CC BY
73
ТЕМА НОМЕРА
АЛГЕБРА,
алгебраическая геометрия и теория чисел
Вячеслав Янчевский,
завотделом алгебры Института математики НАН Беларуси, академик
Ирина Супруненко,
главный научный сотрудник отдела алгебры Института математики НАН Беларуси, доктор физико-математических наук
Во второй половине прошлого века быстрое развитие вычислительной техники и впоследствии информационных технологий привело к началу 3-й промышленной революции (цифровой). Первые две связывают с началом применения паровых машин и электричества. А теперь эксперты говорят уже о начале 4-й, в результате которой возникнет принципиально новый тип производства, основанный на использовании киберфизи-ческих систем, развитии глобальных промышленных сетей и анализе огромных массивов данных (Big Data). Открываемые этой революцией перспективы и в то же время обострение связанных с ней проблем (рост безработицы как следствие применения новых технологий, возможное усиление социального неравенства) и пути их решения второй год активно обсуждаются на Всемирном экономическом форуме в Давосе. Его президент швейцарский экономист К. Шваб написал книгу о 4-й промышленной революции.
Новый импульс получили исследования искусственного интеллекта и дополненной реальности. В Европарламенте подготовлен проект резолюции о законодательном регулировании робототехники, где ставится вопрос о статусе «электронной личности». Такие процессы приводят к созданию по всему миру различных кластеров организаций, связанных с ИТ. В Беларуси одним из них стал успешно работающий с 2005 г. Парк высоких технологий. Генеральный директор по развитию
новых бизнес-моделей компании «Microsoft» К. Ривз считает, что причина этого успеха - высокий образовательный уровень работающих там специалистов.
Какова же роль математики в контексте этих процессов? Математика - наука о строении всех возможных миров, поэтому оказывается необходимой для изучения миров виртуальных, создаваемых с помощью высоких технологий. Для эффективного использования все более мощных компьютеров и развития информационных технологий всегда будут нужны алгоритмы решения самых разнообразных задач и методы оценки их вычислительной сложности. При разработке многих алгоритмов используются алгебраические методы, здесь необходимо исследование свойств преобразований конечных множеств больших порядков, сохраняющих определенные структуры. Неслучайно уже в прошлом веке начался бурный рост новых приложений математики, не связанных непосредственно с физикой (экономика, биология, социология, криптология), хотя, несомненно, важную роль сыграла и внутренняя логика развития науки.
Многие приложения касаются использования методов алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел. Возникнув в античности как совокупность более или менее частных методов решения алгебраических уравнений, в XIX в. алгебра превратилась в науку о системах с операциями, напоминающими сложение и умножение обычных чисел и подчиняющимися свойственным им законам. Впоследствии стали изучаться и более общие системы, в которых не все эти законы выполняются (группы, кольца, поля). Современная алгебра состоит из ряда фундаментальных разделов, таких как гомологическая алгебра, алгебраическая геометрия, теории групп и колец, категорная алгебра, которые взаимно переплетены и оказывают постоянное плодотворное влияние не только на развитие друг друга, но и на другие области математики. Яркий пример - полученное в конце прошлого века доказательство большой теоремы Ферма. Ее формулировка относится к элементарной теории чисел и понятна даже школьнику, а доказательство использует такие глубокие разделы алгебры, как теория представлений групп Галуа, теория эллиптических кривых и теория модулярных функций.
Математика и ее приложение
В Институте математики НАН Беларуси исследования по алгебре начались в 1959 г. под руководством создателя белорусской алгебраической школы академика Д.А. Супруненко и известного алгебраиста академика С.А. Чунихина. Сейчас такие исследования проводятся в двух направлениях: теория конечномерных алгебр Адзумайи над полями и групп Брауэра полей функций алгебраических многообразий и теория представлений алгебраических и конечных групп. Оба направления имеют большой потенциал приложений к проблемам криптологии. Эти исследования сосредоточены в отделе алгебры, в состав которого входит находящаяся в Гомеле лаборатория теории и приложений конечных групп.
Теоретическая значимость работ подтверждается большим интересом к полученным результатам со стороны ведущих научных мировых центров (США, Бельгии, Великобритании, Германии, Индии, Франции, России). Это объясняется тем, что усилия белорусских ученых направлены на решение наиболее трудных и актуальных задач, связанных с выявлением глубоких свойств и установлением фундаментальных закономерностей объектов алгебры и алгебраической геометрии. В качестве иллюстрации предыдущего утверждения укажем на значительный прогресс в изучении одного из важнейших бирациональных инвариантов алгебраических многообразий - их групп Брауэра. В частности, глубокие результаты об этих группах и группах Брауэра полей функций алгебраических многообразий получены недавно в работах Солтмэна, Либлиха, Форда, Джекоба, де Йонга, Парималы (США), Ван ден Берга, Тиньоля (Бельгия), Колье-Телена, Карпенко (Франция), Сюреша (Индия).
Несмотря на определенные успехи в решении проблем этого направления, многие гипотезы все же далеки от своего доказательства, в частности о равенстве экспоненты и индекса для алгебр над C 2-полями, о цикличности алгебр Адзумая над C 2-полями, а также гипотеза Алберта о цикличности алгебр с делением простого индекса. На решении этих и примыкающих к ним задач сконцентрированы усилия в том числе и белорусских специалистов, получивших глубокие результаты, касающиеся описания алгебр Адзумайи над полями функций эллиптических и гиперэллиптических кривых. Предложены новые подходы к изучению структуры этих алгебр с помощью обобщения универсальных полей функций многообразий Севери - Брауэра, разработаны новые методы изучения групп Брауэра полей функций алгебраических многообразий. Успешно развиваются исследования, связанные с описанием нормального строения специальных унитарных анизотропных групп - проблемой, на протяжении последних 40 лет казавшейся неприступной. Эти работы в значительной мере опираются на построенную ранее В.И. Янчевским приведенную унитарную K-теорию.
В изучении инволютивных конечномерных алгебр Адзумайи достигнут значительный прогресс, связанный
с описанием их приведенных унитарных групп Уайтхеда в изотропной и анизотропной ситуациях. Получено окончательное описание этого класса алгебр в терминах их алгебр вычетов.
Другое важное направление исследований - теория представлений алгебраических и конечных групп, неразрывно сплетенная с теорией линейных групп и ставшая незаменимым инструментом ее развития. Глубокие результаты о линейных группах, прежде всего замкнутых в топологии Зариского и неразрешимых, получаются, как правило, с использованием методов теории представлений. В свою очередь, линейные группы находят разнообразные приложения как в математике, так и вне ее. Для изучения линейных групп над конечными полями особенно важны результаты о представлениях в положительной характеристике (модулярных представлениях). Глубокое понимание тонких свойств таких групп необходимо для решения прикладных задач дискретной математики о поведении больших комбинаторных объектов. Опыт исследований показывает, что при изучении структуры и представлений линейных групп над конечными полями необходимо использовать результаты и методы теории представлений полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики. Эта теория активно развивается в различных научных центрах. Однако ввиду объективной сложности картины нет оснований предполагать, что в обозримом будущем будет решена естественная проблема вычисления размерностей неприводимых модулярных представлений простых алгебраических групп и их конечных аналогов. Поэтому целесообразно разрабатывать методы исследования представлений, не требующие вычисления их размерностей. Этим занимаются специалисты отдела алгебры по теории представлений. Ими получен ряд важных результатов. Так, найдены минимальные многочлены унипотентных элементов в неприводимых модулярных представлениях классических алгебраических групп. Разработаны методы исследования поведения данных элементов в неприводимых представлениях таких групп с большими старшими весами относительно характеристики поля и поведения унипотентных элементов из полупростых подгрупп малых рангов в представлениях с локально малыми стар- § шими весами. Получены нижние оценки наибольших |
кратностей весов в неприводимых представлениях клас- ^ сических алгебраических групп в положительной харак- £ теристике. Установлено наличие у ограничений неприво- ^ димых представлений классических групп на максималь- | ные подсистемные подгруппы с двумя простыми компо- и нентами композиционных факторов с определенными | свойствами, больших относительно обеих компонент. I
В лаборатории теории и приложений конечных групп | ведутся исследования расширений и когомологий линейных групп и конечных п-разрешимых и п-отделимых 29
I
ТЕМА НОМЕРА
линейных групп над полем характеристики 0. Получено отрицательное решение известной задачи Гашюца о конечности числа подформаций в однопорожденной формации. Описаны группы 2-когомологий для неприводимых модулей специальной линейной группы степени 2 над конечным полем в собственной характеристике. Найдены достаточные условия нормальности холловой п-подгруппы неприводимой п-обособленной линейной группы с определенными свойствами холловых подгрупп для множества простых делителей ее степени и достаточные условия нормальности холловых п-подгрупп нечетного порядка в разрешимых и п-разрешимых неприводимых линейных группах в случае, когда соответствующая холлова подгруппа является TI-подгруппой. Совсем недавно в лаборатории начато изучение групп автоморфизмов алгоритмов быстрого умножения матриц, найдены такие группы для известных алгоритмов Штрассена, Хопкрофта, Ладермана и Пана.
Исследования по модулярным представлениям алгебраических групп и близким разделам теории линейных групп тесно примыкают к аналогичным исследованиям в США, Великобритании, Дании, Германии, Австралии.
Результаты, полученные в отделе алгебры Института математики НАН Беларуси, высоко оценены международной научной общественностью, о чем свидетельствуют публикации в ведущих математических журналах мира и доклады на престижных международных конференциях. Сотрудники отдела алгебры выступали с докладами на Международных конгрессах математиков в Мадриде (2006 г.), Хайдарабаде (2010 г.) и Сеуле (2014 г.). Их работы обсуждались на семинаре Бурбаки в Париже, цитируются в монографиях «Классические группы и K-теория» Хана и О'Миры, «Книга инволюций» Кнуса, Меркурьева, Роста и Тиньоля, «Представления алгебраических групп» Янцена, «Модулярные представления конечных групп типа Ли» Хамфри. В отделе выполнялись международные проекты, поддержанные Европейской комиссией, INTAS, Королевским научным обществом Великобритании, и совместные проекты с российскими алгебраистами из Санкт-Петербургского университета, Института математики Сибирского отделения РАН и Института математики и механики Уральского отделения РАН.
В связи с современными тенденциями развития наукоемких технологий часто возникает вопрос о практическом применении результатов фундаментальных исследований, в том числе математических. Но ведь доказательство каждой достаточно глубокой теоремы основано на большой совокупности установленных ранее фактов, без которых, возможно, этой теоремы не было бы. Поэтому логичнее говорить о применимости разделов науки или направлений исследований в целом. В англоязычной литературе стало популярным выражение «applicable mathematics», то есть математика, актуальная для приложений. По мнению ряда известных
алгебраистов, к тематике отдела алгебры применим термин «applicable algebra». Именно высокая профессиональная квалификация сотрудников отдела в указанных выше, казалось бы, весьма отвлеченных областях алгебры позволила им успешно выполнить ряд прикладных проектов, связанных с защитой информации. Мы убеждены в необходимости продолжать работу в этих областях. Фундаментальные исследования, результаты которых понадобятся в будущем, надо проводить уже сейчас.
Теория чисел - наука, занимающаяся исследованиями свойств чисел и их обобщений. Первые ее существенные результаты связаны с именами Евклида, Пифагора, Диофанта. С тех пор эта часть математики невероятно развилась и усложнилась. Благодаря усилиям Ферма, Эйлера, Гаусса, Римана были открыты интересные и сложные факты, касающиеся свойств чисел. Некоторые задачи, сформулированные еще в XVII-XVIII ст., были решены только относительно недавно. Так было с большой теоремой Ферма, доказанной Э. Уайлсом в 1995 г. В 2013 г. была полностью решена тернарная проблема Гольдбаха, то есть доказана сформулированная еще в XVIII в. гипотеза, согласно которой любое нечетное число, большее 5, можно записать как сумму трех простых чисел. В процессе развития теории чисел, объектом изучения которой первоначально были только целые числа, появилось много различных обобщений понятия числа - рациональные, действительные, комплексные, р-адические числа. Белорусская школа по теории чисел была создана академиком В.Г. Спринджуком, решившим известную проблему Малера (1964 г.). В настоящее время в Институте математики НАН Беларуси активно ведутся исследования по теории диофантовых приближений под руководством доктора физико-математических наук В.И. Берника, получившего в 1983 г. решение проблемы Бейкера - Шмидта. В рамках этих исследований происходит активный обмен опытом с зарубежными специалистами, появляются новые результаты, публикуемые в Беларуси и за рубежом.
В связи с развитием информационных технологий оказалось, что многие задачи теории чисел, ранее имевшие чисто теоретический интерес, в наши дни можно успешно применить для организации защищенного обмена информацией в компьютерных сетях. Так, развитие теоретико-числовых алгоритмов привело к созданию систем шифрования, основанных на задаче разложения больших чисел на простые множители, а также систем цифровой подписи, использующих свойства конечных полей и эллиптических кривых. Теперь все они повсеместно применяются на практике. В Институте математики НАН Беларуси ведется работа и в этом направлении - под руководством кандидата физико-математических наук Д.В. Васильева исследуются задачи алгоритмической теории чисел и математические методы защиты информации. ЕЗ
