CC BY
36
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ, РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ.
ЧАСТЬ 1. МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ МОДЕЛИ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.Г. Лабунец , Е.В. Кох , Е. Остхаймер2
1 Уральский государственный лесотехнический университет, Екатеринбург, Россия, 2 Capricat LLC, Pompano Beach, Florida, USA
Аннотация
Разрабатываются новые модели многоканальных (мульти- и гиперспектральных) изображений с использованием коммутативных гиперкомплексных алгебр (триплетных - для цветных и мультиплетных - для многоканальных). Гиперкомплексные алгебры обобщают алгебру комплексных чисел. Они содержат гиперкомплексные числа, представляющие собой линейную комбинацию нескольких мнимых единиц. Главная цель работы - показать, что коммутативные гиперкомплексные числа могут быть использованы при обработке многоканальных изображений в естественной и эффективной манере. В этой части работы мы предполагаем, что мозг животных оперирует гиперкомплексными числами, когда обрабатывает многоканальные изображения, которые возникают на ретине. В нашем подходе каждый многоканальный пиксел рассматривается не как K-мерный (K-Dimension) вектор, а как K-D гиперкомплексное число, где K есть число различных оптических каналов. Это создает эффективную математическую основу для различных функционально-числовых преобразований многоканальных изображений.
Ключевые слова: многоканальные изображения, гиперкомплексные алгебры, обработка изображений.
Цитирование: Лабунец, В.Г. Алгебраические модели и методы компьютерной обработки изображений. Часть 1. Мультиплетные модели многоканальных изображений // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 1. - С. 84-95. - DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-1-84-95.
Введение
Многоканальные изображения нашли широкое применение в системах дистанционного зондирования Земли при решении различных научных и прикладных задач [1- 4]. В этой работе мы предлагаем новые модели многоканальных (мульти- и гиперспектральных) изображений с использованием коммутативных гиперкомплексных алгебр (триплетных - для цветных и мультиплетных - для многоканальных). Термин «многоканальные» изображения используется для обозначения изображений более чем с одной компонентой. Они формируются из ряда изображений /а0(х),/11(х), ...,/хК-1(х), полученных в различных оптических диапазонах с длинами волн X0, А,ь ..., ХК-1, называемых спектральными каналами, где К - число различных оптических каналов. Простым примером является цветное изображение *а>1 (х,У) = (/(х,у), /а(х,у),/в(х, у)) с красной /(х,у), зеленой /а (х, у) и голубой /в (х, у) компонентами.
Если изображение собрано из нескольких единиц каналов (меньше, чем 10), то оно называется муль-тиспектральным, в то время как изображение, состоящее из нескольких десятков или сотен каналов, называется гиперспектральным (конечно, это деление носит условный характер). В данной работе используется термин многоканальные (или К-каналь-ные) изображения для обозначения подобных изображений. Многоканальные изображения могут рассматриваться как н-О К-компонентные (или век-торнозначные) сигналы [1- 4]:
fm(х) = (/0(х),/Дх),..., fK_1(x)): Rn ^ VK
со значениями, лежащими в K-D перцептуально векторном пространстве VK (бихроматическом V2, цветном V3gb или многоканальном VK), где xe R",
n = 2, 3, ... . Следующие случаи наиболее интересны.
1. 2D и 3D бихроматические изображения
f(х) = (/0(Xi,Х2),fi(Х2)): R2 ^ V2, f(х) = (/0(X,Х2,Х3), fi(Xi,Х2,Х3)): R3 ^ V2.
2. 2D и 3D трихроматические (цветные) изображения
fc (х) = ( f0( ^ Х21, Х21, f2 (Х1, Х2 )) : R2 ^ Vlb,
f (X) =
= ( /'о(х1, Х2 , Х3), /1(х1, Х2 , Х3), f2( Х, Х2, Х3)) : R ^ Vrgb.
3. 2D и 3D K-канальные изображения
fc (х) = ( f0(Xl, Х21, Х21, Х21) : R2 ^ Vrgb,
f (X) =
= ( /'о(х1, Х2 , Х3), /1(х1, Х2 , Х3), f2( ■Х\, Х2, Х3)) : R ^ Vrgb.
4. 2D и 3D бихроматические бинокулярные (двухкамерные) изображения [5, 6]
bn(Х1,Х2) = (fL(X), fR(X)): R2 ^ LV2 Ф RV2,
с1 (Х1,Х2,Х3) = (fbL(x), fbR(x)) : R3 ^ LV2 Ф RV2.
5. 2Б и ЗБ трихроматические (цветные) бинокулярные изображения
с(Х2) = (х),{?(х)): К2 ^ iУ^, Ф :У^, С(х,,Х2,Х3) — (х),{с*(х)): К3 ^ iУ,3ь Ф *У3ь.
6. 2Б и ЗБ *-канальные бинокулярные изображения
е (Х1, Х2) = (X), (X)): К2 ^ i У * Ф * У *,
С (Х1, Х2, Хз) — г (х), { * (х)): К3 ^ i У * Ф : У,
где Г 1 (х), (х) - изображения, возникающие на ретине левого и правого глаз соответственно.
Для обработки и распознавания изображений мы превращаем перцептуальные пространства У* в соответствующие гиперкомплексные алгебры (и называем их перцептуальными алгебрами). Мы разрабатываем алгебраические модели для двух уровней мозга (первый уровень - ретина, второй - У18иа1СоПех), используя различные гиперкомплексные алгебры: коммутативные - для первого уровня, где идёт обработка и преобразование изображения, и некоммутативные -для второго уровня, где происходит их распознавание. Привлечение некоммутативных алгебр связано с тем, что многие геометрические преобразования изображений (совместные растяжения, вращения, аффинные, проективные) принадлежат некоммутативным группами. Оказывается, что каждое такое преобразование можно описать подходящим многомерным гиперкомплексным числом (например, кватернионами - для вращений ЗБ-изображений).
Одна из наших гипотез состоит в том, что мозг животных должен иметь врождённые знания о подобных числах и уметь ими оперировать в режиме распознавания образов. В третьем параграфе работы мы покажем, что алгебраические модели многоканальных изображений позволяют разработать простые, наглядные и эффективные (с вычислительной точки зрения) инвариантные алгоритмы распознавания таких изображений с использованием быстрых преобразований Фурье-Клиффорда-Галуа.
В предлагаемом алгебро-геометрическом подходе каждый многоканальный пиксель рассматривается не как *-Б вектор, а как *-Б гиперкомплексное число (заметим, что числовая природа не отменяет векторной природы гиперкомплексного числа: просто векторное пространство оснащается операцией векторного умножения векторов, которые интерпретируются как числа).
В первой части этой работы мы интерпретируем многоканальное изображение, возникающее на ретине глаза, как мультиплетно-значный сигнал
* -1
Г (х) = (/ (х), /1 (х),..., /*-1 (х)) = X /1 (х)е* =
j=0
K -1
= /0 (х)е0 + /1 (х)е1 +... + /*-1 (х)е
который принимает значения в одной из следующих трёх коммутативных алгебр
AlgR1 (R |е°, е1,..., eK-1 ) = Algf,
где е*=-1, е*=0 или е* = +1. Здесь е°, е1, ..., г*-1 -гипермнимые единицы (гиперспектральные единицы) с коммутативным законом умножения
е^Ф^тоё *) ^ е* —+1
ег ■ е* — < иеу(/ - т)ег®*(тоё*), ц е* — 0, Б1еп(/ - т)е,Ф*(тоё *), е* —-1,
где I Ф т - сложение по модулю *,
Sign( x) =
Hev( x) =
+1, x > 0,
-1, x < 0,
+1, x > 0,
0, x < 0
- Signum и Heaviside функции.
Во втором параграфе работы многоканальные изображения, возникающие в отделе Visual Cortex (VC) головного мозга, будут интерпретироваться как сигналы, принимающие значения в некоторой алгебре Клиффорда
Alg
Vis(u,v,w)
( R |1, Ji, J 2,..., Jk -1 ) =
Г (х) — (/Дх), /2(х),..., /* (х)) —
— /Дх)Л + /,(х)Л +... + /* (х)1* ,
где ]ъ /2, ..., ]* - гипермнимые единицы со следующим некоммутативным законом умножения:
Jr • Jj = -Jj • J г, V s, Г = 1, K,
-1, s = 1,2,..., u,
J2 =
0, s = u +1, u + 2,..., u + v, +1, s = u + v +1, u + v + 2,..., u + v + w,
где и + V + ц> = * и и, V, ж - набор целых чисел, характеризующих количество гиперболических, эллиптических и параболических мнимых единиц.
В данной работе мы опираемся на следующие гипотезы [7]:
1. Мозг интерпретирует каждый пиксель изображения не как многомерный вектор, а как многомерное гиперкомплексное число. Если мы допускаем существование векторной природы пикселей, то можно пойти и дальше: допустить возможность умножения этих векторов. Тем самым мы не опровергаем векторную природу пикселя, а обогащаем её дополнительными математическими возможностями. Речь идёт о расширении возможностей математического языка описания реальной действительности за счёт введения операции умножения пикселей с векторной природой. Как оказывается, такое расширение позволяет разрабатывать новые алгоритмы обработки и распознавания многоканальных изображений.
K
2
2. Визуальные системы животных с различной эволю-
ционной историей используют различные гиперкомплексные алгебры для обработки цветных и многоканальных изображений. По-видимому, отдел Visual Cortex обладает способностью оперировать пикселями изображения как с гиперкомплексными числами.
3. Головной мозг использует различные алгебры на двух уровнях: коммутативные алгебры на уровне ретины при их обработке и некоммутативные алгебры на уровне VC при распознавании изображений.
1. Алгебраические модели дихроматических изображений
2D бихроматические изображения
f(Xi,Х2) = (fo(Xi,X2), fi(Xi,X2)): R2 ^ V2
обладают двумя атрибутами: R2, V2 - физическим и визуальным 2D-пространствами. В соответствии с [7, 8] мы оснащаем эти пространства структурами 2D-алгебр обобщённых комплексных чисел AlgS/ (R |1,1) и AlgV (R |1, J), т.е.
R2 ^ Algf (R |1,1) := R + RI =
= {z = x1 + Ix2 |xj, x2 e R},
V2 ^ Algf (R |1, J) := R + RJ =
= {Z = r + Jg|r,g e R},
где I и J - пространственная и бихроматическая мнимые единицы. Эти алгебры называются пространственной и бихроматической алгебрами [9, 10] физического R2 и перцептуального V2 пространств. Имеется три пространственные алгебры. Если 12 = I-2 = -1, то алгебра
AlgS/ (R|1,I-)={z = X +1 y|x,y e R;I- =-1}
является полем комплексных пространственных чисел, где I_ = i - обычная классическая (эллиптическая) мнимая единица.
Если 12 = I+ = +1, то алгебра
AlgS/ (R11,I+) = {z = x +1+ y|x,ye R;I+2 =+1}
является кольцом двоичных пространственных комплексных чисел, где I+ = e - классическая двойная (гиперболическая) мнимая единица. Если 12 = I02 = 0, то алгебра
Alg? (R11,10 )={z = x +10 y|x, y e R; I02 =-1}
является кольцом дуальных пространственных комплексных, где I0 = e - классическая дуальная (параболическая) мнимая единица.
Как будет показано ниже, эти алгебры описывают различные геометрии физического пространства (Евклидову, Минковского и геометрию Галилея). Это означает, что на алгебраическом языке можно достаточно просто описывать различные геометрические
преобразования изображений различной геометрической природы.
Аналогично существуют три перцептуальных алгебры с различными геометрическими (метрическими) свойствами:
если 12 = — -1, то перцептуальная алгебра
А^У (К |1,.-)— ^ — х +1 у|х, у е К;—-1}
- поле комплексных бихроматических чисел, где -бихроматическая мнимая единица, подобная обычной классической мнимой единице;
если 12 = — +1, то перцептуальная алгебра
А^У (К |1,1-)—{z — х +1 у|х, у е К;. —-1}
- кольцо двойных бихроматических чисел, где 1+ - би-хроматическая мнимая единица, подобная обычной двойной единице 1+ ~ е;
если 12 = 102 — 0, то перцептуальная алгебра
А^У (К |1,10)—{z — х +10 у | х, у е К; 102 —-1}
представляет собой кольцо дуальных бихроматиче-ских чисел, где 10 - бихроматическая мнимая единица, подобная обычной дуальной единице 10 ~ е.
Существует девять алгебраических моделей би-хроматических изображений
{: А1в? (К |1,1) ^ А^ (К |1,1): ((z): А1в8/ (К |1,1-) ^ А^ (К |1,1 ), Г: А1в8/ (К |1,1-) ^ А^ (К |1,10), -,+(: А1в8/ (К |1,1-) ^ А1вУ* (К11,1+), {(z): А&? (К |1,10) ^ А1в1'° (К |1,1-), 0,0Г: А!в5/ (К |1, /0) ^ А!в1'° (К |1,1), 0,+Г(z): А!в? (К |1, /0) ^ А!в? (К |1,1+), +'-((z): А1в8/ (К |1, /+) ^ А¡в?1 (К |1,1 ), +'0Г: А1в? (К |1, /+) ^ А1в? (К |1,10), +•+Г: А1в? (К |1, /+) ^ А^'1 (К |1,1+). Для обозначения шести алгебр будем пользоваться символом АВили символом А1в(К |1, В), где
(А1в?р (К |1, В), В — /, А1§Г (К1, В) — | ВУ.(( 1 ), , [ А1вУ18 (К |1, В), В — 1.
В алгебрах введём операцию сопряжения, ко-
торая отображает каждый элемент 2 = а + ВЬ в элемент 2 — а + ВЬ — а - ВЬ.
Определение 1. Пусть 2=а + ВЬ, тогда квадратичная форма N (2):— ||2|| — 22 — а2 - В2Ь2/ называется
псевдонормой числа 2=а + ВЬ, а — ^ N (2) —722 -его модулем.
Очевидно, N(222) = М^М^). Поэтому 2Б-алгебры АВ/ = А^? (К |1, /) и АВ?"1 = АВ? (К |1,1) легко превратить в псевдометрические пространства:
AlgS2p (R |1, JGeof'1"^ = (R2,р(z1;z2)), AlgVis (R |1, J) ^ Geof(l1 ,s2) = ( V2, p (Z1, Z2)), если в них определить следующие псевдометрики
Р(^1,Z2) :=V(Z2 -Z,)(Z2 -Z1) =
= >/( a2 - a)2 - J2 (¿2 - b )2 =
(А - 01 )2 + S2 (¿2 - ¿1 )2 =
a2 -Oj )2 +(b2 -b1 )2, Ze Alg2Ret (R|B-),
^2 - a )2-(¿2 - ¿1 )2, Z e A lgRet ( r| b+ ), |a2 -Oj|, Ze AlgRet (R|B0),
где Z1 = а1 + ВЬ1, Z2 = а2 + ВЬ2, а два символа (^1, $2) в выражениях Сео^1"^, Сео!2в( 11,12) обозначают сигнатуру псевдометрики (^ = + 1, s2 = -1, 0, +1). После введения псевдометрики алгебры (R |1, В) трансформируются в следующие псевдометрические пространства Сео!^1"^:
- двухмерная геометрия Евклида
Сео^е'(+,+) = ( А^1 (R | В_); р^ (пространственная
Сео2Р(+,+) и перцептуальная Сео^18(+'+) геометрии);
- двухмерная геометрия Минковского Сео^е'(+,-) = ( А^1 (R | В_); р) (пространственная
геометрии);
Geo2p( , ) и перцептуальная Geo - двухмерная геометрия Галилея
Vis(+,-)
Geo
Ret(+,0) 2
= ( AlgRet (R |B0); p) (пространственная
Geo2p(+, ) и перцептуальная геометрии Geo
Vis(+,0) 2
).
Определение 2. Множество всех точек обобщённой комплексной плоскости Сео^й(11'12), удовлетворяющее уравнению ^|2 = а2 - В2Ь2 = Я2 называется Сео^е1(11'12) -окружностью радиуса Я с центром в начале координат.
Пример 1. Пусть А^1 (R |1, В ) = А^ ? (R |1,1),
тогда имеется три типа окружностей: Сео2Р(+'+) -окружность - классическая Евклидова окружность, Сео2Р(+,-) -окружность (гиперболическая окружность) -
окружность Минковского и Geo
Sp(+,0)
окружность
(окружность Галилея) - две параллельные линии.
Пусть Z = а + ВЬ - произвольное обобщённое комплексное число (пространственное или бихрома-тическое), тогда число Z0 = Z/ \Т\ будет иметь единичный модуль, если ^ = Я Ф 0. Легко проверить, что
Z = Z
( i А
А+в^
z \z\
vi 1 1
= R • (cosa + B • sina) = R • eB,
где cos a и sin a - тригонометрические функции Евклида (классические cos a=cos a, sin a = sin a), Минковского (гиперболические cos a=ch a, sin a = sh a) и Галилея (cos a=cg a, sin a=sg a).
Определение 3. Бихроматическим изображением f(z) : Algf (R |1,1) ^ AlgVs(R 11, J) называется AlgV (R | J) -значный сигнал, зависящий от обобщённой комплексной переменной z e Algf (R |1,I), т.е. f(z) = f0(x1 + Ix2) + J • f1(x1 + Ix2). Определение 4. Преобразования z ' = z + w, z ' = lz, z ' = e'4'* z, Z' = Z + W, Z' = p,Z, Z' = eJ%h Z,
где z, z ', w e AlgS* и Z, Z', W e AlgV" называются трансляцией, масштабированием и вращением физического Geof('1,l2) и бихроматического Geo^'1''^ пространств соответственно.
Эти преобразования формируют группы:
1) две группы пространственных Tr (Geo
Sp(sus2 ) 2
бихроматических Tr (Geo2's<Sl,S2)) трансляций,
2) две группы пространственных Sc<Geo2P(Sl,S2) бихроматических Sc <Geo2's(Sl,l2)) масштабных преобразований,
3) две группы физических Rot <GeoSP(Sl,S2)) и бихро-
) и
) и
матических Rot (Geo
VÍS(S1 ,'2 )
) вращений.
Преобразования изображений (геометрические и цветовые искажения) в физическом и в перцептуаль-ном пространствах могут быть описаны на языках пространственной и перцептуальной алгебр. Эти искажения могут быть вызваны:
1) пространственными преобразованиями (трансляциями z' = z + w, вращениями z' =е!%р z, изменениями масштаба z' = Ал) и
2) бихроматическими преобразованиями (бихрома-тической трансляцией Г + преобразованием
цвета еМск Г и преобразованием насыщенности р). Если Г (г) - некоторое исходное бихроматическое изображение, то изображение
Me ,w
(z) = ^eJec • f (leJ*spz + W) + W
является его искажённой версией. Пространственные искажения здесь вызваны аффинными преобразованиями физического пространства: z ^ Хе 7фс* z + w , а цветовые - аффинными преобразованиями перцепту-ального пространства Г ^ ре Мск • Г + .
2. Алгебраические модели цветных изображений
Цветное изображение является векторнозначной функцией вида: Г(х): R" ^ У^, где У^ - трихрома-
тическое (цветовое) ЯОБ-пространство. Мы будем интерпретировать цветные изображения как триплетно-значные сигналы Г(х) = / (х)1 + / (х^ + /ъ (х)е;;о1, которые принимают значения в триплетной (цвет-
2
2
ной) алгебре А^1 (К 11, е, е2):— К1Ы + Ке^ + Ке2о1, где 1со1, е1са1, е^ - три гипермнимые (цветные) единицы с одним из трёх свойств: е^ — +1, е3ы — 0 либо е^ —-1 [11-16]. Для краткости будем обозначать их
как 1, е1, е2. Очевидно, существует три перцептуаль-ных цветных алгебры:
1) Если е3 — е- — -1, то
А^У (К11, е-, е-):— К1 + Ке- + Ке- —
— {С — г1 + в е- + Ье- |г, в, Ь е к}
- цветная алгебра цветных ациклических чисел.
2) Если е3 — е3+ — +1 , то
А^У (К11, е+, е+):— К1 + Ке+ + Ке+ —
— {С — г1 + ве+ + Ье+ |г,в,Ье к}
- цветная алгебра цветных циклических чисел.
3) Если е3 — е03 — 0 , то
(К |1, е0, е2):— К1 + Ке0 + Ке2 —
— {С — ,1 + ве0 + Ье0 |г,в,Ье к}
- цветная алгебра цветных нильпотентных чисел.
Цветные циклические числа формы С=х1 + уе + ге2
(е3 = 1) были впервые открыты Ч. Гревсом в работе [11]. Он назвал эти числа триплетами. Учитывая контекст данной работы, будем называть их цветными числами.
Сложение и умножение двух цветных чисел С1=(,1+в1е+Ь1е2) и С2=(г2+в2е+Ь2е2) определяются так:
С + С2 — (, + в^ + Ь^2) + (,2 + в2е + Ьга2) —
— (, + гг) + (в1 + в2)е + (Ь + Ьг)е2,
С ■ С2 — (, + в1е + ^е2) ■ (,2 + в2е + Ьге2) —
— (,1,2 + вЬ + Ь в 2) + (, в 2 + ,2 в1 + ЬА )е +
+ (,1Ь2 + в1в2 + Г2Ь1)е2.
Легко проверить, что триплетное произведение изоморфно 3-точечной циклической свёртке
С1С2 — (, + в1е + Ь^2) ■ (,2 + в2е + Ь2е2) =
= (''l, в^ Ь1 ) * ( , в 2 , Ь2 ) —
— (1,2 + вА + Ь1 в2, 1в2 + г2в1 + ЬА, /А + в1 в2 + ).
Триплетное сопряжение числа С = (,+ве + Ье2) определяется равенством: С — т + ве + Ье2 — , + ве2 + Ье1. Норма ||С||2 и модуль | С |2 определяются выражениями
2 — СС — (,+ве + Ье2)(,+ве2 + Ье) —
— (X2 + в2 + Ь2) - (,в + ,Ь + вЬ),
|С| 2 —Д——4 (,2+в2+Ь2) - (,в+,Ь+вЬ).
Ch. Greaves [11] показал, что каждое триплетное число имеет три нормы
|| C |1 = | r + g + ft |,
|| C ||2 = (r2 + g2 + ft2)-(rg + rb + gft),
|| C ||з = || C у C ||2 = r3 + g3 + ft3 - 3rgft.
Если расстояние p (C, D) между двумя триплетны-ми числами C и D определить как модуль их разности C - D=U= r+ge + fte2, то в цветовом перцептуальном пространстве можно ввести три метрики:
P1 (C,D) = |C-D = Щ =| r + g + ft |,
P2 (C, D) = |C - Dj2 = |Uj2 =
= tfo-^+g^+ftj^rg+Tb+gb),
Рз (C,D) = |C - D|3 = |U|3 = 7r3 + g3 + ft3 -3rgft.
В результате чего алгебра Alg^1 (R |1, e, e2) цветных чисел превратится в три 3D метрических пространства (с тремя цветными геометриями):
Geo3™ =<
((Аз (R1 e,e2)| | r + в + b |)),
Geof2 =
= (R|1,e,e2)| 2(r2 + в2 + b2)-(гв + rb+вЬ)^, A3 (R|1,e,e2 ) 3r3 + в3 + b3 - 3rgbtt.
Geof3 =
Гревс дал алгебраическую и геометрическую интерпретации триплетным числам. С геометрической точки зрения цветное число C=x+уе + ze2 является точкой C = C(x, у, z) e VRGB в 3Б-цветовом пространстве VRgb c координатами (x, у, z). С алгебраической точки зрения цветная алгебра является прямой суммой поля реальных чисел R и поля комплексных чисел Algf = R• eb+C• Ел = R8C, где еь = (1 + e + e2)/3, E ch = (1 + œ3e2 + ш2е) /3 - так называемые ортогональные идемпотенты (проекторы) ег2и = elu, Е^ = Ech, (eiHEch = Echefa = 0) и œ :=exp (2п/3). Действительно, в соответствии с полиномиальной китайской теоремой об остатках имеем
Algf ~ R[x]/(x3 -1) = R[x]/(x-1)(x2 + x +1) ~ ~ R[ x]/( x -1) 8 R[ x]/( x2 + x +1) ~ R 8 C.
Следовательно, каждое цветное число C=x+уе+ze2 является линейной комбинацией C=alM-elM+Zch-Ech= = (alu, Zch) реальной aiu-eu и комплексной Zch-Ech составляющих в идемпотентном базисе {eu, Ech}, где
Zch • Ech = C • Ech = eiu =
= (r + ge + fte2) [(1 + œ3e2 + ш2е)/з] =
= (r + gœ, + ftœ2 ) [(1 + œ3e2 + ш2е) / 3 J, и поэтому alu = (r + g + b),
z.
= (r + gffl3 + ю = fr-^1 + i^(g -b)
2
2
Мы будем называть aiu e R яркостными, а Zch e C хроматическими числами. По этой причине цветные изображения можно рассматривать в двух форматах: f (z) = fR (z)1 + fG (z)8+ fB (z)82,
f (z) = fu (z)eb + fch (z)Ech = (fu (z), fch (z )). Первое представление называется (R, G, B)-форматом, а второе - яркостно-хроматическим ("lumi-nance-chrominance" - LC). Последний формат (flu(z), fch(z)) определяет изображение в терминах ярко-стной fu(z) и хроматической fch(z) составляющих, где |fch(z)| - насыщенность и arg(fch(z)j - цветовой тон f(z).
Изменения цветового тона, насыщенности и яркости достаточно просто описываются на языке цветной алгебры.
Пусть для примера A = (au, Zch) = (an, |Zch|e'9), где ali > 0, тогда следующие преобразования
f (zA• f (z) = (auu,Zch)•(L (z),fch (z)) =
= (alu,|fu (z),fch (z)) =
= ( aiuflu ( Z ) J Zch|e4h ( Z ))
меняют яркость, цветовой тон и насыщенность цветного изображения. Множество таких преобразований формирует яркостно-хроматическую группу
г) р=П/4 д) р= -П/12 е) р= -П/16
Рис. 1. Изменение цветового тона у исходного изображения /(г)^А-/(1)=(1,е'р)- (/ы^), /ск&))=(/1и&), е'р/сь(г): исходное изображение "Уопск" (р= 0) (а), р= П/12 (б), р= П/6 (в), р= П/4 (г), р= -П/12 (д), р= -П/6 (е)
LCG(Algf (R|е)):
= {(alu,ZA)|(alu e R + ) &(ZA e C)}.
В частности, если A = (ац, Zch) = (1, е'ф), то следующие преобразования f (z) ^ A • f (z) =
= (1, fu (z), fcä (z )) = ( fb (z), e'f (z) )
меняют только цветовой тон изображения (рис. 1). Множество подобных преобразований формирует ортогональную группу преобразований цветового тона
HOG(Algfs (R|е)) = {(1,e'4)|e'9e с} (hue orthogonal
group).
Пусть А = (1, ^ > 0, тогда преобразования
{(г) ^ А • {(г) =
= (1, 1ы (г), Ъ (г) ) = ( ¡ы (г), (г))
изменяют только насыщенность исходного изображения (рис. 2).
Множество таких преобразований формирует группу преобразований насыщенности
SaG
( AlgV's (RIecol )) = {(1,s)|s e R+}
(saturation group).
Если же A = (1, Zch) = (1, se'v), то преобразования
г) я = 2 д) я = 0,6 е) я = 0,3
Рис. 2. Изменение насыщенности исходного цветного изображения /(г)^ А-/(1)=(1,я) • (/ы(г),/ск(г))=(/ш(г), $/ск(г)): исходное изображение "Уопек" (я = 1) (а); я = 1,3 (б); я = 1,6 (в); я = 2 (г); я = 0,6 (д); я = 0,3 (е)
f(Z) ^ A• f(Z) = (1,se^i flu(Z),fch(Z)) =
= ( fu (z), sefh (z) )
изменяют и цветовой тон, и насыщенность исходного изображения (рис. 3). Множество таких преобразований формирует хроматическую группу
ChG(Algf (R|8coi)) = = {(1,sei9)|(ei9e C) & (s e R +)}.
3. Мультиплетные модели многоканальных изображений
Традиционно многоканальные изображения интерпретируются как K-D векторнозначные сигналы
f (x) = (fo (x), fi (x), ..., fK-i(x)) : Rn ^ VK.
Мы будем интерпретировать их как мультиплет-но-значные сигналы
f (x) = f. (x) + fi (x)e1 + f2 (x)e2 +.. + fK (x)eK -1,
которые принимают значения в мультиплетной алгебре AlgKs (R|l,e,...,eK-i) = Ri + Re1 + ... + ReK-i, где
xeRn и 1, e1, ..., eK1 (eK= +1, 0, -1) - мультицветные гипермнимые единицы, которые могут иметь одно из трёх свойств eK= +1, 0, -1 [12-16].
Любое мультиплетное число представляется линейной комбинацией гипермнимых единиц
M = a0 + aiei + a2e2 +...+aK-ieK-i, ai e R.
Эти числа (в зависимости от eK= +1, 0, -1) формируют три мультиплетных алгебры
Alg+Vis (R)= Alg+Vi (R| 1,e+,e+,...,e+K-i ) =
eK-i
= К + Ке+ + Ке+ +... + Ке*
(К)= А^ (К| 1,е-,е-,...,е*-1) =
= К + Ке- + Ке- +... + Ке*-1,
АЛГ (К)= АЫ (К| 1,е0,е0.....е*-1 ) =
= К + Ке0 + Ке2 +... + Ке*-1.
Сложение пары мультиплетных чисел М\ и М2 в трёх алгебрах имеет одну и ту же форму:
М = М1 + М2 =
= ( a0 + aie + a2 e2 +... + 1) +
-1е*-1)-
+ (Ъ0 + Ь1е + Ъ2е2 +... + Ь*-1е*-1 ) =
= ( а + Ъ) + (а + Ъ )е1 +... + (а* _1 + Ъ*_1 )е *-1.
Следовательно, по отношению к сложению все три алгебры формируют одно и то же векторное пространство. Правила умножения любой пары мультиплетных чисел М1 и М2 в трёх мультиплетных алгебрах различны
М = М-М2 =
= (a0 + aie- + a2e- +... + aK-ieK 1 )x x(b0 + bie- + b2e- +... + bK-ieK-i) =
f k -i Л f k -i Л k -i k-i
= IXane- I• |Xbmem| = XXanbme-+m =
V n=0 ) V m=0 ) m=0 n=0
K-i f K-i Л K -i
= XI X a,embm | e- =X ce-
l=0 V m=0 ) l =0
а) 5 = 1, р= 0 б) 5 = 1,3, р = -П/12 в) 5 = 1,6, р= +П/12
Рис. 3. Изменение хроматической составляющей (цветового тона и насыщенности) цветного изображения/(г)^А/(г)=(1^в,р)-(/1и(г),/сн(г))=/ш(г), ¡г'%()): исходное изображение "Уопск" ($ = 1, р= 0) (а), 8 = 1,3, р= -П/12 (б), 8 = 1,6, р= +П/12 (в)
для Alg+V,s (R)= Algr (R| 1,e+,e+,...,e+K-1);
м = M • M =
-ief-1 )>
= (a0 + a1e+ + a2e+ +... + a^ef 1 |x
x(b0 + b^+ + b2e+ +... + bK X -1 ) =
' K-1
u+ ' +
K-1
= IXane+ I•IXbmem I = XXanbme?m =
n + / . m +
4n=0 / V m=0 K-1 K-1
K-1 + K-1 K-1
K -1
= XI X Sign(l -m)alembm Ie+ =X C e+
l =0
l=0 V m=0 - 1
для Alg-Vis (R)= Alg-V (R| 1,e-,e-,...,eK-1) и
M = M M =
= ( a0 + a1e0 + a, e2 +... + a^ -leK-1 )x
a0 1 a1"-0 1 a2"-0 .....aK-1eK )
x(b0 + b^0 + b2e2 +...+bK X-1 ) =
0
' K-1
K-1
= IXane0 I•IXbmem I = XXanbme"a+m =
K-1 K-1
-1 K-1
К-1
= XI X Неу(/ - т)атшЪт | е0 =Х С е'о-
I =0 V т=0 / I=0
для (R)= (к| 1,е0>еК-1).
Легко видеть, что мультиплетные произведения изоморфны дискретным К - точечным свёрткам -циклической, ациклической и нильпотентной соответственно:
К-1
С1 = X аЮтЬт ,
т=0 К-1
Cl = X Sign(l - m)aiembm,
m=0 K-1
Cl = X Hev(l - m)aiembmm .
Примечание. При циклическом и ациклическом сдвигах вправо последний элемент последовательности встает на место первого элемента без изменения или с изменением знака соответственно (по причине sK=+1, -1). При нильпотентном сдвиге последний элемент последовательности исчезает, а на месте первого элемента появляется 0 (из-за sK=0). Свойство элемента алгебры превращаться в 0 при его возведении в некоторую степень называется нильпотентностью. Отсюда следует и название свертки.
Используя полиномиальную китайскую теорему об остатках, можно легко доказать, что Alg+Kv,s (R) и AlgKv's (R) являются прямыми суммами полей реальных и комплексных чисел:
Alg+KVis (R)= RKu 8 CKa = ' K-1 R • eL + R-е2и + XC • <, if K even,
j=1
K -1 2
R • el + X C • ECh,
if K odd,
j=1
Alg/" (R)= RKu 8 CKh =
X C • ECh,
if K even,
j =1
K -1 2
R • 4 + X С • ЕСА, ^ К odd,
з=1
где е.и и Е]л - «реальные» и «комплексные» ортогональные идемпотенты, такие, что (е'ь )2 = е)и,
(ЕСА )2 = Е4, е\иЕС* = ЕЛ для всех • и з.
Пусть К1и = 0, 1, 2 и Кл = К/2, (К/2) - 1, (К - 1)/2 . Каждый мультиплет М е может быть
представлен в виде линейной комбинации Ки «скалярных» и К1и «комплексных» составляющих:
"lu "Л
M = XX (a, • eL) + XXX ( z j • Eh).
з=1
Реальные числа a,•еR называются мультиярко-стями, а комплексные С - мультихроматами. В таком представлении две главные арифметические операции имеют простую форму:
М + м2 =
j=1
= |X a • eL + XZj • Ej I+ IXb • elu + X wj • К I =
j=1
= I XX a, • elu + Xе; Z j • Ej I • |Xb • eiu + XXX w j • E{h I =
j=1
= |Х (а + Ь )• е;а + X (* з + w з )• ЕСА
V ¡=1 З=1
М • м2 =
К1и КСк
]а • е1+X 2
=1 З=1
А Ки Кс! \
= [£( а • Ь )• е.и + XX (* з •№ з )• Е4 ^.
Мультиплетные алгебры не являются полями. Они формируют числовые кольца с делителями нуля.
Определение 5. 2Б многоканальные сигналы типа
{(*) = /0(*) + ¡1 (*)е1 + _ + /к -1 (*)еК-1,
К1и КСЬ
Г (*) = ^ [ /и (*) • еи ] + ^ № (*) • Е}Л ] =
¡=1 з=1
= (¡и(*),/ь2(*),...,Ж (*); (*),(*),..,Ъ (*))
называются мультиплетнозначными изображениями в мультиплетном и мультияркостнохроматическом форматах, соответственно [7].
Первый формат определяет изображение К яркостями каждого канала. Второй формат определяет его яркостными частями (/^Х /ь2(*),..., /Ки (*)) и Кск хроматическими компонентами
(*), Ч (*),.., (*)), где 14 (*)|,| Гс! (*)|,...,|ГКЛ (*)1 - мультинасыщенности и
m=0 n=0
n=0
m=0
m=0 n=0
K
K
K
K
K
K
m=0
(z)}, ...,arg{f(;hA(х)} - мультицве-товые тона многоканального изображения 1^).
Изменения мульти-яркости и мульти-хроматичности у многоканального изображения легко описываются на языке мультиплетной алгебры (К) как преобразование для подходящего мульти-летного числа М. Например, если
M = (a)u, alat; Zh,Z2Z*? ) =
= (a1 a2 aku ; iz1 lz2
(al' al'...' al ; \Zch\e ' \Zch\e
\7Кл\0'%к
) •
то преобразование f (z) ^ M-f (z) =
j
ZJ I e
\Zchie
E Ch
= 1 S [al - eL ] +S
V i=i j=i
X [s [ fl (z) - el ] + ] [fch (z) - E Ch ]
j=i
[ Г -] Kch
=1 S[aLfi (z) - el]+S
V i=i j=i
zche^ fch- (z) - E
изменяет мультияркости, мультицветовые тона и мультинасыщенности. Множество таких преобразований формирует группу
МЬСС (Ак (К| 1,е1,е2,...,еК-1 )) =
~иа1 а2 аК- ■ 7 72 7Кл )1х
_ {( а1и , аЫ ,..., а1и ' 7сН, 7сН,.., 7сН )|х
х(а)и,а2,...,аК- е Я + )& &(,7гА,..,7*? е С)}.
Мы предполагаем, что головной мозг может использовать гиперкомплексные алгебры для ментального изменения мультияркости и мультихроматич-ности многоканальных изображений, которые возникают в памяти мозга на так называемом «экране сознания», например, во время сна.
Заключение
Разработан новый алгебраический подход к математическим моделям многоканальных изображений, основанный на коммутативных гиперкомплексных алгебрах. Наша цель состояла в том, чтобы показать, что гиперкомплексные алгебры являются адекватным математическим аппаратом для описания многоканальных изображений. Более того, можно привести достаточное количество аргументов в пользу того, что мозг животных в процессе эволюции приобрёл способность оперировать гиперкомплексными числами в процессе обработки и распознавания изображений. Поэтому мозг животных может рассматриваться как компьютер, работающий в некоторой гиперкомплексной алгебре.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке
гранта РФФИ № 17-07-00886.
Литература
1. Cronin, T.W. A retina with at least ten spectral types of photoreceptors in a mantis shrimp / T.W. Cronin, N.J. Marschal // Nature. - 1989. - Vol. 339. - P. 137-140. -DOI: 10.1038/339137a0.
2. Chang, Ch.-I. Hyperspectral data processing: Algorithm design and analysis / Ch.-I. Chang. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2013. - 1164 p. - ISBN: ISBN 978-0-471-69056-6.
3. Schowengerdt, R.A. Remote sensing: Models and methods for image processing / R.A. Schowengerdt. - 2nd ed. - New York: Academic Press, 1997. - 522 p. - ISBN: 978-0-12-628981-7.
4. Computer image processing. Part II: Methods and algorithms / ed. by V.A. Soifer. - Saarbrücken: VDM Verlag Dr. Müller, 2010. - 584 p. - ISBN: 978-3-6391-7545-5.
5. Lüneburg, R.K. The metric of binocular visual space / R.K. Luneburg // Journal of the Optical Society of America. -1950. - Vol. 40, Issue 1. - P. 627-642. - DOI: 10.1364/J0SA.40.000627.
6. Luneburg, R.K. The metric methods in binocular visual space / R.K. Luneburg. - In book: Courant, R. Studies and essays: presented to R. Courant on his 60th birthday / R. Courant. -New York: Interscience Publishers, 1948. - P. 215-239.
7. Labunets, V. Clifford algebra as unified language for image processing and pattern recognition / V. Labunets. - In book: Computational noncommutative algebra and applications / ed. by J. Byrnes, G. Ostheimer. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2004. - P. 197225. - ISBN: 978-1-4020-1982-1.
8. Doran, C.J.L. Geometric algebra and its application to mathematical physics / C.J.L. Doran. - Cambridge: University of Cambridge, 1994. - 244 p.
9. Labunets, V.G. Is the Brain a 'Clifford algebra quantum computer'? / V.G. Labunets, E.V. Rundblad, J. Astola. - In book: Dorst L, Doran C Lasenby J, eds. Applied geometrical algebras in computer science and engineering. Boston, MA: Birkhäuser, 2002. - Chapter 25. - P. 486-495. - ISBN: 978-1-4612-6606-8. - DOI: 10.1007/978-1-4612-0089-5_25.
10. Labunets-Rundblad, E.V. Algebra and geometry of color images / E.V. Labunets-Rundblad, V.G. Labunets, J. Astola. - In book: Proceedings of first international workshop on spectral techniques and logic design for future digital systems / ed. by R. Creutzburg, K. Egiazarian. - Tampere: Tampere International Center for Signal Processing, 2000. - P. 231-261.
11. Greaves, Ch. On algebraic triplets / Ch. Greaves // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1845. - Vol. 3. - P. 51-54.
12. Labunets-Rundblad, E. Spatial-color Clifford algebras for invariant image recognition / E. Labunets-Rundblad, V. Labunets. - In book: Geometric computing with Clifford algebras / ed. by G. Sommer. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - P. 155-184. - ISBN: 978-3-642-07442-4.
13. Labunets-Rundblad, E. Unified approach to Fourier-Clifford-Prometheus sequences, transforms and filter banks / E. Labunets-Rundblad, V. Labunets, I. Nikitin. - In book: Computational noncommutative algebra and applications / ed. by J. Byrnes, G. Ostheimer. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers; 2004. - P. 389-400. -ISBN: 978-1-4020-1982-1.
14. Labunets-Rundblad, E. Fast color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus transforms for image processing / E. Labunets-Rundblad, A. Maidan, P. Novak, V. Labunets. - In book: Computational noncommutative algebra and applications /
К
К
X
ed. by J. Byrnes, G. Ostheimer. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers; 2004. - P. 401-411. -ISBN: 978-1-4020-1982-1.
15. Labunets, V. Is the Visual Cortex a 'Fast Clifford algebra quantum computer'? / V. Labunets, E. Labunets-Rundblad, J. Astola. - In book: Clifford analysis and its applications / ed. by F. Brackx, J.S.R. Chisholm, V. Soucek. - Dordrecht:
Springer Science+Business Media, 2001. - P. 173-182. -ISBN: 978-0-7923-7045-1.
16. Labunets, V.G. Colour triplet-valued wavelets and splines / V.G. Labunets, A. Maidan, E. Labunets-Rundblad, J. Astola // Proceedings of the 2nd International Symposium on Image and Signal Processing and Analysis (ISPA 2001). -2001. - P. 535-541. - DOI: 10.1109/ISPA.2001.938687.
Сведения об авторах
Лабунец Валерий Григорьевич родился в 1946 году. В 1970 окончил Уральский политехнический институт. В 1988 году защитил диссертацию на соискание степени доктора технических наук. Основное место работы -Уральский государственный лесотехнический университет, профессор. Круг научных интересов: цифровая обработка сигналов, анализ изображений, распознавание образов, квантовые вычисления, геоинформатика. E-mail: vlabunets05@yahoo.com.
Кох Елена Викторовна родилась в 1974 году. В 1996 году окончила Уральский государственный лесотехнический университет (УГЛТУ). В 2013 году защитила диссертацию на соискание степени кандидата наук. В настоящее время работает доцентом кафедры информационных технологий УГЛТУ. Круг научных интересов включает геоинформационные системы, обработку данных дистанционного зондирования, распознавание образов. E-mail: elenakox@mail.ru.
Екатерина Остхаймер родилась в 1970 году. В 1993 окончила Уральский политехнический институт. В 1995 году защитила диссертацию на соискание степени кандидата технических наук, а 2000 защитила докторскую диссертацию в университете Тампера. В настоящее время является руководителем фирмы Capricat LLC (Флорида, США). Круг научных интересов: цифровая обработка сигналов, анализ изображений, распознавание образов, квантовые вычисления, геоинформатика. E-mail: katya@capricat.com .
ГРНТИ: 28.23.15, 28.17.19, 28.17.24, 89.57.35, 89.57.45. Поступила в редакцию 17января 2018 г. Окончательный вариант - 8 февраля 2018 г.
ALGEBRAIC MODELS AND METHODS OF COMPUTER IMAGE PROCESSING.
PART 1. MULTIPLET MODELS OF MULTICHANNEL IMAGES
V.G. Labunets1, E.V. Kokh1, E. Ostheimer2
1Ural State Forest Engineering University, Ekaterinburg, Russia,
2Capricat LLC, Pompano Beach, Florida, USA
Abstract
We present a new theoretical framework for multichannel image processing using commutative hypercomplex algebras. Hypercomplex algebras generalize the algebras of complex numbers. The main goal of the work is to show that hypercomplex algebras can be used to solve problems of multichannel (color, multicolor, and hyperspectral) image processing in a natural and effective manner. In this work, we suppose that the animal brain operates with hypercomplex numbers when processing multichannel retinal images. In our approach, each multichannel pixel is considered not as an K-D vector, but as an K-D hypercomplex number, where K is the number of different optical channels. The aim of this part is to present algebraic models of subjective perceptual color, multicolor and multichannel spaces.
Keywords: multichannel images, hypercomplex algebra, image processing.
Citation: Labunets VG, Kokh EV, Ostheimer E. Algebraic models and methods of computer image processing. Part 1. Multiplet models of multichannel images. Computer Optics 2018; 42(1): 84-95. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-1-84-95.
Acknowledgements: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research, RFBR grant # 17-07-00886.
References
[1] Cronin TW, Marschal NJ. A retina with at least ten spectral types of photoreceptors in a mantis shrimp. Nature 1989; 339: 137-140. DOI: 10.1038/339137a0.
[2] Chang Ch-I. Hyperspectral data processing: Algorithm design and analysis. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons; 2013. ISBN: 978-0-471-69056-6.
[3] Schowengerdt RA. Remote sensing: Models and methods for image processing. 2nd ed. New York: Academic Press; 1997. ISBN: 978-0-12-628981-7.
[4] Soifer VA, ed. Computer image processing, Part II: Methods and algorithms. Saarbrücken: VDM Verlag Dr. Müller; 2010. ISBN: 978-3-6391-7545-5.
[5] Luneburg RK. The metric of binocular visual space. JOSA 1950; 40(1): 627-642. DOI: 10.1364/J0SA.40.000627.
[6] Lüneburg RK. The metric methods in binocular visual space. In book: Courant, R. Studies and essays: presented to R. Courant on his 60th birthday 1948: 215-239.
[7] Labunets V. Clifford algebra as unified language for image processing and pattern recognition. In Book: Byrnes J, Os-theimer G, eds. Computational noncommutative algebra and applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers; 2004: 197-225. ISBN: 978-1-40201982-1.
[8] Doran CJL. Geometric algebra and its application to mathematical physics. Cambridge: University of Cambridge; 1994.
[9] Labunets VG. Is the Brain a 'Clifford algebra quantum computer'? In Book: Dorst L, Doran C, Lasenby J, eds. Applied geometrical algebras in computer science and engineering. Boston, MA: Birkhäuser; 2002; 25: 486-495. ISBN: 978-1-4612-6606-8. DOI: 10.1007/978-1-4612-0089-5_25.
[10] Labunets-Rundblad EV, Labunets VG, Astola J. Algebra and geometry of color images. In Book: Creutzburg R, Egiazarian K, eds. Proceedings of first international workshop on spectral techniques and logic design for future digital systems. Tampere: TICSP; 2000: 231-261.
[11] Greaves Ch. On algebraic triplets. Proceedings of the Royal Irish Academy 1845; 3: 51-54.
[12] Labunets-Rundblad E, Labunets V. Spatial-color Clifford algebras for invariant image recognition. In Book: Sommer G, ed. Geometric computing with Clifford algebras. Berlin, Heidelberg: Springer; 2001: 155-184. ISBN: 978-3-642-07442-4.
[13] Rundblad-Ostheimer E, Labunets V, Nikitin I. Unified approach to Fourier-Clifford-Prometheus sequences, transforms and filter banks. In Book: Byrnes J, Ostheimer G, eds. Computational noncommutative algebra and applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers; 2004: 389-400. ISBN: 978-1-4020-1982-1.
[14] Labunets-Rundblad E, Maidan A, Novak P, Labunets V. Fast color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus transforms for image processing. In Book: Byrnes J, Ostheimer G, eds. Computational noncommutative algebra and applications. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers; 2004: 401-411. ISBN: 978-1-4020-1982-1.
[15] Labunets V, Labunets-Rundblad E, Astola J. Is the Visual Cortex a 'Fast Clifford algebra quantum computer'? In Book: Brackx F, Chisholm JSR, Soucek V, eds. Clifford analysis and its applications. Dordrecht: Springer Science+Business Media; 2001: 173-182. ISBN: 978-0-7923-7045-1.
[16] Labunets VG, Maidan A, Labunets-Rundblad E, Astola J. Colour triplet-valued wavelets and splines. Proc ISPA 2001: 535-541. DOI: 10.1109/ISPA.2001.938687.
Author's information
Valeri Grigorievieh Labunets (1946 b.), graduated (1970) from Urals Polytechnical Institute. He received his Candidate's degree in Technical Sciences in 1978 and DrSc degree in 1988. At present, he is Professor of Information Technologies department at Ural State Forest Engineering University. The areas of research interests include digital signal and image processing, geoinformatics and pattern recognition, quantum computing. E-mail: vlabunets05@yahoo.com .
Elena Viktorovna Kokh (1974 b.) graduated (1996) from Ural State Forest Engineering University (USFEU). She received his Candidate's degree Sciences in 2013. Currently assistant Professor of Information Technologies department at USFEU. The areas of research interests include geoinformation systems, processing of remotely sensed data, pattern recognition. E-mail: elenakox@mail.ru .
Ekaterina Ostheimer (Rundblad) (1970 b.), graduated (1993) from Urals Polytechnical Institute. He received his Candidate's degree in Technical Sciences in 1995 and DrSc degree in 2000 from Tampere University. At present, she is Head of Capricat LLC (Florida, USA). The areas of research interests include digital signal and image processing, geoin-formatics and pattern recognition, quantum computing. E-mail: katya@capricat.com .
Received January 17, 2017. The final version - February 8, 2018.
