CC BY
32
23 декабря 2011 г. 11:17
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
Адаптивный асимптотически е-оптимальный алгоритм различения сигналов
Афанасьев В.П., Косичкина Т.П.,
МТУСИ
Для задачи различения сигналов сформулирован критерий асимптотической £-оптимальности. Показано, что асимптотически е-оптимальный алгоритм различения сигналов обладает свойством структурной устойчивости по отношению к изменениям вица вероятностных распределений значений действующей помехи и случайных параметров полезных сигналов. Для случая, когда распределение действующей помехи известно в месте приема с точностью до параметра, определено правило нелинейного преобразования наблюдений.
К настоящему времени сложилось устойчивое мнение, что одним из важнейших свойств систем (сетей) коммуникаций является их когнитивность, т.е. способность изменять в зависимости от текущего состояния условий функционирования (информационной нагрузки, числа и свойств используемых каналов связи, действующих в них помех и т.д.) режимы функционирования, структуру, сигналы и алгоритмы их обработки [1,2J. Ясно, что эти изменения должны сопровождаться повышением эффективности передачи информации и не приводить к неприемлемому росту сложности используемого оборудования. При этом желательно, чтобы для каждого фиксированного состояния условий функционирования система передачи информации была бы согласована с ними, т.е. обладала бы рабочими характеристиками, близкими к потенциально достижимым в заданных условиях.
Примером, иллюстрирующим сказанное, могут служить алгоритмы многопользовательской демодуляции в системах связи с кодовым разделением (СОМА) абонентов. Используемые в настоящее время корреляционные алгоритмы (3) не реализуют потенциольиые возможности оброботки, следствием чего является снижение энергетической эффективности передачи данных, из-за рассогласования с реальными, изменяющимися во времени, свойствами канала связи. Учёт реальных свойств канала связи (действующих вероятностных распределений сигналов и помех и их изменений во времени) приводит к неприемлемому росту вычислительной сложности алгоритмов демодуляции сигналов. Вторая причина, ограничивающая возможности практического использования оптимальных алгоритмов многопользовательской демодуляции сигналов, заключается в большой мерности решаемой задачи различения сигналов. При реальных значениях мощности алфавита сигналов, числа активных абонентов и количества каналов (лучей) приёма сигналов каждого абонента мощность пространства решений (количество проверяемых гипотез - К) при демодуляции сигналов оказывается недопустимо высокой. Таким образом, для повышения энергетической эффективности передочи донных в системах связи с CDMA необходимо разработать методику синтеза алгоритмов розличения сигналов, ориентированных на текущие свойства реальных каналов связи, и обладающих вычислительной сложностью, соизмеримой со сложностью корреляционных алгоритмов, а также сформулировать рекомендации по сокращению количества проверяемых гипотез. Настоящее сообщение посвящено решению первой из перечисленных задач. Подход и результаты, приведенные ниже, являются альтернативой методу обеспечения когнитивности процедуры демодуляции сигналов, основанному на полига-уссовой модели действующих помех, описанному в (4).
Регулярный метод получения относительно простых решающих правил классификации сигналов в условиях негаус-совости вероятностных распределений смеси сигналов и помех и случайных параметров полезных сигналов заключается в использовании принципа асимптотической оптимальности. При синтезе этих процедур используется критерий min llm„_* Pqw> п ~ Р°змеР выборки наблюдений, -полная вероятность ошибки классификации, т.е. с точки зрения практических приложений принцип асимптотической оптимальности это способ получения относительно простых подоптимальных правил классификации сигналов.
Известны следующие подходы к определению асимптотически оптимальных алгоритмов классификации сигнолов:
• специальный принцип асимптотической оптимальности
[51;
• концепция высокоточных измерений [6].
Первый подход позволяет получить асимптотически (при размере выборки наблюдений, стремящемся к бесконечности), оптимальные алгоритмы классификации сигнолов, соизмеримые по сложности с корреляционными алгоритмами, в условиях, когда вероятностное распределение значений случайных параметров сигнала подчиняется нормальному закону, о распределение значений смеси сигнала и помех (наблюдений) в рамках принятых нежестких ограничений может быть любым. При использовании второго подходо усреднённое отношение правдоподобия для каждой из проверяемых гипотез предстовляется в виде значения плотности вероятности значений случайных параметров сигналов в точке в = в: в; - оценка максимального правдоподобия
вектора случайных параметров сигнала, ориентированная на действие сигнала с номером I, I = 1, К. Этот подход позволяет получить алгоритмы с требуемыми характеристиками лишь тогда, когда система уравнений максимального правдоподобия линейна, т.е. при действии помехи в виде аддитивного гауссовского шума.
Таким образом, опираясь на известные методы, приемлемый уровень вычислительной сложности алгоритмов классификации сигналов в условиях негауссовости вероятностных распределений смеси сигналов и помех и случойных параметров полезных сигналов, что практически всегда имеет место, например, в системах подвижной связи (4), обеспечить не удоётся. Для дальнейшего существенно то, что при использовании первого подхода сиимоется проблема негауссовости вероятностного распределения зночений наблюдений, а при применении второго - трудности вычисления значений усреднённого отношения правдоподобия, обусловленные негауссовостью распределения случайных параметров полезных сигналов. Это обстоятельство, как будет
14
T-Comm, #9-2011
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
покозоно ниже, позволяет снять ограничения, присущие ко-ждому из подходов, и получить конструктивные результаты для широкого класса вероятностных распределений значений наблюдений и случайных параметров полезных сигналов.
Однако, получить их но базе критерия асимптотической оптимальности не удается. Поэтому потребуем, чтобы искомые решающие правила (алгоритмы обработки наблюдений)
- обладали бы свойством асимптотической
с-оптимальности. Решающее правило Э, (Х„) будем называть асимптотически сеоптимальным по отношению к асимптотически оптимальному правилу С ,(Х). если для любого поло* жительного £ существуют натуральные числа
ис..1хЛ-Р_1С1хм9
где (Ск,(ХЛ Р^_ [б/ХЛ - полная вероятность ошибки
классификации, обеспечиваемая асимптотически
сеоптимальным и асимптотически оптимальным алгоритмами соответственно.
Из этого определения в частности следует, что решающее правило Ок ,(Х,) будет обладать свойством асимптотической с-оптимальнсти по отношению к асимптотически оптимальному правилу б .(Х„). |Ск,у(Хп)— С°°.у(*п)| £ £ для произвольного Хп в X, - выборочное пространство. Смысл обозначений к и у будет определен ниже.
Постановка задачи синтеза асимптотически сеоптимальных алгоритмов классификации сигналов выглядит следующим образом.
По выборке наблюдений X. 8(х,...х...х ) необходимо принять решение о принадлежности её к одному из К классов, задаваемых распределениями:
Р,(Х„) = /Р(Х„/5.(е))«, (в)ёв,
/ = 1.К. вея (I)
В этом выражении:
5>(9) - /-й полезный сигнал, I — 1 ,К,
5|(в) з *т= 0т ■ <р (0, п - размер выборки наблюдений, у < ос, = ,..0к,..0т) - вектор случайных поро-
метров полезных сигналов, <Р* *
известная вектор-функция; аз1 {О) - плотность вероятностей значений случайных параметров сигналов / - го класса;
;> (*„/*,(»)) = ПГ=,я (лг, /5^(в)) 5„(б»)=
VI, = Л& “
Полагается, что:
- функция правдоподобия р (Яя/5,(в)). допускает следующее асимптотическое (при п -* *") представление (21
Р №„/5,(в)) = РОС./0) ехр{)'вт)',(Хп)- ^ ¡в”А, в}
‘ 12)
где
к,САГ0=^ЕГ.,»>!,/(х,).
Д*,)= ¿1пР(хА(в)) I.*
/ = /Л/!(*,) Р(х,/0)Лг„
А1 “ = ТЛ а£ =■ «’*!
- плотности ш[ (0), I = 1 ,К. дважды дифференцируемые по 6.
В укозонных условиях для усреднённого отношения правдоподобия
с, ОС.) = р (Х./0)-' s𠹄/5,(в))ш, (e)dft г = Tic.
необходимо найти приближение, такое, что при зомене им статистики £, (Хп)» оптимальном решающем правиле Hi = arg m¿\; £ ¡ (A'n) оно обладало бы свойством осим-птотической еоптимальности и вычислительной сложностью, соизмеримой со сложностью алгоритмов классификации гоуссовских совокупностей.
При п -» оо выражение (2) может быть представлено в следующем виде
р (X./S.(в)) = р 0Г./0) ехр £; вТ к, в: -1 / (в, - е)тл:(в; -_ <3> 0 - ориентированная на действие I-го сигнала оценка максимального правдоподобия случайных параметров действующего сигнала. Выражение для неё следует из (2) и имеет вид:
i,* (rD-'AT^Oc.l |4|
Подставив (3) в выражение (1) и применяя асимптотический метод интегрирования Лапласа, получим следующее представление для усреднённого отношения правдоподобия
í, (*»)-*
ехр{£ /в7>'в,}-и(в,)<г<л1/2*гЧ1+ ЯД 15)
где R¡ - остаточный член, порядок малости его -
Обычно можно полагать, что detA¡ — detA при всех / = 1. К. Тогдо, подстовив вырожение (4) в (5) и переходя к Lt0Cn)m In£,(*„), получим следующее приближённое выражение для логарифма усреднённого отношения правдоподобия
(6)
При принятых предположениях о свойствах действующих сигналов и помех выражение для асимптотически достаточной статистики L„, (XJ = ln Р, (X„) - ln Р (XJQ) следует из выражений (1), (3) и имеет вид
Ll-,Y СХп) = In
/„ «р {¿ / вТ А, в, - £ I (в, - 9)ГА(в, - в)Ц Wde
(7)
Сравнивая (6) и (7) нетрудно убедиться в том, что правило классификации сигналов, основанное на статистике (6), обладает свойством асимптотической ееоптимальности по отношению к асимптотически оптимальному правилу, основанному на статистике (7), которое, в свою очередь, при п -» 06 реализует потенциальные возможности обработки наблюдений. Обычно можно полагать, что ai¡ (0) -и (9) при всех I= 1 ,К. Выражение для L¡(Xn) в этом случав приобретает вид
L, (X.) ~ (2/)-,K,rU„)/ir1K,Un) 18)
Кок видно из приведенных результатов, вычислительная сложность асимптотически сеоптимальных алгоритмов различения сигнолов одного порядка со сложностью алгоритмов классификации гауссовских совокупностей. Устройства различения сигналов, основанные на статистиках (Ó) и (8), просты и состоят из хорошо отработанных и широко используемых узлов, см. рис. 1, на котором изображен вычислитель значений статистики Lj (Хп) Для случоя различения ортогональных сигналов А/ = P¡E.
T-Comm, #9-2011
15
