Аддитивная теория разбиений в научном наследии П.А. МакМагона

Белокопытова Наталья Николаевна; Гласман Наталья Семеновна

УДК 511.34

https://doi.org/10.24411/2226-2296-2019-10305

Аддитивная теория разбиений в научном наследии П.А. МакМагона

Н.Н. Белокопытова, Н.С. Гласман

Хакасский государственный университет имени Н.Ф. Катанова, 655000, г. Абакан, Россия ORCID: http://orcid.org/ 0000-0002-6115-1414, E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/ 0000-0003-1926-1430, E-mail: [email protected]

Резюме: Цель статьи - оценить вклад в развитие аддитивной теории разбиений натурального числа П.А. МакМагона. Одной из наименее изученных с точки зрения истории ветвей математики является комбинаторный анализ, внутри которого рассматривается аддитивная теория разбиений натурального числа. Ее главная задача - ответить на вопрос: сколькими способами может быть представлено натуральное число n суммы в виде суммы таких же слагаемых? Кажущаяся простота формулировки этой задачи всегда привлекала к себе внимание исследователей. Ее решали выдающиеся ученые XVIII—XIX веков: Л. Эйлер, А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестр и др., применявшие в основном производящие функции. П.А. МакМагон попытался построить общую комбинаторную доктрину, которая оказалась в основном общей теорией разбиений, построенных в терминах симметрических функций и направленной преимущественно на решение перечислительных задач. Статья может быть интересна исследователям в области комбинаторного анализа, историкам науки и всем, кто интересуется математикой.

Ключевые слова: история математики, комбинаторный анализ, аддитивная теория разбиений, разбиение натурального числа, П.А. МакМагон.

Для цитирования: Белокопытова Н.Н., Гласман Н.С. Аддитивная теория разбиений в научном наследии П.А. МакМагона // История и

педагогика естествознания. 2019. № 3. С. 22—26.

D0I:10.24411/2226-2296-2019-10305

ADDITIVE THEORY OF PARTITIONS IN THE SCIENTIFIC HERITAGE OF P.A. MACMAHON

Natalia N. Belokopytova, Natalia S. Glasman

Khakass State University named after N.F. Katanova, 655000, Abakan, Russia ORCID: http://orcid.org/ 0000-0002-6115-1414, E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/ 0000-0003-1926-1430, E-mail: [email protected]

Abstract: The purpose of this article is to evaluate the contribution to the development of the additive theory of partitions of natural number of P.A. MacMahon. One of the least studied branches of mathematics from the point of view of history is combinatorial analysis, within which the additive theory of partitions of a natural number is considered. Its main task is to answer the question: how many ways can a positive integer n be represented as the sum of the same terms. The apparent simplicity of the formulation of this problem has always attracted researchers. It was solved by outstanding scientists of XVIII-XIX centuries: L. Euler, A. Cayley, J. John. Sylvester et al., who used mainly generating functions. P.A. MacMahon tried to construct a General combinatorial doctrine, which turned out to be basically a General theory of partitions constructed in terms of symmetric functions and aimed primarily at solving enumerative problems. The article may be of interest to researchers in the field of combinatorial analysis, historians of science and all those interested in mathematics. Keywords: history of mathematics, combinatorial analysis, additive theory of partitions, natural number partition, P.A. MacMahon. For citation: Belokopytova N.N., Glasman N.S. ADDITIVE THEORY OF PARTITIONS IN THE SCIENTIFIC HERITAGE OF P.A. MACMAHON. History and Pedagogy of Natural Science. 2019, no. 3, pp. 22-26. DOI:10.24411/2226-2296-2019-10305

Очевидно, что при исследовании истории формирования любой научной теории одним из важных направлений является оценка вклада ученых, занимавшихся ею.

Аддитивная теория разбиений входит в комбинаторный анализ - раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения частей некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами. Во многих комбинаторных задачах некоторая совокупность элементов распределяется по некоторому множеству ячеек. Задачи этого класса существуют с давних времен и имеют разработанную методику решения. Интерес к ним не затухает ввиду их прак-

тического значения. Они появляются в самых различных постановках: разбиениях множеств, рассечениях графов, сетей, группировках станков, автоматов-роботов и т.д.

Сложившиеся способы решения задач этого класса зависят от условий, накладываемых на виды распределяемых элементов, способы распределения, виды и вместимость ячеек.

Для подсчета числа распределений необходимо уточнить, являются ли элементы данного множества и ячейки различными (например, занумерованными) или нет. В соответствии с этим задачи делятся на следующие четыре класса:

1) элементы множества и ячейки различимы;

2) элементы множества неразличимы, ячейки различимы;

3) элементы множества различимы, ячейки неразличимы;

4) как элементы множества, так и ячейки неразличимы между собой.

Задачи первых двух классов имеют сравнительно несложные решения; решение же задач третьего и четвертого классов представляет значительные трудности. Их обычно называют объединенным именем неупорядоченных разбиений. Наиболее трудными оказались задачи четвертого класса. Самой известной интерпретацией данного случая является теоретико-числовая задача о разбиении натуральных чисел на натуральные слагаемые. Будем счи-

[22]

История и педагогика естествознания

3■2019

тать невозрастающую неупорядоченную последовательность натуральных чисел с суммой членов, равной n, разбиением числа n на слагаемые, которые принято называть частями.

Одним из ученых, внесших значительный вклад в развитие аддитивной теории разбиений, является Перси Александер МакМагон (Percy Alexander MacMahon) (1854-1929).

Биографические сведения о нем можно почерпнуть в [1]. Он родился на острове Мальта, был вторым сыном бригадного генерала П.У. МакМагона. После окончания школы в Челтенхе-ме (Cheltenham), по-видимому, следуя семейной традиции, стал с февраля 1871 года курсантом военного училища в Вулвиче (Woolwich). Через год его произвели в лейтенанты, с 1881 года он стал капитаном, а в 1889-м году получил чин майора.

Уже во время обучения проявилась его увлеченность математикой. До 1871 года в этом же училище преподавал известный исследователь Джеймс Джозеф Сильвестр. Хотя МакМагон не обучался у него непосредственно, тем не менее работы именитого ученого не могли не повлиять на математические занятия курсанта.

Обширные математические увлечения не стали препятствием для продолжения МакМагоном военной службы, хотя и оказали влияние на всю его дальнейшую судьбу. После пятилетней службы в Индии и на Мальте он стал преподавать математику в Королевской военной академии (1882-1888), работал ассистентом в Арсенале (Arsenal) вплоть до 1891 года. Затем был преподавателем, а позднее - профессором физики в Артиллерийском колледже. Ушел в отставку в 1896 году.

МакМагон принимал участие в работе различных научных обществ. С 1870 года он - член Лондонского Королевского общества, в 1894-1896 годах -президент Лондонского математического общества, с 1902 года - один из секретарей Британской ассоциации, а с 1914 года - ее попечитель. В 1917 году МакМагон стал президентом Королевского астрономического общества. Он был также членом Постоянного комитета по затмениям, членом совета Королевского общества искусств, ректором колледжа в Винчестере. Доктором наук МакМагон стал в 1897 году в Дублине (Ирландия), в 1904 году - Кембридже, в 1911 году - Сент-Эндрюсе, Абердине (Шотландия).

Математические достижения ученого входили в весьма абстрактные области. Его ранние работы относились к решению задач, связанных с инвариантами алгебраических форм, которые

изучали А. Кэли, Дж. Сальмон, Дж.Дж. Сильвестр и Дж. Хаммонд. Заниматься ими он стал, опираясь на работы Кэли и Сильвестра по теории разбиений чисел. В последние годы жизни его деятельность сосредоточилась на рассмотрении repeatingpatters (орнаментов, повторяющихся фигур или тел для замощения или повторения). Период активной работы МакМагона-математика приходится на конец XIX - начало XX века. Его математическое наследие насчитывает более 120 статей, опубликованных начиная с 1881 года в журналах. Кроме них известны монографии «Комбинаторный анализ» в двух томах и «Введение в комбинаторный анализ».

Наиболее крупные результаты работы МакМагона относятся к теории инвариантов, перечислительным задачам комбинаторного анализа, латинским квадратам, теории разбиений и ряду других проблем.

В [2] отмечено, что он стремился к построению общей комбинаторной доктрины как теории симметрических функций. Разбиениям ученый уделял большое внимание, более того, «комбинаторный анализ МакМагона оказался в основном общей теорией разбиений, построенных в терминах... симметрических функций и направленной преимущественно на решение перечислительных задач.» [2].

Приведем перечень наиболее значительных достижений МакМагона в аддитивной теории разбиений, отраженных в трудах [3-29]:

1. «Certain special partitions of numbers» («Некоторые специальные разбиения чисел»), 1886.

2. «Observations on the generating functions of the theory of invariants» («Замечания о производящих функций в теории инвариантов»), 1887.

3. «The theory of perfect partitions and the compositions of multipartite numbers» («Теория совершенных разбиений и композиций многосоставных разбиений чисел»), 1891.

4. «A certain class of generating functions in the theory of numbers» («Определенный класс производящих функций в теории чисел»), 1894.

5. «Memoir on the theory of composition of numbers» («Мемуар о теории композиций чисел»), 1894.

6. «Combinatory analysis: a review of the present state of knowledge» («Комбинаторный анализ: обзор современного состояния»), 1897.

7. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part I («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть I), 1897.

8. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part II («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть II), 1899.

9. «Partition of numbers whose graphs possess symmetry» («Разбиение чисел, графы которых обладают симметрией»), 1899.

10. «Partition analysis and any systems of consecutive integers» («Анализ разбиений и любых систем последовательных целых чисел»), 1900.

11. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part III («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть III), 1906.

12. «Second memoir on the compositions of numbers» («Второй ме-муар о композициях чисел»), 1908.

13. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part IV («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть IV), 1909.

14. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part V («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть v), 1912.

15. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part VI («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть VI), 1912.

16. «Memoir on the theory of partitions of numbers» Part VII («Мемуар о теории разбиений чисел» Часть VII), 1917.

17. «Combinatory analysis» Vol. I, II («Комбинаторный анализ» Том I, II), 1915.

18. «Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions» («Делители чисел и их составляющие в теории разбиений»), 1920.

19. «On partitions into unequal and into uneven parts» («О разбиениях на неравные и нечетные части»), 1920.

20. «Note on the parity of the number, which enumerates the partitions of a number» («Записка о четности числа, которое указывает количество разбиений числа»), 1921.

21. «The connection between the sum of squares of the divisors and the number of partitions of a given number» («Связь между суммой квадратов делителей и количеством разбиений данного числа»), 1923.

22. «The partition of infinity with some arithmetic and algebraic consequences» (Разбиение бесконечности с некоторыми арифметическими и алгебраическими следствиями), (1923).

23. «The theory of modular partitions» («Теория модулярных разбиений»), 1923.

24. «Dirichlet series and the theory of partitions» («Ряды Дирихле и теория разбиений»), 1924.

25. «The enumeration of partitions of multipartite numbers» («Перечисление разбиений многосоставных чисел»), 1925.

3■2019

История и педагогика естествознания

рэ]

26. «The parity of p(n) the number of partitions of n, when n < 1000» («Значение p(n) числа разбиений при n < 1000), 1926.

Из указанного списка видно, что разбиения интересовали ученого на протяжении многих лет, их исследованию он посвятил множество работ. К сожалению, в статье невозможно выполнить полный анализ творческого наследия МакМагона по теории разбиений, поэтому ограничимся обзором его некоторых результатов.

В 1887-1888 годы МакМагон применил симметричные функции для исследования разбиений. Он определил n объектов через (pqr...), где p + q + r + ... = n, считая p объектов одного вида, q - другого и т.д.

В комбинаторном анализе решаются задачи выбора и упорядочения (в том числе частичного) элементов некоторого дискретного множества в соответствии с определенными правилами. Каждое из последних задает способ построения комбинаторной конфигурации - некоторой конструкции из элементов рассматриваемого множества. Следовательно, дисциплина изучает проблемы существования конфигураций разного вида, отыскания их числа, оптимизации алгоритмов построения и др. В этом русле представляют интерес также задачи распределения n объектов в m ячеек при некоторых ограничениях и определенных условиях (p1q1r1...), p1 + q1 + r1 + ... = m. При этом порядок расположения объектов в ячейках может быть существенным, а в других случаях - нет. Одним из эффективных средств решения последних задач являются симметрические функции.

Особый случай разбиений n на m частей представляет распределение n подобных объектов (n) по m аналогичных пакетов (m), причем в одном пакете может находиться больше одного объекта.

Ученый назвал число, при разбиении которого в обычном смысле части распложены по убыванию величин, термином односоставным (unipartite). Таким является, например, число 9, имеющее разбиение (4 3 2). МакМа-гон ввел понятие многосоставного (multipartite) числа, имеющего разбиения, в которых части не являются объектами одинаковой природы. Так, то же разбиение (4 3 2) числа 9 можно рассматривать как некоторую совокупность 9 объектов, 4 из которых первого вида, 3 - второго и 2 - третьего. В этом случае разбиение он обозначал (4 3 2). Числа такого рода ему понадобились для построения теории композиций, то есть разбиений, в которых существенен порядок следования частей.

В работе 1886 года «A certain class of generating functions in the theory of numbers» («Определенный класс производящих функций в теории чисел») [3] МакМагон ввел понятие совершенного разбиения. Под ним он понимал такое разбиение р числа n, при котором любое положительное целое число меньше n может быть однозначно представлено разбиением р', составленным из частей р. Например, 4 + 2 +

1 - совершенное разбиение 7, так как 6 = 4 + 2, 5 = 4 + 1, 4 = 4, 3 = 2 + 1,

2 = 2, 1 = 1. Ученый доказал, что число упорядоченных разложений на множители равно количеству совершенных разбиений n - 1. Так как существуют четыре упорядоченных разложения числа 8 на множители: 8, 4 ■ 2. 2 ■ 4, 2 ■ 2 ■ 2, то должно быть и четыре совершенных разбиения 7: 4 + 2 + 1, 4 + 1 + 1+ 1, 2 + 2 + 2 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. В XX веке такие разбиения получили развитие в работах Г. Эндрюса и Дж. Риордана при рассмотрении некоторых вопросов теории чисел и комбинаторного анализа [5].

Еще один вид разбиений, введенный МакМагоном, - субсовершенные. Под ними понимается разбиение, в котором части могут быть положительными или отрицательными. При этом если какая-то часть является положительной, то никакая другая часть той же самой величины не может быть выбрана отрицательной и наоборот. Так, разбиение 3 + 1 субсовершенное, так как 2 = 3 - 1, 3 = 3, 4 = 3 + 1. Такой вид допускается для составления каждого меньшего натурального числа только одним способом.

Ученый показал, что число совершенных разбиений n зависит только от a1, a2.....ar, где n +1 = p^..^ - разложение n + 1 на простые множители. Число совершенных разбиений n он обозначил символом [a1, a2.....a]. Вообще [a1, a2.....a] трудно определить,

однако в особых случаях оно возможно для получения рекуррентных соотношений. Так, [10] = 1, и [1s ] = cl [1j ]

j=0

для s > 1 - рекуррентное соотношение, аналогичное числам Бернулли.

Относительно количества субсовершенных разбиений числа n МакМагон показал, что их имеется [a1, a2.....a'r], где

pf1 ...pa = 2n +1 - разложение 2n + 1 на простые множители.

В 1891 году ученый установил связь между совершенными разбиениями и композициями, доказав теорему: если a, b, c, ... - различные простые числа, то число aH, bb, cg, ... - 1 имеет столько совершенных разбиений, сколько имеет композиций multipartite число (ару) [30].

Он

Он показал также, что если a - простое, то существует 2а-1 совершенных разбиений числа aa - 1.

В работе 1923 года «The partition of infinity with some arithmetic and algebraic consequences» («Разбиение бесконечности с некоторыми арифметическими и алгебраическими следствиями») [28] МакМагон отметил, что все совершенные разбиения имеют вид

(1Н1 {1 + Н1}н2 {(1 +,1 )(1 + а2 )}н3...

{(1 + ,1 )(1 + а2)...(1 + аг-1 )}Hr) .

рассматривал «разбиение бесконечности», что является «бесконечным вектором», первые a1 + a2 + ... + ar компонент которого дают совершенное разбиение: каждой последовательности положительных целых чисел a1, a2, a3, ... соответствует разбиение бесконечности. Тогда он отметил, что каждое разбиение бесконечности соответствует масштабу исчисления и связанной с ним алгебраической формулой. Так, если все а' = 1, то масштаб исчисления - двойное представление, и соответствующая ему алгебраическая формула имеет вид .

В «Memoir on the theory of composition of numbers» («Мемуар о теории композиции чисел») ученый рассмотрел графическую интерпретацию композиций [10]. Сначала он напомнил, что под multipartite или n-partite числом он понимает n-мерный ненулевой вектор (a1, a2, a3.....an) с неотрицательными целыми координатами. Например, bipartite число (2, 1) имеет четыре разбиения: (2, 1), (2, 0) + (0, 1), (1, 1) + (1, 0), (1, 0) + (1, 0) + (0, 1). Композиций же этого числа имеется восемь: (2, 1), (2, 0) + (0, 1), (0, 1) + (2, 0), (1, 0) + (1, 1), (1, 1) + (1, 0), (1, 0) + (1, 0) + (0, 1), (1, 0) + (0, 1) + (1, 0), (0, 1) + (1, 0) + (1, 0).

Затем МакМагон перешел к рассмотрению производящих функций и графическому представлению композиций. Такой функцией для числа композиций n из p частей является (x + x2 + x3 + ...)p =

ад

= xp (1 - x)-p cm-11 xm, а потому

m=p

таких композиций cm-11 .

Для графического представления композиции n = c1 + c2 ... + cp он разделил промежуток [0; I] на части так, чтобы i-й сегмент имел длину ci. Например, композиции числа 3 представляют следующие диаграммы:

1 + 2НЬН

0123 0123

2 + 1НЧН 1 + 1 + 1ННН

0 1 2 3 0 1 2 3

[24

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

История и педагогика естествознания

3■2019

Таким образом, легко увидеть связь между производящими функциями для композиций и их графическим представлением. Так как существует с^ способов выбора p - 1 различных предметов из n - 1, то из графической интерпретации видно, что существует Ср-_\ композиций числа n, состоящего из p частей.

Кроме того, ученый ввел графическое представление bipartite чисел. Его легко понять из примера, приведенного автором. Он рассмотрел композицию (6, б) = (2, 1) + (2, 3) + (1, 2) + (1, 0). Ей соответствует диаграмма:

(5, 6) (6, 6)

(0, 0)

(2

, 1)

(4, 4)

Такое представление может быть расширено на случай размерности n, что автор выполнил в разделе 4 рассматриваемого мемуара.

«Second memoir on the compositions of numbers» является логическим продолжением предыдущей работы и посвящен исчерпывающему решению проблемы профессора Симона Ньюкомба [23]. Это игра, состоящая в раскладывании пасьянса обычными картами. Она может быть описана следующим образом. Берется колода карт произвольной спецификации, скажем, карт, помеченных 1, карт - двойкой 2, карт - тройкой 3 и т.д. Колода перемешивается, раскладывается на столе. Пока карты идут в возрастающем порядке своих значений, равенство значений принимается за возрастающий порядок, они кладутся в одну стопку. В результате получатся m стопок, содержащих a, b, c... карт соответственно; n - общее число карт, а (a b c ...) - некоторая композиция числа n с m частями. МакМагон сформулировал две проблемы:

1) сколько соединений карт дает композицию (a b c ...);

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2) сколько соединений приводит к распределению карт точно в m пакетов?

Мемуар МакМагона состоит из двух частей. В них автор поочередно представил теоретическое обоснование частного и общего случаев, когда карты имеют различную нумерацию.

Ученый рассмотрел графы Ферре для композиций, например, (4 12 2 3) который представляется в виде

(1 -*.)+Sa

)Xa1a2a3 +..

Если прочитать этот граф по вертикальным линиям, то получается сопряженная композиция (13 4 2 12).

Вначале МакМагон изучил перестановки определенного вида. Так, перестановка 2 1 4 3 5 может быть разделена на наименьшее количество отсеков, в каждом из которых члены расположены в невозрастающем порядке: 2 1|4 3|5. Так как в первых двух отсеках по 2 члена, а в третьем - 1, то он назвал такую перестановку убывающей спецификацией (2 2 1) = (22 1) и обозначил через N(a b c ...) число перестановок первых натуральных чисел с убывающей спецификацией и соответствующих композиции (a b c ...) числа n.

Ученый получил формулу для N(a b c ...) в членах суммы мультиномиальных коэффициентов и доказал теорему

^ +a2+...+asN ( a1 a2 ... as )* xN ( as+1 as+2... as+f ) = = N ( a1 a2 ... as+f ) +

+N(a1 a2 ... as-1, as + as+1, as+2... as+f) .

Он нашел Nm - количество перестановок, соответствующих композициям точно из m частей, равное

m

Nm = S (-1)1 cn+1 (m - 1)n , что равно-

1=0

сильно решению первой из сформулированных проблем.

Для решения второй проблемы МакМагон показал, что число перестановок

ap1...apkk с убывающими спецификациями из m частей является коэффициентом при Xm-1 ak1...akk в разложении выражения

Во второй части он перешел к решению проблемы для случая, когда допускаются повторения в пронумерованной стопке карт.

Усовершенствованное решение проблемы Симона Ньюкомба, предложенное МакМагоном, описано в «Теории разбиений» Эндрюса [32].

Как отмечал Л.Ю. Диксон [33], МакМагон расширил теорию разбиений, считая ее ветвью комбинаторного анализа. Она исследована с позиции нового определения разбиения как множества натуральных чисел a1, a2, ... an, чья сумма равна n, таких, что a1 > a2 > ... > an. Введение линейных диофантовых неравенств привело к теории сизигий и определению основных форм, связывающих сизигии различных порядков, как это происходило в теории алгебраических инвариантов.

Идея МакМагона разбиения числа привела к более глубоким теоретическим исследованиям, чем приложения производящих функций, служивших Эйлеру и его преемникам отправным пунктом. В работах МакМагона имеется обобщение понятия разбиения до двух размерностей, когда части расположены в клетках шахматной доски любого порядка. Разбиение определялось также как распределение чисел таким образом, что в каждой строке и каждом столбце доски части расположены по убыванию их величины. Получено законченное решение для полной (неполной) решетки или шахматной доски, зависящее от идеи перестановки решетки и связанной с ней функцией решетки. Множество символов a^1 a^2...a^s -множество решетки, когда показатели степеней удовлетворяют условию a1 > a2 > ... > an. Это множество является перестановкой решетки, если первые k символов перестановки (k -любое число, меньшее s) составляют

перестановку a^1 a|2... abs. Перечисление разбиений multipartite чисел исследовано ученым главным образом преимущественно с использованием дифференциальных операторов Хаммонда.

Baker H.F. Persy Alexander MacMahon. Journal London Mathematical Society, 1930, vol. V, no. 20, pp. 307-318. Рыбников К.А. История математики: учеб. noco6bt М.: Изд-во МГУ, 1994. 496 с.

MacMahon P.A. A certain class of generating functions in the theory of numbers. Philosophical Transactions, 1894, vol. 185, pp. 111-160. MacMahon P.A. Certain special partitions of numbers. Quarterly Journal of Mathematics, 1886, vol. 21, pp. 367-373. MacMahon, P.A. Collected Parers. Vol. I. Combinatorics. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1978. 373 р. MacMahon P.A. Combinatory analysis. Vol. I, II. New York, 1915. 302 p.

MacMahon P.A. Combinatory analysis: a review of the present state of knowledge. Proceedings London Mathematical Society, 1897, vol. 28, pp. 5-32.

MacMahon P.A. Dirichlet series and the theory of partitions. Proceedings London Mathematical Society (2), 1924, vol. 22, pp. 404-411.

История и педагогика естествознания

15

9. MacMahon P.A. Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions. Proceedings London Mathematical Society (2), 1920, vol. 19, pp. 75-113.

10. MacMahon P.A. Memoir on the theory of composition of numbers. Philosophical Transactions, 1894, vol. 185, pp. 835-901.

11. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part I. Philosophical Transactions, 1897, vol. 187, pp. 619-673.

12. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part II. Philosophical Transactions, 1899, vol. 192, pp. 351-401.

13. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part III. Philosophical Transactions, 1906, vol. 205, pp. 37-58.

14. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part IV. Philosophical Transactions, 1909, vol. 209, pp. 153-175.

15. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part V. Philosophical Transactions, 1912, vol. 211, pp. 75-110.

16. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VI. Philosophical Transactions, 1912, vol. 211, pp. 345-373.

17. MacMahon P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VII. Philosophical Transactions, 1917, vol. 217, pp. 81-113.

18. MacMahon P.A. Note on the parity of the number, which enumerates the partitions of a number. Proceedings Cambridge Mathematical Society, 1921, vol. 20, pp. 281-283.

19. MacMahon P.A. Observations on the generating functions of the theory of invariants. American Journal of Mathematics, 1887, vol. 9, pp. 189-192.

20. MacMahon P.A. On partitions into unequal and into uneven parts. Quarterly Journal of Mathematics, 1920, vol. 49, pp.. 40-45.

21. MacMahon P.A. Partition analysis and any systems of consecutive integers. Transactions Cambridge Philosophical Society, 1900, vol. 18, pp. 12-34.

22. MacMahon P.A. Partition of numbers whose graphs possess symmetry. Transactions Cambridge Philosophical Society, 1899, vol. 17, pp. 49-170.

23. MacMahon P.A. Second memoir on the compositions of numbers. Philosophical Transaction, 1908, vol. 207, pp. 65-134.

24. MacMahon P.A. The connection between the sum of squares of the divisors and the number of partitions of a given number. Messenger of Mathematics, 1923, vol. 52, pp. 113-116.

25. MacMahon P.A. The enumeration of partitions of multipartite numbers. Proceedings Cambridge Mathematical Society, 1925, vol. 22, pp. 951-963.

26. MacMahon P.A. The parity of the number of partitions of , when . Journal London Mathematical Society, 1926, vol. 1, pp. 215-226.

27. MacMahon P.A. The partition of infinity with some arithmetic and algebraic consequences. Proceedings Cambridge Mathematical Society, 1923, vol. 21, pp. 642-650.

28. MacMahon P.A. The theory of modular partitions. Proceedings Cambridge Mathematical Society, 1923, vol. 2, pp. 197-204.

29. MacMahon P.A. The theory of perfect partitions and the compositions of multipartite numbers. Messenger of Mathematics, 1891, vol. 20, pp. 103-119.

30. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. 144 с.

31. Кутлумуратов ДЖ. О развитии комбинаторных методов математики: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 07.00.10 / Дж. Кутлумуратов. М.: Изд-во МГУ, 1961. 22 с.

32. Эндрюс Г. Теория разбиений / пер. с англ. Б.С. Стечкина. М.: Наука, 1982. 256 с.

33. Dickson L.E. History of the theory of numbers. Vol. II. NewYork: CHELEA PUBLISHING COMPANY. 1971. 804 p.

REFERENCES

-318.

Baker H.F. Persy Alexander MacMahon. Journal London Mathematical Society, 1930, vol. V, no. 20, pp. 307-Rybnikov K.A. Istoriya matematiki [History of mathematics]. Moscow, Mosk. gos. un-ta Publ., 1994. 496 p.

MacMahon P.A. A certain class of generating functions in the theory of numbers. Philosophical Transactions, 1894, vol. 185, pp. 111-160. MacMahon P.A. Certain special partitions of numbers. Quarterly Journal of Mathematics, 1886, vol. 21, pp. 367-373. MacMahon, P.A. Collected Parers. Vol. I. Combinatorics. Cambridge, Massachusetts and London, 1978. 373 р. MacMahon P.A. Combinatory analysis. Vol. I, II. New York, 1915. 302 p.

MacMahon P.A. Combinatory analysis: a review of the present state of knowledge. Proceedings London Mathematical Society, 1897, vol. 28, pp. 5-32.

MacMahon P.A. Dirichlet series and the theory of partitions. Proceedings London Mathematical Society (2), 1924, vol. 22, pp. 404-411. MacMahon P.A. Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions. Proceedings London Mathematical Society (2), 1920, vol. 19, pp. 75-113.