Алгебраическое декодирование алгеброгеометических кодов на пространственных кривых Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.391.25

Рассматриваются избыточные коды, возникающие на алгебраических кривых (алгеброгеометриче-ские коды), исследуются эффективные методы их декодирования. Предложена аппаратная реализация алгоритма декодирования алгеброгеометрических кодов на пространственных кривых, задаваемых в проективном пространстве Р3. Показано, что разработанная структурная схема позволяет практически реализовать алгоритм алгебраического декодирования алгеброгеометрических кодов на пространственных как в программном, так и в аппаратном виде.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ АЛГЕБРОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОДОВ НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КРИВЫХ

А. А.Куз н е цо в

доктор технических наук, с.н.с. Начальник информационно-вычислительного центра Харьковский университет Воздушных Сил им. Ивана Кожедуба.

ул. Сумская 77/79, г. Харьков, Украина, 61123.

Контактный телефон: (057) 752-64-15. e-mail: [email protected]

И.В.Пасько

Научный сотрудник центра боевого применения РВиА Сумской государственный университет Контактный телефон: (050) 307-71-72 e-mail: [email protected]

С.П.Евсеев

кандидат технических наук Доцент кафедры информационных систем* e-mail:[email protected].

О. Г.Ко рол ь

Преподаватель кафедры информационных систем*

e-mail: [email protected] *Харьковский национальный экономический университет проспект Ленина 9-а, г. Харьков, Украина, 61001.

Контактный телефон: (057) 702-18-31

1. Введение

Одним из эффективных средств защиты информации от ошибок в телекоммуникационных системах является помехоустойчивое кодирование информации [1, 2]. Основными требованиями к помехоустойчивому кодированию являются высокая обнаруживающая и исправляющая способность кода, низкая вносимая избыточность, высокое быстродействие и низкая сложность реализации процедур кодирования-декодирования [3-5]. Перспективным направлением в этом

смысле являются коды, возникающие на алгебраических кривых [5-7]. В [8, 9] показано, что кодовые характеристики этих кодов при большой длине лежат выше границы Варшамова-Гилберта. В тоже время методы декодирования алгеброгеометрических кодов ориентированы на узкий класс кодов и, строго говоря, не позволяют реализовать их потенциальные свойства. В работах [10, 11] предложен метод декодирования кодов на пространственных кривых (Р3).

2. Цель работы

Целью данной статьи является исследование эффективных методов декодирования алгеброгеометри-ческих кодов, разработка предложений по реализации устройств декодирования кодов на пространственных кривых.

3. Исследование методов декодирования алгеброгеометрических кодов.

Рассмотрим кодовое слово алгеброгеометрическо-го (п, к, d) кода над GF(q), построенного по пространственным кривым (алгебраическим кривым в Р3). Предположим, что алгеброгеометрический код задан через проверочную матрицу

' ^,0,0 (ВДЛ) ^,0,0 (ВДЛ) ... К0,0,0 (ХпЛЛ-1)

н=

К1,0,0 (X0,Y0,Z0 )

Fl,0,0 (Xl,Yl,Zl)

^,0,0 (Xn-lYn-lZn-l)

F0,0,degF (X0,Y0,Z0 ) F0,0,degF (X1,Y1,Z1 )

... (Xn-1,Yn-1,Zn-1)

где К ■ ■ — одночлен степени 1 +1 +1 < deg F , т.е.

'х ,1у 'Ч X у ъ О

= х'х ■ у'у ■ ъ'ъ , 1 = 0,...,м-1, МХ = С^ -1.

Справедливо равенство: С ■ Нт = 0, откуда следует равенство:

п-1

У! ,■ К ' ' = 0,

,=0

для

всех 1 = 0,...,М -1.

Предположим, что при передаче по каналу с ошибками кодовое слово исказилось, вектор ошибок обозначим, как е = (е0, е1, ..., еп-1), а принятое с ошибками слово как

С* = (С*0, С*!, ..., С*п-1) = С + е = = (С0 + е0, С1 + е1, ..., Сп-1 + еп-1).

Определим синдромную последовательность как вектор

8 = (80,0,0,81,0,0,...,80,0^^к) ,

вычисленный по правилу [10, 11]:

п-1

. . =У егК 1 1 (Х,,У^Д 1 = 0,...,М-1

1х,1у,1ъ ¿—I , 1х>1у>1ъЧ Г У ,/7 7 7

,=0

По определению значение синдромной последовательности б зависит только от вектора ошибок е и не зависит от кодового слова С. Действительно, вычислим произведение С*Нт = 0,

получим: (С + е) ■ Н = С ■ Н + е ■ Н = е ■ Н,

откуда следует справедливость 1 = 0,...,М-1 равенств:

,=0

(1)

= У егК : : (X,,Y,,Z,) = Б, , ,

, 1х,1у ,1Л 1' 1' У 1х ,1у 1

,=0

Задача алгебраического декодирования кодового слова алгеброгеометрического кода, построенного по кривой в Р3 состоит в нахождении вектора е = (е0, е1, ., еп-1)по известной синдромной последовательности

Б = (80,0,0,81,0,0,...,80,0^^К )

Нахождение вектора е позволяет в свою очередь восстановить кодовое слово С по известной последовательности С*:

С = С - е = (С0 - е0,С1 - е1,...,Сп-1 - еп-1)

Для однозначного нахождения вектора ошибок воспользуемся искусственным приемом, состоящем в ведении многочлена локаторов ошибок [10, 11]:

л(х,у,ъ) = хи-2 + а1-з,1,0 ■ хи-3 ■ у +... + (2)

+а1,0,0 ■ х + а0,1,0 ■ у + а0,0,1 ■ ъ + а0,0,0 решениями которого являются локаторы - такие наборы (Х^ ^ ^), которые обращают в нуль многочлен (2).Многочлен (2) однозначно задает расположение ошибок в векторе е = (е0, еь ..., еп-1), так как однозначно указывает на его ненулевые компоненты.

Умножим многочлен (2) на е, и вычислим в точке (Х^Д,), получим:

е, ■ Хй-2 + аь-з,1,0 ■ е, ■Х"-3 ■ ^ +... + ■ е, ■Х, +

+ а01,0 ■ еГа0,0,1 ■ еГ , а0,0,0 ■е,. Просуммируем по всем , = 0,...,п-1, получим:

(3)

(4)

У е, ■ Xй-2 + У а1-з,1,0 ■ е, ■ X"-3 ■ V... ,=0 ,=0

п-1 п-1

+У а1,0,0 ■ ег Х,+У а0,1,0 ■ ег V ,=0 ,=0 п-1 п-1

+У а0,0,1 ■ еГ ^ + У а0,0,0 ■ е, = 0. ,=0 ,=0

С учетом введенных выше обозначений, значение одночлена ^ 1 1 = х1х ■ у1у ■ ъ1ъ

в точке (Х^Д,) примет вид

^x,1y,1ъ(XX1,Y^,^l) = X ■ ^ ^

Но по введенному выше определению

1х ,1у ,1ъ , 1х ,1у ^ 4 Г Г У •

,=0

Следовательно, имеем:

8й-2,0,0 + ^-3,1,0 ■ 8й-3,1,0 + ... + а1,0,0 ■ 81,0,0 +

+а0,1,0 ■ э0,1,0 + а0,0,1 ■ 80,0,1 + а0,0,0 ■ 80,0,0 = 0

Вернемся теперь к рассмотрению многочлена (2). Умножим его на произвольный одночлен х1х ■ у1у ■ ъ1ъ и проведем аналогичные рассуждения. После суммирования по всем , = 0,...,п-1 и выполнении очевидных подстановок получим:

\+й-2,1у,1ъ + ^-3,1,0 ■ \+й-3,1у +1,1ъ + ... + а1,0,0 ■ 81х +1,1у,1ъ +

+а0,1,0 ■ \,1у+1,1г + а0,0,1 ■ \,1у,1г+1 + а0,0,0 ■ \,1у,1ъ =

Выполнив соответствующие преобразования для всех i = 0,...,М-1 получим систему линейных уравнений:

■ ч = 0-

+ а0.01 ■ Ч1.0.1 + а0.0.0 ■ Ч1.0.0 = °>

+ а0.0,1 ■ Чи-2.0.1 + а0.0.0 ■ Чи-2.0.0 = 0.

(5)

Решения системы (5) дают значения неизвестных коэффициентов многочлена локаторов ошибок Л(х.у.7) (2). который в свою очередь однозначно задает значения локаторов - таких наборов (Х^ ^ ^) . которые обращают в нуль многочлен (2).

Поиск искомых (Х^^^) может быть выполнен. например. поочередной подстановкой всех (Х^^). ] = 0._.п-1 в многочлен А(х.у.7) и проверкой на равенство нулю.

Найденные (Х^ ^ ) локализуют ошибку в кодовом слове.

Таким образом. рассмотренные операции позволяют получить общее решение задачи декодирования алгеброгеометрических кодов. построенных по пространственным кривым. заданных в проективном пространстве Р3 совместными решениями совокупности двух однородных уравнений от четырех переменных.

Чи-2.0.0 + аи-3.1.0 ■ Чи-3.1.0 + ... + а1.0.0 ■ Ч1.0.0 + а0.1.0 ■ Ч0.1.0

ч

и—1.0.0 + аи-3.1.0 ■ Чи-21.0 + ... + а1.0.0 ■ Ч2.0.0 + а0.1.0 ■ Ч1.1.0 +

5

2и-4.0.0 + аи-3.1.0 ■ Ч2и-5.1.0 + ... + а1.0.0 ■ Чи-1.0.0 + а0.1.0 ■ Чи-2.1.0 +

5

4. Результаты исследований и их интерпретация

В результате проведенных исследований показано. что задачу декодирования алгеброгеометрических кодов можно свести к решению совокупности линейных уравнений. что легко реализуется как в программном. так и в аппаратном виде. На рис. 1. представлена схема алгоритма декодирования алгеброгеометрических кодов на пространственных кривых.

Анализ соотношений (1) - (5) и структурной схемы алгоритма. приведенного на рис. 1 показывает. что операции алгебраического декодирования алгеброгеоме-трических кодов на пространственных кривых можно реализовать с использованием элементарных арифметических операций над элементами конечного поля. На рис. 2 приведена схему устройства декодирования алге-брогеометрических кодов на пространственных кривых. На рис. 2 обозначены: БВКС - блок ввода кодового слова с ошибкой; БФСП - блок формирования синдромной последовательности; БФГМ - блок формирования генераторной матрицы; БХФ - блок хранения генераторных функций; БХТ - блок хранения точек пространственной кривой; РБ1 - 1-й решающий блок (вычисление коэффициентов многочлена локаторов ошибок); БФЛ - блок формирования локаторов ошибок; РБ2 - 2-й решающий блок (вычисление значений кратности ошибок); БФВО - блок формирования вектора ошибок; БС - блок согласования; БИО - блок исправления ошибок в кодовом слове.

Рис. 1. Схема алгебраического алгоритма декодирования

Рис. 2. Структурная схема устройства декодирования алгеброгеометрических кодов на пространственных кривых

Устройства функционирует следующим образом. Кодовое слово с ошибкой поступает на блок ввода кодового слова. откуда оно поступает в блок формирования синдромной последовательности и на блок исправления ошибок в кодовом слове. В блоке формирования синдромной последовательности с использованием элементов генераторной матрицы. вычисленных в блоке формирования генераторной матрицы с использованием параметров генераторных функций и точек пространственной кривой. считанных с блоков

хранения генераторных функций и хранения точек пространственной кривой соответственно, формируется синдромная последовательность, которая поступает на вход 1-го решающего блока. В 1-м решающем блоке производится вычисление коэффициентов многочлена локаторов ошибок, которые поступают на вход блока формирования локаторов ошибок. В блоке формирования локаторов ошибок с использованием считанных с блока БХТ точек пространственной кривой и поступивших на его вход коэффициентов многочлена локаторов ошибок производится вычисление локаторов. Найденные локаторы ошибок поступают на вход 2-го решающего блока и на вход блока формирования вектора ошибок. В 2-м решающем блоке производится вычисление значений кратности произошедших ошибок. С их помощью в блоке формирования вектора ошибок, с учетом локаторов поступивших с выхода блока формирования локаторов ошибок, формируется вектор ошибок. Найденный вектор ошибок поступает на вход блока исправления ошибок в кодовом слове. В

блоке исправления ошибок кодовое слово с ошибками с использованием сформированного вектора ошибок преобразуется в кодовое слово алгеброгеометрическо-го кода, в результате чего процесс декодирования завершается. Сформированное кодовое слов поступает на выход устройства декодирования. Блок согласования предназначен для согласования работы отдельных блоков устройства декодирования.

5. Выводы

Таким образом, в результате проведенных исследований получено общее решение задачи декодирования алгеброгеометрических кодов, построенных по пространственным кривым. Разработанная структурная схема устройства декодирования позволяют практически реализовать разработанный алгебраический метод как в программном, так и в аппаратном виде.

Литература

1. Гоппа В.Д. Коды на алгебраических кривых //Докл. АН СССР. - 1981. - Т.259. № 6. - С. 1289-1290.

2. Гоппа В.Д. Коды и информация. // Успехи математических наук. - 1984. -Т.30, вып. 1(235). - С. 77-120.

3. Северинов А.В., Кузнецов А.А., Куриш В.В. Разработка алгоритма декодирования алгеброгеометрических кодов // Системи

обробки шформацп. - Харгав: НАНУ, ПАНИ, ХВУ. - №1(17). - 2002. - С. 161-163.

4. Кузнецов А.А., Северинов А.В., Задворный Д.А. Лысенко В.Н. Алгебраическое декодирование кодов по кривым Эрмита //

Вюник ХП1. - Х.: НТУ "ХП1" - 2003. - №26. - С 95-102.

5. Feng G.L., Rao T.R.N. Decoding algebraic geometric codes up to the designed minimum distance // IEEE Trans. Inform. Theory.

- 1993. - Vol. 39, N 1 - P. 37-46.

6. Влэдуц С. Г., Манин Ю. И. Линейные коды и модулярные кривые //Современные проблемы маттематики. - М.: ВИНИТИ.

- 1984. - Т. 25. - С. 209-257.

7. Влэдуц С. Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. - М.: МЦИМО, 2003. - 504 с.

8. Кузнецов А.А. Энергетический выигрыш алгеброгеометрического кодирования // Радиотехника: Всеукр. межвед. науч.-техн.

сб. - Харьков: ХТУРЭ. - 2003. - Вып. 134. - С. 218-222.

9. Кузнецов А.А. Энергетическая эффективность алгеброгеометрических кодов. //Электронное моделирование: Международный

научно-теоретический журнал. - К: НАНУ, РАН. - 2004. - №2. - С. 27-38.

10. Кузнецов О.О., Пасько 1.В. Алгебрачний метод декодування лшшних блокових кодiв на алгебрачних кривих у Р3. // Системи озброення i вшськова техшка. - Х.: ХУПС. - 2006. -№ 3(7). - С - 69-72.

11. Пасько И.В. Алгебраическое декодирование кодов на пространственных кривых // Системи обробки шформацп: Збiрник на-укових праць.- Х.: ХУПС, 2007. - Вип. 1 (59). - С. 121 - 125.