CC BY
73
УДК 514.115
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
© 2020 В. П. Добрица1, Н. Н. Локтионова2
1докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: dobritsa @ mail. ru 2канд. пед. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и ТОМ e-mail: hollina@mail.ru
Курский государственный университет
В статье рассматривается проблема недостаточной методической обеспеченности учебного процесса по тематической линии - изображение пространственных фигур как одна из причин возникновения у учащихся трудностей при решении стереометрических задач курса геометрии средней школы. Проведено анонимное анкетирование студентов, в результате которого выявлено, что достаточно высокий процент учащихся не рассматривали задачи по изображению пространственных фигур вообще. Проанализированный теоретический материал, полученные результаты диагностики, а также собственный опыт преподавания дисциплины «Методика изображения пространственных фигур» позволили выявить некоторые проблемы, относящиеся к отработке техники выполнения чертежа, и определить подходы к совершенствованию методики обучения изображению пространственных фигур. Также в статье рассматривается пример фрагмента обучения учащихся изображению правильной шестиугольной призмы.
Ключевые слова: изображение пространственных фигур, комбинации фигур, методы изображения, теоремы и правила, методические рекомендации, теорема Польке-Шварца.
Изучение основ изображения пространственных фигур в школе начинается в 10 классе и продолжается на протяжении всего курса геометрии. Умение учащихся изображать пространственные фигуры оказывает непосредственное влияние на изучение всех разделов стереометрии, а также на развитие их пространственного мышления и на качество выполнения заданий ЕГЭ.
Одними из главных причин неумения изображать геометрические фигуры являются неразвитое пространственное представление учащихся, а также дефицит времени на уроках стереометрии на выполнение чертежей. Это связано с тем, что большинство учителей ориентируют учащихся на решение задач ЕГЭ, выполняя изображения фигур схематически, пропуская задачи на построение циркулем и линейкой, изображения пространственных фигур или оставляя их на самостоятельное изучение. При этом решение большинства задач ЕГЭ осуществляется по известным алгоритмам, это в основном алгебраические задачи, а оставшиеся геометрические задачи многие учителя учат решать аналитическими методами. К сожалению, в самих сборниках по подготовке к ЕГЭ встречается много ошибок в изображениях пространственных фигур и их комбинаций. Это приводит к потере геометрического воображения, которое просто необходимо при подготовке учащихся по многим техническим и естественнонаучным направлениям.
Часто на уроках математики учителя не замечают ошибок в изображении фигур. Например, учащиеся постоянно изображают центр эллипса и две точки на нём (концы образующих) на одной прямой, проводя ложную аналогию с изображением центра и
концов образующих цилиндра. На уроках не проводится обсуждение с учащимися выполняемого чертежа к задаче, сразу приступают к его построению, уже не говоря о пошаговой технике выполнения чертежа. В результате выпускник одиннадцатого класса накануне ЕГЭ так и не понимает важности чертежа в решении задачи, допускает ошибки при построении изображения пространственной фигуры. И даже в поурочных разработках по геометрии для 10-11 классов из 16 часов, отведенных на изучение темы «Многогранники» ничего не говорится о методах изображения различных видов призм и пирамид [Саакян, Бутузов 2015: 12]
Нами был проведен опрос студентов третьего курса Курского государственного университета, обучающихся по направлению «педагогическое образование», специальности «учитель математики», по указанной проблеме. Во время занятий по дисциплине «Методика изображения пространственных фигур» был проведен анализ учебников по геометрии А.В. Погорелова [Погорелов 1993: 300-334] и Л.С. Атанасяна [Атанасян 2009: 220-249] и составлен список номеров задач с 7 по 11 классы на построение циркулем и линейкой, на изображение пространственных фигур и их комбинаций. Затем студентам было предложено решить ряд задач, описать методику работы над задачами данного вида, указать используемые методы изображений, постулаты и теоремы.
В ходе диагностики необходимо было выбрать один из вариантов ответов:
1) не решали данные задачи в школе;
2) решали только некоторые;
3) решали все типы задач, подробно объясняли решение, указывая используемые методы изображений, постулаты и теоремы.
В ходе данного исследования были получены следующие результаты: 40% студентов не решали данные задачи в школе вообще; 48% решали только некоторые и только 12% решали все задачи, подробно объясняли решение. Данные результаты наиболее наглядно представлены на диаграмме (рис. 1).
Ряд1
1 2 3
40% 48% 12%
Рис. 1. Статистические данные использования учащимися методов изображений пространственных фигур на уроках геометрии в школе
Правильный чертеж всегда был и будет залогом правильного решения задачи по геометрии вне зависимости от современных нововведений в школьном образовании. И этот факт определяет еще одну причину, определяющую проблему неумения изображать пространственные фигуры учащимися. При подготовке будущих учителей математики в условиях ФГОС необходимо мотивировать студентов на решение озвученных проблем; в процессе изучения таких дисциплин курса, как «Методика изображения пространственных фигур», «Теория и методика обучения математике по программам среднего общего образования», формировать у них приемы построения правильного чертежа при решении стереометрической задачи.
Во-первых, необходимо учить студентов во время прохождения практики процессу обучения учащихся старших классов изображению пространственных фигур и их комбинаций, использовать дополнительные средства, которые помогут им представлять пространственные фигуры и их взаимное расположение.
Например, скрещивающиеся прямые на изображении в области плоского чертежа могут выглядеть как пересекающиеся или как параллельные прямые, прямой угол между ними может выглядеть как острый или тупой угол. Для того чтобы убедить учащихся в том, что это действительно так, достаточно взять две ручки, расположить их в виде скрещивающихся прямых и показать учащимся тень от них на белом экране, которая рисует их изображение.
Особенно эффективно данный метод работает при изучении изображений прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамид. Очень просто организовать на уроке проблемную ситуацию при знакомстве с новой фигурой. Мы держим в руках реальную фигуру, например прямоугольный параллелепипед из проволочного каркаса, пытаемся «вложить» ее в плоскость белого экрана. Очевиден факт, что это сделать невозможно. Возникает вопрос, как нарисовать изображение? Затем говорим учащимся, что природа это уже сделала за нас, а нам осталось изучить и понять законы и правила изображения пространственных фигур. Далее проводится сравнение свойств реальной фигуры и фигуры, изображенной тенью.
При таком подходе учитывается уровень абстракции и воображение каждого учащегося. Они понимают и запоминают, что зрительное восприятие изображения геометрических объектов не всегда соответствует тем закономерностям, которыми этот объект обладает. Очень хорошо осваивается метод параллельного проектирования.
Во-вторых, очень важно при изображении пространственных фигур учитывать теоретическую составляющую. Теоремы и правила изображения пространственных фигур достаточно просты для восприятия и понимания учащимися уже десятых классов. Не стоит упрощать материал до примитивного уровня. Например, при изображении шестиугольной призмы в основание фигуры учителя рекомендуют «нарисовать приплюснутый» шестиугольник [Атанасян 2009: 75-79].
В данном случае при рассмотрении правильного шестиугольника АШ^ПШ^ (оригинала) с центром в точке О1 учащимся нужно заметить, что четырехугольник А1В1С1О1 является ромбом. Ромб изображается в виде произвольного параллелограмма АВСО. Для большей наглядности изображения рекомендуем учащимся расположить большую сторону параллелограмма не параллельно нижнему краю листа тетради.
Также при рассмотрении оригинала замечаем, что вершины правильного шестиугольника А1В1С1В1Б1Б1 попарно симметричны относительно его центра. На основании свойств параллельной проекции можно утверждать, что центрально-симметричные точки оригинала изображаются центрально-симметричными точками на чертеже. Приняв точку О за центр симметрии, учащиеся без всяких затруднений строят точки П, Е, Б, симметричные точкам А, В, С (рис. 2).
С
П
Рис. 2. Изображение правильного шестиугольника АВСЭЕБ
Боковые ребра, согласно теореме Польке-Шварца, можно изображать произвольно в виде параллельных конгруэнтных отрезков под произвольным углом к любой стороне основания.
При изображении прямой призмы для большей наглядности нужно рекомендовать учащимся изображать боковые ребра в виде вертикальных отрезков
Основные ошибки учащихся заключаются в том, что им проще «заучить рисунок», не используя теорию изображения, не вообразив того объекта, о котором идет речь. Например, учащийся верно изображает высоту правильного тетраэдра, проведенную на основание, но затрудняется изобразить высоту, проведенную из вершины основания на боковую грань [Гусев 2004: 325-327].
В-третьих, необходимо отрабатывать навыки изображения пространственных фигур не только при решении стереометрических задач на вычисление или построение сечений, но и при доказательстве теорем. Начинать подобную работу надо уже на этапе появления первых задач планиметрии на построение плоских фигур с помощью циркуля и линейки. Необходимо показать учащимся единство чертежа и решения задачи на протяжении всего курса геометрии [Малова, Коршунова 2018]
Четвертым требованием является использование модульного подхода при обучении изображению пространственных фигур. Это обосновывается тем, что сущность модульной формы обучения, в рамках которой ученик сам изучает дисциплину, а педагог управляет его учебно-познавательной деятельностью -организовывает учебный процесс, как раз и предоставляет возможность выполнять громоздкие пошаговые изображения фигур, причем учитывая темп восприятия материала каждого учащегося.
Нами разработана учебная программа модуля, рассчитанная на два года обучения, содержащая следующие разделы:
1. Параллельное проектирование.
2. Параллельные проекции плоских фигур.
3. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции (куба, пирамиды, призмы, конуса, цилиндра).
(рис. 3).
Ах
Е
Рис. 3. Изображение правильной шестиугольной призмы АВСВЕРА1В1С1Б1Е1Р1
4. Сечение многогранников (метод нахождения точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость; сечения куба, пирамиды с помощью следов).
5. Ортогональное проектирование. Использование его для изображения тел вращения: цилиндра, конуса, сферы. Построение ортогональной проекции прямого трехгранного угла.
6. Изображение комбинаций многогранников и тел вращения.
7. Центральное проектирование. Перспектива (восстановление изображения фигур при данном проектировании; построение сечения конуса, центральных проекций куба, пирамиды, нахождение элементов данных тел по их проекциям).
Динамичность и высокую результативность этой формы обучения подтверждают результаты апробации нашей модульной системы на студентах первого курса, обучающихся по профилю «педагогическое образование», и на учащихся 10 и 11 классов МБОУ СОШ № 49 города Курска.
Таким образом, используя теоретический подход к изображению пространственных фигур в курсе геометрии средней школы, соблюдая описанные выше рекомендации, можно эффективно формировать у учащихся навыки графических изображений различных тел.
Библиографический список
Геометрия. Поурочные разработки. 10-11 классы / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. М.: Просвещение, 2015.
Атанасян Л.С. Геометрия 10-11: учеб. для общеобраз. учреждений. М.: Просвещение, 2009.
Гусев В.А. Методика обучения геометрии. М.: Дрофа, 2004.
Малова И.Е., Коршунова Н.Г. Доказательства в теме «Четырехугольники» и их использование для реализации современных требований к результатам обучения математике // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. 2018. № 4. С. 204-208.
Изучение геометрии 10-11 кл.: кн. для учителя / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. М.: Просвещение, 2010.
Погорелов А.В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение, 1993.
