CC BY
19
Оригинальная статья / Original article УДК 621.311.1:51.001.57
DOI: http://dx.d0i.0rg/l0.21285/1814-3520-2018-5-152-165
АЛГОРИТМ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НАГРУЗОК ПО ИЗМЕРЕННЫМ ПАРАМЕТРАМ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
л л л
© Л.И. Коверникова1'2, Лыонг Ван Чынг2
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 664033, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130. 2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. В данной работе представлены алгоритм и реализующая его компьютерная программа, разработанная на основе пакета MS Excel, для моделирования нелинейных нагрузок по измеренным параметрам, предназначенная для анализа несинусоидальных режимов и управления качеством электрической энергии в электрических сетях. МЕТОДЫ. Учитывая, что измеренные параметры режима представляют собой временные ряды случайных дискретных величин, для разработки моделей нелинейных нагрузок использовались методы математической статистики. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Модель нелинейной нагрузки представляет собой набор величин активных и реактивных токов гармоник, для определения которых необходимо идентифицировать функции распределения рядов случайных величин токов гармоник, а затем определить их значения с вероятностью 0,95. ВЫВОДЫ. Разработанные алгоритм и компьютерная программа позволяют моделировать токи гармоник нелинейных нагрузок по измеренным параметрам режима сети, представляющим собой ряды случайных величин, которые имеют не только известные и хорошо представленные в специальной литературе функции распределения, но и их смеси.
Ключевые слова: гармоники, измерения, статистические методы, алгоритм, модель нелинейной нагрузки, компьютерная программа.
Информация о статье. Дата поступления 19 марта 2018 г.; дата принятия к печати 18 мая 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 мая 2018 г.
Формат цитирования. Коверникова Л.И., Лыонг Ван Чынг. Алгоритм и компьютерная программа моделирования нелинейных нагрузок по измеренным параметрам режима электрической сети // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 5. С. 152-165. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-5-152-165
AN ALGORITHM AND COMPUTER PROGRAM FOR NON-LINEAR LOADS MODELING BASED ON ELECTRIC NETWORK MEASURED PARAMETERS
L.I. Kovernikova, Luong Van Chung
Melentiev Energy Systems Institute SB RAS,
130, Lermontov St., Irkutsk, 664033, Russian Federation
Irkutsk National Research Technical University,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation
1
Коверникова Лидия Ивановна, кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела электроэнергетических систем ИСЭМ СО РАН, доцент кафедры электроснабжения и электротехники ИРНИТУ, e-mail: kovernikova@isem.irk.ru
Lidia I. Kovernikova, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of the Department of Electrical Power Systems, ESI SB RAS, Associate Professor of the Department of Electrical Energy Supply and Electrical Engineering of INRTU, e-mail: kovernikova@isem.irk.ru
2Лыонг Ван Чынг, аспирант, e-mail: chunglv@mail.ru Luong Van Chung, Postgraduate, e-mail: chunglv@mail.ru
ABSTRACT. PURPOSE. The paper presents an algorithm and an implementing it computer program. The computer program is based on MS Excel and is designed to model nonlinear loads by measured variables to analyze non-sinusouidal modes and control power quality in electric networks. METHODS. As measured mode parameters represent time series of random discrete values the mathematical-statistical methods are used to develop the models of nonlinear loads. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The model of nonlinear load is represented by the set of values of active and reactive harmonic currents. These values can be defined through the identification of the distribution functions of the series of random values of harmonic currents and determination of their values with the probability of 0.95. INCLUSIONS. The developed algorithm and computer program allow to model the harmonic currents of nonlinear loads by the measured parameters of the network mode. The latter is represented by a series of random values that have not only the distribution functions described in special literature but also their combinations.
Keywords: harmonics, measurements, statistical methods, algorithm, non-linear load modeling, computer program
Information about the article. Received March 19, 2018; accepted for publication May 18, 2018; available online May 31, 2018
For citation. Kovernikova L.I., Luong Van Chung. An algorithm and computer program for non-linear loads modeling based on electric network measured parameters. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2018, vol. 22, no. 5, pp. 152-165. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-5152-165. (In Russian).
Введение
Гармонические составляющие токов и напряжений (гармоники токов и напряжений) в электрических сетях являются параметрами несинусоидального режима. Они вызывают различные негативные последствия у потребителей и энергоснабжающих организаций и, как следствие, наносят экономический ущерб [1, 2]. В настоящее время проблема гармоник обостряется в связи с ростом числа источников гармоник - электрооборудования с нелинейными вольт-амперными характеристиками. Для управления несинусоидальными режимами электрических сетей с целью прогнозирования уровней напряжений гармоник, разработки технических мероприятий для их снижения необходимо проведение расчетов режимов. Расчет несинусоидального режима представляет собой совокупность расчетов режимов для каждой из гармоник с номерами от 2 до 40 в соответствии с ГОСТ 32144-20133. На практике количество гармоник может быть значительно меньшим, что определяется в результате анализа измеренной информации о величинах гармоник токов и напряжений. На каждой гармонике расчет режима выполняется с помощью системы уравнений узловых напряжений [3]:
ün=zjn, (1)
где п - номер гармоники, Ün - матрица-столбец искомых величин узловых напряжений; Zn - квадратная матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов сети; 1п - матрица-
столбец токов в узлах сети, в том числе токов нагрузки, которые должны быть определены по результатам измерений параметров режима сети.
Каждый элемент матрицы in является комплексным числом ini=Iani+ гДе i - номер строки матрицы, соответствующий номеру узла сети; Ian - активный ток n-й гармоники; - реактивный ток n-й гармоники. Активный и реактивный токи вычисляются
3
ГОСТ 32144-2013. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения; принят Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол № 55-П от 25.03.2013 г.) / GOST 32144-2013. Electric energy. Electromagnetic compatibility of technical equipment. Power quality limits in the public power supply systems. Adopted by the Interstate Council for Standardization, Metrology and Certification (Minutes No. 55-P of March 25, 2013).
по формулам:
Ian = In cosVnUi;
an
(2)
Irn = In sin 9nUI -
(3)
где In - измеренное действующее значение тока n-й гармоники; cpnUI - измеренная величина фазового угла между напряжением и током n-й гармоники.
Токи Ian и !ги так же, как и измеренные параметры [4], представляют собой ряды случайных величин. Для решения системы (1) в соответствии с ГОСТ 32144-2013 необходимы значения токов с вероятностью 0,95. Таким образом, модель нелинейной нагрузки представляет собой набор величин активных и реактивных токов для некоторого количества гармоник. Моделирование величин токов состоит в идентификации функций распределения рядов случайных величин активных и реактивных токов гармоник и определении их значений с вероятностью 0,95. Для решения этой задачи на основе компьютерной программы MS Excel разработана программа «Моделирование токов гармоник нелинейных нагрузок по измеренным параметрам». Для иллюстрации работы программы в ней приведены примеры определения величин токов гармоник.
На рис. 1 представлена блок-схема алгоритма для определения величины одного из токов - !аи или с вероятностью 0,95 в результате обработки соответствующего ряда случайных величин. С помощью алгоритма также может быть определена величина действующего значения тока n-й гармоники In. На блок-схеме обозначено: f (x) - функция плотности вероятностей токов Ian или Irn; © - вектор параметров компонент смеси распределения; f(x,&) - функция плотности вероятностей смеси распределения; x095 - искомая величина
тока с вероятностью 0,95.
В пункте 1 алгоритма выполняется построение точечного графика ряда случайных величин тока для визуального поиска анормальных элементов (выбросов), которые по величине или значительно больше, или значительно меньше остальных элементов [5]. Выбросы должны быть заменены соседними элементами или средним значением соседних элементов, или другими способами, представленными, например, в [6-8]. В пункте 2 выполняется построение гистограммы ряда случайных величин тока, по форме которой в пункте 3 выдвигаются гипотезы о функции плотности вероятностей ряда f(x) или принимается решение о переходе на пункт 9, где используется метод разделения смесей распределений [9-11]. Выдвижение гипотез выполняется на основе визуального сравнения формы гистограммы с кривыми известных функций плотности вероятностей, представленных, например, в [7, 12]. Если по форме гистограммы идентифицировать функцию плотности вероятностей не удается, то следует перейти на пункт 9. Если же в пункте 3 гипотезы о функции плотности вероятностей выдвинуты, то каждую гипотезу следует проверить по пунктам алгоритма. В пункте 4 вычисляются параметры, необходимые для аналитического описания функций плотности вероятностей, выдвинутых в пункте 3. Затем в пункте 5 выполняется проверка наличия выбросов в ряду случайных величин тока, описанных функциями плотности вероятностей в предыдущем пункте, с помощью критериев, разработанных для этих функций [5-7]. Если выбросы обнаруживаются, то в пункте 6 выполняется их замена таким же образом, как в пункте 1. После замены выбросов процесс обработки ряда случайных величин тока повторяется, начиная с пункта 2, так как замена элементов ряда может изменить форму гистограммы. Если выбросы отсутствуют, то в пункте
Алгоритм моделирования тока нелинейной нагрузки
(Начало / Start)
r1—-
Построение точечного графика / Construction of a scatter plot
гб-
r2-
Построение гистограммы / Construction of a histogram
Выдвижение гипотез о f(x) / Hypothesizing on the f(x)
нет / no
Замена выбросов / Replacement of outliers
r4-
да / yes
t_
Вычисление параметров f(x) / Calculation of parameters f(x)
да / yes
->
r9-
Выдвижение гипотезы о количестве и видах компонент смеси / Hypothesizing on the number and types of mixture components
1-10
Формирование функции плотности вероятностей f(x, 0)/ Generation a probability density functions f(x, 0)
Задание начальных приближений параметров 0 / Determination of the initial approximation of the vector 0 parameters
Уточнение параметров 0 / Refinement the parameters of the vector 0
^Конец /End)
Рис. 1. Блок-схема алгоритма моделирования тока гармоники Fig. 1. Block-diagram of a modeling algorithm of harmonic current
7 выполняется проверка гипотезы о функции плотности вероятностей критериями согласия, например, Пирсона, Колмогорова - Смирнова [6, 7]. Если первая гипотеза не подтверждается, то выполняется проверка второй гипотезы, начиная с пункта 3 и т.д. Если ни одна из выдвинутых гипотез критериями не подтверждается, то следует переход на пункт 9. Если хотя бы одна из гипотез подтверждается, то в пункте 8 с помощью функции распределения, полученной на основе функции плотности вероятностей, вычисляется значение величины тока с вероятностью 0,95. Таким образом заканчивается моделирование одного из активных или реактивных токов п-й гармоники нелинейной нагрузки.
В пункте 9 на основе визуального анализа гистограммы выдвигается гипотеза о количестве компонент смеси распределения и их функциях плотности вероятностей. В качестве функций плотности вероятностей должны предлагаться известные функции. Например, на рис. 2 приведена гистограмма тока 23-й гармоники, которая имеет два пика и не идентифицируется известной функцией плотности вероятностей. На рис. 2 видно, что гистограмма имеет две компоненты, и, возможно, их функции плотности вероятностей описываются нормальными распределениями.
0,12 0,1 0,08
<à
о' 0,06 сР
0,04 0,02 0
ш
t^cNoomoo^roNi/ooi/O'-H ^ Г* Г* CA CA CA CA ci ci ci ci
I23, А
Рис. 2. Гистограмма тока 23-й гармоники Fig. 2. Histogram of 23-rd harmonic current
В пункте 10 рассматриваемого алгоритма формируется функция плотности вероятностей в виде весовой суммы k компонент смеси:
k
f (x, в) = £ g}v} (x, в}), (4)
j=i
где f(x,в) - искомая функция плотности вероятностей; 0 = (g1v..,gk,0l,...,9k) - вектор параметров компонент смеси, которые необходимо определить; k > 1 - натуральное число; j - номер компоненты; gj - весовой коэффициент j-й компоненты; gj >0,g1 +... + gk = l;
(Pj - известная функция плотности вероятностей j-й компоненты; 9j - вектор параметров j-й
компоненты смеси распределения. В пункте 11 задаются начальные приближения параметров компонент смеси вектора 0 на основе данных гистограммы или цензурированных выборок [7, 13]. В пункте 12 выполняется уточнение параметров вектора 0 в результате решения оптимизационной задачи:
S 2
0 = arg min Y(m ~ , (5)
0 s=1 mPs
О Л
^ (ms ~mps)
где >—s-s— - статистика критерия согласия Пирсона [6]; S - количество интервалов
s=1 mPs
гистограммы; ms - количество случайных величин ряда, попавших в s-й интервал;
S
m = ^ms - общее количество случайных величин ряда; ps - теоретическая вероятность по-
s=1
падания случайных величин в s-й интервал, которая вычисляется как разность значений функции распределения случайной величины в конце и начале s-го интервала, т.е.
Ps = F(*5+1, 0) ~ F(X, 0) ,
где F(x, 0) = J f (x, 0)dx.
В пункте 13 выполняется проверка согласия полученного теоретического распределения f (x, 0) с экспериментальным с помощью критерия согласия Пирсона. Если условие критерия Пирсона не выполняется, то следует вернуться на пункт 9, чтобы предложить иное количество и/или другие виды распределения компонент смеси. Если условие выполняется, то следует перейти к пункту 8. Значения величины тока с вероятностью 0,95 вычисляются с помощью выражения (4) и уточненных значений параметров вектора 0 . Вычислением величины тока заканчивается моделирование тока одной гармоники методом разделения смесей распределения.
Вычислительная программа для моделирования токов гармоник
Программа «Моделирование токов гармоник нелинейных нагрузок по измеренным параметрам», разработанная на основе компьютерной программы MS Excel, реализует представленный выше алгоритм. Моделирование тока гармоники с помощью программы продемонстрируем на двух примерах. В первом примере моделируется ток 5-й гармоники подстанции железной дороги, распределение случайных величин которого описывается известным из специальной литературы распределением. Во втором примере моделируется ток 23-й гармоники алюминиевого завода, распределение случайных величин которого представляет смесь двух компонент известных распределений.
Пример 1. Ряд случайных величин тока имеет функцию распределения, известную из специальной литературы. На листе программы «Пункт 1» выполняется построение точечного графика. Измеренный ток 5-й гармоники представляет собой массив величин из 1440 элементов. Элементы массива вводятся в столбец А начиная с ячейки A2. Для построения точечного графика используются вкладки программы MS Excel: Вставка ^ Диаграммы ^ Точечная ^ Точечная с маркерами. После выполнения перечисленных операций на экране появляется рисунок с точечным графиком. Рисунок дополняется необходимыми надписями (рис. 3). Из его анализа следует, что выбросов нет.
На листе программы «Пункт 2» выполняется построение гистограммы. Для удобства на нем приведена вся необходимая для построения информация. Самым важным вопросом при построении гистограммы является выбор количества интервалов (S). Из опыта обработки результатов измерений параметров режимов гармоник и предложений, данных в работах [6, 7], принимается, что S = 22, если общее количество случайных величин m >1000; S = 16, если 500 < m < 1000; S = 12, если m <500.
0
oooooooooooooooo ooooooooooooooo
Номер измерения / No. of measurement
Рис. 3. Точечный график тока 5-й гармоники Fig. 3. Scatter plot of the 5-th harmonic current
Число S вводится в ячейку P8 с помощью встроенной в MS Excel функции ЕСЛИ: =ЕСЛИ(Р2>1000, 22; ЕСЛИ(Р2<500, 12, 16)). В рассматриваемом примере т=1440, поэтому S=22. Для построения гистограммы область значений тока разбивается на интервалы равной длины. Граничные значения интервалов вычисляются и размещаются в ячейках с B2 по B(S+2). Частота попадания величин тока в каждый интервал определяется с помощью вкладок программы MS Excel: Данные ^ Пакет анализа ^ Анализ данных ^ Гистограмма. В диалоговом окне вкладки Гистограмма (рис. 4) задаются следующие параметры: Входной интервал - ячейки, содержащие анализируемые данные, т.е. A2:A(m+1); Границы интервалов -ячейки, содержащие граничные значения, т.е. B2:B(S+2); Выходной интервал - ячейка D3. После задания параметров и команды на исполнение в диапазоне ячеек D4:D(S+5) будут находиться границы интервалов, а в диапазоне ячеек E4:E(S+5) - количество случайных величин тока, попавших в каждый интервал.
Рис. 4. Задание параметров для построения гистограммы Fig. 4. Setting parameters for building a histogram
На этом же листе программы в ячейки столбцов G, H, I, J вводятся номера интервалов гистограммы, нижние и верхние границы интервалов, частоты попадания величин тока в интервалы в относительных единицах, ws. Частоты ws определяются как отношение количества
величин тока, попавших в интервалы в абсолютных единицах , к общему числу m, т.е. ^ = т /т. Так как нижняя граница первого интервала нестрогая, и в первый интервал попадает ток с минимальным значением, то частота тх принимается равной сумме чисел в двух первых ячейках - Е4 и Е5. Частота попадания величин тока в последний интервал т22 принимается равной сумме чисел в двух последних ячейках - Е(5+4) и Е(5+5). Для построения гистограммы выделяются ячейки 14:1(5+4), и4:и(Э+4), с которыми выполняются операции по вкладкам Вставка ^ Диаграммы ^ Гистограмма ^ Гистограмма с группировкой. На экране появляется гистограмма, приведенная на рис. 5.
0,12 0,1 0,08 о 0,06 ^ 0,04 0,02 0
ci ci г* г* г* ci ça ri ci ci ci
I5, А
Рис. 5. Гистограмма тока 5-й гармоники Fig. 5. Histogram of the 5-th harmonic current
Далее в соответствии с алгоритмом выдвигаются гипотезы о функции плотности вероятностей, соответствующей форме гистограммы. На листе программы «Пункт 3» представлены кривые функций плотности вероятностей и их математические описания для двенадцати известных распределений - Гаусса, Вейбулла, Коши, Максвелла, Рэлея, гамма и других. После сопоставления формы гистограммы, представленной на рис. 5, с кривыми функций плотности вероятностей на листе «Пункт 3», выдвигается гипотеза Но, что величины тока 5-й гармоники имеют гамма-распределение.
На листе программы «Пункт 4» вычисляются параметры, позволяющие описать функции плотности вероятностей, представленные в предыдущем пункте. Например, гамма -распределение характеризуется двумя параметрами - а и в. В ячейки А1:Ат вводится ряд случайных величин тока, который используется специальными программами, связанными с ячейками на листе «Пункт 4», соответствующими различным функциям плотности вероятностей. Для вычисления параметров необходимо кликнуть на клавишу с названием распределения, после чего в ячейки, выделенные желтым цветом, будут размещены вычисленные значения параметров. Например, для вычисления параметров а и в гамма-распределения рассматриваемого тока 5-й гармоники необходимо кликнуть на клавишу с названием «Гамма-распределение», после чего в ячейках появятся значения параметров, равные 3,72 и 0,41 соответственно.
На листе «Пункт 5» выполняется проверка наличия выбросов в ряду случайных величин тока с помощью критерия Ирвина [5, 6] и двух модификаций критерия Дарлинга [6]. Критерий Ирвина применяется в случае нормального распределения случайных величин, критерий Дарлинга - в случае любого другого распределения. Одна модификация критерия Дарлинга применяется для обнаружения малых по величине выбросов, другая - больших. Если выбросы обнаружены, то следует перейти на лист «Пункт 6» для замены выбросов. В результате проверки установлено, что в ряду случайных величин тока 5-й гармоники выбросы отсутству-
ют, поэтому следует перейти на пункт 7.
На листе «Пункт 7» выполняется проверка выдвинутой гипотезы H0 о гамма-распределении случайных величин тока 5-й гармоники с помощью критерия согласия Пирсо-
2 2 на, в котором экспериментальное значение статистики хэк сравнивается с критическим хкр ■
Для вычисления хэк ряд случайных величин тока 5-й гармоники вводится в столбец A начиная с ячейки A2. В ячейках D3:D7, D12:D13, F3:F(S+3), G3:G(S+3) на листе «Пункт 7» с помощью встроенных в MS Excel функций вычисляются и размещаются: число элементов ряда; минимальное и максимальное значения элементов ряда; число интервалов и длина интервала гистограммы; параметры а и в гамма-распределения, которые были получены на листе программы «Пункт 4»; граничные значения всех интервалов; экспериментальные частоты попадания элементов в интервалы, которые были получены на листе программы «Пункт 2»; теоретические вероятности попадания величин тока в каждый интервал. В ячейках H3:H(S+3) размещаются значения функции распределения величин тока в граничных значениях интервалов, для вычисления которых используются вкладки MS Excel: Формулы ^ Другие функции ^ Статистические ^ ГАММА.РАСП. Следует отметить, что для отсутствующих в MS Excel функций, например, распределения Рэлея, формулы функции распределения должны вводиться вручную. Далее в соответствии с указаниями на листе «Пункт 7» в ячейках P4:P(S+3)
вычисляются слагаемые статистики критерия согласия Пирсона %эк. Значение статистики
Хэк вычисляется как сумма всех слагаемых, находящихся в ячейках P4:P(S+3), и размещается в ячейке P(S+4). В рассматриваемом примере для тока 5-й гармоники оно оказалось рав-
л
ным 23,15. Критическое значение хкр с вероятностью 0,95 и числом степеней свободы
v = S - r-1, где r - число оцениваемых параметров распределения, определяется с помощью встроенной в MS Excel функции ХИ2.ОБР. В рассматриваемом примере для тока 5-й гармони-
1 11 ки с v = 22-2-1=19 значение хКР оказывается равным 30,14. Так как хКР = 23,15 < х2р =
= 30,14, то гипотеза H0 о гамма-распределении тока 5-й гармоники подтверждается, и следует перейти к выполнению пункта 8. Если бы гипотеза не подтвердилась, то следовало бы перейти на пункт 9.
На листе программы «Пункт 8.1» вычисляется величина тока 5-й гармоники с вероятностью 0,95 для гамма-распределения. В столбец А начиная с ячейки A2 вводится ряд случайных величин тока, в ячейку I2 - формула для вычисления значений функции распределения F(x). Ячейка H2 резервируется для размещения в ней искомой величины тока. Задача заключается в нахождении такой величины тока, при которой значение функции распределения F(x) в ячейке I2 будет равняться 0,95. Для ее решения используются вкладки: Данные ^ Анализ ^ Поиск решения. В результате работы надстройки Поиск решения появляется диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 6). Следует обратить внимание на наличие надписи «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены», означающей, что на листе «Пункт 8.1» в ячейке Н2 находится искомое значение тока 5-ой гармоники с вероятностью 0,95. Если надпись отсутствует, то следует сделать анализ информации в диалоговом окне и выполнить рекомендации. В рассматриваемом примере в ячейке Н2 находится величина тока, равная 2,98 А.
Пример 2. Ряд случайных величин тока имеет распределение, состоящее из смеси компонентов известных распределений. При анализе рядов случайных величин токов гармоник выяснилось, что довольно часто их плотности вероятностей невозможно описать известными функциями распределения, потому что они имеют сложную форму, например, несколько пиков, коэффициенты асимметрии и эксцесса, значительно отличающиеся от нуля. В таких случаях для идентификации функции распределения следует применять специ-
альные методы, некоторые из которых представлены в работах [9-11]. Один из методов заключается в разделении смесей распределений [9, 10]. Алгоритм моделирования тока смесью вероятностных распределений состоит из пунктов 1-3, 8-13, приведенных на рис. 1. В рассматриваемом ниже примере работа программы иллюстрируется моделированием тока 23-й гармоники алюминиевого завода. Измеренный ток 23-ей гармоники представляет собой временной ряд случайных величин, состоящий из 1438 элементов.
Результаты поиска решения X
Зешение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Отчеты
® Сохранить найденное решение О Восстановить исходные значения Результаты Устойчивость Пределы
Ш Вернуться в диалоговое окно параметров 1 Отчеты со структурами
OK Отмена Сохранить сценарий...
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.
Если используется модуль ОПГ, то найдено по крайней мере локально оптимальное решение. Если используется модуль поиска решений линейных задач симплекс-методом, то найдено глобально оптимальное решение.
Рис. 6. Диалоговое окно «Результаты поиска решения» Fig. 6. Solver dialogue box
На листе программы «Пункт 1» выполняется построение точечного графика аналогично пункту 1 в примере 1. На рис. 7 приведен точечный график, из анализа которого следует, что выбросов нет.
4,5
0,5 О
оооооооооооооооо ооооооооооооооо
Номер измерения / No. of measurement
Рис. 7. Точечный график тока 23-ей гармоники Fig. 7. Scatter plot of the 23-rd harmonic current
На листе программы «Пункт 2» выполняется построение гистограммы аналогично пункту 2 в примере 1. Гистограмма приведена на рис. 8.
1 -я компонента
2-я компонента/
\ 01 \
0,02 0
К-
о (N оо m (N О
1 rJ ri
3a1
(N (N (N m ro m m
I, А ^ 3a2 '
Рис. 8. Гистограмма тока 23-ей гармоники Fig. 8. Histogram of the 23-rd harmonic current
Анализ гистограммы и сопоставление ее формы с функциями плотности вероятностей, приведенных на листе «Пункт 3» и в специальной литературе, позволяет сделать вывод, что для идентификации функции плотности вероятностей анализируемого тока следует применить специальный метод, т.е. перейти на пункт 9.
Пункт 9. Визуальный анализ гистограммы на рис. 8 позволяет предположить наличие двух компонент, имеющих нормальное распределение.
Пункт 10. Функция плотности вероятностей, описывающая гистограмму тока, может быть представлена в виде
f ( х
2 1
0) = ХSJ
i=1 2ж
г -Mj " 2^2
(6)
где 0 = (g1,g2,u1,U2,<1,<2) - вектор параметров компонент смеси; и, ¡л2 - математические ожидания для каждой из компонент смеси; <, <2 - среднеквадратические отклонения для
каждой из компонент смеси. Для определения величин весовых коэффициентов gj, g2 принимается, что общая площадь гистограммы, находящаяся под кривыми обеих компонент смеси, равна 1. Величины gj,g2 задаются равными долям площадей, находящихся под соответствующими кривыми 1-й и 2-й компонент смеси. Величины ju1,<1,U2,<2 определяются по гистограмме, как показано на рис. 8. Для нормальных распределений положение пиков гистограммы относительно оси абсцисс позволяет определить значения математических ожиданий для каждой из компонент. Половина ширины фигуры под кривой плотности вероятностей компоненты дает возможность определить значение среднеквадратического отклонения, так как согласно правилу трех сигм при нормальном распределении интервал трех сигм включает в себя практически все значения случайных величин [8].
В пункте 11 на листе программы «Пункты 9-13» выполняется анализ гистограммы для задания начальных приближенных значений параметров вектора 0. Значения начальных приближений параметров вектора 0 (см. рис. 8) принимаются равными: g1 = 0,65; g2 = 0,35; ц = 2,16; ju2 = 3,30; < = 0,34; <2 = 0,21.
В пункте 12 на листе программы «Пункты 9-13» решается оптимизационная задача (5) с целью уточнения параметров вектора 0 с помощью надстройки MS Excel Поиск решения.
Вся необходимая для этого информация размещается на листе программы «Пункты 9-13» в определенных столбцах. В столбце J размещаются вычисленные значения функции распределения F(x)i, т.е. 1-й компоненты смеси, в граничных значениях интервалов, в столбце K -значения функции распределения F(x)2, т.е. 2-й компоненты смеси, в столбце O - значения функции распределения F(x,0) = F(x^ + F(x)2. В ячейках столбцов Q, R, S, T, V, W находятся номера интервалов гистограммы, нижние и верхние граничные значения интервалов, теоретические вероятности попадания случайных величин в интервалы, экспериментальные частоты попадания элементов в интервалы, теоретические частоты mps. В ячейках столбца X
вычисляются слагаемые статистики критерия согласия Пирсона %ж. Экспериментальное значение статистики будет размещено в ячейке Y3. Далее решается задача минимизации статистики Хж с помощью надстройки MS Excel Поиск решения. Ячейки искомых параметров компонент смеси g1, g2, ¡1, ¡2, <г1, а2 - E2:G3. После завершения работы надстройки в них будут размещены уточненные значения параметров: g1 = 0,63; g2 = 0,37; ц = 2,15; ¡2 = 3,25; сг1 = 0,50; а2 = 0,21. Функция плотности вероятностей тока 23-й гармоники принимает вид
f ( х, 0) = 63— exp
( (х-2,15)2
( (х-3,25)2
_ _ , 0,37
-1 exp - н г— exp
0,50V2^ ^ 0,50 ) 0,21л/2^ ^ 0,09
(7)
Далее в соответствии с пунктом 13 выполняется проверка согласия теоретического распределения случайных величин тока с экспериментальным с помощью критерия согласия Пирсона [6]. Для этого на листе программы «Пункты 9-13» в помеченные столбцы вводятся
экспериментальные и теоретические частоты и вычисляются слагаемые статистики Хж, которая в результате расчета размещается в ячейках AI3-AI4. Статистика хж оказалась равной
16,99. В ячейках AJ6-AJ7 содержится число степеней свободы v = S - r-1, где r - число оцениваемых параметров распределения. В ячейках AI8-AI9 размещается вычисленное с вероятностью 0,95 с помощью встроенной в MS Excel функции ХИ2.ОБР критическое значение хкр.
2 2
Оно оказалось равным 25,00. Так как х2р = 16,99 < х2р = 25,00, то с вероятностью 0,95
функция плотности вероятностей (7) согласуется с экспериментальным распределением измеренных величин тока. На рис. 9 приведены гистограмма и теоретическая функция плотности вероятностей тока 23-й гармоники (7).
Значение тока 23-й гармоники с вероятностью 0,95 вычисляется на листе программы «Пункт 8.2». Этот лист программы предназначен для вычисления значений токов гармоник, если их случайные величины имеют распределение, состоящее из смесей вероятностных распределений. В столбец А начиная с ячейки A2 вводится ряд случайных величин тока 23-й гармоники. В соответствии с указаниями на листе в соответствующие столбцы и ячейки вводятся граничные значения интервалов гистограммы, частоты попадания элементов в интервалы, номера компонент смеси распределений, параметры, характеризующие предполагаемые функции плотностей вероятностей компонент смеси распределений, весовые коэффициенты, вычисляются минимальное и максимальное значения случайных величин тока. В ячейки J2, K2 вводятся формулы для вычисления значений F(x)i, F(x)2 - функций нормального распределения с параметрами у и о, для чего используется встроенная в MS Excel функция НОРМ.РАСП. В ячейке O2 будет размещаться вычисленное значение F(x) = F(x)i + F(x)2. За-
дача заключается в нахождении такой величины тока, при которой значение функции распределения F(x) будет равняться величине 0,95. Для ее решения используется надстройка Поиск решения MS Excel. Ограничение, которое должно быть выполнено при решении этой задачи, заключается в том, что величина вычисленного с вероятностью 0,95 тока должна быть больше минимального, но меньше максимального значений из ряда случайных измеренных величин тока. После завершения работы надстройки Поиск решения в ячейке I2 находится величина тока, равная 3,50 А.
Рис. 9. Экспериментальное и теоретическое распределения тока 23-ей гармоники Fig. 9. Experimental and theoretical distributions of the 23-rd harmonic current
Выводы
1. Разработанные алгоритм и компьютерная программа позволяют моделировать токи гармоник нелинейных нагрузок по измеренным параметрам режима сети, представляющим собой ряды случайных величин, которые имеют не только описанные в специальной литературе функции распределения, но и их смеси.
2. В качестве иллюстрации применения программы были вычислены значения с вероятностью 0,95 тока 5-й гармоники подстанции железной дороги, измеренные величины которого имеют гамма-распределение, и тока 23-й гармоники алюминиевого завода, измеренные величины которого имеют распределение, состоящее из смесей двух компонент нормального распределения.
Библиографический список
1. Добрусин Л.Н. Проблема качества электроэнергии и электросбережения в России // Энергоэксперт. 2008. № 4 (9). С. 30-35.
2. Targosz R., Chapman D., Application Note. Cost of poor power Quality [Электронный ресурс]. URL:http://www.leonardo-energy.org/resources/297/the-cost-of-poor-power-quality-5800e490f1e14. (20.09.2017).
3. Арриллага Дж., Брэдли Д., Боджер П. Гармоники в электрических системах / пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1990, 320 с.
4. Коверникова Л.И. Некоторые свойства параметров режимов гармоник в сети с распределенными нелинейными нагрузками // Управление качеством электрической энергии: сб. тр. Междунар. науч.-практ. конф. (26-28 ноября 2014 г.). М.: Изд-во ООО «Центр полиграфических услуг "Радуга"», 2014. С. 101-108.
5. Irwin J.O. On a criterion for the rejection of outlying observations // Biometrika. 1925. Vol. 17. Issue 3-4. Р. 238-250.
6. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. 2-е изд., испр.
М.: Физматлит, 2012. 816 с.
7. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Постовалов С.Н., Чимитова Е.В. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. 888 с.
8. Закс Л. Статистическое оценивание / пер. с нем. В.Н. Варыгина; под ред. Ю.П. Адлера, В.Г. Горского. М.: Статистика, 1976. 598 с.
9. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификации и снижение размерности: справочное издание. М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.
10. Королев В.Ю. ЕМ-алгоритм, его модификации и их применение к задаче разделения смесей вероятностных распределений. Теоретический обзор. М.: Изд-во ИРИ РАН, 2007. 94 с.
11. Воронцов К.В. Лекции по статистическим (байесовским) алгоритмам классификации [Электронный ресурс]. URL: http://www.ccas.ru/voron/download/Bayes.pdf (20.09.2017).
12. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001. 295 с.
13. Куллдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группированным выборкам / пер. с англ. Н.А. Бодина; под ред. Ю.В. Линника. М.: Наука, 1966. 176 с.
References
1. Dobrusin L.N. The problem of electrical energy quality and saving in Russia. Energoekspert [Energy Expert]. 2008, no. 4 (9), pp. 30-35.
2. Targosz R., Chapman D. Application Note. Cost of poor power Quality. Available at: URL: http://www.leonardo-energy.org/resources/297/the-cost-of-poor-power-quality-5800e490f1e14 (accessed 20 September 2017).
3. Arrillaga Dzh., Bredli D., Bodzher P. Garmoniki v elektricheskikh sistemakh [Harmonics in Power Systems]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1990, 320 p. (In Russian).
4. Kovernikova L.I. Nekotorye svoistva parametrov rezhimov garmonik v seti s raspredelennymi nelineinymi nagruzkami [Some properties of harmonics mode parameters in electrical network with distributed nonlinear loads]. Sbornik trudov Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Upravlenie kachestvom elektricheskoi energyii" [Proceeding of the International Scientific and Practical Conference "Power Quality Management"]. Moscow: Center of printing services "Raduga" Publ., 2014, pp. 101-108. (In Russian).
5. Irwin J.O. On a criterion for the rejection of outlying observations. Biometrika. 1925, vol. 17, issue 3-4, pp. 238-250.
6. Kobzar' A.I. Prikladnaya matematicheskaya statistika. Dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov [Applied mathematical statistics. For engineers and researchers]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2012, 816 p. (In Russian).
7. Lemeshko B.Yu., Lemeshko S.B., Postovalov S.N., Chimitova E.V. Statisticheskii analiz dannykh, modelirovanie i is-sledovanie veroyatnostnykh zakonomernostei. Komp'yuternyi podkhod [Statistical data analysis, simulation and study of probability regularities. Computer approach]. Novosibirsk: Novosibirsk state technical university Publ., 2011, 888 p. (In Russian).
8. Zaks L. Statisticheskoe ocenivanie [Statistical estimation]. Moscow: Statistika Pub., 1976, 598 p.
9. Aivazyan S.A., Buhshtaber V.M., Enyukov I.S., Meshalkin L.D. Prikladnaya statistika. Klassifikacii i snizhenie razmer-nosti [Applied Statistics: Classification and Dimension Reduction]. Moscow: Finansy i statistika Publ., 1989, 607 p. (In Russian).
10. Korolev V.Yu. EM-algoritm, ego modifikatsii i ih primenenie k zadache razdeleniya smesei veroyatnostnykh raspre-delenii. Teoreticheskii obzor [EM-algorithm, its modifications and their application to the problem of probability distribution mixture separation. Theoretical review]. Moscow: IRI RAN Publ., 2007, 94 p. (In Russian).
11. Voroncov K.V. Lekcii po statisticheskim (baiesovskim) algoritmam klassifikacii [Lectures on statistical (Bayesian) classification algorithms]. Available at: http://www.ccas.ru/voron/download/ Bayes.pdf (accessed 20 September 2017).
12. Vadzinskii R.N. Spravochnik po veroyatnostnym raspredeleniyam [Handbook of Probabilistic Distributions]. Sankt-Peterburg: Nauka Publ., 2001, 295 p. (In Russian).
13. Kulldorf G. Vvedenie v teoriyu otsenivaniya po gruppirovannym i chastichno gruppirovannym vyborkam [Introduction to the Theory of Estimation on Grouped and Partially Grouped Samples]. Moscow: Nauka Publ., 1966, 176 p.
Критерии авторства
Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
