Научная статья на тему 'АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВО ГИПЕРКВАДРИК'

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВО ГИПЕРКВАДРИК Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
21
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алешников И. С.

В настоящей работе продолжается изучение локального дифференцируемого отображения ƒ [5] аффинного пространства An в пространство R(q) гиперквадрик другого аффинного пространства Am. Вводятся две аффинные связности, являющиеся обобщениями для отображения ƒ связности Врэнчану [2‚§5] точечного соответствия, и изучаются их геометрические свойства. Специальный случай отображения ƒ и соответствующих связностей рассматривался в статье [4].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

AFFINE CONNECTIONS GENERATED BY THE MAPPING FROM THE AFFINE SPACE TO THE SPACE OF HYPERQUADRIC

The present work conciders a local differentiable mapping f of the affine space An to the space R(q) of hyperquadrics of the affine space Am, where n=dimR(q). Two affine connections A and γ are introduced in the space An which are the generaliza-tion of known Vranceanu′s connections of point mapping for the case of mapping f and their geometrics properties are investigated. It is calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesic line of the connection A with the chain of hyperquadrics of the space R(q) which was introduced in the previous work. It is also calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesice line of the connection γ with the bunch of hyperquadrics of the space R(q) tangent to the mapping f. Besides this, the symptom of the characteristic direction of the mapping f at the point P0 is found.

Текст научной работы на тему «АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВО ГИПЕРКВАДРИК»

УДК 514.75

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЕМ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ПРОСТРАНСТВО ГИПЕРКВАДРИК

И.С.А л е ш н и к о в

(Калининградский государственный университет)

В настоящей работе продолжается изучение локального дифференцируемого отображения / [5] аффинного пространства Ап в пространство гиперквадрик другого аффинного пространства Ат . Вводятся две аффинные связности, являющиеся обобщениями для отображения / связности Врэнчану [2,§5] точечного соответствия, и изучаются их геометрические свойства. Специальный случай отображения / и соответствующих связностей рассматривался в статье [4].

Будем считать п=К, где К=ш+1 ш(ш+1) - ранг [1] гиперквадрики деЯ(д). Из предположения о максимальности ранга отображения / следует, что существует обратное к / локальное дифференцируемое отображение / 1 Ап. Оно

задается следующей системой дифференциальных уравнений:

О/ = у/ю г" + V^ Уа.. ( V/и = У/р ) .

Из равенств / о / 1 = idR(*), / 1 о/= получаем следующие соотношения:

А/Ук + Л/Ук = 8ка , Л/V" = 18*8*

А/У/ = 8), А/У/р* = 0, Л/У/ = 0,

(1)

причем:

УЛ/ = А/к О к, УЛ / = Л /к О к

кь

у у/ = -у к (V/лк + У/р* лрдкь )Оь, (2)

у У* = -ук' (у/Лккь + У/р* Лр*кь )Оь,

где дифференциальный оператор У действует следующим образом:

ул/ = аЛ/ -Лк о к+л/ ю;.

Пусть отображение / имеет в окрестности точки Р0 е Ап следующее разложение в ряд Тейлора:

Ъ = ац + Л /X/ +1Л у^кХ/Хк + < 3>,

с'' = А3Х/ +1 АЖХ/Хк + < 3>. (3)

В силу того, что координаты с' центра гиперквадрики деЯ(д) с уравнением:

Ъ.х'х' + 2ЬХ - 1 = 0

удовлетворяют соотношениям Ъ^с3 + Ъ i = 0, получаем:

:

где

Ъг — Л иХМ +1 ЛикХМХк + < 3), (4)

Ли — —ау Л> Лмк — ~ау ЛЖ - Л (УЛк) .

Рассмотрим тензор

ум

— — , где а1 определяются равенством

а^ — ¿1.

Теорема 1. Функции

ГУ —ЛцкУ71 + ЛшуМ,

у Ж —ЛиШуУм + Л^У1 задают две локально-аффинные связности Г и у в пространстве Ап. Доказательство. Обозначим ГОу — О к + Г* Оь. Из уравнений :

— м Оь, УАиж — Л О *,

VЛ у — —( аи Лж + Л ^к ЛМ )О

к

И мк ук1

УУМ — —ук (ум Л^ + ууР1 Л рдк" )Оь — а«УМк Л м Оь вытекают уравнения структуры пространства аффинной связности:

ВОм — Оь лГОМ +1ГБмш0ь л Он, ВГОМ — ГО"лГОу Г0ь л Он, где Г — 0 и Г КМнк — 0. Последнее означает, что Г У задает в Ап локально-аффинную связность Г [3]. Для у 'ткь доказательство аналогич но.

кь

Теорема 2. Коэффициенты ГМь связности Г удовлетворяют соотношениям:

— Л Гь Л — Л Гь

^уж Л1уь Г ж,Л ж Л ь Г ж

Л — Л Гь Л — Л Гь

Лиж Л1ЬГж,Лж ЛьГж. (5)

Доказательство непосредственно вытекает из определения функций Г мкь и соотношений (1).

Теорема 3. Для коэффициентов у ^ связности у справедливы рвенства:

Луж — ЛуьУ ьк , Лик — ЛьУ ж . Доказательство. Из (1) получаем:

луУк + ЛиУк — 5к, Л^ — 15р5*),

Л^ Ум — 51, Л^ УМт — 0, Лр УМк — 0. (7)

Тогда равенства (6) непосредственно следуют из определения функций у ^ и соотношений (7).

Замечание. В силу уравнений (5.2) статьи [2] теоремы 2 и 3 позволяют рассматривать связности Г и у как обобщения связности Врэнчану точечного соответствия для отображения /: Ап ^Я(д) аффинногопространства Ап в пространство гиперквадрик Я^).

Используя понятие цепи гиперквадрик в пространстве Я^), введенное в работе [5], получаем следующие свойства геодезических связностей Г и у.

Теорема 4. Образ геодезической в связности Г при отображении / имеет в точке /(Р°) касание 2-го порядка с цепью гиперквадрик.

Доказательство. Пусть 1-геодезическая связности Г, 1(0)=Р°. Ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки 0е Р имеет вид:

Xм — Лмг —1Гу Лк Льг2 + <3). (8)

Из формул (3) и (8) для отображения / °1 имеем:

Ьу—ау +Лу Л^ + КЛук —Л^ Гк )ЛМ Лкг2 + < 3), с1 — ЛУ ЛЧ + \(ЛЖ — Ль Гк) Лм Лкt2 + <3). Тогда в силу (5) получаем:

ь у — ау + Л у Л t + < 3), с1 — лу Лм t + < 3),

что и доказывает теорему.

Теорема 5. Образ геодезической связности у при отображении / имеет в точке /(Р°) касание 2-го порядка с пучком гиперквадрик пространства Я(я).

Доказательство. Пусть 1-геодезическая связности у, 1(0)= Р°. В окрестности точки 0еР она имеет следующее разложение в ряд Тейлора:

Xм — ЛJt —1 у Лк ЛLt2 + <3). (9)

Так как разложение отображения / в окрестности точки Р° имеет вид:

Ь у—а у +Л Xм +1 Л1ркХмХк +<3), Ь —Л мХм +1Л мкХмХк +<3), то в силу (6) и (8) для отображения / °1 имеем:

Ьу — ау + Л ум ЛJt + <3),Ь — Л м ЛJt + <3). Последнее означает, что / °1 соприкасается с пучком гиперквадрик № + /Ф — 0, где F — —!,ф — Лу^х1ху + 2ЛиЛмх1.

Теорема 6. Направление, определяемое в точке Р° инфлексионной в ней кривой 1, является характеристическим направлением отображения / тогда и только тогда, когда кривая 1 имеет в точке Р° геометрическое касание 2-го порядка с некоторой геодезической связности Г.

Доказательство. Пусть {Л1 является характеристическим направлением в

точке Р° отображения /. Из [5] следует, что это равносильно

'Л укь Лк Ль — /Л ук Лк, у лк Л" — м^лк. (/еР) (10)

С учетом соотношений (1) получаем:

Г/ Лк Ль =^Л/. Последнее означает, что кривая:

Х/ =Л/Г -1 Г/ Лк ЛьГ2 + <3>

1 и и и и

является инфлексионной в точке Р кривой, соприкасающейся с некоторой геодезической связности Г.

Проводя рассуждения в обратном порядке и учитывая (5), получаем требуемый результат.

Библиографический список

1. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве II Тр. геометрич. семинара / ВИНИТИ. М.,1969. Т.2. С.179-206.

2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия. 1963. Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М.,1965. С.65-107.

3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

4. Андреев Б.А. Характеристические и гипохарактеристические направления отображения / // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983. Вып.14. С.9-13.

5. Алешников И.С. Характеристические направления отображе-ния аффинного пространства в пространство гиперквадрик // Там же, 1995. Вып.26. С.5-8.

I.S.A l e s h n i k o v

AFFINE CONNECTIONS GENERATED BY THE MAPPING FROM THE AFFINE SPACE TO THE SPACE OF HYPERQUADRIC

The present work conciders a local differentiable mapping f of the affine space An to the space R(q) of hyperquadrics of the affine space Am , where n=dimR(q). Two affine connections A and у are introduced in the space An which are the generalization of known Vranceanu's connections of point mapping for the case of mapping f and their geometrics properties are investigated.

It is calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesic line of the connection A with the chain of hyperquadrics of the space R(q) which was introduced in the previous work. It is also calculated the order of tangency of the image under the mapping f of a geodesice line of the connection у with the bunch of hyperquadrics of the space R(q) tangent to the mapping f.

Besides this, the symptom of the characteristic direction of the mapping f at the point P0 is found. УДК 514.75

СТРУКТУРЫ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЙ В ГЕОМЕТРИИ ГИПЕРПОЛОС

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.