Алгоритм числового расчёта реакций связей в динамической системе транспортной машины Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

УДК 656:519.6

АЛГОРИТМ ЧИСЛОВОГО РАСЧЁТА РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

ТРАНСПОРТНОЙ МАШИНЫ

А. Л. Ахтулов

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-03-13

Аннотация — Рассмотрены вопросы построения и практического применения системы автоматизации проектирования элементов и агрегатов конструкций транспортных машин с учетом их динамических характеристик. По результатам проведенных исследований предложен унифицированный метод определения реакций связей сложной пространственной конструкции. Методика, основанная на методе подконструкций, позволяет определить значения передаточных функций с учетом реакций связей. После проведенных исследований следует отметить, что такой подход дает наиболее удовлетворительные результаты и может быть использован для расчетов сложных механических систем машин и агрегатов различного назначения. Показаны направления повышения степени обоснованности принимаемых технических решений, особенно на ранних стадиях проектирования, когда цена ошибок велика, с проведением тщательной всесторонней отработки всех элементов конструкции, что реально осуществимо лишь на основе автоматизации проектно-конструкторских и технологических работ.

Ключевые слова: транспортная машина, динамическая система, объект сложной структуры, реакция связей, алгоритм, система автоматизации проектирования

I. Введение

В последние годы появились проблемы, связанные с необходимостью учета упругих свойств конструкций, совершающих пространственное движение, что вызывает появление ряда новых ситуаций, которые оказывают существенное влияние на динамические характеристики объекта.

Сложность создаваемых объектов вызвала целесообразность использования новых расчетных моделей, основанных на разработке современных научно-обоснованных методов исследования конструкций с целью создания эффективных систем и программ автоматизации проектирования объектов новой техники, представляющих сложные структуры.

Движение среды простой структуры, используемое в механике деформируемого тела, описывается тремя функциями-проекциями вектора перемещений. Движение же среды сложной структуры характеризуется набором большого числа функций. Эти функции являются обобщенными координатами отдельных элементов, из которых состоит среда. Таким образом, понятие сложной структуры обобщает классическое понятие, используемое в теории упругости. Исторически одной из первых моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является континуум, введенный впервые в 1909 году Е.Ф. Коссером [1]. В другой работе [2] дается описание полей вибраций в зоне границы контакта двух тел сложной структуры методами теории вибропроводности.

Целью настоящей работы является разработка моделей определения динамических характеристик конструкций транспортных машин, как сложных технических систем [3], с учетом реакций связей и создание на их основе методик проектирования.

II. Постановка задачи

Конструкции транспортных машин, как сложный объект, с точки зрения его проектирования, производства и подготовки эксплуатации, можно рассматривать как многоуровневую, иерархическую структуру [4]. Задачей является [5] вывод уравнений реакций элементов конструкции транспортной машины при не связанном взаимодействии друг с другом (рис. 1).

Рис. 1. Схема взаимодействия не связанных между собой элементов конструкции транспортной машины

Физически это взаимодействие происходит в ряде точек конструкции, оказывающих косвенное влияние на оба элемента. Математически это означает, что вектор обобщенных перемещений {хв1} одного элемента транспортной машины в этих точках должен быть равен вектору перемещений {хр1} другого, что можно записать в виде

{хв1} = {хр1} (1)

для любого момента времени /. Аналогичное выражение можно записать для векторов обобщенных сил реакций в общих точках взаимодействия

{Яв} = -{ЯР} (2)

для любого момента времени

Пользуясь схемой несвязанных тел [6] (рис. 1), легко можно вывести уравнения движения для обоих элементов

где {хв} представляет собой вектор обобщенных перемещений, [Мв] - матрица масс, [£в] - матрица жесткости и ^в} - вектор внешних сил для одного из элементов транспортной машины. По аналогии вводятся обозначения и для другого элемента. Уравнения (3) представляют собой несвязанные уравнения движения не демпфируемых элементов, т.е. на данный момент практически всюду из уравнений исключено демпфирование. Предполагается, что демпфирование может быть учтено при помощи общепринятой методики демпфирования мод колебаний.

III. Теория

Чтобы получить уравнения движения системы транспортной машины, необходимо исключить не известные заранее векторы сил реакций {RBj} и {RPJ. Известны два наиболее часто используемые преобразования, позволяющие решить эту задачу. В первом используются [7] несвободный и свободный элемент транспортной машины, а во втором [8] оба элемента транспортной машины принимаются несвободными при свободной поверхности взаимодействия. В обоих подходах осуществляется следующее разделение вектора {хР}

{хР } =

(4)

где {хм } отражает неограниченные перемещения элемента, который можно представить в виде суммы

{хрм} = [8р]{хр} + { ХРР }, [Бр] = -[—а/Д] 1[—Д,

где

(5)

(6)

а вектор { хДР } является вектором неограниченных перемещений элемента по отношению к поверхности взаимодействия.

Тогда уравнения движения в случае свободного элемента [9] выводятся с помощью выражений (1) и (5) в виде преобразования координат

(7)

B ' X N I О О]

B X О I О

P X N О Sp I

xP О I oj

Используя обозначение, можно записать в виде

Ib Lb о О TP IP

B

X

X

B

B

x

x

p

f

а также уравнения (2), (3) и (7), получаем следующие уравнения движения для случая свободного элемента конструкции транспортной машины

" I TMBIB \ ItBMBLB 1 0 " 1 \x B A N

LTBMBIB i LTBMBLB + TpT M PTP i :tPTMpIp \x i > +

о ! IpMPTP ! ITPMPIP xP A N

1 B K B 1 B i 0 1 i 0 " 1 \xB 1 A N Î^F ) 1 B 1 B

+ L B K B1 B i LBKBLB + TP KPTP ! 0 xi = . JT F B B

0 \ 0 ! I P K p I p xP A N 0

(9)

Если оба элемента формально описаны одинаково, т. е.

{хВ}=[^в]{хВ}+{хВ},

то подходящим координатным преобразованием будет преобразование вида

xB~\ ■X-N ~I SB 0

B Хв- 0 I 0

P XN 0 -------1 S ! <J P 1 I

P X. _0 I \ 0

x.

x

—P x

(10)

(11)

Результирующие уравнения движения для несвободных элементов конструкции транспортной машины при свободной поверхности взаимодействия (границе) могут быть записаны в виде

Iтвмв1в

ТТШв. 0

ITnKnI,

о

i ITBMBTB j 0

i ttbmbtb+tTTmptp ! tTTmpip X > +

! ITPMPTP ! ITPMPIP XP x N

! 0 ! 0 " 1 1 XB1 N \ITF ] 1B в

| TBjKBTB + TPTKPTP i 0 ■\ B = . TTF 1 в1 в

! 0 ! ITI,KPIP XP N 0

(12)

0

Матрицы [SB] и [TB] определяются аналогично [Sp] и [7р]. Основным различием уравнений (9) и (12) является присутствие в последнем дополнительного члена, обусловленного жесткостью несвязанной системы.

Столбцы матриц [Гр] и [TB] далее будем называть модами связей, что позволяет представить движение элементов конструкции при помощи комбинации мод связей, мод движения жесткого тела и мод фиксированной границы. Введение такого упрощения, позволяет моды движения жесткого тела не рассматривать отдельно от мод связей при использовании преобразования (5). Это именно то преобразование координат, что ведет к появлению в уравнениях (9) и (12) члена, обусловленного жесткостью несвязанной системы.

Силы, действующие на элемент конструкции, могут быть отнесены к двум категориям [3]: силы, возникающие в связях, и силы, приложенные с помощью внешних по отношению к системе источников.

В первую категорию включаются силы, действующие через связи на другие элементы, а также реакции, действующие на систему при фиксированных связях. Силы, возникающие в связях, совершают работу на перемещениях элемента, тогда как реакции в неподвижных связях не производят работу.

Силы, действующие в связях между элементами, подразделяются далее на две категории: RjR - сила, приложенная к статически определяемой связи, и RrC - сила, приложенная к избыточной связи.

Внешние по отношению к системе усилия могут быть распределенными или сосредоточенными. Пусть f

представляет интенсивность распределенной нагрузки в произвольной точке, и пусть F будет сосредоточенной силой в некоторой точке с перемещением ui.

Виртуальная работа [8], произведенная этими силами на виртуальном перемещении элемента, задается выражением

SW = £ RRSiïf + £ RC (SUR + S~C ) + j f ■ SUdV + £ F ■Su1 , (13)

s r i

где SSHf - виртуальное перемещение s-й статически определимой связи при жестком перемещении; SSlR -

виртуальное перемещение r-й избыточной связи при жестком перемещении; SUR - виртуальное перемещение r-й избыточной связи при смещении.

+

Заметим, что перемещения связей различаются с помощью знаков в виде волнистой черты над буквой. Эти перемещения считаются скалярными величинами, поскольку сами связи определяют направление смещений [6], которые могут быть определены через типичные связи, ограничивающие перемещения элементов и их реакции

RR -

фл r

J

= Шр: = Е фс r

(14)

J. RR " л. J.CK

где (psj - типичное перемещение s-й статически определяемой связи при j-й жесткой форме; фrj- - типичное

перемещение r-й избыточной связи приj-й жесткой форме; ффсС - типичное перемещение r-й избыточной связи при j-й форме перемещения вследствие связи.

Подставляя выражение (14) в (13), получаем следующее уравнение для виртуальной работы:

5 W =

Ер

х RRj +Е RCj +j f jv + Е F

Е5рС

Е rC$Cc+j f -tfdvF

-ЕР

j f-ф/dv + Е F ф

Виртуальная работа может быть также записана через обобщенные силы и перемещения

5 W = £ р^ + £ Ребре + £ РДврМ.

(15)

(16)

Сравнивая соотношения (15) и (16) и учитывая, что обобщенные виртуальные перемещения 5р. (. = 1,2,3,...) являются независимыми, получаем следующие уравнения для обобщенных сил:

р* = £ ЯФГ + £ ^ФТ +$ 1 ■ФRdv + £ р ф

рс =£ Ф + | 1 + £ р ф

РД =| 1 ■фlNdv + £р ф

I

Систему обобщенных внешних сил удобно записать отдельно в таком виде:

Р.* =| 1 -ф^ + £р ф

рт =| 1 .фCdv + £р ф рм = { 1 - фJNdV + £р ф

I

Учитывая выражение (18) для обобщенных сил, можно переписать уравнение (17) в матричной форме

(17)

(18)

где

И =

{ Р } =

R'

\• {r}=\Rc \' {F }=

{ R} + { F }

fr~

FC Fn

(19)

• Ф

iRR 0 0 iCR фсс 0

Здесь следует заметить, что перемещения связей преобразуются в обобщенные перемещения с помощью матрицы таким образом:

ф

фск фсс

0 0

0

р рс

PN

где и* - полное перемещение статически определимой связи; ис - полное перемещение избыточной связи.

R

R

r

C

r

R

X

с

X

X

1

R

С

N

R

С

С помощью условия непрерывности [10] в связях элементов можно показать, что равновесие взаимодействующих сил в этих связях выполняется автоматически. Для того чтобы показать справедливость этого утверждения, необходимо четкое формирование и отслеживание шагов, ведущих к определению системы обобщенных сил. Подстановка соотношения (19) в (2) показывает, что вектор силы для системы имеет вид

{О (1)} = [ в ]Т ф] {К} + [ в ]Т {Б}. (21)

В этом равенстве матрица [ф ] составлена из матричных компонент, расположенных следующим образом:

ф ],

(22)

Аналогично компонентами векторов {Я} и {Б} являются соответствующие векторы для отдельных элементов конструкции [11], расположенные в таком порядке:

Г{*>11 {{Р 1

{Р }2

- {Р }=' {Р.}

{Р }

Поскольку компоненты вектора системы {Я} являются усилиями, действующими в связях элементов, т.е. являются внутренними по отношению ко всей рассматриваемой конструкции, то они не влияют на обобщенные силы системы {О (1)}. Поэтому первое слагаемое в правой части равенства (21) исчезает, и система упрощается.

{О (1)} = [в]Т{Б}. (24)

Таким образом, утверждение относительно самоуравновешенности внутренних сил можно провести, показав, что первое слагаемое в правой части равенства (21) действительно обращается в нуль, т.е.

в ф {*}= {0}. (25)

Доказательство можно провести, применяя принцип минимума виртуальной работы [3] к двум взаимосвязанным элементам системы. Нетрудно показать, что две реакции в общей связи равны по величине и противоположны по направлению при непрерывности перемещений, что является доказательством справедливости равенства (24).

Следовательно, реакции связи системы нескольких тел, состоящих из р твёрдых тел с q связями, можно описать линейной переопределённой системой уравнений:

= ? (26)

с 6 р х q - распределённой матрицей Q; q - вектора обобщённой реакции связи; q и 6р - вектора, обозначающие

-2

реакции связи q в центре масс.

К числовому решению можно отнести числовой стандартный подход, например, метод исключения Гаусса [5]. В этой работе показывается, что возможно использование блочной матричной структуры Q в качестве основы для алгоритма.

Таким образом, реакции связей положения Ьк, к = 1(1)1 рассматриваемых тел — и К.; у=1(1)р связаны (рис. 2) с помощью радиус-вектора гок и матрицы поворота Ок определяют устойчивость системы координат [4].

Рис. 2. Геометрическое описание положения связей

Далее проводят для каждого направления положения скалярный фактор gm, т = 1(1)д, который соответствует величине обобщенной реакции связи в этом направлении и при этом сохраняет наглядное значение.

Если описывают закон сохранения количества движения и закон момента количества движения для тел с одинаковыми началами векторов, то получается уравнение реакции связи [12]

4 0

01„

ЯвТя = qzo

(27)

с блок-матрицей Т = Diag{TT 1 ...Тп; ТК1 ... ТК1 }, О = Diag^l ... 0{; Ох ... 0{ },

К =

Е

.е

.Е

.Е

при этом символ - перекрёстный продукт. Постоянная матрица 1Е является матрицей инцидентности системы нескольких тел, при этом по мере надобности заменяются единичные элементы при помощи 3 х 3 единичной матрицы и нулевые элементы при помощи 3 х 3 нулевой матрицы.

Для решения уравнения (27) сначала рассчитывают О-вектор у = КОTg из (27). Тогда для систем со сложной структурой предоставляется возможность найти решение, например, при помощи прямого использования алгоритма Гаусса [5].

В системах с S кинематическими узлами не представляется возможным аналогичное решение для у, так как матрица 1Е отражает степень наклона 68 [9]. Поэтому получают ^-параметрическое решение у = у + УЛ с частным вектором решения У , постоянной 61 х - матрицей гомогенного решения Y и 6s-вектора произвольного

параметра Л.

Для вектора g получается только уравнение:

Tg = ОТК-'(у + УЛ)

ОТ = О -

(28)

к-1 =

Е

.Е

Е

■.Е

что соответствует компоненту вектора Т для всех положений системы нескольких тел.

Каждый q компонент Т , который соответствует закрытому положению направления, содержит, смотря по обстоятельствам, компоненты вектора q. При этом для каждого узла получают 6 уравнений для расчёта вектора Л . Дальнейший ход действий соответствует системе со сложной структурой.

I

Е

0

•.г,

0

и

-г

.-г,

IV. Результаты экспериментов На основе полученного алгоритма разработана компьютерная программа, ведущая числовой расчёт реакций связи, по которой время расчёта значительно меньше, чем требуется для алгоритма Гаусса [5]. На рис. 3 представлен объект и его типичный элемент е.

{Мр}{хр} + {Кр}{Хр} = (Рр>. (29)

Рис. 3. Объект и определение его элемента е

Требуется определить нагрузку или вектор внутренних сил, действующих на этот элемент. Вектор сил можно представить в виде

{Р/}= [ке ][Те]{хр},

(30)

где [хР] - вектор перемещений полезной нагрузки, [^ - матрица жесткости элемента е и - матрица преобразования, отражающая перемещения элемента е через перемещения полезной нагрузки, которые определяются из уравнения вида (28).

Предполагаем, что подход, основанный на составлении уравнений Ньютона для каждой моды [7], позволяет более точно определить вектор {Хр} и, следовательно, вектор внутренних сил ^ер}. Использование такого подхода приводит к необходимости решения уравнения относительно {хр} и модального разложения {хр}, т. е.

{Хр}={Кр}-1 [{Рр} - [Мр]{Хр}]. (31)

Полагая, что в [фв] сохраняются М мод свободного элемента и N мод консольно закрепленного второго элемента.

Сначала ^М связанных уравнений в системе заменяются N х М системами из двух уравнений, каждое из которых отражает взаимодействие одной моды одного элемента с одной модой другого, а именно:

I + {ФВ }Т ТТМТ {ФВ }_ I {ФВ тТМр1р (ф7р } {фр ~}Т 1рТМрТр {фв } | 1

+

о

{Ё-и

(32)

_Вг_ 0

о

'р

\Яв_. 1 _{{ф }Т Ъ

1 г "" о

в

N

г _ 1,2,..., М у _ 1,2,..., N

В уравнении (30) считалось, что поверхность взаимодействия статически определена, т. е. [^ КРТР] = [0].

Затем для каждой из N х М модальных реакций элемента вводится предельное значение двР. Это реализуется путем составления новой модели для входного воздействия (вынуждающей функции [8]) в уравнении (30). Довольно сложная вынуждающая функция заменяется значительно более простой (например, импульсом силы), которая порождает то же максимальное значение реакции, что и первоначальная сила. Таким образом, из уравнения с некоторыми последующими упрощениями оказывается возможным получить аналитическое выражение реакции, позволяющее определить ее максимального значения. Затем определяется предельное значение реакции полезной нагрузки дР с помощью суммирования модальных предельных значений двР (в абсолютных единицах или в среднеквадратическом смысле, что допускает введение весовых коэффициентов). Реакции элемента полезной нагрузки определяются суммированием вкладов всех модальных составляющих.

Как отмечено выше, вынуждающая функция в уравнении (30) заменяется модальной ¿-функцией заданной амплитуды Ъв. Эта амплитуда определяется при помощи анализа переходных процессов транспортной машины при наличии или в отсутствие искусственной нагрузки. Достоинствами метода анализа спектра максимальных нагрузок являются малый объем вычислений и краткость каждого вычислительного цикла.

Можно отметить, что данный метод может быть эффективно использован в случаях, когда масса конструкции не является главным фактором или при предварительном расчете оценок динамических реакций на начальных этапах процесса проектирования полезной нагрузки.

Следовательно, необходимо в принципе рассмотреть лишь методы, учитывающие только свободные колебания. Достоинство такого подхода состоит в упрощении процесса получения и анализа данных. При этом для свободных колебаний уравнение движения, пренебрегая демпфированием, запишется в упрощенном виде:

[М]{д} + [К]{д} = 0. (33)

Решение этого уравнения, применив подстановку Эйлера, можно представить в следующем виде:

{д} = {д, д,..., дк} = {Д, Д,..., ДЛ • а = {В} ■ еаС, (34)

где ф} - вектор-столбец амплитуд колебаний; юС - круговая частота собственных незатухающих колебаний.

Подставляя (32) в уравнение свободных колебаний, получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициента Dj [0]{^}=0,

{В} =

В

ДА

[О] =

(35)

где О = -т1} -ас + К1}.

Откуда получаем условие колебаний конструкции на собственных частотах

(-таС+Ки) ... (-тшаС+ю

( -тмаС + Кт) ... ( -тммаС + Кмм)

(36)

Из (33) находим N корней (а(2)1 < (аС)2 < ... < (ас)н. (37)

После отыскания корней находим коэффициенты D1, ..., DN. Каждому корню уравнения (36) соответствует своя система коэффициентов. Чаще всего используют не сами коэффициенты, приведенные к данной собственной частоте колебаний, а их отношение:

Ф = В (¿=1, 2, 3, ..., N0, (38)

1 В

называемые собственными формами колебаний системы (модами).

При решении характеристического уравнения (36) с учетом демпфирования получаем N корней

(4х < (4)2 <... < (4)^, (39)

где 4 =®С(1 -£С) - круговая частота собственных затухающих колебаний; £с - параметр затухания собственных колебаний.

Таким образом, уравнение имеет 2N корней, определяющих 2N значений Л, из которых на основании преобразования Лапласа [10] при нулевых значениях начального положения и скорости получаем ^}={р*}(Л2[М]+Л{С}+[К])-1, где [В(Л) = (Л2 [М] + Л[С] + [К])-1 - матрица передаточных функций.

И тогда, передаточная функция в'^ (л) для характерных точек / и ] подсистемы 3 может быть определена

аналитически [4] или экспериментально [12]. Из-за наличия демпфирования существует запаздывание по фазе между возмущением и реакцией. Следовательно, в общем случае они являются комплексными числами с действительной и мнимой частью, или модулем и фазовым углом, в функции частоты Л.

При аналитическом определении передаточной функции необходимо знать величины нормальных форм Ук, представляющих реакцию к-го тона в точке ¿, а также частоты к-го тона ак и обобщенные массы тк. Например, передаточная функция перемещения, или проводимость, при малом или пропорциональном демпфировании определяется как

В(Л) = Е т|(Л -Л? и.

[(Л - Л2)+ 12п,Л,Л\

(40)

где г)к - расчётная или измеренная величина коэффициента демпфирования (в общем случае зависящая от частоты).

Для перемещений и поворотов транспортной машины как твёрдого тела соответствующие собственные частоты в уравнении (38) равны нулю. Из уравнения (38) можно получить и другие выражения передаточных функций. Например, передаточная функция по скорости или по ускорению получается умножением уравнения (38) на ¿а и - а2 соответственно.

V. Обсуждение результатов При экспериментальном определении передаточной функции (рис. 4) конструкция возбуждается вибратором, создающим возмущающую силу, которая по форме близка синусоиде с медленно меняющейся частотой; реакция системы регистрируется. После соответствующей фильтрации в системе обработки аналоговых данных выделяются фазовый сдвиг между ними в функции частоты; затем эти данные преобразуются в цифровую форму. При аналитическом определении передаточных функций вычисление форм колебаний производится с учётом граничных условий, налагаемых характеристиками выбранной модели. Однако при экспериментальных исследованиях целесообразно определять передаточные функции для свободных, незакреплённых подсистем. С этой целью часто применяется метод «мягкой подвески», когда частоты твёрдого тела на подвеске удалены от основной частоты возмущения.

к ПЭВМ

Рис. 4. Блок-схема системы определения передаточной функции

С другой стороны, часто представляется возможным использовать симметрию подсистем относительно осей или плоскостей, когда опорные устройства могут быть установлены так, что они не оказывают никакого влияния на исследуемую реакцию. Наиболее широко используется упругое закрепление подсистемы в исследуемых точках с замерами для каждого уровня возмущения всех сил и перемещений опоры (рис. 5), основных составляющих сигнала, т.е. модуль отношения реакции к возмущению и, как будет показано ниже, влияние испытательного оборудования может быть исключено с помощью вычислений, в результате чего получаются передаточные функции незакреплённой системы.

Рис. 5. Возбуждение конструкций несколькими вибраторами

с одновременным измерением всех опорных реакций: Е - типичное перемещение; Р - типичная сила опоры; 1 - напряжение возбуждения; 2 - датчик перемещений и динамометр

Причем влияние испытательного оборудования может быть исключено с помощью вычислений [13], в результате чего получаются передаточные функции незакреплённой системы.

Как будет показано ниже, влияние испытательного оборудования может быть исключено с помощью вычислений, в результате чего получаются передаточные функции незакреплённой системы. Представим через действительную [Н] и мнимую У] матрицы в виде:

([М ] + ][ 3])-[Б(Л)] = [Е1 (41)

где [Е] - единичная матрица.

На основании полученных решений вектор-столбец ускорений системы можно представить в виде

2 N

{д) = £Л,{Ф}^ , (42)

]=1

где N - число точек измерения.

Смещения в любой точке системы получаются из собственных форм путем модального наложения [5]

Тогда с учетом (37) и (38) из выражения (36) можно записать:

в(а)1к =.. д = ^»с (44)

хс-М• ас кк

где I = 1, 2, 3, ..., N - число точек измерения; к = 1, 2, 3, ..., Ь - число собственных форм.

Ускорения на выходе дк по отношению задаваемому, на входе хС принято обозначать через коэффициент передачи виброускорения по конструкции [11]

к = я*. к1 = х ХС

Тогда получаем к* =кк В(а)к . (45)

VI. Выводы и заключение

Динамические свойства линейных систем при решении данного вопроса принято характеризовать отношением реакции к внешнему воздействию в функции частоты, то есть передаточными функциями. Также установлено, что характер сигнала, проходящего по сложной системе, определяющейся ее структурой (жесткостными и инерционно-массовыми характеристиками), а также вид входного воздействия, имеют в основном нелинейные зависимости от величины входного воздействия.

Таким образом, при линеаризации конструкции транспортной машины, как сложной механической системы [11], предлагаемый метод подконструкций позволяет определять как ее собственные формы и частоты колебаний, так и ее отдельных частей, используя решения для отдельных элементов и агрегатов. В таком случае динамическая модель отдельных элементов и агрегатов транспортной машины может быть сведена к пространственной системе твердых тел, смоделированных с помощью методов конечных элементов [14, 15], соединенных между собой и основанием упруго-инерционными элементами, представляющими связи.

Список литературы

1. Кошелев А. И., Черлак С. И. Регулярность решений некоторых краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических систем. СПб.: СПбУ, 2000. 335 с.

2. Беляев А. К., Пальмов В. А. Теория вибропроводности // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. 1980. Т. 36. С. 93-102.

3. Девятков В. В. Методология и технология имитационных исследований сложных систем: современное состояние и перспективы развития: моногр. М.: Вузовский учебник, 2017. 448 с.

4. Ахтулов А. Л. Методология построения и практическое применение системы автоматизации проектирования транспортных машин // Вестник СибАДИ. 2005. Вып. 3. С. 14-29.

5. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика / пер. с англ. Л. Я. Банах, А. В. Синева; под ред. А. В. Баранова. М.: Наука, 1972. 544 с.

6. Benfield W. A., Hruda R. F. Vibration analysis of structures by component mode substitution // AIAA J. 1971. Vol. 9, no 7.

7. Hurty W. С. Dynamic analysis of structural systems using component modes // AIAA J. 1965. Vol. 3, no. 4.

8. Craig R. R., Bampton М. С. Coupling of structures for dynamic analysis // AIAA J. 1968. 6 (7). P. 1313-1319.

9. Brohn D., Brown D., Henderson R., Rathbone A. Modeling of Steel Structures for Computer Analysis. The Steel Construction Institute, 1995. 74 р.

10. Przemieniecki J. S. Matrix of structural analysis of substructures // AIAA J. 1963. Vol. 1, no. 1. P. 138-147.

11. Ахтулов A. Л. Расчет колебаний систем большого порядка методом подконструкций // Проблемы механики современных машин: материалы Междунар. конф. / ВСГТУ. Улан-Удэ, 2000. Т. 2. С. 18-22

12. Сохор Ю. Н. Тензорный анализ сетей и диакоптика в инженерных расчетах. М.: Lambert Academic Publishing (LAP), 2012. 200 с.

13. Akhtulov A. L. Building the automation system for designing load-lifting cranes of bridge Type // European Science and Technology: materials of the XVII International research and practice conference, June 7th-8th, 2017. Publishing office Vela Verlag Waldkraiburg - Munich - Germany, 2017. Р. 29-35.

14. Бате К. Ю. Метод конечных элементов / пер. с англ. В. П. Шидловского; под ред. Л. И. Турчака. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 1024 с.

15. Серпик И. Н. Метод конечных элементов в решении задач механики несущих систем. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2015. 200 с.

УДК 681.521

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В СВЯЗЯХ РЕАЛЬНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

П. Д. Балакин

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-13-16

Аннотация - На основе фундаментальных положений механики показано, что в связях механической системы быстроходных цикловых машин происходит перекладка зазоров. Этот процесс носит ударный характер, при котором динамические реакции в связях становятся больше по значениям кинетостатиче-ских реакций и это необходимо учитывать при проведении конструкторских расчетов элементов машин. Показана важность определения скорости соударения как критерия запуска пластического деформирования материалов зоны соударения. Для ослабления вредного влияния ударного процесса на ресурс связи рекомендовано широкое использование технических решений по автоматической выборке увеличивающихся зазоров в связях.

Ключевые слова: механическая система, связи, зазоры, ударный процесс, динамические реакции.

I. Введение

Кинетостатические реакции связей учитывают переменные внешнее и инерционное нагружения звеньев и при отсутствии (неучете) зазоров в связях механической системы, отражают в первом приближении картину нагружения звеньев и связей в движении идеальной системы, что в большинстве случаев достаточно для этапа проектирования механической системы машин общего назначения.

Дополнив систему силами и моментами сил трения в связях, получим второе приближение картины силового нагружения конструктива системы.

В подвижных геометрических связях реальных механических систем в зависимости от видов сопряжений активных поверхностей нормируются зазоры, которые в ходе эксплуатации машины увеличиваются из-за неустранимого износа поверхностей связей. Наличие зазоров в связях порождает дополнительное динамическое нагружение элементов связей.

Из-за перекладки зазоров в механической системе цикловых машин дополнительное динамическое нагру-жение имеет ударный характер, величины ударных нагрузок в быстроходных системах могут кратно превышать значения кинетостатических реакций, их знание совершенно необходимо для конструкторского расчета элементов связей, а также для создания устройств автоматической выборки растущих зазоров, устройств по демпфированию энергии удара и, в целом, для разработки технических решений по ослаблению вредных последствий силового ударного процесса, имеющего место во всех связях механических систем цикловых машин.

Особое значение в определении параметров ударного процесса имеет проверка возможного возникновения крайне нежелательных условий запуска пластического деформирования активных поверхностей связей и их разрушение.