CC BY
11ISSN 0868-5886 НА УЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 1, с. 11-17
РАБОТЫ ШКОЛЫ ПРОФ. Ю.К. ГОЛИКОВА: -
АКТУАЛЬНЫЕ РЕТРО-ПУБЛИКАЦИИ
УДК 537.533.3
© Л. Н. Галль, Ю. К. Голиков
АХРОМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ТРАНСПОРТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ С ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ (1987 г.)
В статье в точных математических терминах сформулирована задача оптимального согласования сформированного источником пучка заряженных частиц и диспергирующего элемента и сконструирован класс трехмерных электрических полей аддитивного типа, реализующих ахроматическую фокусировку ленточных пучков в тонком слое возле плоскости симметрии.
Кл. сл.: пучки заряженных частиц, транспортировка ионов, оптимальное согласование
ВВЕДЕНИЕ
Эта статья была опубликована впервые в сборнике научных трудов "Научное приборостроение. Приборы и средства автоматизации для научных исследований" (Ленинград: Ленинградское отделение изд-ва "Наука", 1987. Отв. ред. М.Л. Александров). В ней, в частности, для целей транспортировки рассматриваются электрические поля типа гармонического осциллятора (Ю.К. Голиков также использовал поля этого типа для синтеза энергоанализаторов и времяпролетных масс-анализаторов с идеальными характеристиками). Следует отметить, что статья не потеряла актуальности и сегодня, когда проблема ахроматической / изохронной транспортировки стала особенно важной в силу победоносного шествия времяпролет-ных масс-анализаторов с присущей этим приборам проблемой транспортировки на вход анализатора максимально короткого импульса заряженных частиц с максимальным фазовым объемом.
При подготовке этой работы к повторной печати были исправлены отдельные опечатки и неточности и вставлены сноски, касающиеся деталей используемого математического аппарата. Кроме того, добавлен более развернутый анализ примера (17).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В современном масс- и энергоанализе заряженных частиц существует важная практическая проблема транспортировки заряженных частиц от источника до входа в диспергирующий элемент, непосредственно связанная с проблемой увеличения чувствительности. Обычно ее решают при по-
мощи транспортирующих систем, включающих одну или несколько известных линз, рассчитанных, как правило, в параксиальном приближении и редко — с учетом аберраций [1]. Правильное проектирование устройств транспортировки сопряжено не только с вычислительными трудностями, но, что гораздо важнее, с принципиальным ограничением возможностей традиционных линз, основное назначение которых — создание правильного оптического изображения малых объектов посредством узких пучков заряженных частиц.
Задачи, которые призваны решать транспортирующие системы в аналитических приборах, гораздо шире, разнообразней и противоречивей. Необходимость постоянно повышать чувствительность при сохранении высокой разрешающей способности приводит к необходимости формировать пучки из частиц с большим угловым, линейным и энергетическим разбросом, что существенно усложняет поиск эффективных средств транспортировки пучков.
Основную задачу для таких устройств удобно сформулировать как задачу оптимального согласования сформированного источником пучка заряженных частиц и диспергирующего элемента. В точных математических терминах она выглядит следующим образом. Пусть имеется какой-либо объемный источник заряженных частиц. Поместим возле него поверхность J с криволинейными координатами на ней и вычислим в каждой ее точке плотность потока частиц N в направлении с углами в, у при энергии Е для заряда q и массы т с учетом возможной зависимости от времени t: N = N(%,ц,в,у,Е,q,т,t) . Эту поверхность
можно рассматривать как эквивалентный поверхностный эмиттер.
Предположим далее, что на некотором расстоянии от J выбрана поверхность К, рассматриваемая как вход в следующий за ней дисперги-рующийэлемент, т. е. в собственно анализатор. Пусть на К задана функция эмиссии
М(^*,^*,в*,у*,Е*,С,т*,{), наилучшим образом
отвечающая работе данного анализатора, так что последний при этой функции обладает наибольшей чувствительностью и разрешающей способностью по интересующим нас параметрам — например, по массе, энергии или по углам у , в и т. д. Между J и К следует разместить электромагнитную транспортирующую систему, удовлетворяющую в идеале следующим условиям:
• поток заряженных частиц преобразуется так, что N переходит в М, где значок "*" соответствует преобразованным переменным;
• поля транспортирующей системы не влияют на работу источника частиц и диспергирующего устройства.
Совершенно очевидно, что далеко не при всех N и М возможно преобразование их друг в друга посредством электромагнитного воздействия. Естественным ограничивающим фактором здесь могут являться инварианты Лагранжа—Гельмгольца и Лиувилля, интеграл энергии и т. д. Современное состояние теории не позволяет однозначно сформулировать минимальный набор необходимых и достаточных признаков для функций N и М, по которым можно практически определить, возможна или невозможна заданная трансформация в классе максвелловых полей. Имеющийся в литературе огромный материал еще ждет систематизации с этой или иной общей точки зрения.
В данной работе остановимся на простейшем типе систем транспортировки, а именно, на поиске удобных электростатических полей, реализующих ахроматическую фокусировку ленточных пучков, концентрирующихся в тонком слое возле плоскости симметрии трехмерных лапласовых полей специального вида.
В качестве достаточно простого и в то же время интересного как для теории, так и для практического применения класса систем возьмем полевые структуры в виде ортогональной суперпозиции двумерных лапласовых потенциалов1-1 с общей
плоскостью симметрии ху
Ф = Re [ f (х + ъ) + р (у + ъ)] . (1)
В плоскости симметрии ху ход потенциала р( х, у) описывается выражением
Р = f ( х) + р (у) , (2)
и, следовательно, переменные в уравнении движения частицы разделяются, что делает выбранный класс чрезвычайно удобным для аналитического исследования.
Поставим теперь следующую задачу транспортировки ленточного потока ионов массы т и заряда с . Пусть из точки х = х0, у = у0 под всевозможными углами в к оси х вылетают ионы с различными скоростями хо, у0. Требуется собрать все эти ионы в некоторой заданной точке х = хк, у = ук по возможности в широком диапазоне скоростей и углов. Будем искать решение этой задачи в классе структур (2) и в первую очередь зададимся вопросом: существуют ли функции f и р , при которых одновременно достигается идеальная фокусировка в точке хк, ук по углу в и энергии
( <,2
£ = т
хо _+_уо 2
2
?
РЕШЕНИЕ
В работе [3] изучалось осесимметричное гиперболическое поле с потенциалом
Ф=Ф
22 ' х2 + у2 2 — г
Л
2
как основа эффективного
V ~ /
энергоанализатора и показано, что в плоскости ху имеется идеальная фокусировка по углу, но только при нулевой энергетической дисперсии. Это редкое свойство идеальным образом решает задачу ахроматической фокусировки. Покажем, что существует целое семейство полей из класса (1), обладающих тем же свойством, но более соответствующих целям транспортировки.
Рассмотрим потенциалы общих гиперболических полей вида
1- Вещественная (мнимая) часть функции комплексного переменного удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа и, следовательно, представляет из себя потенциал двумерного электростатического поля. Справедливо и обратное утверждение: любая функция, удовлетворяющая двумерному уравнению Лапласа, является вещественной (мнимой) частью некоторой подходящей
функции комплексного переменного [2].
Ф = а2 — + Ь2 ^ — (а2 + Ь2)— . (3)
2 2 2
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что при любых а и Ь функция (3) удовлетворяет уравнению Лапласа. Эквипотенциальные поверхности этого поля суть однополостные и двухполостные гиперболоиды, при Ф = 0 вырож-
2
2
2
дающиеся в конус, причем в сечении их плоскостями, параллельными ху, получаются эллипсы с отношением полуосей а/Ь . В плоскости ху имеем
Ф =
a2 х2 + b2 y2 2
и линеиные уравнения движения
,2
qb
2
qa
х =--х, у = --— y ,
m m
(4)
(5)
х = х0 cos
Л
m
У = Уоcos
m
+ х0.
+ Уо
b
(6)
ция возможна, например, в случае источника с диаграммой направленности в виде узкого лепестка.
Выделим из класса (2) многообразие структур вида
Ф = -
22 a х
+ Р (У ) ,
(7)
интегралы которых с учетом начальных данных
х0, у0, Х0, у0 имеют вид:
где р (у) — произвольная однозначная аналитическая функция. Движение по оси х совпадает с (6), а движение по оси у интегрируется в квадратурах2"1 в виде зависимости (= ((у), подставив которую в х) из (6), получим геометризирован-ное уравнение траектории в виде х = х ( у ) , или же
х = х0cosT(у) + k-Js cose sinT(у) ;
В общем случае этим уравнениям соответствуют ограниченные колебания, причем для кратных отношений а/Ь частицы описывают фигуры Лис-сажу, на которых и достигаются условия идеальной ахроматической фокусировки по углу вылета. Действительно, положим в (6) Ь = па, где п — целое число, и вычислим положение частицы в момент t = (я/а)^т/д . Имеем:
х =-х0; ук = Уocos(пп).
Видим, что при любом целом п все частицы проходят через одну и ту же точку хк , ук независимо от энергии и угла вылета. При нечетных п образ источника симметричен относительно центра х = у = 0 , при четных п он симметричен относительно оси у. Если бы источники заполняли какую-либо площадку в плоскости ху , то рассматриваемые поля транспортировали их идеально, особенно если угловое распределение изотропно. Подбирая п , можно строить идеально вытянутые по оси х эллиптические гиперболоиды, удобные для практики. Недостатком этих систем является расфокусировка пучка в направлении оси г, с чем, однако, обычно справляются сами диспергирующие поля.
Других систем с идеальной фокусировкой по углу и энергии среди структур (2) непосредственно обнаружить не удается, однако для практики такое предельное сочетание свойств требуется очень редко. Вполне достаточно, если система обеспечивает хорошую фокусировку по углу возле выделенного направления, а фокусировка по энергии достигается в небольших пределах изменения Е . Такая ситуа-
_У
T ( У ) = a4ql2 J
dy
4a+qp (уо)- qp ( у )
k = - /-; A = s sin2 в, в > 0. ay q
(8)
(9)
(10)
Интеграл (9) вычисляется по данноИ формуле только до точки поворота по оси у , где радикал обращается в ноль (в случае наличия такоИ точки). После точки поворота знак радикала следует поменять на "минус" и т. д.
Фиксируем в (8) и вычислим хв, хвв, хЕ, характеризующие смещения частицы вдоль прямоИ у = const в зависимости от в и Е . Имеем:
= (-х^тT + k4s cosecosT)Te - WssinesinT; (11)
2) Начальные условия х0, у0 выражаются через начальную кинетическую энергию е = т (х2 + у2)/2 и начальный угол вылета в как х0 = созв^/2е/т , у0 = зтву]2е/т . Кроме того, в силу независимости движения по оси х от движения по оси у энергии движения по осям х и у сохраняются независимо:
тх1 /2 + ( да2/2) х = тх^/2 + ( да2 /2 ) х^,
ту V2+др (у) = ту112+др (у0).
Отсюда следует, что
dy/dt = ±^/( 2/т) (туИ2+др (у0)- др (у)),
т. е. ±dy/2/т ) (туЦ2 + др (у0) - др (у)) = dt,
где знак выбирается в соответствии со знаком приращения dy (направлением движения по оси у).
2
a
a
b
хв =
+
xee
= (-Х0 sin T + cosecosT)Te£
+ (-x0 cosT - kyfe cose sinT)t
- 2k4s sine cosT • Te - Ws cos в sinT; (12)
kcose sinT
T2 -
xs = (-x0sin T+Ws cosecosT )Te + J-
. (13)
Если функция р не имеет особенностей, то всегда найдется момент, в который функция Т примет значение Т = л , т. к. интеграл (9) с точностью до множителя описывает время движения, изменяющееся от 0 до да . При этом условии из (8) очевидно
X\t=л
(14)
и далее из (11)-(13):
в T=л
x,
= -kyfs cosJ^ Te;
= -k-v/s cose^Tee + x°Te2 + 2k Vs sine • Te; (15)
ee T=
xsL =-k\[s cose • T.
s T=л s
Кроме того, из (9) имеем при y = const
Te = TAAe = 2s sine cose • TA .
фокусировка второго порядка по углу и первого порядка по энергии £ . Расчет величин хввв, хв£ и х££ показывает, что в этих условиях в общем случае они не уничтожаются, хотя, конечно, существуют конкретные варианты с более высоким порядком фокусировки.
Таким образом, доказана теорема о транспортирующих свойствах полей вида (7), а именно: "В полях типа (7) всегда существует бездисперсионная фокусировка второго порядка по углу при надлежащем выборе позиции приемника относительно источника".
ПРИМЕР
В качестве примера рассмотрим осесимметрич-ное лапласово поле с потенциалом вида
1
Ф = Ф° I b ln (r/L)—(r/L) + (z/L)
2
(17)
(16)
Из полученных формул легко теперь увидеть,3) что при вертикальном старте пучка при в = л/2 и условии Т = л все величины Тв, хв , хвв, х£ обращаются в нуль и, следовательно, достигается
3) Можно поставить задачу по-другому: когда выполняются условия xe = 0, xs = 0, xee = 0? Если потребовать, чтобы xe = 0, xs = 0, то имеются лишь два варианта: cose = 0, sinT = 0 и sine = 0, sinT = 0. При cose = 0, sinT = 0 всегда имеем xee = 0. При sine= 0, sin T = 0 величина xee = +2ke3/2TA (т. е. для обнуления xee требуется TA = 0), зато всегда обращаются в нуль величины x x , x , x , T, T , T , T , T , T . В
Js ss > ess > sss J s ' Js > ss > ess > sss
обоих случаях Te = 0 (транспортировка изохронна по углу в первом порядке), но чтобы в первом случае транспортировка была еще и изохронна по энергии в первом порядке опять-таки потребуется выполнение условия TA = 0. При этом условие TA = 0 оказывается куда как более мощным, чем это кажется с первого взгляда: а) когда cose = 0, sinT = 0, TA = 0, то единственными ненулевыми аберрациями не выше третьего порядка будут xjss = ±k4~e Taa , Tss = TM, Tj^ = -2e T^, Tsss = ; б) когда sine = 0, sinT = 0, TA = 0, то все аберрации вплоть до третьего порядка для x(в, s) и T (в, s) обращаются в нуль!
где г, г — цилиндрические координаты, L — пространственный масштаб, Ф0 — масштаб электрических напряжений и энергий. В работах [4], [5] уже изучались энергоанализирующие свойства этого поля, но, конечно, не с точки зрения ахроматической транспортировки. С точностью до обозначений функция (17) является частным случаем структуры (7), и к ней применим найденный выше принцип. Следовательно, при отсутствии азимутальных возмущений и при вертикальном старте пучка заряженных частиц данное поле реализует для кольцевого источника и кольцевого приемника бездисперсионную фокусировку второго порядка по меридиональному углу (углу, лежащему в плоскости (гг )).
Возможен случай, когда и источник, и приемник расположены в плоскости г = 0, но также возможна фокусировка кольцевого источника, расположенного в позиции г = г0 Ф 0 , на симметрично расположенное кольцо г = — г0. Чтобы определить радиусы кольца-объекта и кольца-изображения, надо найти положения, для которых интеграл (9) принимает значение, равное л :
T ( rA, гО = 0
dr'
И-b ln ( r') + 2 ( r')2
- = л
Здесь выполнен переход к нормированным координатам г ' = г^ и введен параметр
12
¡л = £ К сФ 0) + Ь 1п ( г'А ) —г'А ) — нормированная полная радиальная энергия частиц.
2
Следует отдельно рассматривать случаи, когда имеется точка поворота, а также учесть, что в соответствии с данной теорией функция р ( у)
на всем интервале движения должна быть либо монотонно растущей, либо монотонно убывающей. Чтобы не загромождать пример сверх необходимого, ограничимся случаем Ь < 0 . С помощью
дополнительной нормировки г = г '/>/—Ь , 1 = / (—Ь ) — (1/2) 1п (— Ь ) можно избавиться от параметра Ь в интеграле. На рисунке показаны графики интегралов Т(s) = |&/^[fi + \ns~+~s2/2 при различных значениях параметра 1 . Выбирая вдоль подходящей кривой значения зА и зв так, чтобы было выполнено условие Т( зв ) — Т( зА ) = п , и затем, пересчитывая значения и в физические координаты, а 1 — в начальную кинетическую энергию, получим сопряженную пару колец "источник—приемник" для поля (17). По такой же схеме строятся конфигурации с многократными промежуточными фокусами, соответствующие условию Т = пк .
ТРАНСПОРТИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ ПОЛЕЙ С ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ
В заключение разберем транспортирующие свойства двумерных полей с плоскостью симметрии (случай a = 0 для формулы (7)). Пусть р = p (y) есть ход потенциала в плоскости симметрии z = 0, причем p (y) — монотонно растущая функция и p (0) = 0 . Из точки x = y = 0 вылетает пучок ионов с углами в и энергией s . Частицы описывают дугу и возвращаются на ось x в точке x = X .
С помощью интеграла энергии my2 /2 + qp (y ) = const = s sin2 в находим время полета до точки поворота и обратно
tn =
_/max
42mq j
dy
(18)
Р - p (y ) '
где B = ssin2 в/q, а ymax — координата вершины, определяемая из уравнения p (ymax ) = ssin2 в/q .
Графики интеграла Т (з) = |3^ / + 1пз + з2/2 при различных значениях безразмерного параметра / (/и = -0.5, 0.0, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0, 25.0, 50.0).
За это время частица сместится вдоль оси х на величину X = х(/п, равную
./тах
X = 2д£/с cosв |
dy
I-ГТ . (19)
Р — р (у )
Будем искать нужные функции р ( у ) в виде
неявной зависимости
у = р (Р ),
(20)
где Р — монотонно растущие функции и Р (0) = 0 . Равенство (19) примет вид
в р dp
X = 24ф cosв\—j=p=
14В—1
(21)
Фиксируем какое-либо направление в0, тогда величина X = X (В), причем В может меняться только за счет £ . Из (21) имеем уравнение вида
X (в) ^л/^ш^вс 1
ЛрдР_
4В—Р
==Гв 1
л/В—р'
(22)
у = р (р ) = ^ 1
tgво р X(В)dB
2л 1,1 В (р — В) '
(23)
ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В качестве примера найдем вариант малодисперсионного поля, пригодного для задачи ахроматической транспортировки. Возьмем X (В ) =
= X0ctgв0ЛJВ/(В + и0) . С ростом В эта функция
весьма быстро приближается к постоянной Xда = X0ctgв(). Подстановка в (23) дает
у = Р ( р ) = ^ 1 ^
' ) 2л ^(В + и0)(р — В)
.X«
2л
2агС£
\/В
+ и,
л/р-В
//
В=р
X,
л
л
-—агс^|—
После разрешения (24) относительно р ( у)
р ( у ) = и0^2
V X 0 У
(24)
(25)
При любых > 0 правая часть (22) есть монотонно растущая функция, и, следовательно, координата X прилета частиц на ось х для ионов, выстреливаемых под углом в0 к оси х, растет с ростом . Надеяться на фокусировку пучка по энергии уже нельзя. Тем не менее из (22) следует, что, задав подходящую монотонную функцию X (В), всегда можно найти в явной форме функцию Рр и далее Р ( р ) , т. к. относительно Рр она
есть хорошо известное уравнение Абеля [5]. Используя стандартный метод решения для него и интегрируя результат по р , получим следующую формулу восстановления потенциала по дисперсионному свойству поля:
На прямой у = X0/2 функция р (у) обращается в да и мы имеем особую линию с бесконечной напряженностью. Можно предположить, что малодисперсионные поля заведомо обязаны нарастать по координате у в отличие от высокодисперсионных полей, быстро спадающих с ростом у .
Наш анализ совершенно не затронул вопросы фокусировки в поперечном к плоскости симметрии направлении,4) и дело требует дальнейшей разработки, однако уже изученный небольшой материал ясно показывает, сколь перспективен класс полей с разделяющимися движениями в качестве транспортирующих устройств для аналитических приборов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бэнфорд А.Д. Транспортировка пучков заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1969. 240 с.
2. Голиков Ю.К., Уткин К.Г., Чепарухин В.В. Расчет элементов электростатических электронно-оптических систем: учебное пособие. Л.: Изд-во Ленинградского политехнического института, 1984. 79 с.
4) С хорошей вероятностью можно ожидать, что пучок будет оставаться ленточным (сосредоточенным в окрестности плоскости г = 0), если во всей области движения частиц при отклонении от плоскости г = 0 возникает сила, возвращающая частицу назад. Достаточным условием такого поведения при с > 0 является выполнение условия Ф(х,у,г)«Ф(х,у,0)+(г2/2)хФ22 (х,у,0) =
= Р(х,у) — (г2/2)(рхх (х,у) + Руу (х,у)) > р(х,у) + +(1/2)а2Л2г2. Для потенциала вида (7) это приводит к требованию р"(у)<—а2 (1 + X2), где Л — "запас прочности" для устойчивости ленточного пучка.
В=0
3. Корсунский М.И. Ионно-оптические свойства поля типа кг2 // Труды Харьковского политехнического института (серия инженерно-физическая). 1958. Т. 14, вып. 2.
4. Голиков Ю.К., Чепарухин В.В. Элементарные аппроксимации меридиональных траекторий в электростатическом поле разностного типа // Тезисы докладов VI Всесоюзного семинара по численным методам решения задач электронной оптики. Рязань: 1978.
5. Голиков Ю.К., Чепарухин В.В., Уткин К.Г. О фокусировке меридионального потока в поле разностного типа // Письма в ЖТФ. 1979. № 20.
Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Галль Л.Н.)
Санкт-Петербургский государственный_
политехнический университет (|Голиков Ю.К.|)
Контакты: Галль Лидия Николаевна, [email protected]
Материал поступил в редакцию 10.01.2014
ACHROMATIC ELECTROSTATIC CONVEYING SYSTEMS WITH A PLANE OF SYMMETRY (1987)
L. N. Gall1, lYu. K. GolikOV
1 Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, RF 2Saint-Petersburg State Polytechnical University, RF
The paper specifies in precise mathematical terms the problem of optimal adjusting of the beam of charged particles (ion source) and the analyzing system. A special class of 3D electrostatic fields of an additive type with a plane of symmetry is considered which can implement achromatic conveying and 2nd order focusing for planar beams.
Keywords: bunches of the loaded particles, transportation of ions, optimum coordination
2
REFERENСES
1. BenfordA.D. Transportirovka puchkov zaryazhennykh chastits. M.: Atomizdat, 1969. 240 s. (in Russian).
2. Golikov Yu.K., Utkin K.G., Cheparukhin V.V. Raschet elementov elektrostaticheskikh elektronno-optiche-skikh sistem: uchebnoye posobiye. L.: Izd-vo Lenin-gradskogo politekhnicheskogo instituta, 1984. 79 s. (in Russian).
3. Korsunskiy M.I. Ionno-opticheskiye svoystva polya tipa kr2 // Trudy Kharkovskogo politekhnicheskogo instituta (seriya inzhenerno-fizicheskaya). 1958. T. 14, vyp. 2. (in Russian).
4. Golikov Yu.K., Cheparukhin V.V. Elementamyye ap-proksimatsii meridionalnykh trayektoriy v elek-trostaticheskom pole raznostnogo tipa // Tezisy dokla-dov VI Vsesoyuznogo seminara po chislennym meto-dam resheniya zadach elektronnoy optiki. Rya-zan: 1978. (in Russian).
5. Golikov Yu.K., Cheparukhin V.V., Utkin K.G. O foku-sirovke meridionalnogo potoka v pole raznostnogo tipa // Pisma v ZhTF. 1979. № 20. (in Russian).
