десятки тысяч строк. Обработка таких массивов вручную, с использованием известных пакетов прикладных программ (I IIIII). например MathCAD, практически невозможна, так как из этого огромного количества строк необходимо реализовать полный факторный эксперимент. Даже массив, состоящий из тысячи строк, может обрабатываться вручную несколько дней. Для того чтобы решить данную проблему, нами была разработана программа статистической обработки массивов непрерывных данных методом планирования эксперимента [1,2].
Алгоритм работы программы содержит четыре основных этапа и представлен на рисунке 1. На первом этапе отсеиваются все значения факторов, не входящих в нормальный закон. Это позволяет исключить из статистического ряда грубые ошибки, за счет чего размер массива значительно сокращается. На втором этапе производится расчет коэффициентов изменения факторов [2]. На третьем этапе реализуется полный факторный эксперимент ЩФЭ) типа, где n - число факторов. На четвертом этапе получаем уравнение регрессии с проверкой адекватности по критерию Фишера и отсеиванием незначащих факторов по критерию Стъюдента.
В отличие от описываемых в известной литературе алгоритмов и программ обработки массивов данных нами использованы новые подходы, разработанные в [3.. .5] и апробированные на примерах исследования различных систем. Метод планирования эксперимента получил широкую популярность при исследовании самых разнообразных систем различного назначения. Но его главным недостатком является то, что при проведении опытов, являющихся строками матрицы планирования эксперимента, необходимо задавать значения факторов, влияющих на выходной параметр, на заданных уровнях значений, определяемых выбранным интервалом варьирования. Это зачастую невозможно, если речь идёт о технологических, технических, экономических, образовательных системах, в которых нельзя прервать или остановить исследуемый процесс. В таких случаях можно только собрать массив статистических данных об исследуемой системе и обработать эти данные по специально разработанному алгоритму. Теоретические основы построения такого алгоритма были разработаны ВЛ.Алексеевым [1,2,4], нами предлагается его алгоритмическая и программная реализация.
Рассмотрим предлагаемый алгоритм более подробно.
5
ISSN 2313-1160
Начало
Удаление строк с элементами не входящими в интервал от (Xi0 - 1,5а) до (Xi0 + 1.5а) в каждом столбце
Заполнение матрицы состоящей из оставшихся строк
I
Вычисление min, max в столбцах массива
_______________________1______________________
Заполнение новой матрицы состоящей из min, max
Т
Вычисление значения условного нуля Xi0 и среднего значения интервала разброса AXi
' 1
Заполнение матрицы состоящей из Xi0 и AXi
1
Рисунок 1 - Алгоритм работы программы
6
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2015
Рисунок 1 (продолжение) - Алгоритм работы программы
7
ISSN 2313-1160
Рисунок (продолжение) 1 - Алгоритм работы программы
1) Обнуление массива.
При загрузке программы происходит обнуление массива для возможности дальнейшего заполнения матрицы исходного массива данных.
2) Загрузка данных в массив.
Загрузка данных в массив производится либо поэлементным введением в матрицу, либо загрузкой из файла с расширением *.bak. Эту операцию осуществляет модуль сохранения и загрузки.
3) Нахождение среднеарифметического каждого столбца.
Начало
1. Находим сумму всех элементов по каждому столбцу.
8
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2015
2. Делим каждое полученное значение на количество строк.
3. Вычисляем квадрат разности (Yij - Y)2
4. Присваиваем полученные значения новой матрице.
Конец
4) Вычисление среднеквадратического отклонения о.
Начало
1. Вычисляем сумму по каждому столбцу.
2. Полученную сумму делим на количество строк.
3. Присваиваем полученные значения новой матрице.
Конец
5) Удаление строк с элементами, не входящими в интервал от (Xi0 -1,5о) до (Xi0 + 1.5о) в каждом столбце.
Начало
1. Определяем границу (Xi0- 1,5о) по каждому столбцу.
2. Определяем границу (Xi0 + 1,5о) по каждому столбцу.
3. Циклически сравниваем каждое значение каждого столбца с полученным интервалом.
4. Удаляем полностью строку, если элемент какого-либо столбца не входит в этот интервал
5. Количеству строк присваиваем (Количество срок - 1) - «kolstr:=kolstr-1».
Конец
6) Вычисление min, max в столбцах массива и заполнение новой матрицы, состоящей из min, max
Начало
1. Декларируем некоторые значения MAX и MIN (бесконечно большое и бесконечно маленькое).
2. Перебираем все элементы матрицы М по столбцам.
3. Если значение элемента матрицы больше значения MAX, то присваиваем MAX значение этого элемента.
4. Если значение элемента матрицы меньше значения MIN, то присваиваем MIN значение этого элемента.
5. Заносим получившиеся значения MTN и MAX для каждого столбца в матрицу минимальных и максимальных значений.
6. Возвращаем функции значение матрицы минимальных и максимальных значений.
Конец
7) Вычисление значения условного нуля Xi0, среднего значения интервала разброса AXi и заполнение матрицы состоящей из Xi0 и AXi.
Начало
1. Перебираем все значения матрицы М по столбцам.
2. Получаем из матрицы М значения минимумов и максимумов.
3. Производим вычисление значений условного нуля и среднего значения интервала разброса по формулам и заносим данные значения в матрицу.
9
ISSN 2313-1160
4. Возвращаем функции значение матрицы значений условного нуля и среднего значения интервала разброса.
Конец
Вычисление значений условного нуля и среднего значения интервала разброса вычисляется по следующим формулам соответственно [1]:
i 0
X max i + X min i 2
AX
i
X max i - X min i 2
(1)
8) Вычисление коэффициентов изменения факторов и заполнение матрицы коэффициентами изменения факторов.
Начало
1. Перебираем все значения матрицы М по столбцам.
2. Производим вычисление коэффициентов изменения факторов по формуле, используя значения коэффициентов начальной матрицы, а также значений условного нуля и среднего значения интервала разброса. Заносим коэффициенты в матрицу.
3. Возвращаем функции значение получившейся матрицы.
Конец
Вычисление коэффициентов изменения факторов производится по формуле
[2]:
K
X - X
AXi
(2)
9) Блок преобразования из матрицы коэффициентов изменения факторов в матрицу планирования полного факторного эксперимента
Данный блок является наиболее важной частью программы, так как здесь идет преобразование полученной матрицы до матрицы полного факторного эксперимента, т.е. из тысячи строк необходимо выделить такие строки, чтобы окончательная матрица обладала следующими свойствами [1]:
т т 2 т
2 xi = 0 2 xj = m £ xuxp = 0
J=1 J=1 J=1
(3)
Данный блок разделяется на 3 раздела, описание которых представлены
ниже.
10
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2015
Первый раздел:
Начало
1. Перебираем последовательно все строки матрицы М.
2. Проверяем каждую строку на условие соответствия виду: ( -, -, -, - );
(+ + + +)• (+-)• (- + + +)• (- + + -У (+ --+Y (- + - +)• (+ - + -Y (-+)• (+-)•
(- - + +)•(+ + - -)• (- - + -)•(+ + - +)• (- + - -)•(+ - + +)•
3. Удаляем все строки вида (-,-,-,-) и (+,+,+,+)
4. Если значения элементов строки не удовлетворяют данному условию, то вызываем процедуру удаления данной строки.
Конец
Второй раздел:
Начало
1. Перебираем последовательно все строки матрицы М.
2. Считаем количество строк каждого вида.
3. Считаем количество строк, не имеющее пары.
4. Если строка не имеет пары, то вызываем процедуру удаления строки.
Конец
Третий раздел Начало
1. Проверяем, если количество строк больше 16, тогда удаляем парные строки, значение коэффициентов изменения факторов по модулю которых больше. Таким образом, остается только 16 строк, и полученная матрица удовлетворяет условиям (3).
Конец
10) Вычисление коэффициентов регрессии и заполнение матрицы с коэффициентами регрессии Начало
1. Перебор матрицы К по строкам
2. Вычисление коэффициентов по формулам
3. Занесение коэффициентов в матрицу
4. Присваиваем функции значение полученной матрицы
Конец
Вычисление коэффициентов регрессии выполняется по формулам [1]:
1 m
ao = —Z У mj=1
m
ai = - Z K}yj
m j=1
(4)
11) Расчет критерия Фишера Fрасч. и доверительного интервала.
Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность по критерию Фишера, а коэффициенты уравнения регрессии на значимость по критерию Стьюдента. Для этого производим следующие операции:
11
ISSN 2313-1160
Начало
1. Перебор матрицы по строкам;
2. Вычисление значений Fрасч. и dAi с использованием значений коэффициентов из матрицы;
3. Присваивает функции значение Fрасч. и dAi;
4. Проверка уравнения регрессии на адекватность;
Конец
В этой процедуре выполняется расчет следующих промежуточных величин, необходимых для вычисления значение Fрасч. и dAi: Dвоспр. - дисперсия воспроизводимости; Dад - дисперсия адекватности, f - число степеней свободы, Yi - значение выходного параметра, вычисленное по уравнению регрессии.
Сначала определяется число степеней свободы f как [1]:
f = т - (п + ^ (5)
где m - число опытов, в матрице факторного эксперимента; n - число факторов.
Затем вычисляется Yi - значение выходного параметра, вычисленное по уравнению регрессии [1]:
Y = a0 + a1*q1 + a2*q2 + a3*q3 + a4*q4, (6)
где - qi - знак (-) или (+) для фактора qi.
Дисперсия адекватности вычисляется по формуле [1]:
Da
f
(7)
где Yi - значение выходного параметра в эксперименте (экспериментальное значение в матрице факторного эксперимента);
Yi - значение выходного параметра, вычисленное по уравнению регрессии (теоретическое значение);
f - число степеней свободы.
Дисперсия воспроизводимости вычисляется по формуле [1]:
т
SY- - г, )2 (8)
_ J=1
Dainid _-----------
т -1
где i - среднее значение выходного параметра или свободный член уравнения регрессии a0.
После того, как вычислены все промежуточные величины, определяются
12
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2015
значение Fpac4. и dAi по формулам [1]:
F ~ =
-1 гл л\т^
D:
DANх
D
Aai =
t' V DAIi
AINID
(9)
где t - это коэффициент Стьюдента, значение которому присваивается в зависимости от количества строк полученных при преобразовании матрицы факторного эксперимента, сами значения определены из [1] таблица П.11(см. таблицу 1).
12) Проверка уравнения регрессии на адекватность и сравнение доверительного интервала с коэффициентами уравнения регрессии dA<ai.
Все значения критериев Фишера и Стъюдента приведены в [3] и заложены в базу данных программы.
Начало
1. Если Fрасч. > Fтабл. , то выводим «Уравнение регрессии неадекватно».
2. Если Fрасч. < Fтабл., то продолжаем проверку.
3. Сравниваем все коэффициенты уравнения регрессии с доверительным интервалом.
Конец
Здесь выполняется проверка уравнения регрессии на адекватность, т.е. FРАСЧ < FТАБЛ [1]
Сравнение доверительного интервала с коэффициентами уравнения регрессии dA<ai заключается в следующем: если коэффициент регрессии по модулю меньше доверительного интервала, то этот коэффициент приравниваем к нулю. Здесь программа поочередно сравнивает коэффициенты уравнения регрессии по модулю с доверительным интервалом.
13) Расчет коэффициентов уравнения погрешности и вывод результата на экран
От уравнения регрессии в безразмерном виде переходим к составлению уравнения погрешности.
Начало
1. Проводим расчет коэффициентов уравнения погрешности с первого по четвертый;
2. Вывод окончательного результата - уравнения погрешности на экран.
Конец
В этой процедуре выполняется расчет конечного результата исследования массива данных по формуле [1]:
b
i
ai • Xi0
Щ • a0
(10)
13
ISSN 2313-1160
Уравнение погрешности имеет вид [1]:
Д Вых.пар. Вых.пар.
_ ь Д1 фактор +ь Д 2 фактор Д 3 фактор Д 4 фактор
1 1 фактор 2 2 фактор 3 3 фактор 4 4 фактор
Д Вых.пар.
где Вых. пар. - относительное изменение выходного параметра;
Д 1 фактор
——--------- - относительное изменение фактора.
1 фактор
Таким образом, нами создана программа статистической обработки массивов непрерывных данных по методике, предложенной в [2]. С помощью разработанной программы нами были обработаны массивы данных, полученных при исследовании образовательного процесса по изучению курса «Информатика» в Международном инновационном университете (г. Сочи) [6]. Результаты исследований позволили оптимизировать методику организации и контроля учебного процесса.
Литература
1. Алексеев В.П., Озёркин Д.В. Основы научных исследований и патентоведение. // Учебное пособие для студентов специальности 200800. -Томск, ТУСУР, 2012. - 171 с.
2. Алексеев В.П., Зайцев О.Ю. - Теория планирования эксперимента в задачах влагометрии природного газа. // Газовая промышленность. Апрель, 2003.
- с. 33-34.
3. Степаньян В. В. Алгоритм и программа обработки массивов ненормированных данных о состоянии образовательных систем методом планирования эксперимента // Концепт. - 2015. - № 04 (апрель). - ART 15108. -URL: http/e-koncept.m/2015/15108.htm. - ISSN 2304-120X.
4 . Алексеев В.П., Степаньян В.В. Повышение адекватности и достоверности модели обработки ненормированных массивов данных в исследованиях образовательных систем методом планирования эксперимента // Концепт. - 2°14.
- № 07 (июль). -ART 14178. - URL: http://e-koncept.ru/2014/14178.htm. - Гос. рег. Эл No ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
5. Яковлева-Чернышева А.Ю., Дружинина А.В., Алексеев В.П. Инновационные подходы к организации научно-исследовательской деятельности университета //Концепт. - 2015. - № 04(апрель). - ART 15092. - URL: http/e-koncept.ru/2015/15092.htm. - Гос. рег. Эл No ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
6. Степаньян В.В. Исследование влияния индивидуальных личностных факторов студентов на результативность обучения по дисциплине «Информатика» //Концепт. - 2014. - № 03(март). - ART 14070. - URL: http://e-koncept.ru/ 2014/ 14070.htm. - Гос. рег. Эл No ФС 77-49965. - ISSN 2304-120X.
14
