Аэродинамические характеристики трёхмерных заострённых тел в гиперзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

_____

Же 3—4

УДК 533.6.011.55:532.582.33

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Д. С. ПОСТНОВ, А. И. ЩЕДРИН

На основании исследований, проведенных в [1], получены аналитические выражения для распределения давления и аэродинамических характеристик произвольных заостренных тел в гиперзвуковом потоке невязкого газа. Результаты уточняют данные расчетов по формуле Ньютона, так как учитывают кривизну поверхности и физические свойства газа.

Целью настоящей работы является получение простых и удобных для использования в инженерных расчетах выражений для аэродинамических сил и моментов, действующих на тело, близкое по форме к телу вращения, в гиперзвуковом потоке невязкого газа. Таким образом, исследуется класс тел, форма поверхности которых в цилиндрической системе координат (X,, г, Ф) представима в виде

^(Х,Ф;т) = ^0(Х) + тгм,1(Х,Ф), (1)

где 0<Х<1, 0 < Ф < 2я (см. рис. 1), т — малый геометрический параметр, характеризующий степень отличия поверхности рассматриваемого тела от осесимметричной. При получении выражений для аэродинамических сил и моментов используем асимптотическое решение, основанное на гиперзвуковой теории тонкого ударного слоя (ТТУС). Отметим, что аналогичный подход был использован в работах [2], [3] для уточнения аэродинамических характеристик тонкого крыла

малого удлинения. В работе [4] в рамках ТТУС проведено исследование влияния скольжения на силовые и моментные характеристики треугольного крыла.

При Мда ->оо и показателе адиабаты к-»1 область возмущенного течения за сильным головным скачком уплотнения представляет тонкий ударный слой с большой относительной плотностью. В этой связи в рассмотрение вводится малый параметр е, характеризующий отношение плотности в набегающем потоке к характерной плотности газа в ударном слое:

-1

к-1.

к + 1

к-1

£ = ——-(1 + А), А = ——-М2 cos2 a cos2 Р sin2 0О I =0(1), (2)

2

где 0О = 0(1) — характерный угол наклона поверхности тела к оси Ох. Углы атаки а и скольжения Р считаются малыми, причем их связь с основным параметром є следующая:

tgR

tga = £a0, —= ep0, а0,р0=О(1). (3)

cos а

В дальнейшем без ограничения общности полагаем, что т = є.

1. В связанной системе координат Oxyz главный вектор аэродинамических сил и главный момент этих сил, действующих на обтекаемое тело, определяются формулами:

(4)

M = -qaaSu jjcp(rxn)-

a м

где qа) = рху£ / 2 , 5М — площадь максимального (миделевого) сечения тела, dа — элемент площади его боковой поверхности, и — единичная внешняя нормаль к поверхности тела. Проекции этих векторов на оси связанной системы координат принято представлять в виде:

• = qа0SмcN, Хх = qxSмcx,

Мк=яАтк, Мм = qrюSмmN, Мх = q<X}Sмmx,

где Сц, Сдг, сх — коэффициенты продольной (осевой), нормальной и боковой сил соответственно; тк, тм, тх — коэффициенты моментов крена, рыскания и тангажа соответственно. Эти аэродинамические коэффициенты, зависящие от формы тела и условий обтекания, определяются по известному распределению давления на поверхность тела. При гиперзвуковых скоростях в диапазоне малых углов атаки и скольжения влияние донного давления на аэродинамические характеристики мало и в настоящем исследовании не учитывается. Для определения коэффициентов сил и моментов используем следующие выражения:

1 2я.

\\ср^ф, (6)

м о о

1 2ге

т=-4-\\срТіШф' w

5“оо

где с и т — коэффициенты полной аэродинамической силы и главного аэродинамического момента соответственно:

с = 1ск + ус# +ксх, т = тл + ]тм + ктх.

В формулах (6) и (7) векторные функции

^ = Шх+]Ыу+Шг, Т = Их+]Ту + кТ2,

зависящие от формы тела, в цилиндрических координатах имеют компоненты

дХ

V2,

, Иу = ^-(г„ эш Ф), N. = сое Ф),

дФ дФ

Тг=-

дФ

-*4, Ту=Ыхг^тФ-Шх, Тг=ту-Нхг„со5Ф.

Коэффициент главного момента сил относительно произвольной точки с радиус-вектором г0 определяется по формуле пересчета:

т° =т + \с'*Го\.

Отметим, что в формулах (6) и (7) пределы интегрирования постоянны и не зависят от формы тела, а также от углов атаки и скольжения, так как предполагается, что на всей поверхности рассматриваемых тел ср>0.

В рамках ТТУС коэффициент давления и форма тела представляются в форме разложений:

ср=сро (X) + еср1 (Х,Ф) + 0(е ), ** = гуЛ (х) + £ г*\ (X’Ф) + °(£І )•

(8)

(9)

Представим функции возмущения первого порядка для коэффициента давления и формы тела в виде рядов Фурье по переменной Ф:

ср1(Х, Ф) = ср10(Х) + (Х)С08 пФ +^с%(Х)5іппФ,

л=1 И=1

у№ф) = (х)+2 (х)СОІЗ пф +^м1(х)^пф-

Площадь поперечного сечения тела

л=1

1 2я

5(Х) = - \г1{Х,Ф,ё)(1Ф

п=1

(10)

(П)

согласно (11) представляется разложением

1 + 2є

ги-1о(^0

г^(Х)

+ о(є),

т (X)

где 50(Х) = 2пв0(Х) — площадь поперечного сечения базового тела вращения, Э0(Х)= ■ .

2

Если Хм — координата миделевого сечения тела, то его площадь

5М=5(ХМ) = 50(ХМ)

1 + 2є

ги>1о(^м) гию(^м) .

+ о(т).

СЛ ~сйо +'

*1сро(Х)

4%

(IX

ґ

Ую(*)

сро(Х)

+ 2

Ы*и)

,10(*м)

г„о(Х) 0(ХМ) <ЙГ

гм>10(^0 ГШ(ХЫ) у ^

/у

1 ^

сй0 =т---\Срй(Х)——коэффициент продольной силы для базового тела вращения,

Зо(^м)л &

1

с» ЫПСри&Ж,

2{*о(Ам)п

ст=-

2%(ХМ)'

\г^(Х)с%(Х)с1Х;

/Иг

(<&«-<&«)]«■

2У0(^м)0^ Л=1 )

1 ( л

тн =-------Гсро 2—(8^>)+

* 2&0(ХМ)* сис\0у,п> ср0^

тТ=-

>*

[/ п

/>0

<ОГ

р0

,(і) (і) \ ^

Х+А>

(12)

йХ,

IV! 1

"рО

гиЮ

А).

АЙГ

айГ.

В скоростной системе координат соответствующие коэффициенты сил и моментов с принятой степенью точности определяются с помощью формул перехода:

СХ - СД > Су-°М~ асД0> сг ~ ст + Рсй0> тх -тк- атм + (Зтт, ту=тм, тг=тх.

(13)

2. Рассмотрим случай, когда базовое тело является круговым конусом. В работе [1] показано, что коэффициент давления на поверхности такого тела определяется асимптотической формулой:

Ср СрО

1 + —+Є

4 2упХг дХ

-2—(асовФ-РвтФ)

дХ) у0

+ 0(г\

(14)

ср0 = 2вт 0О, м0 = сое 0О, у0 = віп 0О сое 0О,

где 0О — полуугол раствора базового конуса. Аналогичное выражение, получаемое с помощью формулы Ньютона для давления, имеет вид:

ср ~ср0

Ґ 1 я ^

1 + 2£І^^-2^(асо8Ф-р8іпФ)

+ 0{& + & + р)

у0 дХ У0 Введем обозначения:

[,'гМ*) = гш(Х), Л(^) = ^(П Вп(Х) = г^іХ), ПЇІ,

(15)

/" Л

1+£_е^(Л)

4 г0

СХ - ср0

■■

с = 2и0(ек(А1) + (2 - «о1 )а), с2 = 2щ (єк(Вх) + (2 - щ1 )р),

(16)

где линеиныи оператор

адх)) = «0

■П і)

чо

(Здесь и далее штрих обозначает дифференцирование по X).

Аналогичным образом получаются выражения для коэффициентов моментов сил:

2 2 тх= г и0

п сі

•|§лгг<яг

х‘в? *

Ч'

" СІХ -АгІ(а.В1 + Р4Х

(1Х + 4гИ (а^+р^)-

(17)

ту = 4р/3 - 4т к(В1), т2 = 4а /3 + 4т к{Ах ),

где линейные операторы

( 1 А(^(Х)) = ^ (2 - 2мо1Ж1) - ^'(1) + 2 рЩХ)аИГ

1

7(^(Х)) = |.ЩХ)аЙГ.

Коэффициенты сил и моментов, определенные по теории Ньютона (ТН) без учета центробежных сил, имеют вид:

с*х=ср0\ \-2^-ек*(А0) ,

с*у =2м0(еА:*(4) + (2-М01)а), с* =2м0(єҐ(Л,)-(2-м01)р);

(18)

0 Чп=1

аЙГ

Л

сіХ + 4еЬ*(аВ1 + $А{)-Аг1(аЩ + Р4)>

= 4р/3 — 4вИ (5,), етг =4а/3 + 4є/г (4).

Линейные операторы:

к (^(Х)) = 2и0 ^ і

А (ВД) = 2ы0

|^(Х)айГ-^(1) о

|^(Х)^-^-^-^(і)

чо

«о

Отметим геометрический смысл нулевого и первого коэффициентов ряда Фурье в разложении функции возмущения формы поверхности тела. В рамках линейного приближения по 8 пло-

щадь произвольного поперечного сечения тела $(Х) и площадь боковой поверхности а зависят только от коэффициента А0(Х). Коэффициенты первых гармоник А{(Х) и В\{Х) определяют координаты центра тяжести произвольного поперечного сечения тела:

у1(Х) = еАї(Х), 21(Х) = еВ1(Х).

Площади произвольного поперечного сечения тела и его боковой поверхности представимы в виде разложений:

ст = ст0(1 +Аст) + ..., 5(Х) = 5’0(Х)(1 + А5(Х)) + ...,

где Аст, Л5 ~0(х), а ст0 и £0(ЛГ) —соответствующие характеристики базового конуса. Коэффициент А0(Х) связан с Аст и А5 соотношениями:

Аст = 2є «о

(1-МоИ(1) + Мо|Ло( X)dX

(19)

2єи0

Используя эти равенства в формулах (16) и (18), получим:

*

=сх0 +^-(Аа-А5(1)) + ^4(А5-(1) + AS'(l)), (21)

с*х = сх0 + 2с^0 ( Act - AS (1)), (22)

сх0 ~ ср0

4 J

, сх о — CpQ.

Из формулы (22) следует, что в рамках ТН сопротивление деформируемого тела с принятой степенью точности равно сопротивлению базового тела при выполнении условия Аст - А£(1) = 0. Таким образом, ньютонианский подход дает следующее правило: отличие в сопротивлении сопоставляемых тел (деформированного и базового) имеет более высокий порядок малости, чем отличие их форм, если одновременно равны площади их боковой поверхности и кормового среза или относительное изменение площади боковой поверхности тела равно относительному изменению его площади кормового среза.

ТТУС дает иное условие малого различия сопротивлений

Аст-А£(1) + -^(А£(1)-А£'(1)) = 0, (23)

которое качественно отличается присутствием в нем производной приращения площади поперечного сечения на кормовом срезе. !

3. Рассмотрим поведение аэродинамических характеристик, определяемых в соответствии с полученными выражениями. Зависимость сг(Мк) является монотонно убывающей, Так как газодинамический параметр б уменьшается по мере роста числа Маха Ми при фиксированных к и 0о. Значение сх стремится к конечному пределу:

lim сх(М00) = с о

Мда-*®

(л ІК-І'І / *

1 + -сх

1, 4 к + 1; \

, 1 к — 1

1 +----------

4 к + 1

Для тел, в отклонении формы которых от базового конуса отсутствует осесимметричный компонент (Aq(X) = 0), имеем А£(1) = AS'(l) = Аст = 0, поэтому согласно правилу площадей получаем сх = сх0, с* = с*о. Для любых тел этого класса Асх = сх -сх > 0 . В более общем случае

с

х

а)

0,56

«

0,54

0,52

0,50

б)

о,4а_______________________________ _____ ——----------—

6 ' 71 ' ' ' ' 81 ' ' ' ' 9 ' ' ' ' 10 ' д ' ' 11 ' ' ' ' 12 ' М

Рис. 2. Зависимости лобового сопротивления тел с (1) > 0 (а) и (1) < 0 (б)

от числа М»

Ао(Х)#0 разность Асх может принимать и отрицательное значение. На рис. 2 приведены зависимости сх (М^ ) для двух тел, полученных наложением на круговой конус с 0О = 30° осесимметричного возмущения &А${Х) = с$\г\2кХ. Для первого тела с = 0,01 (кривая а), а для второго — с = -0,01 (кривая б). Здесь и далее (рис. 2 — 4, 6 — 8) результаты расчетов, основанных на ТТУС и теории Ньютона, представлены сплошными и пунктирными линиями соответственно. В зависимости от значения производной осесимметричной компоненты возмущения ^(1) деформация поверхности может вести как к снижению коэффициента волнового сопротивления (случай 4^,(1)<0, кривая б), так и к его росту (случай А^(1)>0, кривая а). Данный пример является свидетельством существенного влияния кривизны поверхности тела на его волновое сопротивление.

На рис. 3 и 4 изображены зависимости коэффициентов подъемной силы и момента тангажа тела, полученного наложением на круговой конус с 0о=2О° первой, гармоники вида е Ах(Х) = 0,05Х(1 —X), от угла атаки. Зависимости су(а), су(а), тг(а) и т2(а) являются линейными, причем су =2со820о, /и“ =4/3. Деформация поверхности оказывает влияние не на

указанные производные, а на значения подъемной силы и момента тангажа при нулевом угле атаки. Для рассматриваемого тела Ах(1) = 0, а А[(1) с0, поэтому Асу и Д?иг положительны. Существуют области значений угла атаки, в которых коэффициенты су и с*, а также тг и тг противоположны по знаку. Не прибегая к выражению для коэффициента момента крена, можно заключить, что для этого тела, обладающего симметрией относительно плоскости Оху, тх0=0. Однако гармоника первого порядка приводит к возникновению положительных производных:

1

/

т?=4єи0ІХАі(Х)сіХ = ^

Рис. 3. Зависимость подъемной силы от угла атаки для тела, полученного наложением на круговой конус с 0О = 20° первой гармоники вида хА1(Х) =

= 0,05А'(1-ЛГ):

-------- —расчет по ТТУС; —--- —расчет по ТН

Рис. 4. Зависимость момента тангажа от угла атаки для тела, полученного наложением на круговой конус с 0О =20° первой гармоники вида ъ41 (X) = = 0,05^(1 - X) (обозначения те же, что на рис. 3)

Таким образом ТТУС предсказывает более быстрый рост коэффициента момента крейа с увеличением угла скольжения. Отличным от нуля значением коэффициента тх0 обладают тела более сложной формы, с богатым спектром возмущения поверхности. При этом высшие моды деформации оказывают влияние лишь на значения тх0 и т*х0, а производные тх, т*ха, т%, определяются только первыми гармониками.

А -А

Рис. 5. Общий вид тела с надстройкой

Одной из главных целей данной работы являлось создание высокоточного и удобного в использовании метода инженерных расчетов. Поэтому особый интерес представляют результаты расчетов аэродинамических характеристик тел, имеющих форму, близкую к реальным летательным аппаратам. В качестве подобного тела было выбрано тело с надстройкой (рис. 5). Возмущение поверхности такого типа может имитировать фонарь кабины, гондолу двигателя, выступающий за пределы основного корпуса обтекатель антенны радиоэлектронного оборудования и т. п. Проведенные расчеты показали, что использование ТТУС дает значения аэродинамических коэффициентов, которые отличаются от полученных исходя из ТЫ не только по величине, но и по знаку. Кроме того, нашло подтверждение такое важное достоинство изложенного метода, как учет явления интерференции, так как только интерференцией основного корпуса и надстройки можно объяснить резкие изменения аэродинамических характеристик при варьировании геометрических параметров. Для математического описания такого возмущения поверхности была выбрана функция:

8л,и,1(Х,Ф) = 5зт3

1е(«,Л-/)П(^1), Фе(-я, л).

Входящие в выражение для функции формы тела параметры имеют следующий смысл: 5 — максимальная величина отклонения поверхности от базового конуса в положительном направлении координаты г; я — координата X крайней передней точки области возмущения поверхности; / — протяженность возмущенной области вдоль оси ОХ.

Наиболее простой — линейный — вид имеют зависимости аэродинамических характеристик от параметра 5. Был проведен расчет при значениях параметров 5 = 0,6 и / = 1,0; 0,6. Такой выбор параметров обеспечивает одинаковые значения А$(1) и 40) и равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку значения А^(1) и А{(1). Расчет по ТН дает для обеих кон-

Ф Ф ФЙ ФХ

фигураций отрицательные значения как су, так и т2. Различие производных с° и т° обусловлено различием в величине

1

\А(Х)с1Х.

о

Расчет по ТТУС дает иной результат. При / = 0,6 (40) <0) значения су и т2 положительны, а при I = 1,0 (4(1) > 0) — отрицательны. Расчет, основанный на ТН, для обоих тел дает

положительное значение сх. ТТУС дает несколько большее значение сх(8 = 0) и положительный угол наклона графика только для случая / = 1,0.

ехр(-20Ф2),

Рис. 6. Зависимость лобового сопротивления тела с надстройкой от ее местоположения (параметра 5) (обозначения те же, что на рис. 3)

Рис. 7. Зависимость подъемной силы, действующей на тело с надстройкой, от ее местоположения (параметра я) (обозначения те же, что на рис. 3)

На рис. 6 — 8 приведены зависимости аэродинамических характеристик от параметра 5 для случаев 8 = 0,07, / = 0,4; 0,7 . Значения су и су остаются постоянными до того момента, когда

область возмущения поверхности достигает кормового среза ( 5 = 1 - /). После этого значение с*

уменьшается, достигает своего минимума вблизи точки з = 1-//2 и далее возрастает до нуля. Напротив, расчет по ТТУС дает рост значения коэффициента подъемной силы, начиная с точки

5 = 1-/. После этого производная су еще дважды меняет свой знак, и в точке 5 = 1 значение су обращается в ноль. Можно сказать, что значение с* отслеживает поведение А1 (1), а су — А{(1).

Рис. 8. Зависимость момента тангажа, действующего на тело с надстройкой, от ее местоположения (параметра $) (обозначения те же, что на рис. 3)

Участки роста су совпадают с участками падения сх и наоборот, так как одни и те же геометрические характеристики оказывают противоположное влияние на волновое сопротивление и подъемную силу. В случае I = 0,4 резкие изменения значений аэродинамических характеристик происходят при несколько больших значениях параметра 5, чем при / = 0,7 , и выражены более ярко.

Авторы выражают благодарность В. Н. Голубкину за полезное обсуждение работы и ценные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 95-01-01070).

ЛИТЕРАТУРА

1. Постнов Д. С., Щедрин А. И. Асимптотическая теория гиперзвукового обтекания пространственных заостренных тел // Ученые записки ЦАГИ.— 2002. Т. XXXIII,

№ 1—2.

2. Голубкин В. Н. О центробежных силах на тонком крыле в гиперзвуковом полете при больших углах атаки // Ученые записки ЦАГИ.— 1978. Т. IX, № 4.

3. Голубкин В.Н. Проблемы трансатмосферного полета в гиперзвуковой теории крыла. Аэродинамика воздушно-космических систем/Сб. докладов ежегодной научной Шко-лы-семинара ЦАГИ «Механика жидкости и газа». — ЦАГИ. — 1992.

4. Голубкин В. Н. О влиянии скольжения на аэродинамические характеристики крыла при гиперзвуковых скоростях//Изв. АН СССР, МЖГ. — 1978, № 2.

Рукопись поступила 24/1112000 г.