Алгебра трудности достижения цели как операционная основа оценки качества результата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономико-математические методы и модели

УДК 519.86

Н.Б. Баева, Е.В. Куркин

АЛГЕБРА ТРУДНОСТИ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ КАК ОПЕРАЦИОННАЯ ОСНОВА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА РЕЗУЛЬТАТА

Проблема оперирования качественными показателями является актуальной, так как для построения адекватных квалитативных функций требуется учитывать не только организационную структуру исследуемого объекта и взаимосвязи между элементами, но и тот факт, что получить результат определенного качества тем труднее, чем ниже качество ресурса и чем выше требования к качеству результата. Существуют подходы, согласно которым показатели, характеризующие качественную оценку, агрегируются и обрабатываются в функциях и моделях как вещественные числа, и при работе с ними применяют обычные арифметические операции [1]. Весьма интересным представляется подход, при котором оценки качества строятся на основе особой категории - трудности достижения цели (ТДЦ), предложенной в работе [2], где показатели качества принадлежат особому множеству, со специально введенными операциями. Идея введения коэффициентов трудности и разработки способов их расчета принадлежит И.Б. Руссма-ну, который предложил вычислять величину ТДЦ по формуле

8(1 -Ц)

( = -

Ц(1 -8)'

(1)

где ц е (0, 1] есть безразмерная оценка качества ресурса с условием «чем больше, тем лучше», 8 е [0, 1) - нижняя допустимая граница качества. Существует вариант формулы ТДЦ, когда 8 -верхняя допустимая граница качества, для которой справедливы те же положения, что и для формулы (1) [3]. Взаимосвязь понятий «трудность» и «качество» описана в работе [4].

Покажем, что введенные, обоснованные и исследованные в работах [2, 4] обобщенные операции над коэффициентами ТДЦ образуют алгебраическую систему.

Пусть множество В есть отрезок [0, 1], которому принадлежат значения, получаемые по формуле (1) и ( е В, г = 1,..., п. Перечислим в таблице операции над коэффициентами трудности.

По определению множество В (носитель) с заданным на нем набором операций (см. таблицу) и отношений (значения коэффициентов ТДЦ сравниваются по величине как вещественные числа) является алгебраической системой. Определим, к каким категориям относится данная алгебраическая система.

Утверждение 1. Алгебраическая система с носителем В и одной операцией сложения является моноидом.

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо показать выполнение следующих положений [5]:

- уравнения вида (© а = Ь и а © ( = Ь (здесь и далее все переменные принадлежат В, если не указано иное) имеют единственное решение;

- наличие единичного элемента;

- ассоциативность операции сложения а © (Ь © с) = (а © Ь) © с.

Действительно, уравнение (© а = Ь согласно таблице можно переписать в эквивалентном виде:

( + а - (а = Ь » ( =

Ь - а 1 - а

откуда видно, что оно имеет единственное решение. Аналогично доказывается, что уравнение а © ( = Ь также имеет единственное решение.

4

^кономико-математические^методы^и^модел^^

Обобщенные операции

Название операции Аналитический вид

Обобщенное сложение (обозначается знаком ©) d = dl © d2 = dj + d2 - djd2

Обобщенное умножение (обозначается знаком ®) - in-^in-i- d = d1 ® d2 = 1 - e 1 - d1 1 - d2

п-арное сложение d = dj © d2 ©... © dn = 1 -f (1 - d,. ) i = 1

п-арное умножение -П d = dl ® d2 ®... ® dn = 1 - e '=1 d

Умножение на число X® d = 1 - (1 - d)\ X> 0

Обобщенное возведение в степень (обозначается знаком л) -f in-i-1 dX= 1 - e 1 1 - d> , X> 0

Обобщенное вычитание (обозначается знаком ©) d = d. ® d2 = -î - d2 1 2 1 - d2

Обобщенное деление (обозначается знаком 0) -in-^/in-i- d = dj (D d2 = 1 - e 1 - d1i 1 - d2

Единичным элементом в D относительно операции сложения является 0: d © 0 = 0 Ф d = d.

Остается показать ассоциативность обобщенной операции сложения:

a © (b © с) = (a © b) © с » » a + (b + с - Ьс) - a(b + с - Ьс) = = (a + b - ab) + с - (a + b - ab)c » » a + b + с - Ьс - ab - ac + aЬс = = a + b - ab + с - ac - Ьс + a^.

Последнее тождество верно в силу коммутативности сложения на множестве действительных чисел. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Алгебраическая система с носителем D и одной операцией умножения является абелевой группой.

Доказательство. Для доказательства требуется выполнение следующих условий [5]:

- уравнения вида d ® a = b и a ® d = b имеют единственное решение;

- наличие единичного элемента;

- ассоциативность операции умножения a ® (b ® с) = (a ® b) ® с;

- наличие обратного элемента;

- коммутативность операции умножения а ®Ь = Ь ® а.

Действительно, уравнение d ® а = Ь имеет единственное решение, поскольку эквивалентное уравнение

1 - e

1 1 1 1

-ln-1n-

1 - d 1 - a

= b

в силу непрерывности и монотонности на множестве В имеет единственное решение

d = 1 - e

-ta—^/ta—!— 1 - Ь 1 - a

Единственность решения уравнения а ® d = Ь может быть показана аналогично.

Единичным элементом в В относительно

операции умножения является е = 1 - — « 0,63 [3]:

е

)е = е ® d = d. Ассоциативность обобщенной операции умножения следует из приведенных ниже преобразований:

- ln—i— ln-1 - a ,

a ® (b ® с) = 1 - e

= 1 - e

ï 1

= (a ® b) ® с.

ln

Вид обратного элемента можно вывести из уравнения ( ® ( = е:

1 1 1 1 - 1п-1п-

1 - е 1 - ( 1 - ( = 1 - е-1 о ( = 1 - е1п(1 - ().

Для доказательства утверждения остается показать коммутативность обобщенной операции умножения:

• 1 , 1 ,1,1

- 1п-1п--- 1п-1п-

а ® Ь = 1 - е 1 - а 1 - Ь = 1 - е 1 - Ь 1 - а = Ь ® а.

Утверждение доказано.

Утверждение 3. Алгебраическая система с носителем В и двумя обобщенными операциями сложения и умножения является полукольцом.

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо показать выполнение закона дистрибутивности для обобщенных операций:

а ® (Ь © с) = а ® Ь © а ® с; (а © Ь) ® с = а ® Ь © а ® с.

Докажем выполнение первого равенства:

(а © Ь) ® с = 1 - е

1 - а 1 - (Ь + с - Ьс) _

= 1 - е 1 - а (1 - Ь)(1 - с) = 1 - е 1 - а ^ 1 -Ь 1 - с ; =

- 1п—1—1п—1— - 1п—1—1п——

= 1 - е 1-а 1-Ье 1-а 1 -с

( 1 1 1 1 ^ ( - 1п-1п-

1 - е 1 - а 1 - + 1 -6

1 1 1 1 Л

- 1п-1п-

1 -<

1 1 1 1 А

-1п-1п-

1-а 1-Ь

1 , 1 Л

1 -е

= а ® Ь © а ® с.

Утверждение 4. Если (1 = 1, то для любого (2 е В (при вычитании и делении (2 Ф 1) результат обобщенных операций сложения, вычитания, умножения и деления будет равен единице.

Доказательство. Если (1 = 1, то в результате перехода к обычным операциям получаем:

1 © (2 = 1 + (2 -1 • (2 = 1;

1 - (2

1 © (2 =-г- = 1;

1

1 ® (2 = 1 -е

-1п—1—1п-1-

1-1 1 - (

= 1 (в силу того,

что 11т е 1-(1 1-(2 = 0);

(1 ^ 1

- 1п—1—/1п-1-

1 0 (2 = 1-е 1-1 1-1,2 = 1 (в силу того,

- 1п—1—/ 1п-1-

что Пт е 1-^ 1-( = 0).

( ^ 1

Справедливость второго равенства доказывается аналогично. Утверждение доказано.

Есть основание полагать, что если какая-либо частная оценка равна единице, то значение любой свертки, составленной с помощью коэффициентов ТДЦ и обобщенных операций, будет также равно единице. Приведем соответствующее обоснование.

Утверждение доказано.

Отсюда следует более общее утверждение: значение произвольного выражения /((1, ..., (п), составленного с помощью обобщенных операций и рассматриваемого как суперпозиция бинарных операций, равно единице, если есть хотя бы один аргумент, равный единице.

Отметим также факт, широко используемый в свертках с весовыми коэффициентами: результат умножения коэффициента ТДЦ на любое неотрицательное число

X®, = 1- (1-, )

будет лежать в пределах от 0 до 1. Последнее следует из того факта, что возведение в степень числа, не превосходящего единицы (1 - (), дает результат, меньший либо равный единице.

Таким образом, с помощью коэффициентов ТДЦ и приведенных в таблице обобщенных операций можно строить свертки практически любого вида, с учетом специфики и организационной структуры исследуемого объекта.

В работе описаны операционные основы коэффициентов ТДЦ. Показано, что введенные

4

Экономико-математические методы и модели.

операции на множестве В образуют алгебраическую систему: моноид относительно операции сложения, абелеву группу относительно умножения и полукольцо относительно операций сложения и умножения. Это дает возможность

использовать коэффициенты трудности с введенными операциями для построения функций качества и создает надежную операционную основу для построения адекватных экономико-математических моделей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азгальдов, Г.Г. О квалиметрии [Текст] / Г.Г. Азгальдов, Э.П. Райхман. - М.: Изд-во стандартов, 1972. - 172 с.

2. Каплинский, А.И. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов системы [Текст] / А.И. Каплинский, И.Б. Руссман, В.М. Умывакин. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. - 168 с.

3. Леденева, Т.М. О формировании интегральных оценок «трудность достижения цели» [Текст] /

Т.М. Леденева // Вестник факультета ПММ. - 2010. -Вып. 8. - С. 122-140.

4. Баева, Н.Б. Обобщение методов построения интегральных оценок качества на основе теории трудности достижения цели [Текст] / Н.Б. Баева, Е.В. Куркин // Вестник ВГУ. Серия «Системный анализ и информационные технологии». - 2011. - № 1.

5. Общая алгебра [Текст]. Т. 1 / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др.; под общ. ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука, 1990. - 592 с.

УДК 519.86

М.Ю. Кабиняков, Ф.Б. Тебуева

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРСИСТЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ (НА ПРИМЕРЕ ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ)

Для моделирования динамики поведения различных экономических показателей в настоящее время используется широкий спектр математических методов и моделей [1, 2]. В основном это традиционные статистические подходы к прогнозированию, которые базируются на трендах и регрессии и предполагают выполнение условия независимости уровней (наблюдений). Однако условие независимости чаще всего не выполняется в силу того, что, как правило, в поведении экономических показателей наблюдается долговременная память [3]. В качестве эффективного инструментария для моделирования процессов с долговременной памятью зарекомендовали себя современные методы нелинейной динамики [3, 4].

Данная статья посвящена вопросам анализа статистических свойств временного ряда

потребления электроэнергии и определения класса его принадлежности в классификации «хаотические - персистентные - антипер-систентные» [3] временные ряды. Определение класса принадлежности исследуемого временного ряда позволит выбрать адекватный математический аппарат для его моделирования.

Агрегирование временного ряда

Электроэнергия является одним из наиболее значимых продуктов промежуточного потребления страны и составляет весомую долю в затратах практически всех отраслей экономики. Дефицит электроэнергии в отдельных регионах и тем более в стране в целом неизбежно приводит к ограничению экономического роста [5]. Поэтому моделирование динамики электропо-