Аксиомы процессов земледельческой механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

массы». В то же время многие сельскохозяйственные машины и их рабочие органы совершают как поступательное или возвратно-поступательное, так и вращательное движение. Задачи этого класса также можно рассматривать как динамику точки переменной массы. Как указывал И.В. Мещерский, «... масса тела может изменяться таким образом, что центр инерции сохраняет свое положение относительно тела; в этом случае получаются дифференциальные уравнения того же вида, что и в случае движения поступательного».

Например, при пропускной способности молотильного аппарата зерноуборочного комбайна 6.8 кг/с присоединившаяся к барабану масса не превышает 0,1.0,15 % его собственной. Таким образом, динамику молотильного барабана с теоретической точки зрения можно рассматривать как динамику точки переменной массы.

Следовательно, многие задачи динамики сельскохозяйственных машин можно решать с помощью уравнений движения точки переменной массы. Вывод этого уравнения, кроме «гипотезы контактного взаимодействия частиц», основывается на двух законах классической механики — законе сохранения количества движения и законе независимого действия сил.

Применение механики тел переменной массы в исследованиях сельскохозяйственных машин и их рабочих органов позволит выявить дополнительные, ранее не учитываемые силы, вызванные присоединением и отбрасыванием массы, влияющие на актуальную в современных условиях энергетику рабочих процессов.

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что научные идеи В.П. Горячкина актуальны и перспективны и по сей день.

УДК 631.3

Э.В. Жалнин, доктор техн. наук, профессор

Государственное научное учреждение «Всероссийский научно-исследовательский институт механизации сельского хозяйства»

АКСИОМЫ ПРОЦЕССОВ ЗЕМЛЕДЕЛЬЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Под процессами земледельческой механики будем понимать целенаправленные воздействия рабочих органов машин, самих машин, их агрегатов и комплексов машин на сельскохозяйственную среду (агросреду) для получения какого-либо конечного сельхозпродукта или создания для этого определенных условий.

Технологический процесс работы любой сельскохозяйственной машины — это последовательность механических, физических, агробиологических, химических и иных воздействий на обрабатываемый материал с целью изменения его состояния по качественным и количественным признакам.

В.П. Горячкин (по отзывам современников) насчитывал около 40 процессов (воздействий) земледельческой механики. Однако найти перечень этих процессов в горячкинской редакции не удалось.

На рисунке представлен авторский вариант перечня общефизических процессов земледельческой механики, которые применяются в большинстве современных сельскохозяйственных машин. Последние десятилетия характеризуются наиболее интенсивным поиском путей формализации этих процессов, разработкой различного вида математических и экономико-математических моделей. Это дает возможность моделировать эти процессы, выявлять оптимальные условия их реализации, обосновывать оптимальные параметры и режимы работы сельскохозяйственных машин и их комплексов.

В порядке дальнейшего развития этого направления автором сформулирована рабочая гипотеза об однородности процессов земледельческой механики и процессов общего естествознания. Соответственно для их математического моделирования может быть применен общеметодологический математический аппарат, основанный, например, на дифференциальных и интегральных сравнениях.

Выяснилось, что, несмотря на многообразие процессов земледельческой механики, они обладают рядом общих признаков, названных автором аксиомами. Они определяют общий для большинства процессов внутренний механизм их развития.

Приведем эти аксиомы с некоторыми комментариями.

Первая аксиома. Большинство динамических и технологических процессов земледельческой механики, происходящих в установившемся режиме, являются непрерывными и могут быть выражены непрерывными функциями в зависимости от обусловливающих их факторов-аргументов (X).

Эта аксиома предполагает, что в установившемся режиме работы любой сельскохозяйственной машины, находящейся в исправном состоянии, маловероятно внезапное прекращение процесса ее функционирования под действием внутренних факторов. Например, при вспашке почвы сила сопротивления плуга вдруг не стала зависеть от параметров почвен-

Вспашка трехгранным клином

Скалывание

Резание

Деформирование, изменение формы

Растяжение

Расщепление

Бросание, швыряние

Сгруживание

Измельчение

Уплотнение почвы (движителями)

Расслоение

Расбрасывание,

рассеивание

Распыление, опрыскивание, опыление

Валкообразование

Подбор валков

Оборачивание

Технологические процессы воздействия на сельскохозяйственные среду, материал, сырье

Транспортирование

Вязание (снопов)

Обмолот

Шелушение

Обрушение

Теребление

Очесывание

Вытирание

Уплотнение, сжатие, прессование

Обвязывание шпагатом и т. п.

Встряхивание

Сепарация

(выделение)

Очистка

Сушка

Разделение,

сортирование

Пневмовоздействие,

обдувание

Калибрование

Скарификация

Дробление

Гранулирование

Консервация

Брожение

Пневморазрежение

(высасывание)

Передача энергии, момента силы и т. п.

Процессы земледельческой механики

ного пласта и скорости движения пахотного агрегата, а при нормальном состоянии посевного агрегата вдруг прекратится поступление семян в борозду, или при равномерной загрузке исправной молотилки внезапно прекратится процесс обмолота и сепарации зерна и т. п., т. е. если любая сельскохозяйственная машина выполняет свое функциональное назначение, то технологические и динамические процессы, проходящие в ней, непрерывны и соответственно могут быть выражены непрерывными математическими функциями вида У=Дх;), где У — какой-либо критерий процесса; х; — переменные факторы.

Это означает, что для любого значения определяющего аргумента (фактора) существует такое число 5 > 0, при котором для всех точек х; в реальной области их существования, выполняется условие:

Нш [Ф(х) - Ф (х0)] = 0 при АХ = х - х0. (1)

Непрерывность функции у = Дх), как известно, можно также выразить, используя понятие предела. Функция у = Дх) непрерывна в точке х0, если в этой точке существует ее предел и этот предел равен Дх0):

ИшДх) = Дх0) при х^х0, (2)

где х — любые значения аргумента из его множества реальных значений.

Или

Нш[Дх) - Д(х0)] = 0 при Ах = х - х0, (3)

т. е. бесконечно малому приращению аргумента в точке х0 соответствует бесконечно малое приращение функции.

Первую аксиому можно назвать аксиомой непрерывности. Она созвучна, но не адекватна известной в математике аксиоме непрерывности множества действительных чисел (аксиомы непрерывности Дедекинда, Кантора, Вейерштрассе).

Аксиома непрерывности процессов земледельческой механики не носит абсолютно всеобщий характер, так как существует относительно малая группа процессов земледельческой механики, которые не удовлетворяют этой аксиоме (ударные явления, вибрация с переменным возмущающим внешним воздействием, импульсные процессы и т. п.). Следовательно, для такого класса процессов необходимо изыскивать другую систему аксиом. Однако подавляющая группа процессов земледельческой механики подчиняется аксиоме непрерывности.

Вторая аксиома. Как бы ни был сложен изучаемый процесс, всегда можно выделить два-три фактора (аргумента), которые совместно имеют наибольшую корреляционную связь с основными характеристиками процесса по сравнению со всеми остальными факторами.

Это аксиома доминирующих факторов (доминирования). Доминирующие факторы достоверно отражают общую тенденцию развития процесса и менее точно абсолютные значения его основных характеристик в широком смысле этого понятия.

9

Влияние этих главных факторов на изучаемый процесс может носить в частном случае детерминированный характер (функциональная связь) или в более общем случае вероятностный (статистическая связь). Но в любом случае будет не больше трех доминирующих факторов.

Из этого, конечно, не следует, что влияние всех остальных факторов незначимо. Без них невозможно получить точное значение функционала процесса. Тем не менее, если правильно выбран критерий процесса, то его основную динамику и количественный уровень определяют не больше трех факторов, а чаще всего один-два и как следует из практики с ошибкой 5.12 % (не более).

Вторая аксиома вытекает из анализа многих работ, посвященных изучению процессов земледельческой механики методами планирования экстремальных экспериментов. Применение этих методов заключается в том, что для изучаемого процесса строят матрицу экспериментов и после проведения по ней опытов подбирают модель в полиноминаль-ном виде:

У = а + Ь1х1 + Ь2 х2 + Ь3 х3 +... + Ьп хп. (4)

Возможны полиноминальные модели с взаимодействием факторов типа Ь12х1х2 или Ь2 3х2х3 и т. д. Применяют также нелинейные модели, в которые включены степенные значения факторов. По результатам экспериментов вычисляют коэффициенты регрессий Ь; для каждого фактора и по известным методикам определяют их значимость при заданной доверительной вероятности.

Даже по некоторым, взятым наугад работам, можно убедиться, что в выбранной полиноминаль-ной модели найдется не больше трех факторов, у которых численное значение коэффициентов регрессий максимально и они наиболее значимы по выбранному критерию значимости (например, Кохрена и т. п.). По-видимому, это объективная реальность. Возможно этим можно объяснить факт, что объем фундаментальных исследований по процессам земледельческой механики с гипотезой об их одно-трехфакторном пространстве явно превалирует. Отсюда широкое применение обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными или одно-двух-факторных вероятностных моделей. Исследований процессов с концепцией многофакторного пространства (п > 3) значительно меньше и они носят больше прикладной характер для решения ряда практических задач. Хотя это вовсе не умаляет их научную значимость при оптимизации многофакторной модели процесса и выявлении главных факторов.

В символах математической статистики (множественной корреляции) аксиому доминирующих факторов условно можно выразить так:

Кх2,х3)у > К(х4, ...,хп)y, (5)

т. е. выборочный совокупный коэффициент корреляции Я(х{)у, характеризующий тесноту связи функции У с аргументами х1, х2, х3, всегда больше, чем коэффициент корреляции с остальными факторами, принятыми для анализа. Таким образом, всегда найдется не более трех факторов, которые в совокупности оказывают на исследуемый процесс наибольшее влияние, правда, если правильно (корректно) выбран критерий процесса.

Символическую запись третьей аксиомы можно также выразить в терминах дисперсионного анализа, так как, чем теснее связь функции с аргументом, тем меньше дисперсия функции при варьировании этого аргумента, тем больше корреляция и зависимость ближе к функциональной и дальше от статистической. Это же справедливо и для группы факторов, так как чем больше добавляется факторов, тем меньше остаточная дисперсия конечной функции. Таким образом, с позиций дисперсионного анализа аксиома доминирующих факторов гласит, что всегда найдется не более двух-трех факторов, доля суммарной дисперсии которых в дисперсии функции максимальна, и остаточная дисперсия функции от влияния дисперсий других факторов составляет небольшую величину.

В трудах В.П. Горячкина неоднократно отмечалась важность определения главных факторов, влияющих на характер изучаемого процесса. По его мнению, «выбор основных элементов есть решительный момент при постановке всякого рода вопросов» и главная задача исследований вначале и заключается в том, чтобы установить общий вид развития явления, который характеризуется кривизной кривой. В этих утверждениях В.П. Горячкина содержится фактически теоретическое предсказание второй аксиомы, так как определение кривизны кривой неизменно приводит к двух- или трехмерному пространству.

Третья аксиома. Непрерывные функции у = /(х), описывающие процессы земледельческой механики, являются монотонно-убывающими или монотонно-возрастающими.

Из математики известно, что классическое условие монотонности выражается так:

А/ (х) < 0 при Ах > 0, (6)

т. е. приращение функции А/х) больше или меньше нуля при Ах > 0.

Третью аксиому назовем аксиомой монотонности. На первый взгляд эта аксиома противоречит стохастической природе многих процессов земледельческой механики. Например, фактические изменения в единицу времени силы сопротивления плуга, крутящего момента на валу молотильного барабана, интенсивности потока зерна на зерноочистительный ток и т. п. носят скачкообразный характер и графически выражаются ломаной лини-

ей. Визуально эта линия не является монотонной. Однако настоящий исследователь никогда не ограничивается простой регистрацией полученных экспериментальных точек. Он начинает искать закономерности и обращается в этом случае к теории вероятностей и математической статистике, которые исследуют не вообще любые совокупности случайных величин, а только те, которые имеют устойчивость частоты появления отдельных величин, т. е. имеющие центр или полосу рассеивания. Только при этом единственном условии возникают такие понятия, как математическое ожидание, случайная функция, корреляционная функция, корреляционное отношение, стационарность, эргодичность и т. п. Тогда стохастическую природу многих процессов удается выразить в виде случайных функций и их корреляционных функций. Случайная функция нивелирует скачкообразный характер реальной функции, являясь по отношению к ней в какой-то мере условной, но вполне адекватной (конечно если это доказано после соответствующей статистической обработки). Новая адекватная случайная функция является уже непрерывной и монотонной функцией, которая и служит объектом последующих исследований и рассуждений о реальном процессе. Поэтому вторая аксиома, как инструмент исследования реальных процессов, вполне приемлема.

Четвертая аксиома. Непрерывные функции У = /(х), описывающие процессы земледельческой механики в реальной области варьирования определяющих их факторов — аргументов х, могут иметь только один экстремум, в котором существует производная функции/1(х) = 0.

Чтобы Х0 стала точкой строгого локального экстремума, необходимо и достаточно изменения знака производной с «+» на «-», т. е.

у'(х) > 0 при х < х0; у'(х) < 0 при х > х0, или соответственно с «-» на «+»:

(7)

(8)

у'(х) < 0 при х < х0; (9)

у'(х) > 0 при х > х0. (10)

Эту аксиому назовем аксиомой моноэкстремума. Ее введение может намного упростить поиск конкретного вида функционала для изучаемого процесса. Следует заметить, что эта аксиома вовсе не утверждает обязательное наличие экстремума, она лишь допускает, что в области реальных значений, определяющих функцию аргументов при ее возрастании или убывании, может быть экстремум, и если он будет, то только один. Четвертая аксиома охватывает чрезвычайно широкий класс реальных процессов земледельческой механики. Однако она требует определенных разъяснений применительно к непрерывным и монотонным процессам со сто-

хастической природой или периодической составляющей. После регистрации экспериментальных данных по таким процессам в течение достаточно большого промежутка времени (или пути) можно получить график непрерывной случайной функции с несколько периодически повторяющимися минимаксными точками. В этом случае исследователь чаще всего пользуется разбиением всей реализации случайной функции на отдельные участки, на которых может быть уже одна минимаксная точка. Таким образом, итерактивным методом можно исследовать всю функцию в целом. К тому же анализ многочисленных случайных функций для многих процессов земледельческой механики показывает, что большинство из них является стационарными и эргодическими, так что по одному характерному участку случайной функции можно изучить ее в целом и спрогнозировать ее характеристики на другие участки времени (или пути). В этом состоит еще одна интересная особенность многих стохастических процессов земледельческой механики.

Пятая аксиома. Функции вида у =/(х), описывающие динамические и технологические процессы земледельческой механики, могут быть выражены дифференциальными уравнениями, включающим интенсивности приращения функции и аргумента как функционалы.

Это аксиома дифференциальности. Если функция у =Дх) является функцией одной переменной (одномерной), т. е. зависит от одного варьируемого аргумента х, то она выражается обыкновенными дифференциальными уравнениями двух видов:

первый вид

^ = Ф,( у)Ф;( х); ах

второй вид

^ = Ф1(у) ± Ф,(х), ах

(11)

(12)

где Оу—приращение функции; Ох—приращение аргумента; Ф;(у) — интенсивность приращения функции (функционал от основной функции); Ф(х) — интенсивность приращения аргумента (функционал от аргумента).

Если функция у = /(х;) является многомерной (зависит от многих аргументов), то она выражается дифференциальным уравнением с частными производными. Дифференциальные уравнения с частными производными широко применяют при исследовании различных физических процессов. Поэтому их называют уравнениями математической физики. При исследовании многих процессов земледельческой механики их также применяют достаточно широко. Крутильные колебания валов сельскохозяйственных машин, поперечные и продольные колебания стеблей и другие процессы исследуют посредством волнового уравнения.

Для двух независимых переменных х1 и х2

= а2 ах12 ах22

(13)

для трех независимых переменных х1, х2, х3

(14)

а2 у + а2 у

Ох2 Ох

3 У

Процессы теплопередачи в сушильных и воздухоподогревательных устройствах, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (и т. п.) исследуют при помощи двухмерного уравнения Фурье (уравнение теплопроводности).

Процессы гидродинамики, диффузии (и им подобные) изучают при помощи двухмерного уравнения Лапласа вида:

О2 у О2 у „

2 + 2 = 0,

Ох1 Ох2

а для трех независимых переменных:

О2 у О2 у О2 у —— н-------— н----— = 0.

Ох12 Ох22 Ох32

(15)

(16)

3

Одномерные функции не раскрывают всего многообразия процессов земледельческой механики, которые большей частью являются многомерными. Например, такой сложнейший агробиологический процесс как зернообразование может быть выражен только многомерным уравнением, так как конечная урожайность зерна зависит одновременно от биоты почвы, агроклиматического индекса, нормы высева семян, нормы внесения удобрения, глубины заделки семян, качества семян и т. п. Каждый из этих аргументов по-своему влияет на конечное значение функции и влияние каждого аргумента коррелированно с другими. Изучить подобные процессы с помощью одной системы дифференциальных уравнений с частными производными не представляется возможным, а такие многофакторные процессы весьма характерны для земледельческой механики. Однако, все же следует отметить, что все попытки придать этому направлению исследований технологических процессов земледельческой механики приоритетность или хотя бы соизмеримую масштабность не привели пока к существенным результатам.

Причины следующие: сложность дифференцирования и интегрирования многопараметрических функций, громоздкость полученных конечных уравнений (если их удается все же получить), чисто математические трудности преобразования формул при отыскании постоянных коэффициентов уравнений, коррелирование исследуемых факторов. Поэтому класс многопараметрических функций применительно к технологическим процессам земледельческой механики изучают в основном ста-

тистическими методами планирования экстремальных экспериментов с применением многофакторных матриц. Но полученные при помощи этих методов полиномиальные модели первой или второй степени с большим количеством парных, тройных и более многофакторных взаимодействий не обладают свойством всеобщности, так как строго отражают условия эксперимента. В других условиях эксперимента может поменяться вид полинома и степень влияния исходных факторов на функцию цели. Это ограничивает применение многофакторных экспериментов в земледельческой механике, отдавая им преимущество при решении в основном практических локальных задач: поиск конкретного оптимума параметров для конкретной машины в заданных условиях, исследование частного процесса, не носящего фундаментальный характер, определение доминирующих факторов и т. п.

В классическом виде дифференциальные уравнения с частными производными для двух-трех переменных факторов широко применяют при исследовании динамических процессов земледельческой механики, процессов теплоотдачи, теории упругости и т. п., т. е. процессов, которые более детерминированы. Математические модели технологических процессов земледельческой механики в дифференциальной форме чаще строят как одномерные или как совокупность одномерных. Эти модели обладают свойством общности и носят фундаментальный характер, так как от условий эксперимента зависят параметры функции, а не общий ее вид. Они чаще разрешимы относительно аргумента и соответственно более практичны в качестве исследовательского математического аппарата, тем более что из них можно получить систему уравнений с несколькими аргументами. Однако это вовсе не исключает необходимость попыток получить многомерный конечный функционал с исходным дифференциальным уравнением с частными производными.

Шестая аксиома. Интенсивности приращения функции Ф(у) и аргумента Ф(х) в обыкновенных дифференциальных уравнениях представляют собой элементарные функции вида: 1; к; ц ; кх; цу; к(а - х); ц(Ь - у); кх2; цу2 и т. п.

Это аксиома элементарности. Ее можно также назвать горячкинской, так как В.П. Горячкин неоднократно напоминал, что любой процесс идет самым простым путем и имеются только три варианта его ускорения: по вогнутой, прямой и выпуклой. В этом можно убедиться, решив дифференциальные уравнения по пятой аксиоме путем подстановки в них соответствующих выражений вместо Ф((у) и Ф;(х). Необходимо отметить, что определение функций Ф;(у) и Ф;(х) как элементарных подразумевает, что они могут быть алгебраическими или трансцендентными, так как особых ограничений на общий вид Ф;(у) и Ф;(х) не накладывается.

Номер аксиомы Наименование аксиомы для функционала Ф(х^ Формализованное выражение аксиомы для функционала Ф(х)

1 Аксиома непрерывности lim [Ф^) - Ф(к0)] = 0 при Ax = x - x0

2 Аксиома доминирования R(xl,x2,x3)y > R(x4,...,xn)y

3 Аксиома монотонности Ф1(ж) > 0 или Ф1(ж) < 0

4 Аксиома моноэкстремума Ф'^) < 0 при x > x0; Ф'^) > 0 при x < x0 — перемена знака с «+» на «-» или Ф'(с) < 0 при x < x0; Ф'^) > 0 при x < x0 — перемена знака с «-» на «+»

5 Аксиома дифференциальности Одномерные уравнения d<P d<£ = ф.(у)Ф;(x) — первый вид; = Ф;(у) ± Ф;(x) — второй вид; dx dx n-мерные уравнения d2<& d20 d20 2 + 2 + 2 = 0 третий вид dx* dx2 dxn

6 Аксиома элементарности Щy) =(l; ц; ц(ь - у); цу2; му_1...) Ф.(x) = (1;k;kx;k(a - x);kx2;kx_1...)

7 Аксиома пределов Основные варианты пределов функционалов Фi(xi) при 0 < x. < да 0 < Ф(xi) < да const > Ф(xi) > 0 0 < Ф(xl) < const const > Ф(xi) < да да > Ф^^ > 0 const > Ф(xi) < const' да > Ф(xi) < const const < Ф(xi) > const'

Это значит, что они могут быть показательными, логарифмическими, тригонометрическими, тем более, что довольно большой класс трансцендентных функций, как известно, могут быть сведены к алгебраическим с помощью несложных подстановок.

Седьмая аксиома. Функционалы Ф1 характеристик процессов по своим предельным значениям при изменении аргументов могут быть распределены на четыре группы: возрастающие, убывающие, с максимумом или минимумом, а в каждой группе на классы или подклассы в зависимости от фактических пределов аргумента.

Это аксиома пределов. Количество вариантов возможных пределов функционала Ф{ ограничено — всего три: 0; да или const. Из них можно сделать всего 15 сочетаний, так как функционал ограничен с двух сторон, но не все из них имеют физический смысл. Например, если аргумент х; изменяется в пределах от 0 до да; то функция Ф. может изменяться реально только в таких пределах: от 0 до да; от 0 до const; от да до 0; от да до const; от const до 0; от const до да и от const до const'.

Поскольку в вариантах 0 < Ф. < const; const > Ф. > 0; const > Ф. < const' и const < Ф. > const' при разных значениях констант слева и справа возможны минимаксные точки, то к этим вариантам возможных состояний процесса добавляют еще промежуточные классы и подклассы. Всего различных сочетаний пределов функционала может быть 17 с учетом того, что аргумент необязательно принимает значения 0 и да. По физическому смыслу процесса могут быть и такие варианты пределов аргумента: 0 < x. < const; const > Xi > 0; const > Xi < const' и const < Xi > const'.

Классификация всех процессов земледельческой механики посредством седьмой аксиомы на четыре группы, классы и подклассы значительно упрощает поиск для исследуемого процесса общетеоретического процесса-аналога, так как сразу определяется коридор вариантных решений.

В практических задачах требования к аргументу x > 0 или < да необязательно понимать математически строго. Для многих процессов земледельческой механики достаточно принять условие, что xi ^ 0 (>0) или xi ^ да (max), т. е. аргумент может принимать минимальное или максимально возможное значение по физическому смыслу процесса. Это вытекает из специфики многих процессов земледельческой механики, которые могут не иметь физического смысла в крайних значениях аргумента, т. е. строго при xi = 0 или xi = да. Например, исследование крутящего момента на приводных валах в зависимости от нагрузки при бесконечно больших ее значениях противоречит физическому смыслу процесса. Таких нагрузок в реальной машине не бывает. Достаточно этот аргумент xi (нагрузку) представить достаточно большим, т. е. xi ^ max (к какому-то заданному пределу). Подобные варианты возможны и с минимальным значением аргумента.

В таблице представлена обобщенная характеристика фундаментальных аксиом процессов земледельческой механики.

Предложенные семь аксиом земледельческой механики могут служить методологической основой выбора типа и общего вида математической модели для описания процессов земледельческой механики.

13