CC BY
12
ИЗВЪСТІЯ
Томскаго Технологическаго Института
Императора Николая II. т. 11. 1908. № 3.
іи.
В. Л. Некрасовъ.
АДХЕРЕНЦШ И КОХЕРЕНЦІИ ЛИНЕЙНОЙ ТОЧЕЧНОЙ ОБЛАСТИ.
1-9.
АДХЕРЕНЦІИ и КОХЕРЕНЦІИ
ЛИНЕЙНОЙ ТОЧЕЧНОЙ ОБЛАСТИ.
1. Въ книгѣ „Строеніе и мѣра линейной точечной области“1), излагая ученіе G. Cantor'а объ адхеренціяхъ и кохеренціяхъ, я отмѣтилъ, что до сихъ поръ ото ученіе не привлекало ничьего вниманія; въ то время въ моихъ рукахъ не было т. XXXV „Quaterly Journal of Mathematics“, гдѣ помѣщена статья W. Н. Youmj а, посвященная этому вопросу2); въ ней авторъ сопоставляетъ ад- и кохеренціи съ производными областями и приводитъ рядъ примѣровъ, уясняющихъ эти довольно сложныя понятія.
Въ своемъ изложеніи авторъ не пользуется С'аюУо/овыми обозначеніями, что значительно усложняетъ дѣло; что-же касается до примѣровъ, то примѣненіе понятія о типахъ размѣщенія, какъ оно изложено во II главѣ моей книги, дастъ съ одной стороны—большее уясненіе строенія приводимыхъ авторомъ областей, и съ другой—доставляетъ возможность привести примѣры, болѣе убѣдительные, чѣмъ тѣ, которые были даны самимъ авторомъ. То и другое я и предполагаю сдѣлать въ настоящей замѣткѣ, и это тѣмъ интереснѣе для меня, что здѣсь я имѣю случай показать, какую простоту въ довольно сложные вопросы вноситъ пользованіе типами размѣщенія.
2. Произвольная, вообще говоря, незамкнутая область можетъ быть разложена на двѣ части
Е = Еа + Ев,
изъ которыхъ аОхеренц-ія Еа состоитъ изъ ея уединенныхъ точекъ, и въ кохеренцію Ес входятъ всѣ предѣльныя точки Е, находящіяся въ составѣ Е; отсюда непосредственно слѣдуетъ, что Ее является частью Е'
• -■ Ес — D (Е1). (1)
Аналогично, если Ее —не сгущенная область,
Ес = ЕС!< -Ь Есз,
') Извѣстія Томскаго Технологическаго Института. 1007 г., Лё 2—3, стр. 33,2‘і°.
г) См. также прекрасную книгу W. 11. и G. Ch. Young, которая печаталась одновременно съ моей работой и вышла немного раньше: Еездѣ ниже ялнітпрую по этой книгѣ.
гдѣ Ес> обнимаетъ тѣ предѣльныя точки Ес, которыя присутствуютъ въ Ес ; отсюда видно, что Eci = D(Ec); но, въ силу (1), EC~D (Е"); слѣдовательно
Е„, = D (Е").
Точно также и вообще, если
(2) Е„„ = Ее„„ + Е„, +-1 , Е„„ == D (Е'”І),
то
Ецн-н = D (Б;,) , ЕІ„= D (Е «+'>),
откуда вытекаетъ, что
(3) Ec«^i = D(E(n+1)).
Съ другой стороны, согласно опредѣленію и 2(2), получается (О Ел —D(EC») = D(E'*').
Такимъ образомъ можно утверждать, что 1)
„каждая кохеренція конечнаго порядка области Е входитъ въ составъ производной того-же порядка, и каждая адхеренція—въ составъ предъидуіцей производной
Изъ (4) слѣдуетъ, что любая адхеренція Е,.мл входитъ въ составъ соотвѣтствующей производной Ено это не исключаетъ для нея возможности имѣть общія точки съ Е^'+^ или даже входить въ нее цѣликомъ, какъ это мы сейчасъ увидимъ.
3. Для поясненія предъидущаго ІГ. Н. Yotmtj беретъ2) область интерваловъ типа ш3; если обозначить3)
Q(,,‘ —
I т... Г о
ja
іл/і
,Q(B =
IX-• I Г'.л
0'3) ~‘[х,
r'ijk I
то три области, разсматриваемыя авторомъ, будутъ
(5) G-Q(u,+Q(1,-K>l3),F„ Q<°>-j-Q(,) + Dw(Q(2))-f Ql8)fE=Q(°4-Q(ä,-rQ<8\
гдѣ Dw (Qu) обозначена нѣкоторая часть Q(i), состоящая изъ конечнаго числа п точекъ.
Очевидно, что всѣ производныя для G, F и Е будутъ однѣ и тѣ-же G' — F' = Е'=Ы + Q(,,-f </\ G" = F" — E"=k0}-j-Q(l),
С'"=Г"==Е"'=к0).
Ч ip.-Young, р. 58.
2) ill., р. і8 ех. 2.
s) Гр у меня—<:трч 1.5-12я, 8І°-82°.
A. Для первой изъ областей (5) мы имѣемъ
G,, = {*„) + 0“’, вс = {*„) + О"’; G„ - Ош, G,,= j*,] , при чемъ изъ сопоставленія Gt.„ и G" слѣдуетъ, что
G,,,_D(G").
B. Для области F
F,, = {*„-| + Q“’. F„ ^ іа*) + Q"’ + D„ (Q,äl);
FC„=:Q(1>+D„(QB), F„,— «
откуда ясно, что
D(Fm) = D(F").
C. Наконецъ для Е
К = Ы + 0Я, £„=)*,} + QB,; Е„, = Q12’, — (*,,),
и слѣдовательно 1)
D|E„,E"]=0.
D. Упоминаемая у И .11. Young'г. область Т„ есть область типа шп , и составъ получающихся изъ нея ад- и кохеренцій можетъ быть разобранъ аналогичнымъ образомъ.
Взявъ п = 2т и обозначивъ снова Q(ül и при г— 1,2,3,...,2мг, соотвѣтственно границы основного интервала и границы faro дѣленія, возьмемъ напр. область Е такого состава
Е Q(,,, fQ(2) + Q<4,4 ... +Q(2m),
т. е. исключимъ границы всѣхъ нечетныхъ дѣленій; тогда съ одной стороны
2т—1 2т—2
Е' = {*•„} + \ QW , Е" — \х0) + У Q(i) ..........
1 2 т т—1
Е1”“ {%) + V Ql*, ЕІ'“+11 = !*,} + V Q'*'.....El2**' as. [*,| ,
1 1
‘) У Young’а, гдѣ основнымъ интерваломъ ваять (0,1', сказано (р. 5В, ех. 2): „ЕГ(] is itself the third derived set, consisting of the point 1 ніопе“; здѣсь очевидно должно стоять У Есі вмѣсто Егч.
и съ другой
К -+ д,2“>, Е„ Е,,»» x.,=q'->, ;.г„| ,
т — 1 ѵі-2
к„ іа;VК’ j;f„j -4- ^ -{a:0j , Е,.ш+і~
1 1 <
отсюда ясно видно, какъ распредѣляются точки области Е по адхе-ренціи и кохеренціямъ и производнымъ, и какова въ данномъ случаѣ взаимозависимость между тѣми и другими.
4. Пусть для Е существуютъ кохеренціи Е(.« дчя всякого конечнаго п\ тогда возможчю одно изъ двухъ
СО V)
D!E(,7.)=o; D [Et.?»l Еесо;
і і
въ первомъ случаѣ для всѣхъ Ееи нѣтъ общихъ точекъ, и эго мыслимо, такъ какъ Е^я вообще не замкнуты *); во второмъ—общія точки всѣхъ кохеренцій образуютъ кохеренцію порядка чу '
Такъ какъ для каждаго п имѣетъ мѣсто 2 (2), то
Есо) — D (Е{.«} 1 DjE^J^DjE^] ,
т. е. „кохеренція порядка «> является частью производной порядка w“.
Имѣя возможность переходить отъ п къ п -f- 1 и отъ ряда чиселъ къ ихъ предѣлу, мы для любого я, гдѣ я—число перваго или второго класса, допускающее непосредственно большее число я 4-1 или нѣтъ, въ правѣ утверждать, что
(6) ,
и наконецъ, что
Ecl> = D{E-) ,
гдѣ Ü—первое число третьяго класса.
Отсюда слѣдуетъ, что теорема 2° имѣетъ общее значеніе.
Изъ (4) и (6) непосредственно слѣдуетъ теорема 29 \Ѵ. II.
Youm/'a 2):
„точки каждой адхеренціи являются предѣльными для всѣхъ предыдущихъ адхеренцій “,
такъ что доказательство автора дѣлается излишнимъ.
') ib., р. 58-59. г) ІЬ., р. &2.
5. Процессъ нахожденія адхеренцій и кохеренцій оборвется въ тотъ моментъ, когда одна изъ кохеренцій Е(.а окажется сгущенной или состоящей изъ уединенныхъ точекъ; въ первомъ случаѣ мы имѣемъ
ЕС*« 0, __Ееа Есо, (7)
и во второмъ
Ес,а + 1~0. (8)
Такъ какъ каждая кохеренція составляетъ часть соотвѣтственной производной, ясно, что, если оборвется рядъ производныхъ, вмѣстѣ съ нимъ прекратится и дальнѣйшее образованіе кохеренцій, но не обратно: производныя могутъ существовать, а кохеренцій не будетъ, какъ это мы видѣли въ 1)3° и увидимъ еще ниже; при этомъ возможно, что въ составъ области и ея адхеренцій будутъ входить точки, принадлежащія дальнѣйшимъ производнымъ и даже Е(",<
Въ случаѣ (8) область Е распадается на счетный рядъ адхеренцій и должна поэтому сама быть счетной; въ случаѣ (7) къ этому ряду присоединяется еще сгущенная область Е(.а, являющаяся послѣдней кохеренціей') (ultimate coherenz).
Въ составѣ послѣдней кохеренцій заключаются всѣ сгущенныя части области; если она несчетна, въ составѣ Е(,а можно различать счетную часть U и несчетную V; эту несчетную сгущенную часть области W. Н. Young называетъ'* 2) ея остовомъ или ядромъ (nucleus).
6. Для поясненія предыдущаго ІГ. Н. Young беретъ3) Cantor'ощ
область типа
іо
V
to
1
А. не включая въ ея составъ правой границы #0 основгіп: .» интервала.
Пользуясь моими обозначеніями и, въ видахъ единообразія, не включая въ составъ области также лѣвой границы интервала х- и точекъ перваго дѣленія {#.,}, мы получимъ незамкнутую область вида
о) ш j“ і
Е=Ѵ0- V V Q'i>;
і=1 1
для нея
Е = V о<*:> Е V о
Ес»>« =
Vq.co
1
1
') Youvy, р 61, Theorem 28; у Cantor’a--„totale Inhären/.“, А М. 7, р. 117.
2) іЬ., р. 54-56; ср. также стр’. 33, 22°; стр 92, 50°.
3) ІЬ., р. 59, ех. Г; р 24, ех. 4: ср. стр. 182—184, 130°.
Е.
У >'е V V О?...........Е,н..= У V о»...
#=2j=l
#—3,7= 1
і—п+2 j=\
(9)
Е — (жо) 4- {##} 4- Ес» Е" .— {ж0} + {#,-} -(- Есі ,------------,
1 2
Е'М+1) =■ {.Г0} + 4- Ее* + 1........... Е«= {*„} .
И-pl
Мы видимъ отсюда, что при образованіи адхеренцій и кохеренцій послѣдовательно отпадаютъ ряды по діагонали въ первой таблицѣ '), что существуютъ адхеренцій и кохеренцій любого конечнаго порядка, но кохеренцій порядка to не существуетъ, такъ какъ она могла бы быть только точкой {#0] , что исключено предположеніемъ. Рядъ (9) показываетъ соотношенія между кохеренціями и производными одного и того-же порядка. Такимъ образомъ Е можетъ быть представлена здѣсь въ видѣ суммы ея адхеренцій
Е= ѴЕ„і„.
1
В. Дальше W. 11. Yonn<) беретъ-) область
F = |»,| + Ѵ Q?.
для которой
F.s»«, F.-W; FM^K|. Fe, = 0,
тогда какъ производныя F совпадаютъ съ соотвѣтственными производными (9), и въ частности F(ü>1;z^ {а;(1}; такимъ образомъ мы имѣемъ здѣсь
F„.. = 0, F„„ = F, = F<">.
7. Какъ примѣръ области, для которой существуетъ Ycü, что TF. 11. Youwj обозначаетъ Yft*, онъ, взявъ рядъ интерваяовъ типа о>, включаетъ3) въ составъ области ихъ внѣшнія точки Е и конечное число п границъ Dw (Q)
(Ю) Y — EfD„(Q);
‘) ісм. стр. 183, 130°. г) р. 5У, ех. 4.
*) ib., р. ВО; ср. стр. 132-134, 78°.
тогда
Yrt - 0, Ye == Y _ Y в», Y' Е f Q __ Y<iJ\
такъ что
Y YC<>_D(Y(<J').
Что же касается областей Y2, Y;5,...., Y„ примѣра 6 и области Y примѣра 7, то всѣ эти области, вопреки мнѣнію W. II. Young'ъ.'), одного и того же типа и не даютъ ничего новаго, сравнительно съ областью (10). Области новыхъ типовъ получатся только въ томъ случаѣ, когда въ интервалахъ ш будутъ помѣщаться „Ть Т2,---------Тй или
еще болѣе сложныя области“ а). Примѣры такихъ областей я сейчасъ приведу ниже.
8. Чтобы показать, что Есі> можетъ не существовать, и тѣмъ не менѣе Е можетъ имѣть общія точки съ Е'2^, И’. 11. Young приводитъ указаніе"), которое можно осуществить,
А. пользуясь, напр.4), областью интерваловъ типа
Ü)
ш Z О)* *
I
и взявъ
y=d„(E)+Vq!;i
1
гдѣ D/((E)—конечное число внѣшнихъ точекъ области ш. Для области Y
О)
Y.=Y<y?,Y,= D,<E)-=YM, Y,,; 0,
между тѣмъ какъ
Y(tu)=E -fQ = Y(ö) ,
гдѣ Q—область границъ интерваловъ <о,н слѣдовательно E+Q совершенна. Мы видимъ отсюда, что
Y =D<Y Y^!
В. Область
Q= ѵ {Q,-Q(:’|
і) ib. р 60; ер. стр. 132—134, S70.
-) ib. р. 60, ех. 7. »
s) ib. р. 60, ех. 8.
*) см. стр. 193, 139°.
составляется изъ предѣльныхъ точекъ области
ш
т г/ <■
V» L V» ,
1
лежащихъ внутри интерваловъ t»; если мы возьмемъ
О)
1
гдѣ DM( и Dw—конечныя части Е и Q, то
О)
Х„ = Ѵу(*І, Х„ D„(E) + D„(Q)=X„„, Хс,— 0,
1
между тѣмъ какъ
ХН E + Q-, Х'ѴК
и слѣдовательно
DJX,.,) . D|X<U>),
т. е. *) „нѣкоторыя, но не всѣ точки послѣдней адхеренціи входятъ въ Х^"\ тогда какъ Xt.i> не существуетъ“.
9. Согюставля послѣднюю кохеренцію и остовъ V области* 2), \Ѵ. 1L Young не далъ поясняющихъ примѣровъ; чтобы заполнить этотъ пробѣлъ,
A. назовемъ Q—область границъ интерваловъ3) типа (*« + о)“ ; для нея
У« = 0, Qc Q-=Qeü, Ѵ==0,
• т. е. послѣдняя кохеренція тожественна съ самой областью, а остовъ отсутствуетъ.
B. Взявъ далѣе область типа
<і>
(И) + W)" -f- Z (*ш 4 co)?:J ,
1
перенумеруемъ интервалы ш въ порядкѣ ихъ величины |/;} , и отнесемъ область (*w "f- to)“ къ наибольшему интервалу Іи а области (*«> + <«)* размѣстимъ въ интервалахъ \ опредѣливъ такимъ образомъ типъ (11), включимъ въ составъ области G внѣшнія точки Е области о), всѣ границы Q интерваловъ (*«> -f- о>)* и границы R всѣхъ дѣленій области (*w-)-w)M; тогда
‘) р. 01, ех. 8.
2) см. выше 5°; Young, р. 61.
3) см. стр. 153 — 155, 105°; стр. 15У-160, 107°.
G=E+Q + R, GW=E'4-R'-{*T,*iNG(y)’
GcU)=E + R = Gcü,
гдѣ хт, Х\ —границы интервалы 1\, входящія и въ Е', и въ R', а G(<^ — совершенная *) область.
Здѣсь E-f-R—послѣдняя кохеренція, при чемъ несчетная ея часть Е есть остовъ области G, тогда какъ R—счетная область.
С. Наконецъ, если мы возьмемъ замкнутую область Н границъ и внѣшнихъ точекъ интерваловъ типа
(і>
О) Z (*СО + <0); ,
1
то для нея
Hca>__HcQ = P = H(<U) — Н<2) ,
гдѣ Р—совершенная область границъ и внѣшнихъ точекъ <5; въ атомъ примѣрѣ послѣдняя кохеренція и остовъ области оказываются тожественными.
Предыдущее, мнѣ кажется, даетъ довольно убѣдительный образецъ того, какъ можно пользоваться понятіемъ о типахъ размѣщенія, и какъ просто и быстро оно ведетъ къ цѣли при уясненіи даже довольно сложныхъ опредѣленій.
’) въ силу стр. 160, 107°.
