Адаптивные формулы численного дифференцирования при наличии пограничного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

АДАПТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

А. И, Задорин1, В, П, Ильин2

1 Институт, математики имени С.Л. Соболева СО РАН, 630090, Новосибирск 2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Новосибирск

УДК 519.653

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10024

Исследован вопрос численного дифференцирования функций одной переменной с большими градиентами в пограничном слое. Строятся формулы численного дифференцирования, погрешность которых равномерна по большим градиентам функции в пограничном слое. Построение таких формул основано на выделении с точностью до множителя сингулярной составляющей, отвечающей за большие градиенты функции, и построении разностной формулы для производной, точной на сингулярной составляющей. Сингулярная составляющая рассматривается как функция общего вида. В частности, такая составляющая может соответствовать экспоненциальному пограничному слою и наличию логарифмической особенности. Получены оценки погрешности построенных формул для вычисления первой и второй производных по значениям функции в узлах сетки. Приведены результаты вычислений.

Ключевые слова: функция с большими градиентами, формулы численного дифференцирования, оценка погрешности.

Введение

Классические полиномиальные формулы численного дифференцирования неприемлемы в случае функций с большими градиентами в пограничном слое [1]. Большие градиенты в области пограничного слоя имеют решения сингулярно возмущенных задач [2], моделирующих различные конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Задача построения формул численного дифференцирования для таких функций является актуальной.

Пусть функция и(х) имеет представление

и(х) = р(х) + 7Ф(ж), ж € [а,Ь], (1)

где р(х) — регулярная составляющая с ограниченными производными до некоторого порядка, Ф(ж) — известная сингулярная составляющая, имеющая большие градиенты в области пограничного или внутреннего слоя. Функция р(х) и постоянная 7 не заданы.

В частности, декомпозиция (1) справедлива для решения сингулярно возмущенной краевой задачи [2], при этом Ф(ж) = е-тх/Е, где т > 0, е € (0,1], х € [0,1].

В данной работе исследуются формулы численного дифференцирования, точные на сингулярной составляющей Ф(ж). В случае Ф(ж) = е-тж/£ такие формулы исследовались в [3].

Под С и Су будем подразумевать положительные постоянные, не зависящие от сингулярной составляющей Ф(ж), ее производных и от шага сетки. В случаях экспоненциального пограничного слоя и логарифмической особенности эти постоянные не зависят от малого параметра е и шага сетки. Различные величины можем ограничивать одной постоянной С.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-2915122) и программы 1.1.3 фундаментальных исследований СО РАН (проект 0314-2019-0009).

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

1 Формула подгонки к сингулярной составляющей

Пусть функция и(х) представима в виде (1) и задана в узлах равномерной сетки. Применение к функции с большими градиентами классических интерполяционных формул, формул численного дифференцирования и интегрирования может приводить к существенным погрешностям [1,4].

Рассмотрим формулу подгонки к сингулярной составляющей Ф(х), предложенную в [5]. Обозначим за 1(и, х) оператор интерполяции, численного дифференцирования или интегрирования. Пусть 1к(и, х) — классическая формула для приближения 1(и, х), основанная на интерполяции Лагранжа. Тогда

11(и,х) - 1к(и.х)1 < 11(р,х) - 1к(р,х)1 + |7|| 1(Ф,х) - 1к(Ф,х)\. Зададим адаптивную формулу, точную на составляющей Ф(х) :

1к(и,х)

1ф(и,х)

1к(Ф,х)

1(Ф,х).

(2)

(3)

Предполагается, что 1к(Ф,х) = 0. Этого ограничения можно добиться за счет выбора регулярной составляющей р(х). Формула (3) применялась в [5] в задаче численного интегрирования. Несложно получить оценку

1Ф(и,х) - 1(и,х) < 1к(р,х) - 1(р,х) + 11к(р

1(Ф,х) - 1к(Ф,х)

1к(Ф,х)

Из (2) и (4) следует, что формула подгонки 1Ф (и, х) является более точной, если 11к(р, х)| С 11к(Ф,х)1

(4)

2 Адаптивные формулы численного дифференцирования

2.1 Формула с двумя узлами для вычисления первой производной

Пусть Ик - равномерная сетка интервала [а, Ь]:

= {хп : хп = а + пН,п = 0,1,...,М, х^ = Ъ}, Ап = [хп-\,хп].

Предполагаем, что функция и(х) вида (1) задана в узлах сетки Ик и ип = и(хп).

Покажем неэффективность применения классической формулы для производной в случае функции вида (1). Зададим Ф(х) =Ых,х € [е, 1]. При е = Н е|(и! -и0)/к -и' (е)| = 1 - Ы2. Итак, при Н ^ 0 относительная погрешность классической формулы для первой производной не уменьшается, если е = Н. Задача построения специальных формул численного дифференцирования для функций вида (1) актуальна.

Получим адаптивную формулу численного дифференцирования на основе формулы (3). Зададим формулу для производной: 1к(и, х) = (ип - ип-\)/Н, ]. Предполагая, что Ф'(х) = 0, из (3) получим формулу, точную на сингулярной составляющей 7Ф(х) :

/ / \ т 1 / \ — 1 -г г / \ г л / \

и (х) « Ьф2(и,х) = —---Ф (х), х € [хп-1,хп]. (5)

Фп - Фп-1

Пусть

|Ф'(х)| < Вп, х € [хп-1,хп]. Лемма 1. Пусть для некоторой постоянной Сп справедлива оценка:

7 1Ф"(з)1с1з

В„|Ф„ - Ф„-1|

Тогда

(6)

Ф'2<У ' )-— <Оп ! + J 1р"(в)1^> х € [хп-1,хп]. (7)

Вп

Яп- 1

<сп.

Хп- 1

Доказательство. Учитывая, что формула (5) является точной на Ф(ж), получаем

Ь'ф 2 (и, ж) — и(х) = Учитывая оценку

Рп —Рп — 1 Фп — Фп- 1

Ф'(ж) —

Фп Фп—1

+

(Рп — Рп—1

V к

Р (Ж^ .

(8)

Ф'И — Ф" ФП—1\<{ |Ф''(

из (8) получаем (7). Лемма доказана.

Замечание 1. Остановимся на случае экспоненциального погранслоя, когда Ф(ж) = е—тх/Е, £ ,т> 0, х € [0,1]. Зададим Вп = то/е, тогда в (6) Сп = 1. Из (7) получаем

Ь'ф2(и,х) —и'(х) < то|_р'(в)| + е|_р''(в)| ¿в, х € [хп—1,хп].

(9)

В случае сингулярно возмущенной задачи р'(ж), ер''(ж) — ограничены, поэтому получаем оценку относительной погрешности порядка О(К) равномерно по параметру е.

Замечание 2. Остановимся на случае Ф(ж) = 1пж, ж € [е, 1]. Зададим Вп = 1/хп—1 и получим

/ |Ф"(*)|^ /

хп-\ 1 Хп—1/Хп

ВпФ — Ф„—1| = 1п

1.

Получаем, что условие (6) выполнено при задании Сп = 1. Итак, в этом случае получаем оценку погрешности (9) при задании т =1.

2.2 Разностная формула для второй производной

Классическая разностная формула для вычисления второй производной по значениям функции в трех узлах

сетки имеет вид:

'' / \ ^ иП+1 2^п + иП—1 г

и (Х) ^ ./ , X € [Хп—1, х^

к2

(10)

Можно показать, что в случае функции вида (1) относительная погрешность формулы (10) может быть О(1).

7Ф(ж) :

и"(х) ^Ьф 3(и,Х) = -^ 1 Ф"(x), Х € [Хп—1,Хп+1].

Фп+1 — 2Ф„ + Ф„— 1

Предполагаем, что

Ф "(ж) = 0,ж € (хп—1,хп+1), |Ф"(ж)| < Оп, х € [хп—1,хп+1]. Лемма 2. Пусть для некоторой постоянной Сп справедлива оценка:

Жп + 1

/ |Ф '''(

к Хп—1

вп |Ф„+1 — 2Ф„ + Ф„—1|

Тогда

Ь'ф 3(и, ж) — и''(ж)

О

<

^ М "К" + Ж

Жп+1

^"'^¿я, х € [хп—1,хп+1].

(Н)

(12)

(13)

(14)

к

1

Хп-1

Хп-1

Хп- 1

Доказательство. Учитывая декомпозицию (1) и формулу (11), получаем:

Ь'ф,3(и, х) - и"(х) = Ьф3(р, х) - р''(х) =

(рп+1 - 2рп + рп-1)

1

1Фп+1 - 2Фп + Фп-1

Ф '(х) - Ъ?\

+

(Рп+1 - 2рп + Рп-1

V Н2

- (х

Запишем первое слагаемое формулы (15) в виде

Я1 = (Рп+1 - 2рп + рп-1)

Ф''(х) - (Фп+1 - 2Фп + Фп-1)/Н2 Фп+1 - 2Фп + Фп-1 '

Учитывая (13), из (16) получаем

<

Жп+1

1р "( 8)1 <18.

(х) .

(15)

(16)

(17)

Для второго слагаемого в (15) имеем

Рп+1 - 2рп + рп-1

Жп+1

Н2

- р''(х)|< ? | \р"'(8)1 ¿8.

(18)

Из (15), (17), (18) получаем (14). Лемма доказана.

Замечание 3. По аналогиями с замечаниями 1, 2 на основании оценки (14) можно показать, что в случаях Ф(х) = е-тх/е и Ф(х) = 1п ^ ^^^ постоянной С справедлива оценка погрешности:

£ Ь'фз(и,х) - и'(х) <СН.

2.3 Формула с тремя узлами для первой производной

Выпишем полиномиальную формулу с тремя узлами для вычисления производной:

Т- / / ч иП+1 иП — 1 , иП+1 2иП + иП— 1 / ч

Ьз(и,х) = -2Н--1--г2-(х -хп).

Н2

(19)

Несложно показать, что относительная погрешность формулы (19) порядка 0(1) в случае функции с пограпслойпой составляющей Ф(х) = е-х/е, щт е < Н. Итак, применение формулы (19) может приводить к существенным погрешностям при наличии пограничного слоя.

Ф(х)

Т/ , \ ип+1 -ип-1 ип+1 - 2ип +ип-1 Ьф3(и,х) = -—--+

2Н

Фп+1 - 2Фп + Фп

1

Ф ' (х) -

Фп+1 - Фп-1 2Н

, х € [хп- 1,хп+1].

Лемма 3. Пусть Тогда

Ф''(х)=0, 1Ф'''(х)1<д1Ф''(х)1 х € (хп-1,хп+1).

Жп+1

Ь'ф з(и, х) - и'(х)

< 4 Н

Ч\р''(з )| + \р"'(з)

< .

(20) (21) (22)

Доказательство. Представим погрешность в виде

Ь'ф,3(и,х) -и'(х) = 1'ф з(р,х) - р'(х) = (1'ф з(р,х) - Ь3(р,х)) + (Ъ'3(р,х) - р'(х))

и оценим каждое слагаемое.

Оценим первое слагаемое в (23). Несложно получить:

¿Ф^М х) - Ь'з (P' х) = ^Т^1—оъ + \ъ-1 Fn'

Фп+1 - 2Ф„ + Фп-1

(23)

2

Хп- 1

Хп- 1

Хп- 1

где

Фп+1 — Фп—1

2К

) + (ж — хп){ф'^ —

Ф„+1 — 2Ф„ + Ф„

1

к2

X

) + I (X — 5 )Ф '''( 3)<13.

Учитывая разложения в ряд Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, получаем:

Жп + 1

|*к|< II (хп+1 — 8)|Ф '''( 8+4 I (* — Х^Ф'"^^,

(25)

(26)

Жп+1

Ф„+1 — 2Ф„ + Ф„—1 = J (хп+1 — в)Ф''( в) ¿в + J (в — хп—1)Ф''(в) ¿в.

(27)

Учитывая (26), (27) и условие (21), из (24) получаем

Жп + 1

ЬФ,3(Р,х) — Ь'з(Р,х) < 4Ф J ^"^¿З.

(28)

Для второго слагаемого в (23) несложно получить оценку:

Жп+1

Ь'(р,х) —Р'(х)\< 4К У \р"'(з)^3.

(29)

Учитывая оценки (28), (29), получаем (22), что доказывает лемму.

Из леммы 3 следует, что в случаях Ф(ж) = е—тх/Е и Ф(ж) = 1п х, х > е > 0 справедлива оценка погрешности:

Жп+1

Ьф 3(и, ж) — и'(ж)

< СК

\р"( 8 )| + ф"'( 8 )

¿я.

(30)

3 Применение формул в двумерном случае

Пусть для достаточно гладкой функции и(х, у) в области О = [0,1] х [0,1] справедливо представление:

и(х, у)=р(х, у)+ч(у)Ф(х), (31)

где р(х, у) — регулярная составляющая с ограниченными производными до некоторого порядка, Ф(ж) — известная функция с большими градиентами. Функции р(х, у), 'у(у) в декомпозиции (31) не заданы. Такая декомпозиция справедлива для решения эллиптической задачи с пограничным слоем по переменной ж [6]. Пусть Он — прямоугольная сетка исходной области О:

Ок = {(хиуз), Х1 = Ш1, % = 0, 1,...,М1, Ху = зК2, з =0,1,...,М2.

Зададим ячейку К: К^^ = [х^,ж^+1] х [у^, у^^]. Предполагаем, что функция и(х, у) вида (31) задана в узлах равномерной сетки Он и построим формулу численного дифференцирования в ячейке К¿^.

На основе дифференцирования двумерного интерполянта, точного на Ф(ж), строим формулу для вычисления производной, которая является точной на Ф(ж) :

ди ^ дх

..,../ \ Ф '(ж) у — у 4 (x, У) ~ ЬФ.x(u, х^ У) = ^¿+1,0+1 — — щ+1,о + и^) ф---ф- х —к--+

( \ Ф'(ж) ^ ^

+ ^+1,0 ф-—ф", ^ У) €К1,з ■

Фi+l — Фi

К = Ф' -

Яп- 1

Хп- 1

Яп- 1

Яп- 1

Хп- 1

Лемма 4. Пусть |Ф ' (х)\ < В^,х € и для некоторой постоянной справедлива оценка:

В^+1 - Ф^

Тогда

1 2 / \ ~Б~1ь'ф, Х(и,х, У) - и'х(х, У)1 < 3к1 тах \р 'х (^ Ш^г + \р 'хх( ^ +тах \р '¿у (.4, . (33)

Вг Вj V М * /

Замечание 4. Пусть Ф(х) = е тх/е или Ф(х) = \пх. Тогда в (33) В^ = С/е. Рассмотрим уравнение Пуассона в кольце:

д2и 1 ди 1 д 2и

дг2 г дг г2 дф2 ' '

и(е,ф) = Ъ1(ф), и(1,ф)=*2(Ф), (35)

где £ < г < 1, 0 < ф < 2-к. Функции г, ф), Ф\(ф), Ф2(Ф) — достаточно гладкие.

К задаче (34)-(35) приводится, например, задача об установившейся фильтрации жидкости к скважине,

=

и(г, ф) = р(г, ф) + ^(ф) \п г,

где функции р(г,ф),^(ф) имеют ограниченные первые производные по своим аргументам. Следовательно,

С

справедлива оценка погрешности:

£\Ь'Ф г (и,г,ф) -и'г (г,ф)\ < С (к! + к2), (Г,ф) , 1,3=0,1,...,Ы - 1.

4 Результаты численных экспериментов

Рассмотрим функцию с погранслойной составляющей экспоненциального вида

и(х) = сов(ях) + е-х/е, 0 < х < 1, £ > 0.

Таблица 1: Погрешность полиномиальной формулы (19)

£ N

10 102 10' 104 105 106

1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 5.04е - 2 2.06е - 2 5.14е - 4 5.14е - 5 5.14е - 6 5.14е - 7 5.07е - 4 1.36 е - 3 2.37е - 2 2.24е - 6 5.17 е - 8 5.17е - 9 5.07е - 6 1.63 е - 5 1.37е - 3 2.37е - 2 2.27е - 6 5.17 е - 11 5.07е - 8 1.66е - 7 1.63 е - 5 1.36 е - 3 2.37е - 2 2.27 е - 6 5.39е - 10 1.67е - 9 1.66е - 7 1.63 е - 5 1.37е - 3 2.37е - 2 3.27е - 10 3.65е - 11 1.67е - 9 1.66е - 7 1.63 е - 5 1.37е - 3

Рассмотрим формулы для производных с тремя узлами. В табл. 1 приведена норма погрешности

Д = етах [и (хп) -Ь'3(и,хп)1, 0 <п < М,

п

для полиномиальной формулы численного дифференцирования (19). Погрешность неравномерна по пара.

В табл. 2 приведена норма погрешности построенной неполиномиальной формулы для производной (20). Подтверждается второй порядок точности по шагу сетки, что соответствует оценке (30).

Таблица 2: Погрешность формулы (20), точной на погранслойной составляющей

£ N

10 102 103 104 105 106

1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 5.39 е - 2 1.66 е - 2 4.80 е - 3 4.81е - 4 4.81е - 5 4.81е - 6 5.42 е - 4 1.72 е - 4 1.59 е - 4 4.93 е - 5 4.93 е - 6 4.93 е - 7 5.42 е - 6 1.72 е - 6 1.64 е - 6 1.60 е - 6 4.93 е - 7 4.93 е - 8 5.42е - 8 1.72 е - 8 1.65е - 8 1.64 е - 8 1.59е - 8 4.93е - 9 5.75 е - 10 1.74 е - 10 1.65 е - 10 1.65 е - 10 1.64 е - 10 1.59 е - 10 7.35 е - 11 3.13 е - 11 3.80 е - 12 1.85 е - 12 1.66 е - 12 1.65 е - 12

Заключение

Разработаны адаптивные формулы численного дифференцирования функции одной переменной с большими градиентами. По построению формулы являются точными на сингулярной составляющей, отвечающей за большие градиенты функции. Построенная формула первого порядка точности обобщена на двумерный случай. Получены оценки погрешности разработанных формул. Показано, что в случае экспоненциального пограничного слоя и логарифмической особенности эти оценки равномерны по малому параметру. Результаты вычислительных экспериментов согласуются с полученными оценками.

Список литературы

[1] Задорин А. И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сибирский журнал вычисл. математики. 2007. Т. 10, № 3. С. 267-275.

[2] Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

[3] Zadorin A., Tikhovskaya S. Formulas of numerical differentiation on a uniform mesh for functions with the exponential boundary layer // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2019. V. 16, № 4. P. 590-608.

[4] Zadorin A. I. Interpolation formulas for functions with large gradients in the boundary layer and their application // Modeling and Analysis of Information Systems. 2016. V. 23, № 3. P. 377-384.

[5] Гурьева Я. Л., Ильин В. П. Модифицированный метод конечных объемов для сингулярно возмущенных краевых задач // Вычислительные технологии. Спец. вып.: Труды Международной конференции RDAMM. - 2001. 2001. Т. 6, № 2. С. 245-252.

[6] Roos Н. G., Stynes М., Tobiska L. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations, Convection-Diffusion and Flow problems. Berlin: Springer, 2008.

Задорин Александр Иванович — д.ф.-м.н., вед. науч. сотр.

Института математики им. G.JI. Соболева СО РАН;

e-mail: [email protected];

Ильин Валерий Павлович — д.ф.-м.н., гл. науч.сотр. Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;

e-mail: [email protected].

Дата поступления — 30 апреля 2019 г.