Алгебры кватернионов с унитарными инволюциями, имеющие одинаковые подполя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 3.

УДК 512.552 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-226-235

Алгебры кватернионов с унитарными инволюциями, имеющие

одинаковые подполя

С. В. Тихонов

Тихонов Сергей Викторович — кандидат физико-математических наук, Белорусский государственный университет (г. Минск). e-mail: [email protected]

Аннотация

В статье строится такое поле Е, что существует бесконечно много неизоморфных ква-тернионных S-алгебр с унитарными инволюциями и все такие алгебры расщепляются любым квадратичным расширением поля Е.

Ключевые слова: центральная алгебра с делением, группа Брауэра, подполе, род.

Библиография: 27 названий.

Для цитирования:

Тихонов, С. В. Алгебры кватернионов с унитарными инволюциями, имеющие одинаковые подполя // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 226-235.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.

UDC 512.552 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-226-235

Quaternion algebras with unitary involutions having the same

subfields

S. V. Tikhonov

Tikhonov Sergey Viktorovich — candidate of physical and mathematical sciences, Belarussian State University (Minsk). e-mail: [email protected]

Abstract

We construct a field E such that there are infinitely many non-isomorphic quaternion E-algebras with unitary involution and all such algebras are split by any quadratic field extension oiE.

Keywords: central division algebra, Brauer group, subfield, genus. Bibliography: 27 titles.

For citation:

Tikhonov, S. V. 2024, "Quaternion algebras with unitary involutions having the same subfields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 226-235.

1. Введение

Пусть ^ — толе, Вг(^) — его группа Брауэра. Из конструкции Амицура ([3]) общего поля разложения центральной простой алгебры следует, что подгруппа в группе Брауэра, порожденная классом алгебры, однозначно определяется множеством полей разложения этой алгебры. Однако если рассматривать только конечномерные поля разложения, то ситуация перестает быть столь тривиальной. В последнее время активно исследуется вариант этой проблемы, связанный с рассмотрением только семейств максимальных подполей алгебр.

Определение 1. (см. [5]). Род &еп(Т>) конечномерной центральной алгебры с делением,

V над пол,ем, Р определяется как набор классов [V] е Вг(^), где V ^ центральная Р-алгебра с делением,, имеющая т,акие же максимальные подполя, что и алгебра V.

Если [Т>'] е ^еп(Г>), то это означает, что алгебры V и Т>' имеют одинаковую степень п, и расширение К/Р степени п допускает ^-вложение К ^^ V тогда и только тогда, когда оно допускает вложение К Т>'. Различные варианты понятия рода центральных простых алгебр рассмотрены в [1] и [15].

Из теоремы Алберта-Брауэра-Хассе-Нётер следует, что в случае числового поля Р алгебра кватернионов над полем Р имеет тривиальный род (т.е. род состоит из одного элемента), а род любой центральной ^-алгебры с делением конечен (см. [1]). В [16] показано, что существуют кватернионные алгебры с бесконечным родом. Более того, доказано, что найдется поле Р, над которым имеется бесконечно много попарно неизоморфных кватернионных алгебр, и любые две кватернионные ^-алгебры с делением имеют одинаковый род. В [2] эти результаты обобщены на случай алгебр с делением любой простой степени. В [7] и [10] показано, что род алгебры с делением над конечно порожденным полем является конечным. Кроме того, существует гипотеза, что род алгебры кватернионов над конечно порожденным полем является тривиальным ([20, §8]).

Похожим образом можно определить род абсолютно почти простой алгебраической группы. Говорят, что две абсолютно почти простые алгебраические группы С\ и С2 над полем Р имеют одинаковые классы ^-изоморфности максимальных Р-торов, если каждый максимальный ^-тор группы С\ ^-изоморфен некоторому максимальному .Р-тору группы С2, и наоборот. Алгебраическая ^-группа С называется ^-формой алгебраической ^-группы С, если С и С' изоморфны над сепарабельным замыканием Ржр толя Р.

Определение 2. [1, Определение 6.1] Пусть С — абсолютно почти простая алгебраическая группа над полем Р. Род genF(С) группы С определяется как множество классов Р-изоморфности Р-форм С группы О, имеющих те же классы, Р-изоморфности максимальных Р-торов, что и С.

Род абсолютно почти простой алгебраической группы является тривиальным в некоторых специальных случаях и предполагается конечным, если Р — конечно порожденное поле "хорошей" характеристики (см. [20, §8]). Известно, что для центральной ^-алгебры с делением V максимальные сепарабельные подполя алгебры V определяют максимальные ^-торы соответствующей алгебраической группы ВЬ^р. Таким образом, результаты о бесконечности рода алгебр с делением можно сформулировать в терминах родов подходящих алгебраических групп: для всякого простого р существуют примеры внутренних форм типа Ар-\, имеющих бесконечный род. Отметим, что пример алгебраической группы типа С2 с бесконечным родом получен в [4, Иет. 3.6(Ь)]. Заметим, что если V — центральная алгебра с делением с унитарной инволюцией т, то только т-инвариантные сепарабельные максимальные подполя алгебры

V порождают максимальные торы соответствующей специальной унитарной группы т) ([18, Предложение 2.3]). В [27] построен пример такой алгебры с делением V степени 3 с унитарной инволюцией т, что специальная унитарная группа т) имеет бесконечный род.

В [15] рассматривается вопрос, насколько свойства алгебры с инволюциями обуславливаются инвариантными относительно инволюций этальными подалгебрами.

В настоящее время имеется большое число публикаций, посвященных изучению рода центральных простых алгебр и рода алгебраических групп, см., например, [6], [8], [9], [11], [12], [14], [17], [19], [20], [21], [22], [26], [27]. Последние результаты о роде алгебр и алгебраических групп представлены в обзоре [20] (см. также [1]).

В данной работе содержится дальнейшее развитие идей из [16] и [2]. Мы строим поле, над которым имется бесконечно много попарно неизоморфных кватернионных алгебр с унитарными инволюциями, имеющих одинаковые подполя.

Пусть F/K — квадратичное расширение полей. Унитарная инволюция на центральной простой F-алгебре Л называется .F/^-инволюцией, если ее ограничение на F является нетривиальным ^-автоморфизмом. Основной результат работы — следующая

Теорема 1. Существуют такое поле Е и подполе Т С Е, что [Е : Т] = 2 и имеется бесконечно много неизоморфных кватернионных Е-алгебр с делением с Е/Т-инволюцией и все т,акие алгебры ра,сщепляют,ся любым квадратичным, расширением поля Е.

Этот результат может найти применение при изучении родов унитарных алгебраических групп.

Ниже используются следующие обозначения: Alg2(F) — множество классов изоморфности кватернионных алгебр с делением над полем F; Ext2(F) — множество классов изоморфности квадратичных расширений поля F. Для расширения полей E/F и центральной простой F-алгебры Л через Ле обозначается тензорное произведение Л ®f Е, г es р/р : Br(F ) —В r(E) обозначает гомоморфизм ограничения. Противоположная алгебра обозначается через Лор, Лт обозначает Л ■ ■ ■ Л (m раз). Для сепарабельного квадратичного расширения F/K через coYp/к обозначается гомоморфизм коограничения из Br(F) в Вг(К). Известно, что corF/K([Л_р]) = [Л2] для центральной простой К-алгебры Л ([13, Proposition 3.13 (5)]). Напомним, что центральная простая F-алгебра Л обладает F/^-инволюцией тогда и только тогда, когда coïp/к([Л]) = 0 ([13, Theorem 3.1 (2)]). Расширение полей E/F называется регулярным, если E/F сепарабельно и F алгебраически замкнуто в Е.

2. Вспомогательные результаты

Следующая лемма немного в других обозначениях доказана в [27]. Для удобства читателя приведем доказательство здесь.

Лемма 1. Пусть п — натуральное число, Р — поле хара,кт,ерист,ики, не делящей 2п, Р/К — квадратичное расширение полей, а — нетривиальный К-автоморфшзм поля Р, Л — центральная простая Р-алгебра степени п и Р/Р — циклическое расширение полей степени п. Тогда существуют такие регулярное расширение полей и подполе

к(ь,Л) С Р(К,ь,л),что [Р(К,Ь,Л) : к(ь,Л)] = 2 и

(1) Р(К,Ь,Л) = К(ь,А)Р и нетривиальный К(р,л)~автомоРФизм & пол,я Р(к,ь,Л) продолжает автоморфизм а;

(2) композит полей Р(к,ь,Л)^ расщепляет ал,гебру Ар(КЬ л);

(3) гомоморфизм ограничения, ге8р(к ь /р : Вг(Р) —^Вг(Р(К,р,^)) инъективен;

Доказательство. Пусть Р(х) — чисто трансцендентное расширение поля Р степени трансцендентности 1. Пусть также ф — образующая группы Галуа Оа\(Ь(х)/Р(х)) и

где (L(x)/F(х), ф, х) — циклическая F(ж)-адгебра степени п. Пусть также M — поле функций многообразия Севери-Брауэра алгебры С. Заметим, что ядро гомоморфизма

resM/F(х) : Br(F(ж)) ^ Вт(М)

порождается классом [С] (см, например, [25, Cor. 13.16]).

Пусть В — центральная простая .F-алгебра экспоненты m > 1. Предположим, что алгебра В расщепляется полем М. Тогда [Вр(х)] = [С1 ] для некоторого 1 ^ г ^ п. Если г < п, то F(ж)-алгебра Сг ветвится в дискретном нормировании (тривиальном на F) толя F(х), определяемом многочленом ж, но алгебра Вр(х) неразветвлена в этом нормировании. Следовательно, [BF(X)] = [Сг]. Так как экспонента алгебры В^) есть m > 1, то [Вр(х)] = [Сп] = [F(ж)]. Таким образом, алгебра Вр(х) не расщепляется полем М. Откуда получаем инъективность гомоморфизма resM/F : Br(F) —Вг(М).

Так как поле M расщепляет алгебру С, то

[Лм ] = [(L(x)/F (х),ф,х)м ] = [(МЬ/М,ф',х)],

где ф' — образующая группы Галуа Ga\(ML/M). Таким образом, композит полей ML расщепляет алгебру Лм-

Заметим, что M/F — регулярное расширение поля F(х). Следующая конструкция трансфера регулярного расширения описана в [24, р. 220]).

Пусть а также обозначает К (ж)-автоморфизм поля F (ж), продолжающей автом орфизм а поля F. Автоморфизм а толя F (х) может быть продолжен до изоморфизма (который также будем обозначать через а) толя M и другого регулярного расширения поля F (х), обозначаемого через Ма. Таким образом, имеем следующую коммутативную диаграмму:

F (ж)с

■F (х)с

■M

МП

(1)

Пусть F(k,l,A) = MMa — свободный композит над F полей M и Ма. Этот композит F-изоморфен полю функций многообразия Севери-Брауэра Ма(у)-алгебры

лор

ЛМа (у)

(У) (МаL(y)/Ma(у),ф',у),

где у — трансцендентный над Ма элемент (мы заменили в алгебре ж на у, поскольку композит полей свободный) и -ф' — образующая группы Галуа Оа\(МаЬ(у)/Ма(у))- Поле Р(к,ь,А) является регулярным расширением поля ^.Изоморфизмы а : М —Ма и а-1 : Ма —М имеют единственное продолжение до автоморфизма а порядка 2 поля Р(к,ь,А)- Пусть := Т^/р(М) — трансфер поля М относительно расширения полей

Р Э К, т.е. — подполе поля Р(к,ь,А)> состоящее из элементов, неподвижных при дей-

ствии автоморфизма а. Заметим, что композит полей совпадает с полем Р(к,ь,А)>

\Р(к,ь,А) : К(ь,А)\ = 2 а автоморфизм а продолжает а.

Алгебра Лр(к ь Л) расщепляется полем Р(к,ь,А) так как алгебра Лм расщепляется полем МР. ' '

Наконец, диаграмма (1) индуцирует следующую коммутативную диаграмму для соответствующих групп Брауэра:

Br(F (ж))

Вг(М )

Br(F )

Br(FBr(F(х))^- Br(MaBr(FiKtLtA)) .

а

а

а

res

res

Инъективность гомоморфизма тезм/р влечет инъективность гомоморфизма ге$ма/р- Более того, гомоморфизм гезр(к ь Л)/м„ инъективен ввиду тех же аргументов, что и для гомоморфизма гевм/р, только основное поле Р заменяется полем Ма. Следовательно, гомоморфизм ге$р(к ь /р также инъективен.

Замечание 8. Пусть F(k,l,a) ~ поле, построенное в лемме 1. Если В — центральная простая F-алгебра, с F/К-инволюцией 9, то формула

вР(к,ь,а) (а ® е) := в(а) ® &(е),а GB,e G F(k,l,a),

определяет, F(K,LA)/К -инволюцию, продолжающую 9, на алгебре Bf(KSA).

Далее доказательства из [2] адаптированы для кватернионных алгебр с унитарными инволюциями.

Предложение 1. Пусть F — поле характ,ерист,ики не 2, F/K — квадратичное расширение полей, g — нетривиальный К-автоморфизм поля F, А С Alg2(F) и S С Ext2(F). Тогда, существут тлкие регулярное расширение полей F(KSA)/F и подполе K(S,A) С F(K,S,A), что [F(K,L,A) : K(S,A)] = 2 и

(1) F(k,s,A) = K(s,A)F и нетривиальный К(8А)-а,вт,ом,орфизм, поля F(k,s,A) продолжает автоморфизм а;

(2) всякая алгебра из образа resF^K SA)/f(А) расщепляется композитом полей F(k,s,a)L для всех L G S;

(3) гомоморфизм resf^k SA)/f : Br(F) —^ Br(F(K,s,A)) инъективен;

(4) для всякой центральной простой F-алгебр ы В с F /К-инволюцией 9 алгебра, Вр(к s а) имеет Р(К8А)/К(8А)-инволюц ию 9 s а), продолжаю щую 9.

Доказательство. Пусть V := {(L, V)\L g S и V g А} множество пар. Пусть также < — полный порядок на множестве V и пусть to = (Lq, Vq) обозначает наименьший элемент множества V. Выберем представителей (обозначаемых теми же символами) классов изоморф-ности в обоих множествах S и А Положим Et0 := F(k,l0,v0) и Ft0 := К(р0^0), где поля F(k,l0,v0) и K(l0,v0) построены в лемме 1. Для t = (L, V) G V положим

Е< := U Ef, Т< := U Tf и Et := Е<Ь(Т<t,E<tL,vE<t), Tt := T<t(p<tL,vE<t), t'<t t'<t

где поля Et и Tt получены применением леммы 1 к квадратичному расширению полей Е</Т<\ циклическому расширению E<lL/E< и

E<t

-алгебре Ve<t. Также определим

f(k,sa) := u Егш К(^,А) := u Tt'

ter ter

Тогда F(k,s,A) ~ квадратичное расширение поля К(8>А) и F(k,s,A) = E(s,A)f- Таким образом, поле F(k,s,A) имеет ^¿^-автоморфизм порядка 2, который продолжает а. Тогда для F-алгебры В с F/K-инволюцией 9 определим ^^-^^/К^^-инволюцию на алгебре Bf(K SA), как в формуле из замечания 8.

Из леммы 1 и трансфинитной индукции гомоморфизм resF(KSA)/F : Br(F) —Вr(F(x,SA)) инъективен и F(K^S^A)/F — регулярное расширение полей.

Наконец, пусть "D G A, L G S ж t = (L, V). Из леммы 1 композит полей EtL расщепляет алгебру T>Ft, следовательно, алгебра Т>р(к s а) расщепляется полем F(k,s,a)L-

3. Основная теорема

Теорема 2. Пусть Р — поле ха,ра,кт,ерист,ики не 2, Р/К — квадратичное расширение полей, о — нетривиальный К-автоморфизм поля Р и А С А1д2 (Р). Тогда, существуют т,акие расширение полей Ра/Р и подполе К а С Ра, чт о [Ра : К а] = 2 и

(1) Ра = КаР и нетривиальный КА-автомо^гизм поля Ра продолжает автоморфизм а;

(2) алгебры в образе геврА/р(А) имеют одинаковые наборы максимальных подполей;

(3) гомоморфиз геврА/р : Вг(Р) —^Вг(Ра) инъективен;

(4) для всякой центральной, простой Р-алгебры В с Р/К-инволюцией, в алгебра ВрА имеет РА/КА-инволюцию 9рА, продолжающую 9.

Доказательство. Пусть Мо := Р ш Щ := К. Определим рекурсивно поля

М* := (А))К Щ : = Щг-1(5\-1^м._1/р(А)),

г € применяя предложение 1 к квадратичному расширению Мг-1/Щ^-1, множе-

ству те8щ_ 1/р(А) С А1д2(Мг-\) и множеству 8^1 всех максимальных подполей алгебр из Г68М._1/^ ( А).

Пусть Ра := и г>оМг и К а := и»>о ^ помощью математической индукции и предложения 1 получаем, что гомоморфизм теярА/р : Лт(Р) —Вг(Ра) инъективен. Более того, Ра = КаР, [Ра : Ка] = 2 и нетривиальный ^^-автоморфизм поля Ра продолжает автоморфизм а. Если В — центральная простая ^-алгебра с ^/Х-инволюцией, определим Ра/Ка-инволюцию на алгебре ВрА, как в формуле из замечания 8.

Предположим, что А, В € Аъ Р — максимальное подполе алгебры АрА. Тогда найдется такое г > 0, та о Ь = .РдЬ', где Р' — квадратичное расширение поля Мг, расщепляющее алгебру Ам^ Так как Ам1 € гев^/^) тогда V € 8г. Из предложения 1 поле Мг+1Р' расщепляет алгебру Вм1+1 ■ Следовательно, Р расщепляет ВрА. Аналогично всякое максимальное подполе алгебры ВрА расщепляет АрА. Таким образом, алгебры АрАъ ВрА имеют одинаковы наборы

подполей.

■

Замечание 9. Если рассмотреть т,акие поле Р и подполе К С Т, что найдется бесконечно много неизморфных кватернионных Р-алгебр с Р/К-инволюциями, то, применяя предыдущую теорему, получим, поле, над которым есть бесконечно много неизомоморфных кватернионных алгебр с унитарным,и, инволюциям,и, имеющих одинаковые подполя. Например, в качестве К можно взять поле Q(ж); чист,о трансцендентное расширение поля рациональных чисел, а в качетстве поля Р — поле К (л/2). Тогда, для, всех а € Q кватернионные Р-алгебры (-1,х + а) попарно неизоморфны и имеют Р/К-инволюции. Действительно, эти алгебры ветвятся в различных дискретных нормированиях (тривиальных на 0>(\<г2)) поля Р, определяемых многочленами х + а. Кроме того, эти алгебры имеют тривиальное ко-ограничение до К, поскольку согр/к([(- 1,х + а)]) = [(-1,х + а)2] = 0. Однако теорема 1, сформулированная во введении, говорит больше: все кватернионные алгебры с инволюциям,и, должны, расщепляться любым квадратичным, расширением центра.

Доказательство теоремы 1. Пусть Р и К — такие поля, что [Р : К] = 2 и существует бесконечно много неизоморфных кватернионных ^-адгебр с делением с ^/^-инволюцией. Пусть также Ао С А1 д2(Р) — помножество, состоящее из алгебр с ^/^-инволюцией.

Положим Ро := Р и То := К. Для г > 0 рекурсивно определим

р+ := Р1(т1,Ех12(Ег),А1) и Тг+1 := Т1(ех12(еъ)А^, где Аг С А1 д2(Рг~) — подмножество, состоящее из алгебр с ^/^.¿-инволюцией. Пусть

Р :=иг>оРг*Т :=иг>оТг.

Как при доказательстве теоремы 2 заключаем, что гомоморфизм геяЕ/Е :Вт(Е) —Вт(Е) инъективен.

Пусть Ь/Е — квадратичное расширение, Л — кватернионная ^-алгебра с ^/Т-инволюцией. Тогда найдется такое г ^ 0, та о Л = Л'Е для некоторой кватерн ионной Е^-адгебр ы А'. Более того, поскольку Л имеет Е/Т-инволюцию, то сотЕк/рк(\^Ек]) = 0-Так как диаграмма

Вт(ЕгВт(Е)

Br(Ti)^^ Вт(Т)

коммутативна (см, например, [25, Theorem 8.1 d]), то coipk/рк([Л'Е ]) = 0 для некоторого к ^ г, следовательно, Л'Ек имеет Е^/Т^-инволюцию.

Также найдется такое j ^ 0, что L = Ej V для некоторого квадратичного расширения L' толя Ej. Из конструкции поля Е следует, что для п, большего чем j и к, алгебр а Л'Е расщепляется полем EraL'. Следовательно, L расщепляет Л.

Наконец, как и в доказательстве теоремы 2 получаем, что всякая алгебра из resE/E(Ло) имеет .Е/Т-инволюцию. Более того, так как множество Ао бесконечно и гомоморфизм

resE/F :Br(F) —^Вт(Е)

инъективен, то имеется бесконечно много неизоморфных кватернионных ^-алгебр с делением с ^/Т-инволюцией. ■

cor

cor

4. Заключение

В статье строится такое поле Е, что существует бесконечно много неизоморфных кватернионных ^-алгебр с унитарными инволюциями и все такие алгебры расщепляются любым квадратичным расширением поля Е. Полученные результаты могут найти применение при изучении родов унитарных алгебраических групп.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Черноусов В. П., Рапинчук А. С., Рапинчук И. А. Алгебры с делением, имеющие одинаковые максимальные подполя // Успехи математических наук. 2015. Том 70, Вып. 1. С. 89122. (English transl.: Chernousov V. I., Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. Division algebras with the same maximal subfields // Russian Math. Surveys. 2015. Vol. 70, Issue 1. P. 83-112.)

2. Тихонов С. В. Алгебры с делением простой степени с бесконечным родом // Труды МИЛИ. 2016. Том 292. С. 264-267. (English transl.: Tikhonov S.V. Division algebras of prime degree with infinite genus // Proc. Steklov Inst. Math. 2016. Vol. 292. P. 264-267.)

3. Amitsur S.A. Generic splitting fields of central simple algebras // Ann. of Math. (2). 1955. Vol. 62, № 1. P. 8-43.

4. Beli C., Gille P., Lee T.-Y. Examples of algebraic groups of type G2 having the same maximal tori j j Труды МИ AH. 2016. Том 292. С. 16-25 и Proc. Steklov Inst. Math. 2016. Vol. 292. P. 10-19.

5. Chernousov V. I., Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. On the genus of a division algebra // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. 2012. Vol. 350, № 17-18. P. 807-812.

6. Chernousov V. I., Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. The genus of a division algebra and the unramified Brauer group // Bull. Math. Sci. 2013. Vol. 3, № 2. P. 211-240.

7. Chernousov V. I., Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. On the size of the genus of a division algebra // Труды МИ AH. 2016. Том 292. С. 69-99 и Proc. Steklov Inst, of Math. 2016. Vol. 292, № 1. P. 63-93.

8. Chernousov V. I., Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. On some finiteness properties of algebraic groups over finitely generated fields // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2016. Vol. 354. P. 869-873.

9. Chernousov V. I., Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. Spinor groups with good reduction // Compos. Math. 2019. Vol. 155, № 3. P. 484-527.

10. Chernousov V. I., Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. The finiteness of the genus of a finite-dimensional division algebra, and generalizations // Israel J. Math. 2020. Vol. 236, № 2. P. 747799.

11. Chernousov V. I., Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. Simple algebraic groups with the same maximal tori, weakly commensurable Zariski-dense subgroups, and good reduction // Adv. Math. 2024. Vol. 438. Paper № 109437.

12. Garibaldi S., Saltman D. Quaternion Algebras with the Same Subfields // Quadratic forms, linear algebraic groups, and cohomologv. Dev. math. 18, Springer, New York, 2010. P. 225-238

13. Knus M.-A., Merkurjev A. S., Rost M., Tignol J.-P. The Book of Involutions. — Colloquium Publications. Vol. 44, Amer. Math. Soc., 1998, +593 pp.

14. Krashen D., McKinnie K. Distinguishing algebras by their finite splitting fields // Manuscripta Math. 2011. Vol. 134, № 1-2. P. 171-182.

15. Krashen D., Matzri E., Rapinchuk A., Rowen L., Saltman D. Division algebras with common subfields // Manuscripta Math. 2022. Vol. 169, № 1-2. P. 209-249.

16. Meyer J. S. Division algebras with infinite genus // Bull. London Math. Soc. 2014. Vol. 46, № 3. P. 463-468.

17. Prasad G., Rapinchuk A.S. Weakly commensurable arithmetic groups and isospectral locally symmetric spaces // Publ. math. IHES. 2009. Vol. 109. P. 113-184.

18. Prasad G., Rapinchuk A. S. Local-global principles for embedding of fields with involution into simple algebras with involution // Comment. Math. Helv. 2010. Vol. 85. P. 583-645.

19. Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. On division algebras having the same maximal subfields // Manuscripta Math. 2010. Vol. 132, № 3-4. P. 273-293.

20. Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. Linear algebraic groups with good reduction // Res. Math. Sci. 2020. Vol. 7, № 3. Paper № 28.

21. Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. Recent developments in the theory of linear algebraic groups: Good reduction and finiteness properties // Notices Amer. Math. Soc. 2021. Vol. 68, № 6. P. 899-910.

22. Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. Some finiteness results for algebraic groups and unramified cohomologv over higherdimensional fields //J. Number Theory. 2022. Vol. 233. P. 228-260.

23. Rapinchuk A. S., Rapinchuk I. A. Properness of the global-to-local map for algebraic groups with toric connected component and other finiteness properties // Math. Res. Lett. 2023. Vol. 30, № 3. P. 913-943.

24. Roquette P. Isomorphisms of generic splitting fields of simple algebras // J. Reine Angew. Math. 1964. Vol. 214/215. P. 207-226.

25. Saltman D.J. Lectures on Division Algebras. — Providence, RI: Amer. Math. Soc. 1999, + 120 pp.

26. Tikhonov S. V. On genus of division algebras // Manuscripta Math. 2021. Vol. 164, № 1. P. 321325.

27. Tikhonov S. V. Outer forms of type A2 with infinite genus // Documenta Math. 2024. Vol. 29. № 4. P. 805-814. См. также arXiv:2305.01606.

REFERENCES

1. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2015, "Division algebras with the same maximal subfields", Russian Math. Surveys, vol. 70, issue 1, pp. 83-112.

2. Tikhonov, S. V. 2016, "Division algebras of prime degree with infinite genus", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 292, pp. 264-267.

3. Amitsur, S. A. 1955, "Generic splitting fields of central simple algebras", Ann. of Math. (2), vol. 62, no. 1, pp. 8-43.

4. Beli, C., Gille, P. к Lee, T.-Y. 2016, "Examples of algebraic groups of type G2 having the same maximal tori", Proc. Steklov Inst. Math., vol. 292, pp. 10-19.

5. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2012, "On the genus of a division algebra", C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I., vol. 350, no. 17-18, pp. 807-812.

6. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2013, "The genus of a division algebra and the unramified Brauer group", Bull. Math. Sci., vol. 3, no. 2, pp. 211-240.

7. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2016, "On the size of the genus of a division algebra", Proc. Steklov Inst, of Math., vol. 292, no. 1, pp. 63-93.

8. Chernousov V. I., Rapinchuk A.S., Rapinchuk I. A. 2016, "On some finiteness properties of algebraic groups over finitely generated fields", C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I., vol. 354, pp. 869-873.

9. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I.A. 2019, "Spinor groups with good reduction", Compos. Math., vol. 155, no. 3, pp. 484-527.

10. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2020, "The finiteness of the genus of a finite-dimensional division algebra, and generalizations", Israel J. Math., vol. 236, no. 2, pp. 747-799.

11. Chernousov, V. I., Rapinchuk, A. S. к Rapinchuk, I. A. 2024, "Simple algebraic groups with the same maximal tori, weakly commensurable Zariski-dense subgroups, and good reduction", Adv. Math., vol. 438, paper no. 109437.

12. Garibaldi, S. к Saltman, D. 2010, "Quaternion Algebras with the Same Subfields", Quadratic forms, linear algebraic groups, and cohomologv. Dev. math. 18, Springer, New York, pp. 225-238

13. Knus, M.-A., Merkurjev, A.S., Rost, M. к Tignol, J.-P. 1998, "The Book of Involutions", Colloquium Publications, vol. 44, Amer. Math. Soc., +593 pp.

14. Krashen, D. к McKinnie, K. 2011, "Distinguishing algebras by their finite splitting fields", Manuscripta Math., vol. 134, no. 1-2, pp. 171-182.

15. Krashen, D., Matzri, E., Rapinchuk, A., Rowen, L. к Saltman, D. 2022, "Division algebras with common subfields", Manuscripta Math., vol. 169, no. 1-2, pp. 209-249.

16. Meyer, J.S. 2014, "Division algebras with infinite genus", Bull. London Math. Soc., vol. 46, no. 3, pp. 463-468.

17. Prasad, G. к Rapinchuk, A. S., 2009, "Weakly commensurable arithmetic groups and isospectral locally symmetric spaces", Publ. math. IHES., vol. 109, pp. 113-184.

18. Prasad, G. к Rapinchuk, A.S. 2010, "Local-global principles for embedding of fields with involution into simple algebras with involution", Comment. Math. Helv., vol. 85, pp. 583-645.

19. Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I. A. 2010, "On division algebras having the same maximal subfields", Manuscripta Math., vol. 132, no. 3-4, pp. 273-293.

20. Rapinchuk, A. S. к Rapinchuk, I. A. 2020, "Linear algebraic groups with good reduction", Res. Math. Sci., vol. 7, no. 3, paper no. 28.

21. Rapinchuk, A. S. к Rapinchuk, I. A. 2021, "Recent developments in the theory of linear algebraic groups: Good reduction and finiteness properties", Notices Amer. Math. Soc., vol. 68, no. 6, pp. 899-910.

22. Rapinchuk, A.S. к Rapinchuk, I.A. 2022, "Some finiteness results for algebraic groups and unramified cohomologv over higherdimensional fields", J. Number Theory., vol. 233, pp. 228260.

23. Rapinchuk, A. S. к Rapinchuk, I. A. 2023, "Properness of the global-to-local map for algebraic groups with toric connected component and other finiteness properties", Math. Res. Lett., vol. 30, no. 3, pp. 913-943.

24. Roquette, P. 1964, "Isomorphisms of generic splitting fields of simple algebras", J. Reine Angew. Math., vol. 214/215, pp. 207-226.

25. Saltman, D.J. 1999, "Lectures on Division Algebras", Providence, RI: Amer. Math. Soc., + 120 pp.

26. Tikhonov, S. V. 2021, "On genus of division algebras", Manuscripta Math., vol. 164, no. 1, pp. 321-325.

27. Tikhonov, S. V. 2024, "Outer forms of type A2 with infinite genus", Documenta Math., Vol.29, № 4, pp. 805-814.

Получено: 17.03.2024 Принято в печать: 04.09.2024