Аффинные связности на алгебрах циклических чисел, инвариантные относительно группы движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для п = 5 представление 7Г(1) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7Г/, 7Г/,1 и 7Г|,_ 1, I ^ 1, действующих в пространствах Ц, Wf, W[~. Формулы из теоремы 1 изменяются соответственно:

ra№? = (*+1++ (<7+т + (а -1 -1 )w±1(

R„(p)V, = (<т + / + + oW+ + aWt~ + (а — l - 1)V,+1.

Отсюда получаем теорему, аналогичную теореме 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. Опгшах A.B. Гармонический анализ в дифференциальных формах на сфере // Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 57-58.

3. Опимах A.B. Гармонический анализ в пространстве дифференциальных форм первого порядка на сфере, (см. настоящий том)

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА АЛГЕБРАХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

© С. В. Цыкина

Алгебра Wn циклических чисел размерности п есть пространство многочленов над К от переменной г степени ^ n - 1 с соотношением г" = 0. В данной работе мы находим аффинные связности на алгебрах W-2 и И^з, инвариантные относительно группы «движений», а также в пространстве R3, инвариантные относительно неоднородной группы Гейзенберга.

Пусть М - многообразие с аффинной связностью V. Пусть x(t) - кривая на М. Производную по t (t - время) будем обозначать точкой. Касательный вектор есть х. Определим ускорение-, х = VjX. Геодезическая - это кривая с нулевым ускорением. В локальных координатах Х{ ускорение имеет вид

xk=xk+ ^2 ГijXiij.

Теорема1. Если аффинная связность на Rn инвариантна относительно группы параллельных переносов, то символы Кристофеля постоянны.

Показательная функция ехр на Wn определяется с помощью стандартного ряда. В частности, ехр(гу?) = 1-4- гуз, (п = 2), exp(iip + г2^) = 1 +i<p + г2ф 4- 2<р2 (тг = 3).

Определим вращение пространства Wn вокруг начала координат как умножение на экспоненту от чисто мнимого числа (см. выше). Это - косая деформация пространства R”. Например, указанная выше экспоненты дают матрицы:

1 0 0 1 0

гр 4- ц>2/2 <р 1

Движением пространства Wn назовем линейное преобразование w aw + b, где а - экспонента от чисто мнимого числа. Любое движение есть либо параллельный перенос (если а = 1), либо поворот с центром в точке с = b/( 1 - а) (если а ф 1). Множество всех движений пространства Wn образует группу.

Теорема 2. Всякая аффинная связность в пространстве инвариантная относительно группы движений, в координатах х, у задается матрицами:

( А 0 \ Г7 _ ( 0 0 \

(в С j ’ *э/ду — 1 Y) о ]

Vд/дх

где A,B,C,D - вещественные числа, удовлетворяющие соотношениям А = С + D.

В алгебре W2 ускорение w имеет вид w = ю + {А + iB)xw, где А, В - параметры аффинной связности. Геодезическая имеет параметрические уравнения: x(t) = £(f) + рг, y(t) = —(1/2)jBÇ2(t) + рз£(<) + рл, где £(£) = (1/Л) ln\At + piI, Pi,P2iP3iP4 _ постоянные. Исключая параметр í, получим параболу у = ~(В/2)х2 + С\Х + С2-

Теорема 3. Всякая аффинная связность в пространстве Wz, инвариантная относительно группы движений, в координатах х, у, г задается матрицами:

/ Л 0 0 \ / 0 0 0 \ /ООО

Ve/ôi = ( В D 0 ) , Ve/e¡/ = I F 0 0 J , Vg/Oz =[000

\ С E D J \ G 0 0 J \F00

где A, В, C, D, E,F,G - вещественные числа, удовлетворяющие соотношениям А = D + F, В = E + G.

Ускорение имеет вид w = w + (А + iB + i2C)xw, где А, В, С - параметры аффинной связности. Геодезическая имеет параметрические уравнения:

x{t) = f(í) +P2,

y(t) = -(l/2)£f2(<) +p3£(í) +P4, z(t) = (1/6)B2e(t) - (1/2)(Врз + C)e(t) +P5ÍW +P6,

где £(<) см. выше, pi,..., pe - постоянные.

Возьмем в пространстве W3 кривую, зависящую от натурального параметра t = х. Тогда ускорение можно записать в виде: w = Ат + сг, где г - касательный вектор, а - «вектор кривизны»:

T = w' = (1 ,y',z'), о = (0, у" + F,z" + Fy' + E),

штрих - производная по х. Таким образом, вектор ускорения раскладывается в сумму векторов: вектор, коллинеарный скорости г, и «ортогональный» ему вектор кривизны а, лежащий в плоскости х = 0. Мы нашли также аналоги формул Френе, однако, они достаточно громоздки и мы их не приводим здесь.

Наша группа G есть подгруппа группы G, которая есть неоднородная группа Гейзенберга: параллельные переносы и линейные преобразования с матрицами

1 0 0

а 1 0

7 Р 1

Из теоремы 3 получаем:

Теорема 4. Всякая аффинная связность в пространстве К3, инвариантная относительно неоднородной группы Гейзенберга, в координатах х, у, z задается матрицами:

(А 0 0 \ / 0 0 0 \

Va/a* = ° D 0 І > = [ -F 0 0 І , Va/dz =

\С -G D ) \G 0 0/

где A,C,D,F,G - вещественные числа с условием А = D + F.