Аэродинамические характеристики эллиптической передней кромки при больших сверхзвуковых скоростях Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XXIV 1993

№ 1

УДК 629.735.33.015.3 : 533.6.011.6

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ ПРИ БОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ скоростях

В. В. Келдыш

Исследуется влияние формы цилиндрической стреловидной передней кромки с эллиптическим поперечным сечением при различной ориентации его осей на действующие на нее аэродинамические силы при больших сверхзвуковых скоростях и различных углах атаки. Давление на поверхности кромки определяется по модифицированной формуле Ньютона.

Показано, что когда на заданном режиме обтекания критическая точка расположена на конце малой оси полуэллипса поперечного сечения кромки сопротивление и толщина у нее меньше, чем у полукруглого цилиндра, радиус которого равен радиусу кривизны в критической точке эллиптической кромки, и тепловые потоки вблизи этой точки у них должны быть приблизительно однаковые. При одинаковой толщине сопротивление и радиус кривизны в критической точке у эллиптической кромки больше, а максимальные тепловые потоки меньше, чем у полукруглого цилиндра [1].

При больших сверхзвуковых скоростях полета для уменьшения тепловых потоков на поверхности летательных аппаратов приходится обычно затуплять передние кромки. При этом их волновое сопротивление может быть сравнимо с сопротивлением остальной части поверхности [2]. В [1] показано, что форма затупления оказывает существенное влияние на величину и распределение на поверхности тепловых потоков. Температура поверхности обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса кривизны. Поэтому величина радиуса кривизны в критической точке кромки выбирается обычно из условия допустимой температуры поверхности, а сама кромка — цилиндрическая.

Аэродинамическое совершенство сверхзвуковых аппаратов связано с уменьшением их относительной толщины и, следовательно, радиусов кривизны затупленных кромок. В связи с этим представляет практический интерес исследование влиния формы поперечного сечения передней кромки, а также ее толщины и радиуса кривизны в окрестности критической точки на действующие на нее аэродинамические силы на различных режимах обтекания.

Избыточное давление на поверхности затупленной кромки определим по модифицированной формуле Ньютона:

где р — статическое давление в текущей точке поверхности, Рог, <7»о = -^М*р,х—статическое давление, скоростной напор и число

М невозмущенного потока соответственно, х — отношение удельных теплоемкостей среды, 6 — 60 — угол между текущей нормалью к поверхности и составляющей скорости невозмущенного потока

в поперечном сечении кромки, СрОп — Ро" ^ —коэффициент дав-

9оо

ления в критической точке скользящего цилиндра, где составляющая скорости в его поперечном сечении обращается в ноль, роп—давление в критической точке.

Относительное давление на наветренной поверхности кромки получим из формулы (1):

Е- — со 5г(6-Рпп

Э0)4-~*шг(6

Роп

во).

(2)

Когда составляющая скорости невозмущенного потока в поперечном сечении кромки сверхзвуковая (М„>1), она обтекается со скачком уплотнения, расположенным в ее непосредственной окрестности, и из формулы Рэлея следует [3, 4]:

» + 1 *- 1

1\~

27. М

2 1 хМ2„

* в (3)

Роп

х + 1

х —~Т ( X — 1

У. —

2М

1 _1_ м V

(4)

На теневой (подветренной) поверхности кромки предполагается, как обычно, р = рпс-

В общем случае, когда контур поперечного сечения кромки в декартовой системе осей координат задан зависимостью # = /(*), имеющей непрерывную производную, 0 = агс1е (_£(£|и 0о — угол наклона

\ Лу)

относительно оси х текущей нормали и контуру и составляющей скорости невозмущенного потока в поперечном сечении соответственно.

В точках х,-, у,-, расположенных на границах наветренной части поверхности контура, касательная к нему параллельна составляющей скорости невозмущенного потока в поперечном сечении, и соответствующие им углы 8* определяются из соотношения:

0/ 0О

-1, 1=1,2.

(5)

Крайние точки контура затупления Хи и Хг, г/г обычно являются нижней или верхней границами его наветренной и подветренной частей соответственно, и тогда соотношение (5) может не выполняться в точках х\ = х1, у* = у;.

Коэффициенты аэродинамических сил, действующих на единицу длины цилиндрической поверхности передней кромки, в долях скоростного напора невозмущенного потока определяются в декартовых осях координат в ее поперечном сечении по формулам:

— *

V, _

с* = сроп 1cos2 (6 - Qo)cos 6 VTTWv dy - 2'(у*м,~ ; (6)

f *

У\

— *

y2 _ _

су= °pon Jcos2 (° —6")sin 0 V 1 + tg5"i dy + ; (7)

•vi

знаки тригонометрических функций взяты в соответствии с внутренней нормалью к контуру, y = y/b, x — x/b, b — некоторая характерная длина в поперечном сечении, к которой отнесены аэродинамические силы.

При переходе к поточным декартовым осям координат Ха, у a, Za определим, что плоскость, относительно которой отсчитывается угол атаки летательного аппарата а, параллельна образующей передней кромки (оси z в связанной с поперечным сечением кромки декартовой

системе осей координат х, у, г). В этой плоскости расположим поточ-

ную ось га. Угол между осями z и za назовем углом стреловидности кромки у. Для крыла это соответствует обычному определению углов стреловидности его кромок. Ось х в поперечном сечении кромки возьмем вдоль линии его пересечения с плоскостью осей z и za. В перпендикулярной к ней плоскости расположены поточные оси ха и уа и ось у поперечного сечения, составляющая с осью уа угол а.

Тогда число М„ составляющей скорости невозмущенного потока в поперечном сечении и угол ее с осью х—0о связаны с углом стреловидности кромки у и углом атаки летательного аппарата зависимостью:

^ = Vsb-a -f cos2a cos3 у = cos уэфф; (8)

0O = —arctg(tgа/cosx)= - ая, (9)

где ХэФФ — эффективный угол стреловидности, дополнительный к углу между вектором скорости невозмущенного потока в пространстве и образующей передней кромки.

В поточной системе осей координат коэффициенты аэродинамической силы кромки преобразуются к виду:

1Г = {[3 (yl —yt)tg2 + (х\ — х\) tg3 л„ +

+ (1 - з tg2 otj /, + (3 - tg2 ап) tg ап I2] COS3 !ХЛ -f

+ [(*7—^)sina„ -f (v2 — yt)cosan]jcos3x^; (10)

-gf = {{(y* - yi) (2 — tg2 COS2 /) tg a„ + (X2 - x'l) tg2 a„ -— [2 + (1 — tg* a„) COS2 yj tg a„ /t + [1 — (1 -f 2cos2/)tg2aJ/2) C0S2a„-f + [x2 — *i - (y2 — y,) tg a„ cos2 x] J cos a COS’ Хэфф! (П)

Интегралы /1 и /2 зависят от формы контуров поперечных сечений и угла ап.

Из формул (8) — (13) следует, что при одинаковых углах атаки летательного аппарата а и стреловидности передних кромок % с различной формой поперечных сечений отношение их коэффициентов волнового сопротивления и боковых сил зависит помимо геометрических параметров сечений еще от двух величин ап и хМд. Отношение коэффициентов подъемных сил зависит еще от одной величины % или а.

В [2] и [4] рассмотрена затупленная передняя кромка, являющаяся половиной круглого цилиндра. Показано большое влияние на ее аэродинамические характеристики углов атаки а и стреловидности %. Далее рассматривается эллиптическая передняя кромка, контур поперечного сечения которой является половиной дуги эллипса с отношении полуосей 0<х = а/Ь<£оо.

Когда оси эллипса совмещены с определенными выше осями координат х, у, толщина кромки равна его вертикальной оси А = Ь (рис. 1).

Формула (2) для относительного давления на поверхности кромки преобразуется к виду:

На рис. 1 показано распределение давления по контуру эллиптической кромки на угле атаки а = 0 при числах М„ = 4 и оо (или 20) и значениях параметра т = 0,4; 1,0 и 2,0, вычисленное по формуле (16) (штриховые линии) и полученное в результате численного решения уравнений Эйлера [5] и [6] (сплошные линии).

Наилучшее соответствие между результатами расчетов обоих методов имеет место для полукруглого цилиндра (т=1). При числе Ми = 4 расхождение в величине определенного по ним коэффициента сопротивления составляет —2,5 о/о. При т = 0,4 это расхождение достигает ~4%, при т = 2,0—13%. По сравнению с результатами, полученными по уравнениям Эйлера, расчет по формуле Ньютона завышает величину относительного давления и волнового сопротивления при т<1 и занижает их при т> 1.

По обоим методам расчета величина относительного давления при т = 0,4, а = 0 практически не различается в диапазоне чисел Мп = 4—оо в масштабе, принятом на рис. 1. С увеличением параметра т влияние числа Ми увеличивается. Из формулы (16) это непосредственно следует для небольших углов атаки. В окрестности угла а = п/2 влияние числа М„ уменьшается с ростом т.

Для эллиптической передней кромки интегралы Л И /2, входящие в формулы для аэродинамических характеристик (10) — (13), берутся в конечном виде, и после некоторых преобразований получим:

Полагая у = -^, х = у , получим:

(14)

у* = _у, =— 1, у2—\, х* = хі = Х2 = 0.

— *

(15)

Роп 1+(т2— 1)у2

Р

(16)

- сое2 х + -у—.'8 - [(2 + соэ2X — tg2 ап соэ2х) <3 +

г I 1 — т I

V] 1 —С*|

X а„ + (1 — tg2 «„) (?]} — йп х СОЭ2 Хэфф-

Когда х < 1:

(2 = 1п когда х > 1:

Л = аг^(уГ

‘-+/т!Г'т2 (/г+*!ёч + ут=#)со5«„

/? = 1п (|/1 + х2 tgг а„ соэ а„ + Ух2 — 1 в1п а„);

<2 = arctg У ! + агс^ — 1 •

(19)

(20) (21)

(22)

(23)

В некоторых случаях формулы (17) — (19) заметно упрощаются. Когда ап = 0, су =0, сг = — сх tgx, при х< 1: 7

ас

у а

а*

I — хМ У I — Т2 2В

1п

1 + V 1 — х3 '

+

*м2в

соэ3 х; (24)

I - Т2

2т2-{- сое2 х

-12

Х1п

1 + V1 — х2

/1-х» 4 сое2

(2 + соз2х)Х

.мГГ°,х'

(25)

при х > 1:

сг

В

Т2

Т* ~~ 1 \ /х2 - 1

агс(ё ^/"х2 — 1 - 1 )|+ сое3 х; (26)

4су„ < 2 в

с1а 1x2

2х3 + СОЭ2 х —

Кх2 — 1

(2 4- соэ2 х) X

X аг^ ]/хг -г- 1

4 сое2 х

*м;

(27)

В предельном случае ап = ^ , когда а == у И Суа=£га^Х или

В ] _ Т2 ^ у 1 — X2

агс{§

VI -т*

л

1 — -=а V /1-х2 ^

1

— т| з1п3 а; (28)

51 п х в1п8 а, (29)

при х> 1:

В

т----------—1----1п (х + Vг2 — 1)] віп3 а;

]/ та — 1

(30)

эт х єіп2 а.

(31)

Для полукруглого цилиндра (•:= 1):

(32)

(33)

(34)

при а = 0:

Когда параметр т = а/Ь неограниченно возрастает, задача имеет физический смысл при толщине передней кромки, стремящейся к нулю (6—►О) и конечной величине горизонтальной полуоси а, которую в этом случае следует взять в качестве характерного размера при определении аэродинамических коэффициентов. Тогда формулы (17) — (19) перейдут в известные выражения для плоской пластины при больших сверхзвуковых скоростях:

Далее приводятся численные результаты для предельного случая Мп = оо. Выше показано, что при этом величина аэродинамических характеристик затупленных кромок незначительно отличается от соответствующих конечным значениям числа М„, особенно, когда параметр т<1.

На рис. 2 показано отношение волнового сопротивления передних кромок с эллиптическим (хф\) и полукруглым (т=1) поперечным сечением при одинаковой толщине (Ь = Я = к), углах атаки а и стреловидности кромки х в зависимости от параметров ап и т, определенное с использованием формулы Ньютона:

Кружками приведены соответствующие значения, полученные по уравнениям Эйлера для ап = 0, т = 0,4 и 2,0. При угле атаки а = 0 коэффициент волнового сопротивления эллиптической кромки уменьшается с ростом параметра т. При значении параметра а„»30° величина его практически не зависит от отношения полуосей контура поперечного сечения в диапазоне его изменения 0<т<2.

Когда горизонтальная полуось меньше вертикальной (т<1) и ап<30°, коэффициент сопротивления кромки растет с уменьшением параметров ап и т. При ап>30°, т<1 сопротивление эллиптической

с = В вІП3 а == а.

и уа ° •

С*а = Сха^ *)1С*а(ап>

Рис. 2

кромки меньше, чем у полукруглого цилиндра. С ростом угла ап и уменьшением параметра т оно уменьшается.

Когда горизонтальная полуось больше вертикальной (т>1), при углах ап>30° сопротивление эллиптической кромки больше, чем у полукруглого цилиндра. С ростом параметров ап и т различие между ними увеличивается. В диапазоне углов 0<ап<30° каждому значению ап соответствует минимальная величина сопротивления при некотором т, которая меньше, чем у полукруглого цилиндра.

На рис. 2, а показаны границы, разделяющие области значений углов атаки крыла а и стреловидности кромки %, где сопротивление эллиптических кромок с различным отношением полуосей т меньше и больше, чем у полукруглого цилиндра с такой же толщиной. Форма кромки оказывает сравнительно небольшое влияние на границы этих областей. С ростом угла стреловидности они сближаются.

Отношение коэффициентов боковой силы эллиптической кромки и полукруглого цилиндра качественно такое же, как отношение их значений сопротивления.

На рис. 3 показана производная с® = при а = 0 в зависимости от угла стреловидности эллиптической кромки % и отношения ее полуосей т. В отличие от плоского крыла, величина ее в общем случае не стремится к нулю, когда число М„->-оо, за исключением предельного случая х = л/2 и прямого полукруглого цилиндра (х = 0, т=1).

Когда горизонтальная полуось эллиптической кромки больше вертикальной (т> 1), Л —положительная величина. Когда горизонталь-

У а

ная полуось меньше вертикальной (т<1), у прямой кромки (х = 0)

Рис. 3

с« — отрицательная величина. При некотором значении угла стрело-У а.

видности %(т) она обращается в ноль и с дальнейшим его увеличением при %<п/2 становится положительной. С уменьшением параметра т область значений угла %, где при т<1 (0) >0, уменьшается, при-

уа

ближаясь в пределе к нулю.

При одинаковой толщине эллиптической передней кромки и полукруглого цилиндра (Ь = Д) радиусы кривизны в критических точках 0 = =—ап у них одинаковые = ^ только на одном режиме обтекания,

когда угол ап определяется зависимостью:

а = агс!е —р=!_____ (36)

%1+т2'3

В этом случае следует полагать, что максимальная температура поверхности в окрестности критической точки у них тоже приблизительно одинаковая. Когда т<0,67, соответствующее значение аге<30° и коэффициент сопротивления эллиптической передней кромки больше, чем у полукруглого цилиндра (рис. 2). Различие между ними растет с уменьшением отношения полуосей т. Когда 0,67<т<1,35°>ап>30°, сопротивление эллиптической кромки меньше, чем у полукруглого цилиндра в пределах ~1—1,5%. С дальнейшим увеличением параметра т>1 коэффициент сопротивления эллиптической кромки заметно возрастает.

Максимальная температура поверхности передней кромки является основным фактором, определяющим степень ее затупления. Поэтому представляет интерес сравнение на различных режимах обтекания аэродинамических характеристик передних кромок различной формы при одинаковой стреловидности и радиусе кривизны в критической точке (Яя = Я). На рис. 4 показано отношение волнового сопротивления эллиптической кромки и полукруглого цилиндра при этом условии и соответствующее отношение их толщин в зависимости от параметров ап и т:

Ь

С*а Сха /?э віП а„ \2

1 + соэ2 ап

3/2

(37)

Когда горизонтальная полуось поперечного сечения эллиптической кромки меньше вертикальной т<1, в некоторой области значений углов ап в окрестности ап = 0 сопротивление у нее меньше, чем у полукруглого цилиндра (Сд-ц <^Г).С уменьшением угла цп при т = сопз1 различие между ними увеличивается. Когда горизонтальная полуось больше вертикальной т>1, сопротивление у эллиптической кромки меньше, чем у

Рис. 4

полукруглого цилиндра, в области значений углов ап в окрестности ап = (при больших углах стреловидности кромки % и или больших

углах атаки летательного аппарата а). С ростом параметра т различие между ними увеличивается. На режимах обтекания, соответствующих углам а„ = 25—60°, изменение формы эллиптической кромки не приводит к заметному уменьшению ее сопротивления по сравнению с полукруглым цилиндром. При одинаковых радиусах кривизны в критических точках у эллиптической кромки с меньшим волновым сопротивлением толщина меньше, чем у полукруглого цилиндра ( ^<^1). С уменьшением отношения их сопротивлений уменьшается и отношение их толщин.

На рис. 4, а приведены границы между областями значений углов атаки а и стреловидности в которых у эллиптической кромки сопротивление меньше и больше, чем у полукруглого цилиндра при одинаковых радиусах кривизны в критических точках. Штриховка вдоль кривых обращена в сторону, где сх > 1. Когда т<1, эта область расположена над соответствующей кривой т = сопэ1:, когда т>1 — под ней. Величина параметра т заметно влияет на границу между этими областями.

У цилиндрической эллиптической передней кромки максимальный радиус кривизны расположен на конце малой оси поперечного сечения

//?„= —х<1|. Поэтому целесообразно так ориентировать его оси от-

наиболее напряженном в тепловом отношении, критическая точка тоже находилась на конце малой оси [1]. Для этого в поперечном сечении кромки оси эллипса с отношением длин т< 1 надо повернуть по часовой стрелке на соответствующий угол ап относительно выбранных ранее осей координат х, у (рис. 5). При этом высота кромки равна:

В декартовых осях координат х', у', совпадающих с направлением осей эллипса в этом положении, аэродинамические силы, действующие на кромку, определяются по формулам (6, 7) при 0о=О,

В Поточных осях координат после некоторых преобразований получим:

носительно направления скорости полета, чтобы на режиме обтекания,

1г = Ь |/соб2 ап + т2 віл2 ап.

(38)

У2*= 1, У‘2= 1/КЇ + х2 tg,a„ = — = — у[ = у*.

(39)

(40)

4—«Ученые записки» № I

49

В пределе при а„ у :

В — т(1 — х=)

в)!!3 а

]Л _

С

"|/ 1 -— т3

4

—5— у эт2 а. (45)

В

X

Когда т=1 или а = 0, выражения (39) — (41) совпадают с полученным выше, а наклон зависимости сУи (а) при а = 0 определяется по формуле:

В пределе при Мп->-оо отношение производных Суа (0) эллиптической передней кромки с критической точкой на конце малой оси и полукруглого цилиндра с такой же стреловидностью равно отношению их сопротивлений:

В этом случае, как и у полукруглого стреловидного цилиндра, производная Суа (0) положительная. Максимальной величины она достигает при угле стреловидности % = 54,5°.

На рис. 5 и 6 приведено отношение сопротивлений такой эллиптической кромки и полукруглого цилиндра на расчетном режиме обтекания при одинаковой толщине—сХа(^ — К, рис. 5) и одинаковом радиусе

-г __ _ 1

кривизны в критических точках — сх ( /?а = Яа = — «=* -г- рис. 6) в зави-

о, ъ О

еимости от параметров ап и т.

При одинаковой толщине волновое сопротивление и радиус кривизны в критических точках у эллиптической кромки больше, а тепловые потоки в ее окрестности, полученные в эксперименте, меньше, чем у полукруглого цилиндра при том же значении угла ап [1]. С увеличением ап и уменьшением параметра т отношение их величин сопротивления растет.

(46)

(47)

Рис. 5

Рис. 6

При одинаковом радиусе кривизны в критических точках сопротивление и толщина у эллиптической кромки меньше, чем у полукруглого цилиндра. Отношение их определяется по формулам:

- Л

°ха /?

= х у сое2 ап -}- х2 вш2 ал.

(48)

В этом случае параметр ап слабо влияет на величину сх. Максимальное значение она достигает в окрестности угла ап = 75°, а сх (х, а„ = 0) = с'х (х, ап = . Отношение толщин кромок (рис. 6,6)

заметно уменьшается с ростом угла ап и уменьшением параметра х.

На рис. 7 в качестве примера приведены коэффициенты сопротивления и подъемной силы эллиптических передних кромок с критической точкой на конце малой оси поперечного сечения при отношении его по-

Рис. 7

луосей т = 0,5 в зависимости от угла атаки крыла а и угла стреловидности кромки х- Каждой паре значений а и % соответствуют различные кромки. Характер этих зависимостей качественно такой же, как у полукруглого цилиндра.

С увеличением угла стреловидности кромки коэффициент ее волнового сопротивления уменьшается приблизительно пропорционально cos3 Хафф (при а = 0—cos3x). При постоянном угле стреловидности на некотором угле атаки а коэффициент сопротивления достигает максимальной величины, которая с увеличением стреловидности уменьшается, а соответствующий ей угол атаки увеличивается от а = 0 при х = 0 до а = л/2 при х = я/2.

Коэффициент подъемной силы увеличивается с ростом угла атаки и угла стреловидности кромки до некоторой их величины. При постоянном угле стреловидности в окрестности нулевого угла атаки существует область значений а, где зависимостьс*а (а) практически линейная. Максимальные размеры этой области и максимальная величина коэффициента подъемной силы достигаются при угле стреловидности кромки Х = 54,5°, когда величина производной Су (0) наибольшая.

В окрестности угла атаки а = я/2 существует область его значений, где подъемная сила отрицательная. С уменьшением угла стреловидности эта область увеличивается и у прямой кромки (х = 0) су < 0, а при

г — я/2 — суа > о.

При больших углах стреловидности подъемная сила эллиптической кромки сравнима с ее сопротивлением. Когда % = 75°, т = 0,5, при углах атаки а = 4—38° подъемная сила у нее больше, чем волновое сопротив-

ление. Отношение их достигает максимальной величины

1. Смыгина Г. В., Юшин А. Я. О влиянии формы затупления передних кромок треугольного крыла на распределение коэффициента теплоотдачи по его поверхности//Изв. АН СССР, МЖГ. — 1990, № 5.

2. Николаев В. С. Аэродинамическое качество и балансировка крыла с затупленными кромками при гиперзвуковых скоростях//Ученые записки ЦАГИ. — 1987. Т. 18, № 2.

3. Зауэр Р. Введение в газовую динамику.—М.—Л.: ОГИЗ, 1947.

4. Келдыш В. В. Сопротивление стреловидной затупленной кромки

крыла при гиперзвуковых скоростях//Изд. АН СССР, Механика и машиностроение.— 1964, № 5. '

5. Г и л и н с к и й М. М., Лебедев М. Г. Расчет обтекания эллиптических цилиндров сверхзвуковым потоком совершенного газа//Изд. АН СССР, Механика. — 1965, № 3.

6. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. Ч. II.—М.: Наука, 1970.

= 1,74 на угле атаки а=15°.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 9/1У 1991 г.