Аэродинамические характеристики круговых конусов под углом атаки при сверхзвуковых скоростях на режиме вязко-невязкого взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXX “ ‘ 199 9 Г~

№3—4

УДК 533.6.11.5/.55: 532.582.3

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРУГОВЫХ КОНУСОВ ПОД УГЛОМ АТАКИ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ НА РЕЖИМЕ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

С. Д. Животов, В. С. Николаев, В. П. Провоторов

На основе систематических численных расчетов осесимметричного обтекания кругового конуса сверхзвуковым потоком двухатомного газа в широком диапазоне полууглов раствора конуса от 1 до 40° и чисел Маха от 2 до 100 получены аппроксимационные формулы для определения угла скачка уплотнения и отношения давлений на теле и на скачке. В рамках метода касательных конусов проведены расчеты аэродинамических характеристик конусов под углами атаки, не превышающими полуугол раствора, на режиме слабого вязко-невязкого взаимодействия. Влияние вязкости учитывалось как в виде силы трения, так и через дополнительное давление, индуцированное ламинарным пограничным слоем. .....

Для приближенных расчетов аэродинамических характеристик тел вращения при сверхзвуковых скоростях весьма эффективен метод касательных конусов [1]. Согласно этому методу параметры потока около элемента поверхности тела принимаются совпадающими с соответствующими параметрами на круговом конусе под нулевым углом атаки при том же числе Маха набегающего потока и при полуугле раствора конуса, равном местному углу атаки элемента поверхности. Для разного рода прикладных исследований важно иметь аналитические представления для параметров потока около эквивалентных конусов, чтобы не решать для каждого элемента поверхности краевую задачу. В работе [2] для коэффициента давления на конусе получена аппроксимационная формула, однако ее точность недостаточна при малых полууглах раствора. К тому же в литературе [3]— [5] наблюдается известный дефицит расчетных данных при малых и очень малых углах раствора конуса.

Целью настоящей работы было получение наиболее полного банка данных по параметрам потока около круговых конусов в максимально ши-

роком диапазоне чисел Маха и углов раствора конуса для двухатомного газа и разработка на этой основе достаточно точных и простых аппроксима-ционных соотношений, удобных для использования в расчетах аэродинамических характеристик тел типа снаряда. Другой задачей настоящего исследования явилось получение данных по несущим свойствам и момент-ным характеристикам конусов под углами атаки как в случае невязкого обтекания, так и на режиме слабого взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким возмущенным потоком.

1. Аппроксимационные формулы для локальных параметров потока около кругового конуса. Расчет осесимметричного обтекания кругового конуса сверхзвуковым потоком совершенного газа сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [1]:

= V, = {(2м + Vй£(р)а2 - ш2 } /(о2 -а1),

аф '

где и, и — составляющие скорости в полярной системе координат г, ф, а скорость звука а выражается с помощью интеграла Бернулли через и, V. Если течение между скачком и телом полностью сверхзвуковое, то течение около конуса сохраняет конический характер и в случае конуса конечной длины. При заданных числе М набегающего потока Мда и полуугле раствора конуса 0 угол скачка Р заранее неизвестен, и краевая задача решается методом итераций.

Получение достаточно точных аппроксимационных соотношений для параметров потока около конуса связано с анализом большого объема расчетных данных. В настоящей работе получены подробные данные по осесимметричному обтеканию потоком двухатомного газа конусов с полууг-лом раствора 0 > 1° вплоть до углов, близких к углам отсоединения потока и углам, когда нарушается сверхзвуковой характер течения в возмущенной зоне. Рассматривался диапазон чисел Мж > 2. Определенные трудности при решении краевой задачи возникли в случае малых углов 0 = 1-3° и чисел Маха Мж =2-3, когда угол скачка (3 близок углу Маха и мало чувствителен к изменениям угла 0. В этом диапазоне параметров 0, Мж использовался режим расчетов с двойной точностью.

После определения угла скачка Р по значениям и, V, а при ф = 0 и ф = Р, пользуясь условиями на скачке для давления и плотности и условием изоэнтропичности течения, между скачком и телом, можно найти все параметры потока на поверхности конуса: коэффициент давления, число М и скоростной напор, число Яе, подсчитанное по параметрам потока на поверхности.

Для полного газодинамического расчета параметров на теле, а значит, на внешней границе пограничного слоя достаточно знать зависимость двух газодинамических параметров от двух определяющих: числа Маха набегающего потока М^ и угла 0. Остальные параметры можно определить, пользуясь интегралом Бернулли и условием изоэнтропичности тече-

ния между скачком и телом. Для приближенного расчета пограничного слоя на теле типа снаряда под углом атаки в рамках методу касательных конусов следует иметь аналитические представления для всех необходимых параметров, так как у каждого элемента поверхности тела свой местный угол атаки и пользоваться табличными данными затруднительно. Анализ всего полученного в работе расчетного банка данных позволил установить, что удобными для конструирования аппроксимационных формул параметрами являются параметр скачка Ks - Мда sin р и параметр поджатая потока между скачком и телом рс]ps, где р — давление, а индексы с и s относятся соответственно к конусу и скачку.

Численная расчетная зависимость величины Ks от параметра подобия К - Мда sin0 оказывается практически универсальной во всем рассмотренном диапазоне углов 0 и чисел . Лишь при больших углах 0 при наименьшем из рассмотренных чисел Мда = 2 наблюдается отход зависимости Ks - KS(K) от универсальной. В настоящей работе получена достаточно простая аппроксимационная формула для зависимости Ks = KS(K):

KS=(\,\9K2 + lf2-0,3K2/(l + l6K4). (1)

На рис. 1 эта зависимость приведена сплошной кривой, а расчетные данные при разных числах Ма отмечены точками. В случае небольших сверхзвуковых чисел М (2 < Мж < 3) в правую часть (1) вводится дополнительное слагаемое, что отражено на рис. 1 штриховой линией:

^i = (i,i9is:2 + i)1,/2-0,3is:2/(i + i6^)+0,035id(3-MOC)). (la)

При К > 2 имеет место практически «идеальная» по Мж универсальность Ks = КS(K) и «идеальная» аппроксимация формулой (1) расчетных данных.

Анализ зависимости параметра поджатая Pci Ps от Угла Q показал, что она носит немонотонный характер и достигает наибольшего значения при некотором промежуточном значении 0 = 0opt, зависящем

от числа Мю. Интересно отметить, что величина

этого максимума практически одинакова во всем исследованном диапазоне чисел Мда>2, а именно: (pc/ps) =1,22.

Положение этого максимума достигается при значениях параметра подобия К= - Мда sin0 = £opt, зависящих от числа Мж, но меняющихся в достаточно узком диапазоне. Величина

К,

opt

несколько воз-

растает с увеличением числа Мд,: при

М00=2 значение АГор1 = 0,525, а при М00 = 16 оно равно 0,576. Зависимость Кор{ = неплохо аппроксимируется формулой

^oPt КО.бЗМ*, +9,2)/(Me + 18).

(2)

Интересно также отметить, что при увеличении К величина рс/р$ стремится к некоторому асимптотическому значению, причем практически одинаковому для всех чисел М, а именно к {рс/р!)со = 1,05. Зависимость Рс/Ри от К/Корг носит вполне универсальный характер во всем исследованном диапазоне чисел М^,, что видно на рис. 2, где расчетные данные при разных числах Мда нанесены точками. В настоящей работе для зависимости рс/р3 от К/Кор{ получена аппроксимационная формула, расчеты по которой представлены сплошной кривой на рис. 2:

1 + 0,442(к/Кор{)1’5 + \,357(К/К0р<)3

Рс_

Ps

\ + \,292{kIK0J

(3)

Формулы (1) — (3) обеспечивают весьма высокую точность аппроксимаций, вполне приемлемую для прикладных исследований. Погрешность этих формул не превышает 1%, в итоге суммарная относительная погрешность расчета газодинамических величин не превышает 2%.

2. Аэродинамические характеристики конуса под углом атаки. Рассмотрим обтекание кругового конуса под углом атаки а, не превышающим полуугол раствора 6, т. е. вся боковая поверхность конуса считается наветренной. На режиме слабого вязко-невязкого взаимодействия влияние вязкости на аэродинамические характеристики тел учитывается

в виде малых поправок, обусловленных поверхностным трением и добавочным давлением, индуцированным вытесняющим эффектом пограничного слоя [6], [2]. Пограничный слой предполагаем ламинарным. Примем гипотезу локальности, в соответствии с которой локальные аэродинамические характеристики определяются лишь местным углом атаки и местным числом Рейнольдса.

Параметры потока на внешней границе пограничного слоя определим приближенно по методу касательных конусов, в соответствии с которым полуугол раствора эквивалентного конуса приравнивается местному углу атаки. Направление скорости при этом соответствует ньютоновской модели обтекания — полностью теряется нормальная к поверхности составляющая вектора скорости невозмущенного потока. Однако касательная составляющая в отличие от схемы Ньютона не сохраняется, а находится из расчета обтекания эквивалентного конуса. В невязком приближении предыстория потока не влияет на давление, а при учете вязких эффектов входит лишь через приближенно определяемую длину линии тока на теле. В случае острого конуса все линии тока при 0 + а < л/2 и присоединенном скачке начинаются в его вершине, а направление линии тока в каждой точке соответствует ньютоновской схеме, такое же направление имеет вектор касательной силы трения.

Примем цилиндрическую, связанную с конусом систему координат (л, г, у), причем \|/ = 0 соответствует нижней линии растекания. Единичные векторы внутренней нормали Я и скорости невозмущенного набегающего потока V в этой системе равны

Так как а < 0, то зіпае > 0 на всей боковой поверхности. Единичный вектор Ї , показывающий направление линии тока на теле и направление силы поверхностного трения,

Я = (зіп0,-сое©, 0), 5 = (соза,-этасозу, Бтаэту). (4)

Синус местного угла атаки ае равен скалярному произведению векторов п

и 5: '

втае =5Іп0со8а + со508Іпасо8\(/.

(5)

1

і —

X

(6)

Уравнения линии тока имеют вид

<3х сіг _ гдщ

где 5 — длина дуги линии тока, отсчитываемая от вершины конуса, угол у меняется от 0 до 7с. Деля второе уравнение на третье, получаем

с1г

г

сЛ|/.

Интегрируя это уравнение, получаем

г = -

*?)

этОсовОс^а

(вту)

с=

¥о

всю 6 ОД а '

Здесь конечные координаты линии тока в цилиндрической системе (л:, г, у) равны (х, д^0, \|/0), а начальные равны (0, 0, 0). Длину линии тока находим с помощью квадратуры, используя полученную зависимость г =КиО из третьего уравнения для линии тока:

\зт20

5=-

;^0(зт\|/о)3

зт0сс«9с1$а

¥о

<1

^-(этОсоза + со80зтасо8\|/)2

(7)

*Л|/

8та8т\|/(зт\|/)

вт2 0

Особенность при \|/ = 0 является интегрируемой, так как 0 + а < тс/2, иначе линия тока не начинается в вершине конуса.

Коэффициенты трения и индуцированного давления определим по формулам [2]:

с/ =

Ьзл1Рс/Р°о (цс/Дх,)3/>2{То/Тху!2уЗ _

ср1=-

б6(«с/^)3/2(^'Л)т/2

/

д/Квоо^л/З \JPclP'.

Арс1р«)

аК

(8)

Здесь = Роэ г/да.?/[Л. да — число Яе, подсчитанное по плотности, скорости

и коэффициенту вязкости набегающего потока и длине линии тока (7), т — показатель степени в степенной зависимости ц~ Тт, коэффициенты 63, £>6 определяются автомодельными решениями уравнений пограничного слоя и зависят от показателя т и температурного фактора = ТН,/Т0 — отношения температуры поверхности к температуре торможения набегающего потока [2]. Значения давления рс и скорости ис на теле находятся по методике п. 1 настоящей статьи.

3. Результаты расчетов. Погрешность приближенного определения аэродинамических характеристик тел методом касательных конусов нельзя оценить заранее по порядку некоторого малого параметра. Эта погрешность, особенно для несущих свойств тел под углом атаки, может быть определена лишь сравнениями с численными решениями системы уравнений Эйлера. В отличие от продольной силы, когда погрешность интегральных характеристик всегда меньше максимальной относительной погрешности локальных, для нормальной силы это соотношение может быть обратным. На рис. 3 сплошными линиями представлены полученные зависимости 2рс/рооИ« от угла \\1 при числах М „о = 3 и 7 и для двух вариантов углов 0 и а: а) 0 = 15°, а = 5°; б) 0 = 20°, а = 15°. Для сравнения штриховыми линиями представлены данные работы [5]. Аналогичные сравнения для интегральных характеристик: коэффициентов продольной силы сх и нормальной силы су — представлены на рис. 4, 5. Эти коэффициенты при обработке данных отнесены к скоростному напору набегающего потока р^и^/2 и площади миделевого сечения конуса.

Сравнения с данными расчетов [5] показывают, что погрешность метода касательных конусов, оставаясь весьма малой при малых углах а, возрастает с увеличением угла атаки и при а >0/2 для сх достигает 8%, а для су даже несколько превышает 10%. Некоторые примеры расчетов аэродинамических характеристик конусов с учетом вязких эффектов пред-

2Рс! Р~“.

12° а

ставлены на рис. 6, 7. Расчеты проводились при различных числах Re. Re^ =j?00«00Z/p:00, где L — длина конуса при показателе т- 0,67, температурном факторе tw = 0,2, числе М.» = 10 и полуугле раствора конуса 0 = 16°, невязкому обтеканию здесь соответствует Re^ = 00. На рис. 6 представлена зависимость от а аэродинамического качества сУа jcXa . Заметно уменьшение максимального аэродинамического качества при уменьшении числа Re^, а также тенденция увеличения угла атаки, соответствующего максимальному качеству.

На рис. 7 представлена зависимость коэффициента момента тангажа mz от угла атаки. Момент рассчитывался относительно положения центра масс в точке с безразмерными координатами x/L = 0,66, y/L = -0,08, а коэффициент момента при обработке относился к скоростному напору набегающего потока, площади миде-левого сечения и длине конуса. Заметно увеличение балансировочного угла атаки при уменьшении числа Re^. Сопоставление с данными рис. 6 показывает, что с уменьшением числа Re^ уменьшается не только максимальное, но и балансировочное аэродинамическое качество, соответствующее = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ч е р н ы й Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.—

М.: Физматгиз.— 1959.

2. Александров В. Ю., Г а л к и н В. С., Нерсесов Г. Г., Н ик о л а е в В. С. Приближенный метод аэродинамического расчета летательных аппаратов при больших сверхзвуковых скоростях полета//Труды ЦАГИ.—

1990. Вып. 2492.

3. Equation, Tables and Charts for Compressible Flow//NACA Report 1135.— 1953.

4. Кибардин Ю. А., Кузнецов С. И., Любимов А. Н., Шумя ц и й Б. Я. Атлас газодинамических функций при больших скоростях и высоких температурах воздушного потока.— М.— Л.: Г ос. энерг. изд.— 1961.

5. Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом.— М.: Наука.— 1964.

6. Хейз У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд-во иностр. лит-ры.— 1962.

Рукопись поступила!3/11998 г.