Адаптивные схемы агрегирования критериев в задачах векторной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.В. Боковая,

кандидат технических наук, доцент, Воронежский филиал ГОУВПО «Российский государственный торгово-экономический университет»

АДАПТИВНЫЕ СХЕМЫ АГРЕГИРОВАНИЯ КРИТЕРИЕВ В ЗАДАЧАХ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ADAPTIVE SCHEMES OF CRITERIA AGGREGATION IN PROBLEMS OF VECTOR OPTIMIZATION

Рассматриваются стратегии настройки весовых коэффициентов критериев в адаптивных алгоритмах векторной оптимизации.

Strategies of criteria weight coefficients adjustment in the adaptive vector optimization algorithms are considered.

Решение практических задач оптимального проектирования сложных систем связано с множественностью требований к характеристикам проектируемых объектов, что приводит к постановке задачи векторной оптимизации:

fi(X) ® min, i = 1,m , (1)

XeD

где X = (xj,..., xn) — вектор варьируемых параметров модели; fi(X) — частные критерии оптимальности; D — область допустимых решений.

Наличие множества разнородных и противоречивых критериев fi (X) заставляет рассматривать задачу (1) в целом как слабоструктуризованную [1]. Такие задачи характерны отсутствием априорной информации, позволяющей объективно определить наилучший компромисс между локальными критериями. Это приводит к необходимости получения и обработки в ходе оптимизационного процесса дополнительной информации, которой располагает лицо, принимающее решение (ЛПР). Для алгоритмизации многокритериальных задач, характеризующихся низким уровнем априорной формализации, перспективным является развивающийся в последние годы адаптивный подход, основанный на идее выявления в интерактивном режиме предпочтений ЛПР одновременно с исследованием допустимого множества вариантов и поиском оптимального решения. Средством реализации такого подхода являются адаптивные человеко-машинные процедуры [1,2,3], реализующие стратегию последовательного уточнения решения посредством перехода на каждой N-й итерации от текущей альтернативы XN к последующей XN+1 с учётом информации, получаемой от ЛПР.

В настоящее время разработано довольно большое количество человекомашинных процедур многокритериальной оптимизации. При этом особый интерес представляют алгоритмические процедуры, реализующие рандомизированные стратегии принятия оптимальных решений [4,5,6]. В данных алгоритмах предпочтения ЛПР в ходе оптимального выбора связываются с перестройкой вероятностных характеристик привлечения критериев к оптимизационному процессу.

В рандомизированных алгоритмах многокритериальной оптимизации на основании имеющегося набора локальных критериев ^(Х), 1 = 1, т неопределенность в задании обобщённого показателя качества отражается в рандомизации выбора отдельных целевых функций как возможного критерия оптимальности.

Обобщённый показатель можно сформулировать в виде [4]: т

Му{МХ)} = Ё Р1Г1(Х) ® т1п , (2)

1=1 ХеБ

т ___

Ё Р1 = 1 , Р1 > 0 , 1 = 1, т ,

1=1

где V — случайная величина, значения которой соответствуют номерам критериев, а величины Р1,..., рт — вероятностям их привлечения к оптимизационному процессу. При этом процессе оптимизации осуществляется адаптивная перестройка вероятностных характеристик Р1,..., рт на основании информации, полученной от ЛПР.

Решение задач векторной оптимизации на основе рандомизированных алгоритмов осуществляется по двухуровневой оптимизационной схеме [4,5,6]. Первый уровень связан с адаптивной итерационной настройкой вероятностей р?^. Настройка вероятностей осуществляется в процессе последовательного решения локальных оптимизационных задач по схеме главного критерия:

Г1(Х) ® т1п ,

ХеБК

= {Х|Х е Б; ^(Х) £ д^, 1 = 1т , 1Ф1}, (3)

где ^(Х) — критерий оптимальности, которому соответствует максимальная веро-

N N • ~л--- N ~

ятность Р1 = тахР1 , 1 = 1, т; д1 — пороговые значения остальных показателей.

Результаты текущего шага оптимизационного процесса оцениваются ЛПР, на

- N г-

основании чего осуществляется пересчёт значений вероятностей Р1 и выбор нового

главного критерия. Итерационный процесс настройки вероятностей р?^ и смены кри-

териев осуществляется до достижения установившихся значений вероятностей Р1 .

На втором уровне производится агрегирование локальных критериев в обобщённый показатель F(X) и решение соответствующей оптимизационной задачи:

т *

Р(Х) = Ё Р^(Х) ® т1п. (4)

1=1 ХеБ

Здесь Г; (Х) — нормированные критерии, определяемые следующим образом:

= Г,(Х) - ТО , (5)

^““(Х) - Г,т1П(Х)

где Г1™ (Х) и Гтах (Х) — минимальное и максимальное значения локальных критериев в области допустимых решений [4,5].

Итерационную перестройку вероятностей Р1 привлечения критериев к оптимизационному процессу в работах [5,6] предлагается осуществлять по следующей схеме:

N N4 N ^1 Р1 + w■ 1

рГ+1 = 1 = 1 т, (7)

1 1 + ^

ат N л N

где N — номер итерации, а значения параметров W; и 1 определяются при решении

задачи в диалоге с ЛПР. При этом стратегии настройки данных параметров зависят от информации, которой располагает ЛПР в процессе оптимизации.

Обобщённая алгоритмическая схема содержит основные этапы:

1. Определяется начальное распределение вероятностей р0 при отсутствии априорной информации р° = —, 1 = 1, т . При этом N=0, где N — номер итерации.

1 т

2. Для оптимизации выбирается критерий, которому соответствует максималь-

N N N • 1- / -

ная вероятность pi : рг = тахр1 , 1 = 1, т (при одинаковых значениях вероятностей

критерий выбирается случайным образом).

3. По остальным показателям fi(X), І = 1^, І Ф t устанавливаются или кор-

N

ректируются пороговые значения .

4. Формулируется и решается оптимизационная задача

^(Х) ® тіп ,

N

XєDN

DN = {Х|Х є D; ^(Х) < я?*, і = 1,т , і Ф1}. (8)

В результате оптимизации по выбранному показателю ^ (X) и вычисления в полученной оптимальной точке X значений остальных критериев формируется вектор:

zN=(^(х1 х...,^*)).

5. ЛПР производит оценку полученного решения. Если результат удовлетворяет ЛПР (по всем показателям достигнуты удовлетворительные значения), то решение за* *

дачи окончено (при этом полагаем Х = Х , где Х — решение исходной задачи). Если результат неудовлетворительный, осуществляется переход к шагу 6.

6. На основе анализа текущей проектной ситуации ЛПР предоставляет информацию о своих предпочтениях, которая является основой для последующей перестройки

~ N

вероятностей Р1 .

7. На основе информации от ЛПР осуществляется корректировка вероятностей р1^ по схеме (7).

8. Производится анализ стабилизации значений вероятностей. При этом возможны следующие варианты:

8.1. Анализ с участием ЛПР. При этом в ходе оптимизационного процесса осуществляется графическая визуализация динамики изменения вероятностей, что визуально регистрируется ЛПР.

8.2. Вычисление среднеквадратичных отклонений вероятностей на нескольких последних шагах оптимизационного процесса

N и л N.

Ё (рк - Р1)2 Ё рЧ

0 2 = к=К-,--------, ?1 = 1 = 1...!,

1 Б Б

где ^ — число последних шагов для проверки стабилизации значений вероятностей.

Если о2 < е, 1 = 1, т, где е — максимально возможная степень разброса, то вероятности приняли установившиеся значения.

9. Если вероятности стабилизировались, осуществляется аддитивная свертка и оптимизация с использованием агрегированного показателя (4). В противном случае происходит переход к шагу 2 ( N = N +1).

Структурная схема рассмотренного алгоритма векторной оптимизации представлена на рисунке. Она имеет обобщённый характер и может быть конкретизирована в зависимости от информации, предоставляемой ЛПР в ходе оптимизационного процесса. Рассмотрим альтернативные стратегии перестройки вероятностных характеристик в итерационной процедуре (7) в соответствии с информацией о предпочтениях ЛПР.

1. ЛПР на основе анализа текущей информации выделяет критерий ^(Х), значение которого, по его мнению, должно быть уменьшено в первую очередь. Тогда параметр W1N итерационной процедуры (7) можно определять по схеме:

wN = 1, wN = 0 "1 = 1,т, 1 Фг.

2. ЛПР на ^м шаге оптимизации может осуществить упорядочивание показателей по важности. Данной ситуации соответствует следующий способ настройки пара-

N

метра 1 :

,т . т-1 .

W1N =от-1/ Ё о-1,

]=0

где о > 1 — параметр, определяемый экспертным путём и характеризующий степень предпочтительности критериев. При этом будет выполняться условие:

wN ^ =о.

1 1+1

Алгоритмическая схема векторной оптимизации

3. ЛПР выделяет среди m критериев оптимальности такие г критериев, которые должны быть улучшены в первую очередь. При этом все множество индексов критериев I = {1,...,т} разбивается на две группы: 1 — индексы существенных критериев;

12— индексы второстепенных критериев. Параметры в данном случае предлагается определять следующим образом:

N 1 , т - г N 1 1 .

= — +------ , ] е 1Х; wi =---------, 1 е 12 .

т тг2 т тг

При этом если среди критериев первой группы может быть выделен главный критерий ^(Х), для пересчёта параметров wN может быть предложена процедура:

N 1 1 1т I • т • 1 N б

^ = § • —-------, Ь = ] е Jl, ] ф к , wk = 8 • —----------,

] Ь-1 + б к Ь-1 + б

где Ь — количество существенных критериев, б — степень предпочтительности к-го

критерия, а параметр 8 определяется в виде:

г2 + т - г

Б =-----------.

тг

Перед использованием данной процедуры необходимо произвести нумерацию критериев внутри первой группы от 1 до Ь.

Если критерии первой группы можно упорядочить по важности, предлагается следующая схема настройки параметров:

N бЬ-1 г2 + т - г | |

wi = Б •—----, где Б =-----------, Ь = 11.

1 Ь-1 ] тг 1 11

Е б

]=0

4. ЛПР не располагает информацией о предпочтительности критериев и испытывает затруднения в предоставлении оценок на этапе диалога. В данном случае может быть использована процедура:

7 N

N4 N

^ = -т— , где у] =

Е ]

]=1

Г*

Здесь Г] — ] -й нормирующий делитель. При этом значение параметра wlN

пропорционально изменению значений критериев оптимальности на данном шаге итерационного процесса.

Определение параметра 1 в итерационной процедуре настройки вероятностей (7) целесообразно осуществлять по эвристической схеме, предложенной в работах [4,5]. При этом если ЛПР на двух последовательных шагах итерационного процесса отдает предпочтение одному и тому же критерию Г г, то данное обстоятельство указывает на необходи-

л N

мость повышения значимости данного показателя в ходе поиска за счет увеличения 1 :

^ ^^ехре1^).

N

При этом RN = 1, если на №й и (№-1)-й итерациях в качестве главного показателя выбирался один и тот же критерий 1;; RN = -1 в противном случае.

Таким образом, разнообразие форм информации, получаемой от ЛПР в ходе оптимизационного процесса, приводит к формированию различных алгоритмических

процедур, построенных в рамках обобщенной рандомизированной схемы многокритериальной оптимизации. Это открывает возможности для модульной организации соответствующей алгоритмической базы векторной оптимизации с возможностью выбора наиболее приемлемого варианта вычислительной процедуры в зависимости от свойств решаемой задачи оптимального проектирования и уровня информированности ЛПР.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ларичев О.И. Свойства методов принятия решений в многокритериальных задачах индивидуального выбора // Автоматика и телемеханика.— 2002.— №2.— С. 146—157.

2. Анохин А.М., Глотов В.А. Методы определения коэффициентов важности критериев // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 8. — С. 3—35.

3. Растригин Л.А., Эйдук Я.Ю. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации // Автоматика и телемеханика. — 1985. — №1. — С. 5—25.

4. Фролов В.Н., Львович Я.Е., Меткин Н.П. Автоматизированное проектирование технологических процессов и систем производства РЭС.— М.: Высш. шк., 1991. — 463 с.

5. Батищев Д.И., Львович Я.Е., Фролов В.Н. Оптимизация в САПР. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.— 416 с.

6. Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов систем. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. — 234 с.