CC BY
4
УДК 514.75
АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВО ГИПЕРКВАДРИК
И.С.А л е ш н и к о в
(Калининградский государственный университет)
В настоящей работе продолжается изучение локального дифференцируемого отображения / [5] аффинного пространства Ап в пространство гиперквадрик другого аффинного пространства Ат . Вводятся две аффинные связности, являющиеся обобщениями для отображения / связности Врэнчану [2,§5] точечного соответствия, и изучаются их геометрические свойства. Специальный случай отображения / и соответствующих связностей рассматривался в статье [4].
Будем считать п=К, где К=ш+1 ш(ш+1) - ранг [1] гиперквадрики деЯ(д). Из предположения о максимальности ранга отображения / следует, что существует обратное к / локальное дифференцируемое отображение / 1 Ап. Оно
задается следующей системой дифференциальных уравнений:
О/ = у/ю г" + V^ Уа.. ( V/и = У/р ) .
Из равенств / о / 1 = idR(*), / 1 о/= получаем следующие соотношения:
А/Ук + Л/Ук = 8ка , Л/V" = 18*8*
А/У/ = 8), А/У/р* = 0, Л/У/ = 0,
(1)
причем:
УЛ/ = А/к О к, УЛ / = Л /к О к
кь
у у/ = -у к (V/лк + У/р* лрдкь )Оь, (2)
у У* = -ук' (у/Лккь + У/р* Лр*кь )Оь,
где дифференциальный оператор У действует следующим образом:
ул/ = аЛ/ -Лк о к+л/ ю;.
Пусть отображение / имеет в окрестности точки Р0 е Ап следующее разложение в ряд Тейлора:
Ъ = ац + Л /X/ +1Л у^кХ/Хк + < 3>,
с'' = А3Х/ +1 АЖХ/Хк + < 3>. (3)
В силу того, что координаты с' центра гиперквадрики деЯ(д) с уравнением:
Ъ.х'х' + 2ЬХ - 1 = 0
удовлетворяют соотношениям Ъ^с3 + Ъ i = 0, получаем:
:
где
Ъг — Л иХМ +1 ЛикХМХк + < 3), (4)
Ли — —ау Л> Лмк — ~ау ЛЖ - Л (УЛк) .
Рассмотрим тензор
ум
— — , где а1 определяются равенством
а^ — ¿1.
Теорема 1. Функции
ГУ —ЛцкУ71 + ЛшуМ,
у Ж —ЛиШуУм + Л^У1 задают две локально-аффинные связности Г и у в пространстве Ап. Доказательство. Обозначим ГОу — О к + Г* Оь. Из уравнений :
— м Оь, УАиж — Л О *,
VЛ у — —( аи Лж + Л ^к ЛМ )О
к
И мк ук1
УУМ — —ук (ум Л^ + ууР1 Л рдк" )Оь — а«УМк Л м Оь вытекают уравнения структуры пространства аффинной связности:
ВОм — Оь лГОМ +1ГБмш0ь л Он, ВГОМ — ГО"лГОу Г0ь л Он, где Г — 0 и Г КМнк — 0. Последнее означает, что Г У задает в Ап локально-аффинную связность Г [3]. Для у 'ткь доказательство аналогич но.
кь
Теорема 2. Коэффициенты ГМь связности Г удовлетворяют соотношениям:
— Л Гь Л — Л Гь
^уж Л1уь Г ж,Л ж Л ь Г ж
Л — Л Гь Л — Л Гь
Лиж Л1ЬГж,Лж ЛьГж. (5)
Доказательство непосредственно вытекает из определения функций Г мкь и соотношений (1).
Теорема 3. Для коэффициентов у ^ связности у справедливы рвенства:
Луж — ЛуьУ ьк , Лик — ЛьУ ж . Доказательство. Из (1) получаем:
луУк + ЛиУк — 5к, Л^ — 15р5*),
Л^ Ум — 51, Л^ УМт — 0, Лр УМк — 0. (7)
Тогда равенства (6) непосредственно следуют из определения функций у ^ и соотношений (7).
Замечание. В силу уравнений (5.2) статьи [2] теоремы 2 и 3 позволяют рассматривать связности Г и у как обобщения связности Врэнчану точечного соответствия для отображения /: Ап ^Я(д) аффинногопространства Ап в пространство гиперквадрик Я^).
Используя понятие цепи гиперквадрик в пространстве Я^), введенное в работе [5], получаем следующие свойства геодезических связностей Г и у.
Теорема 4. Образ геодезической в связности Г при отображении / имеет в точке /(Р°) касание 2-го порядка с цепью гиперквадрик.
Доказательство. Пусть 1-геодезическая связности Г, 1(0)=Р°. Ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки 0е Р имеет вид:
Xм — Лмг —1Гу Лк Льг2 + <3). (8)
Из формул (3) и (8) для отображения / °1 имеем:
Ьу—ау +Лу Л^ + КЛук —Л^ Гк )ЛМ Лкг2 + < 3), с1 — ЛУ ЛЧ + \(ЛЖ — Ль Гк) Лм Лкt2 + <3). Тогда в силу (5) получаем:
ь у — ау + Л у Л t + < 3), с1 — лу Лм t + < 3),
что и доказывает теорему.
Теорема 5. Образ геодезической связности у при отображении / имеет в точке /(Р°) касание 2-го порядка с пучком гиперквадрик пространства Я(я).
Доказательство. Пусть 1-геодезическая связности у, 1(0)= Р°. В окрестности точки 0еР она имеет следующее разложение в ряд Тейлора:
Xм — ЛJt —1 у Лк ЛLt2 + <3). (9)
Так как разложение отображения / в окрестности точки Р° имеет вид:
Ь у—а у +Л Xм +1 Л1ркХмХк +<3), Ь —Л мХм +1Л мкХмХк +<3), то в силу (6) и (8) для отображения / °1 имеем:
Ьу — ау + Л ум ЛJt + <3),Ь — Л м ЛJt + <3). Последнее означает, что / °1 соприкасается с пучком гиперквадрик № + /Ф — 0, где F — —!,ф — Лу^х1ху + 2ЛиЛмх1.
Теорема 6. Направление, определяемое в точке Р° инфлексионной в ней кривой 1, является характеристическим направлением отображения / тогда и только тогда, когда кривая 1 имеет в точке Р° геометрическое касание 2-го порядка с некоторой геодезической связности Г.
Доказательство. Пусть {Л1 является характеристическим направлением в
точке Р° отображения /. Из [5] следует, что это равносильно
'Л укь Лк Ль — /Л ук Лк, у лк Л" — м^лк. (/еР) (10)
С учетом соотношений (1) получаем:
Г/ Лк Ль =^Л/. Последнее означает, что кривая:
Х/ =Л/Г -1 Г/ Лк ЛьГ2 + <3>
1 и и и и
является инфлексионной в точке Р кривой, соприкасающейся с некоторой геодезической связности Г.
Проводя рассуждения в обратном порядке и учитывая (5), получаем требуемый результат.
Библиографический список
1. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве II Тр. геометрич. семинара / ВИНИТИ. М.,1969. Т.2. С.179-206.
2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия. 1963. Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М.,1965. С.65-107.
3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.
4. Андреев Б.А. Характеристические и гипохарактеристические направления отображения / // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983. Вып.14. С.9-13.
5. Алешников И.С. Характеристические направления отображе-ния аффинного пространства в пространство гиперквадрик // Там же, 1995. Вып.26. С.5-8.
I.S.A l e s h n i k o v
AFFINE CONNECTIONS GENERATED BY THE MAPPING FROM THE AFFINE SPACE TO THE SPACE OF HYPERQUADRIC
The present work conciders a local differentiable mapping f of the affine space An to the space R(q) of hyperquadrics of the affine space Am , where n=dimR(q). Two affine connections A and у are introduced in the space An which are the generalization of known Vranceanu's connections of point mapping for the case of mapping f and their geometrics properties are investigated.
It is calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesic line of the connection A with the chain of hyperquadrics of the space R(q) which was introduced in the previous work. It is also calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesice line of the connection у with the bunch of hyperquadrics of the space R(q) tangent to the mapping f.
Besides this, the symptom of the characteristic direction of the mapping f at the point P0 is found. УДК 514.75
СТРУКТУРЫ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЙ В ГЕОМЕТРИИ ГИПЕРПОЛОС
