Аддитивные системы представления чисел: несколько замечаний Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ №4(35), 2017, с. 101-115 УДК 511.11+004.222.2+511.12

Н. Н. Непейвода

Аддитивные системы представления чисел: несколько замечаний

Аннотация. Фибоначчиева система является общеизвестным примером аддитивных систем представления чисел. В данной работе рассматриваются общие аддитивные системы и устанавливаются некоторые их свойства, в частности, условия, при которых возможно представление натуральных, целых и действительных чисел. Даются вычислительные характеристики действий. Завершается статья совокупностью задач различной трудности.

Ключевые слова и фразы: представление чисел, аддитивные системы, система Фибоначчи, конечные автоматы.

1. Аддитивные системы

Вопросы представления чисел в нестандартных системах интенсивно исследуются в последние десятилетия ([1], где заодно имеется прекрасная библиография). Получены глубокие результаты, касающиеся экспоненциальных систем представления чисел (где каждый следующий разряд является очередной степенью основания системы). Многое сделано и для мультипликативных систем (где каждый следующий разряд образуется умножением основания данного разряда на произведение предыдущих). Но имеется ещё один любопытный класс систем, в которых разряды являются числами, формально почти независимыми друг от друга.

Определение 1. Аддитивная система А — бесконечная по крайней мере в одну из сторон последовательность положительных действительных чисел, называемых основаниями,

/г (г € Z, р < г < q), р ^ —то, д ^ обладающая следующими свойствами: (1) € Х(р<1<з <ц ^ 0 < ;

Статья выполнена в рамках госзадания, тема 0077-2014-0032.

© Н. Н. Непейвода, 2017

© Институт программных систем имени А. К. Айламазяна РАН, 2017 © Программные системы: теория и приложения, 2017

ОСТ: 10.25209/2079-3316-2017-8-4-101-115

(2) для любого г число членов ^ = конечно.

Представление действительного числа х в системе А — последовательность сг элементов 0, 1 с той же областью определения, что и /, такая, что

р<г<9

В случае бесконечного числа цифр 1 сумма есть сумма ряда.

Аддитивная система целая, если все при г ^ 0 натуральные числа, /о = 1. Целые числа в такой системе представляются в форме

г=0

По аналогии с традиционными системами целые числа г из диапазона р < г < ц разрядами, число сг называется цифрой г-того разряда.

Таким образом, числа представляются как суммы оснований из некоторой последовательности. Общность данного определения показывается следующими примерами.

Определение 2. Будем говорить, что позиционная система Р эквивалентна аддитивной системе А, если для каждого разряда г позиционной системы имеется отрезок рг ^ ] ^ разрядов аддитивной системы, такие, что:

(1) для каждой пары представлений одного и того же числа х в системах Р, А г-тая цифра системы Р однозначно определяется последовательностью цифр ^ представления А в отрезке [рг,дг]

(2) для каждой цифры г-того разряда системы Р имеется последовательность цифр 8г системы А в отрезке [рг,дг], соответствующая ей, такая, что при .замене каждой цифры сг представления числа х в системе Р на последовательность получается представление числа х в системе А.

Пример 1. Экспоненциальные и мультипликативные системы со стандартным набором цифр (цифры г-того разряда от 0 до рг — 1, где рг — основание г-того разряда) могут быть эквивалентно выражены как аддитивные. В соответствующей последовательности число рх.....Рг-1 повторяется рг — 1 раз.

(1)

(2)

Соответственно, двоичная система эквивалентна аддитивной с последовательностью оснований 1, 2, 4, 8, 16 ... Троичная — аддитивной 1, 1, 3, 3, 9, 9, 27, 27 ... Факториальная [2] — аддитивной 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, .. ., где каждое п повторяется п — 1 раз.

Из этих примеров видно, что представление в аддитивной системе однозначно переводится в мультипликативное, а в обратную сторону неоднозначно. Однозначность в обе стороны выполняется, лишь для мультипликативных систем с цифрами 0,1, например, для экспоненциальной по основанию у/2 и аддитивной с основаниями

1 1, у, 1, 2, 2 • /2, 4, 4 • /2, ...

'"'2 •л/2' 2' л/2'

Пример 2. Примером аддитивной системы для натуральных чисел, не сводящейся к традиционным позиционным, является фи-боначчиевая [3,4]. Последовательность Фибоначчи [5] определяется, рекурсивно:

/о = /1 = 1; /п+1 = /п + /п-1. Для использования в качестве аддитивной системы достаточно эту последовательность начать с первого члена. Любое натуральное положительное число является суммой чисел Фибоначчи, и формально запись в этой системе подобна записи в двоичной системе.

Определение 3. Правилом замены называется правило, позволяющее в любом месте и без учёта всех остальных членов представления заменить некоторый сегмент цифр на другой сегмент той же длины. Совокупность правил замены называется полной, если любое правило замены в данной системе является производным относительно неё, то есть получается применением фиксированной конечной последовательности правил данной системы.

Пример 3. Пример правила замены: 110 ^ 001 для системы Фибоначчи. Тем самым любое представление чисел в системе Фибоначчи можно преобразовать в такое, где нет двух единиц подряд. С этим свойством связано, в частности, использование фибонач-чиевой системы при помехоустойчивом кодировании и во многих других областях информатики [6].

А правило 11010 ^ 00001 для этой системы является производным относительно предыдущего.

Пример 4. Примером аддитивной системы для рациональных чисел является гармоническая. или система египетских (аликвот-ных) дробей. Область определения последовательности оснований —ж < г < 0. Сами основания суть 1/\г\. Любое положительное рациональное число представляется в этой системе как сумма конечной последовательности различных дробей вида 1/\г\ [7]. Например,

2 _ 1 1 3 = 2 + 6'

Недостатком этой системы является очень большое число знаков, необходимых для представления чисел, больших 2.

Теорема 1. Любое натуральное число может быть выражено в целой аддитивной системе с последовательностью оснований /п тогда и только тогда, когда для любого п выполнено неравенство

п

(3) ^ и — 1.

i=0

Доказательство. Представимость. Воспользуемся возврат-

т

ной индукцией1. Пусть для всех 0 < т < п числа, меньшие ^ ,

¿=0

т — 1

представимы в виде ^ ■ /¿, где все € {0,1}. Покажем, что то же

¿=0

выполнено и для п. Возьмём произвольное /п—1 < х < /„. Положим у = х — /п—1. По предположению индукции у представляется в виде

п—2

(4) у= ^ а ■

1=0

Тогда

п—2

(5) х = /п—1 + ■ Л'

i=0

Видно, что здесь работает стандартный для перевода из одной системы в другую жадный алгоритм.

"^Возвратная индукция используется в корректной логической форме, не требующей явного выделения базиса и шага индукции (см., например, [8]).

Vn (Ут(т < п ^ А(т)) ^ А(п)) ^ УхА(х).

Если посылка посылки всегда ложна, то, согласно таблицам истинности, посылка истинна, и можно не заботиться о значении выражений в А(т).

Необходимость. Если

п

^ fi < /п+1 - 1

¿=0

то /п+1 — 1 не представляется.

□

Однозначность представления даже для целых систем выполнена лишь для двоичной системы.

2. Фибоначчиева система и её вариации

Рассмотрим свойства фибоначчиевой системы для вычислений.

Определение 4. Нормальная форма числа в фибоначчиевой системе — представление, в котором две цифры 1 не идут подряд [6]. Нормализацией называется преобразование представления к нормальной форме.

Предложение 1.1. Нормализация является автоматным преобразованием лишь в том случае, если число подаётся, в конечный автомат, начиная со старшего разряда.

Доказательство. Если число подаётся со старшего разряда, то 0 заменяется на 1 в том и только в том случае, когда две предыдущих цифры 1. Непосредственно предшествующая цифра после такой замены в любом случае 0, а для второй возобновляются правила для старшего 0. Тем самым мы описали действие автомата, нормализующего числа.

Неавтоматность нормализации, начиная с младшего разряда, доказывается следующим примером. Первая 1 в числе вида 011... 10 становится 0 лишь в том случае, когда последовательность следующих за ней единиц нечётной длины. Но распознать это за заранее ограниченное число шагов автомат, движущийся снизу, не может. □

Рассмотрим теперь сложение чисел в фибоначчиевой системе. Оно оказывается как максимум квадратичным по числу операций, но не автоматным. В самом деле, имеют место тождества

(6) 2 • /„ = fn—2 + fn-1 + fn = fn-2 + /п+1

(7) 3 • fn = fn-2 + fn + /п+1 = fn — 2 + fn+2

На их базе легко строится алгоритм, складывающий два числа Фибоначчи с переносами вверх и вниз. Неавтоматность даже в случае нормализованных слагаемых доказывается примером сложения двух чисел вида

(8) 0010101...1010101*01010101... 0100 (9) 0001010 ...0101001*00101010... 1000

Определить, во что переходят второй 0 и последний 0 можно, зная лишь чётности повторений числа обеих периодических подпоследовательностей, окружающих критические 1, помеченные *.

М. Барр [9,10] предложил обобщения чисел Фибоначчи произвольного натурального порядка больше 2. п-боначчи числа задаются рекурсивным определением [11-18]

{до = 91 = • • • = 9п-1 =0; дп = 1;

¿+п-1

№+п =2^ 9]

3 =

Эти числа удовлетворяют условию теоремы о представимости и задают квазидвоичную систему с правилом замены

1 • • • 10 ^ 0 • • • 01 (цифр 1 и 0 по п).

Для чисел Барра аналогично доказывается автоматность в одну сторону нормализации и неавтоматность сложения.

Кубичный по числу действий алгоритм умножения для системы Фибоначчи легко конструируется, исходя из тождеств [5,6]

(11) /п+

П+1 = /2-п+1.

(12) /П + /П+1 = /2

3. Аликвотные системы

На базе гармонического ряда, как уже замечено, можно построить систему представления всех положительных рациональных чисел [19,20].

1

а-г = -.

г

На самом деле это система представления всех положительных действительных чисел. Это следует из факта, что в гармоническом ряде имеется подпоследовательность, сходящаяся к любому наперёд заданному действительному числу х > 0. Для наших целей усилим результат, воспользовавшись следующим фактом о гармоническом ряде.

Теорема 2. (Серпинский 1956 [7]) Для каждого п > 0 любое рациональное число представляется как сумма конечного числа различных 1 с % > п, причём это представление вычисляется примитивно-рекурсивно.

В статье Серпинского примитивная рекурсивность конструкции явно не подчёркивалась, но она очевидно следует из его построений.

Таким образом, каждое рациональное число имеет конечное представление, максимальный разряд в котором меньше наперёд заданного. Исходя из этого, можно усилить теорему о представлении действительных чисел.

Теорема 3. Если задана монотонно возрастающая последовательность а рациональных чисел, сходящаяся к действительному числу х > 0, то можно построить примитивно-рекурсивное относительно а представление х в аликвотной системе.

Доказательство. Построим последовательность дробей следующим образом. Разложим некоторое а(п) в аликвотную дробь. Найдём наибольшее тп среди 1/т в этом разложении. Разложим а(п+1)—а(п) в аликвотную дробь, все члены которой меньше 1/т„. Присоединим это разложение к предыдущему. Повторяем этот процесс для а(п + 2) — а(п + 1) и так далее. □

Следствие 3.1. По разложению действительного числа в непрерывную дробь можно примитивно-рекурсивно построить его али-квотное представление.

Достаточно взять чётные подходящие дроби в качестве монотонной последовательности.

Теперь рассмотрим неожиданный результат. Как известно (см. работы [21-23], которые последовательно усиливали результаты о невычислимости), ни в одной позиционной системе сложение, умножение и другие арифметические операции, кроме, возможно, одноместного минуса, невычислимы. В аликвотной системе мы имеем следующую теорему.

Теорема 4. По аликвотным представлениям чисел х,у > 0 можно примитивно-рекурсивно относительно них построить али-квотное представление чисел х + у, х ■ у.

Доказательство. Сумма. Рассмотрим очередные члены али-квотных разложений 1/а(п), 1/0(п). Пусть к — наибольший знаменатель дроби, использованный ранее в представлении а + 0. Разложим 1/ а(п) + 1/0(п) в аликвотную дробь из членов со знаменателями, большими к. Присоединим её к ранее построенному разложению.

Произведение. Аналогично, но раскладываем

11 11 а(1) ■ 0(п) + а(2) ■ 0(п - 1) + ^ + а(п - 1) ■ 0(2) + а(п) ■ 0 (1) '

□

Данное преимущество стандартной аликвотной системы нивелируется колоссальным числом членов, необходимым для представления числа. Однако доказанные теоремы открывают путь к новому классу систем представления чисел, поскольку их справедливость зависит не от конкретной формы системы, а от следующего её свойства.

Определение 5. Аддитивная система обладает свойством аликвотности, если любое рациональное число для любого заданного £ > 0 имеет вычисляемое примитивно рекурсивно представление с конечным числом единиц, включающее лишь основания, меньшие £.

Пример 5. Система, обладающая свойством аликвотности, но заодно слишком большой избыточностью:

'.', ± (п - 1 раз), '.',

(13) 111111

V-1-0/ 4, 4, 4, 3, 3, 2 ,

1, 2, 4, 8, 16 '" 4. Симметризация систем

Пусть теперь цифрами являются — 1, 0,1. Будем называть такую систему симметричной. Первой из симметричных системы была троичная симметричная, разработанная Фибоначчи [3]. Затем Коши предложил десятичную симметричную систему с избыточностью [24]. Наш вариант ближе к избыточной симметризации двоичной системы, предложенной в [25].

Обобщим результат теоремы 1.

Теорема 5. Любое целое число может быть выражено в симметричной целой аддитивной системе с последовательностью оснований /п тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

п

(14) 2 • ^ Д > /п+1 - 1.

г=0

Доказательство. Ведём индукцию по условию Для всех п выразимы все числа в интервале

I п < X < /п.

В остальном доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

□

Пример 6. Обобщения чисел п-боначчи вида

{до = д1 = • • • = дп-1 = 0; дп = 1;

дъ+п = 2 • дз

=

с цифрами — 1, 0, 1 задают квазитроичную симметричную систему с правилами замены

1 ••• 10= —1----11

— 1----10 = 1 ••• 1 — 1

(цифр 1 и —1 по п).

В случае п = 2 эта последовательность называется 2, 2-фибоначчи [26].

5. Задачи и проблемы 5.1. Лёгкие

(1) Построить программу сложения и умножения целых чисел в фи-боначчиевой системе.

(2) Построить программу сложения целых чисел в произвольной п-боначчиевой системе.

(3) Построить программу сложения и умножения целых чисел в симметричной фибоначчиевой системе.

(4) Построить программу сложения целых чисел в произвольной симметричной п-боначчиевой системе.

(5) Построить программу сложения двух чисел в аликвотной системе (длина исходных разложений и величина исходных знаменателей может быть разумным образом ограничена).

(6) Построить программу сложения двух чисел в симметричной аликвотной системе (длина исходных разложений и величина исходных знаменателей может быть разумным образом ограничена).

(7) Построить программу умножения двух чисел в аликвотной системе (длина исходных разложений и величина исходных знаменателей может быть разумным образом ограничена).

(8) Построить программу умножения двух чисел в симметричной аликвотной системе (длина исходных разложений и величина исходных знаменателей может быть разумным образом ограничена).

(9) Какие новые правила замены появляются в симметризованной системе Фибоначчи? Приведите три примера.

5.2. Средние

(1) Построить программу умножения целых чисел в произвольной п-боначчиевой системе.

(2) Построить программу умножения целых чисел в произвольной симметричной п-боначчиевой системе.

(3) Построить программу перевода цепных дробей в аликвотные разложения.

(4) Выяснить, верна ли теорема о вычислимости аликвотного представления для задания действительных чисел в виде последовательность вложенных друг в друга сегментов [ щ, Ь^].

(5) Выяснить, верна ли теорема о представимости аликвотного представления для задания действительных чисел как сходящихся последовательностей рациональных чисел.

(6) Ряд обратных к простым ^ 1/рп расходится. Может ли он быть

п=1

использован в качестве аликвотной системы?

(7) В последние десятилетия интенсивно рассматриваются позиционные системы общего вида [27-30]. Основанием служит некоторое комплексное число р, |р| > 1. Задаётся конечное множество цифр С, среди которых обязательно присутствуют 0 и 1. Число пред-

г=к

ставляется как сумма ряда ^ ^ ■ рг, где ^ € С. Во многих таких

-то

системах имеются правила замены. Например, в троичной системе с цифрами {0,1, 2,4} таковым является 40 ^ 11.

Каковы условия наличия правила замены?

5.3. Трудные

(1) Ряд обратных к простым 1/рп расходится. Может ли он быть

п=1

использован в качестве аликвотной системы, если его пополнить всеми степенями данных дробей?

(2) В конструктивном математическом анализе установлено, что вычислимая возрастающая ограниченная сверху последовательность может не иметь конструктивного предела (теорема Шпе-кера). В оригинальной конструкции это связано с возможностью в непредсказуемый момент получить достаточно большое приращение. У нас члены аликвотного разложения убывают. Каковы соотношения наших теорем с теоремой Шпекера?

(3) В конструктивном анализе функция «целая часть числа» невычислима. В системе с аликвотным свойством (13) вроде бы она вычислима, поскольку задаётся явно. В чём дело?

(4) Верно ли, что система из единственного правила 110 ^ 001 является полной для системы Фибоначчи?

(5) Какие правила замены верны в аликвотной системе?

(6) Построить программу сложения чисел в симметричной системе Фибоначчи, требующую одного прохода по слагаемым.

5.4. Проблемы

(1) Построить аликвотную систему, позволяющую достаточно короткие представления чисел и представления результатов хотя бы некоторых арифметических действий, не более чем линейно превосходящие по длине представления исходных чисел.

Список литературы

[1] C. Frougny, E. Antova, M. Svobodova. "Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems", Journal of Integer Sequences, 16:13.2 (2013), pp. 1-36. t 101

[2] Ch. A. Laisant. "Sur la numeration factorielle, application aux permutations", Bulletin de la Société Mathématique de France, 16 (1888), pp. 176-183 (in French). t 103

[3] L. Pisano. Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Springer, 2002. t 103,108

[4] E. Lucas. Théorie des nombres. V. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1891 (in French), 392 p. t 103

[5] "Sequence A000045", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000045 t 103,106

[6] Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи, Наука, М., 1978 (in Russian),

144 с t 103,105,106

[7] W. Sierpinski. "Sur les décompositiones de nombres rationelles en fractions primaries", Mathesis, 65 (1956), pp. 16-32 (in French). t 104,107

[8] С. К. Клини, Введение в метаматематику, Пер. с англ., Мир, М., 1957 (in Russian), 528 с. t 104

[9] M. Barr. "Mathematical Amusements", The Sketch, 1913, pp. 32. t 106

[10] M. Barr. "Parameters of beauty", Architecture (NY), 60 (1929), pp. 325. t 106

[11] D. Zh. Hui. The formula of t-step Fibonacci sequence, 2008 (in Chinese, in English), URL: http://bbs.emath.ac.cn/forum.php, 667.4. t 106

[12] Sequence A000073, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000073 t 106

[13] Sequence A000078, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000078 t 106

[14] Sequence A001591, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A001592 t 106

[15] Sequence A001591, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A001592 t 106

[16] Sequence A122189, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A122189 t 106

[17] Sequence A079262, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A079262 t 106

[18] Sequence A104144, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A104144 t 106

[19] W. Creyaufmuller. Aliquot Sequences, 2016, URL: http://www.aliquot. de/aliquote.htm t 106

[20] И. Стюарт. Величайшие математические задачи, ГИФМЛ, М., 2015 (in Russian), 460 с. t 106

[21] L. E. J. Brouwer. Besitzt jede reele Zahl eine dezimalbruchentwicklung? Mathematische Annalen, 83 (1921), pp. 201-210. t 107

[22] В. А. Успенский. Лекции о вычислимых функциях;, М., 1960, 492 с. t107

[23] Н. Н. Непейвода, И. Н. Григоревский, Е. П. Лилитко. «О представлении действительных чисел», Программные системы: теория и приложения, 5:4 (22) (2014), с. 105-121 (in Russian), URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2014_4_105-121.pdf t 107

[24] A. Cauchy. "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numériques", C.R. Acad. Sc. Paris série I, 11 (1840), pp. 789-798 (in French). t 108

[25] C. Y. Chow, J. E. Robertson. "Logical design of a redundant binary adder", Proc. 4th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, C.R. Acad. Sc. Paris série I, 1978, pp. 109-115. t 108

[26] Sequence A002605, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A002605 t 109

[27] A. Renyi. "Representations for real numbers and their ergodic properties", Acta Math. Acad. Sci. Hungary, 8 (1957), pp. 477-493. t 110

[28] W. Parry. "On the ^-expansions of real numbers", Acta Math. Acad.. Sci. Hungary, 11 (1960), pp. 401-416. t 110

[29] D.E. Knuth. "An imaginary number system", CACM, 3 (1960), pp. 245-247. t110

[30] W. Penney. "A "binary" system for complex numbers", Journal of the Association for Computing Machinery, 12 (1965), pp. 247-248. t 110

Рекомендовал к публикации д.ф.-м.н. С. В. Знаменский

Пример ссылки на эту публикацию:

Н. Н. Непейвода. «Аддитивные системы представления чисел: несколько замечаний», Программные системы: теория и приложения, 2017, 8:4(35), с. 101-115. иК1_: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_4_101-115.pdf

Об авторе:

Николай Николаевич Непейвода

Главный научный сотрудник ИПС РАН, научный руководитель работ. Более 200 публикаций по конструктивной математике, логике, информатике

e-mail: nepejvodann@gmail.com

Nikolai Nepejvoda. Additive representations of numbers: some remarks. Abstract. Fibonacci system is the best known example of additive systems. Here considered general additive systems/ Some criteria ate stated of possibility to represent natural, integer and real numbers/ Computational properties of some arithmetical operations are estimated. Paper contains also some problems. (In Russian).

Key words and phrases: number representation, additive systems, Fibonacci system, finite automata.

References

[1] C. Frougny, E. Antova, M. Svobodova. "Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems", Journal of Integer Sequences, 16:13.2 (2013), pp. 1—36.

[2] Ch. A. Laisant. "Sur la numeration factorielle, application aux permutations",

Bulletin de la Société Mathématique de France, 16 (1888), pp. 176-183 (in French).

[3] L. Pisano. Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Springer, 2002.

[4] E. Lucas. Théorie des nombres. V. 1, Gauthier-Villars, Paris, 1891 (in French), 392 p.

[5] "Sequence A000045", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000045

[6] N.N. Vorob'yev. Fibonacci numbers, Nauka, M., 1978 (in Russian), 144 p.

[7] W. Sierpinski. "Sur les decompositiones de nombres rationelles en fractions primaries", Mathesis, 65 (1956), pp. 16-32 (in French).

[8] S.C. Kleene. Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff, 1952, 550 p.

[9] M. Barr. "Mathematical Amusements", The Sketch, 1913, pp. 32.

[10] M. Barr. "Parameters of beauty", Architecture (NY), 60 (1929), pp. 325.

[11] D.Zh. Hui. The formula of t-step Fibonacci sequence, 2008 (in Chinese, in English),

URL: http://bbs.emath.ac.cn/forum.php, 667.4.

[12] Sequence A000073, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000073 of Integer Sequences, OEIS

[13] Sequence A000078, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A000078 of Integer Sequences, OEIS

[14] Sequence A001591, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A001592 of Integer Sequences, OEIS

[15] Sequence A001591, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A001592 of Integer Sequences, OEIS

[16] Sequence A122189, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A122189 of Integer Sequences, OEIS

[17] Sequence A079262, The On-Line Encyclopedia Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A079262 of Integer Sequences, OEIS

RAS project 012013354594. © N. N. Nepejvoda, 2017

© Ailamazyan Program Systems Institute of RAS, 2017 © Program systems: Theory and Applications, 2017

DOI: 10.25209/2079-3316-2017-8-4-101-115

[18] Sequence A104144, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A104144

[19] W. Creyaufmiiller. Aliquot Sequences, 2016, URL: http://www.aliquot.de/ aliquote.htm

[20] I. Stewart. The Great Mathematical Problems: Marvels and Mysteries of Mathematics, Profile Books Ltd, 2014, 352 p.

[21] L.E.J. Brouwer. Besitzt jede reele Zahl eine dezimalbruchentwicklung? Mathematische Annalen, 83 (1921), pp. 201-210.

[22] V. A. Uspenskiy. Lectures on computable functions, M., 1960 (in Russian), 492 p.

[23] N. N. Nepeyvoda, I. N. Grigorevskiy, Ye. P. Lilitko. "New representation of real numbers", Program Systems: Theory and Applications, 5:4 (22) (2014), pp. 105-121 (in Russian), URL: URLhttp://psta.psiras.ru/read/psta2014_4_105-121.pdf

[24] A. Cauchy. "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calculs numeriques", C.R. Acad. Sc. Paris série I, 11 (1840), pp. 789-798 (in French).

[25] C. Y. Chow, J.E. Robertson. "Logical design of a redundant binary adder", Proc. 4th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, C.R. Acad. Sc. Paris série I, 1978, pp. 109-115.

[26] Sequence A002605, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation, 2017, URL: http://oeis.org/A002605

[27] A. Renyi. "Representations for real numbers and their ergodic properties", Acta Math. Acad. Sci. Hungary, 8 (1957), pp. 477-493.

[28] W. Parry. "On the ^-expansions of real numbers", Acta Math. Acad. Sci. Hungary, 11 (1960), pp. 401-416.

[29] D. E. Knuth. "An imaginary number system", CACM, 3 (1960), pp. 245-247.

[30] W. Penney. "A "binary" system for complex numbers", Journal of the Association for Computing Machinery, 12 (1965), pp. 247-248.

Sample citation of this publication:

Nikolai Nepejvoda. "Additive representations of numbers: some remarks", Program systems: Theory and applications, 2017, 8:4(35), pp. 101-115. (In Russian). URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_4_101-115.pdf