Адаптивное управление по выходу многоканальными линейными стационарными параметрически неопределенными системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ МНОГОКАНАЛЬНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕ ННЫМИ СИ СТЕМАМИ А.А. Бобцов3, М.В. Фаронов3, И.Б. Фуртат3,\ А.А. Пыркин3, В. Цзянь''

a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, cainenash@mail.ru b Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Российская Федерация с Университет Ханчжоу Дяньцзы, Ханчжоу, 310018, Китай

Аннотация. Рассмотрена задача адаптивного управления параметрически неопределенными многоканальными линейными стационарными объектами c произвольной относительной степенью каждой локальной подсистемы. Синтезирован регулятор, обеспечивающий стабилизацию объекта управления при условии, что для каждой подсистемы: измеряются только выходные переменные; точно известны относительные степени, но не порядок линейных дифференциальных уравнений; выполнены условия минимальной фазовости. Для упрощения общей методики синтеза управления рассматривается процедура стабилизации двухканальной системы. В качестве базового подхода управления выбирается метод «последовательный компенсатор», основанный на использовании теоремы о пассифи-кации А. Л. Фрадкова, с дополнительными фильтрами, содержащими в своей структуре большие коэффициенты усиления. Анализируется устойчивость замкнутой системы в классе указанных типов регуляторов, а также рассматриваются необходимые и достаточные условия, обеспечивающие экспоненциальные свойства сходимости. В качестве практических рекомендаций использования рассматриваемого подхода предлагается адаптивная версия метода «последовательный компенсатор», основанная на настройке коэффициента усиления, на базе алгоритма интегрального типа. Для иллюстрации работоспособности предлагаемого в работе подхода приведены результаты компьютерного моделирования для подсистем третьего и второго порядка соответственно, функционирующих в условиях полной параметрической неопределенности. Показано, что применение данной методики синтеза позволяет синтезировать алгоритмы управления многоканальными параметрически неопределенными системами, обладающими минимальным динамическим порядком в сравнении с известными зарубежными и отечественными аналогами. Ключевые слова: адаптивное управление, многоканальные системы, параметрическая неопределенность. Благодарности. Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-U01, Проект 14.Z50.31.0031, Госзадание 2014/190 (проект 2118)).

ADAPTIVE OUTPUT CONTROL OF MULTICHANNEL LINEAR STATIONARY SYSTEMS UNDER PARAMETRIC UNCERTAINTY A.A. Bobtsov3, M.V. Faronov3, I.B. Furtat3,b, A.A. Pyrkin3, W. Jianc

3 ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, cainenash@mail.ru

b Institute of Problems of Mechanical Engineering Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation с Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, China

Abstract. The paper deals with the problem of adaptive control for multi-channel linear stationary plants under parametric uncertainty with arbitrary relative degree of each local subsystem. The synthesized regulator provides stabilization of control plant on condition that for each local subsystem only output variables are measured with known relative degrees, but the order of linear differential equations is unknown. We consider the synthesis of control system for two-channel system for simplification of the synthesis method. The "serial compensator" algorithm is chosen as basic approach with A.L. Fradkov's passification theorem and additional filters containing high gain constants in their structure. Durability of the closed system in the group of pointed types of regulators is analyzed and the necessary and sufficient conditions for exponential convergence properties are considered. We suggest adaptive version of the "serial compensator" method from the practical point of view, where customization of the gain constant is based on the integral type algorithm. We show the results of computer simulation for the third and second order subsystems under parametric uncertainty to illustrate the proposed approach workability. It is shown that the proposed technique makes it possible to synthesize control algorithms for multichannel systems under parametric uncertainty with minimal dynamical order as compared to known foreign and domestic counterparts.

Keywords: adaptive control, multichannel systems, parametric uncertainty.

Acknowledgements. The work is partially financially supported by the Government of the Russian Federation (grant 074-U01), Project 14.Z50.31.0031, Government order 2014/190 (project 2118)).

Введение

Задача управления объектами в условии параметрической неопределенности со скалярным входом-выходом стала одной из классических задач современной теории управления. Для ее решения предложены и исследованы различные методы синтеза алгоритмов регулирования, например [1-4]. В последнее время наблюдается рост интереса к проблемам управления многоканальными объектами. Это связано с появлением новых задач в биологии, физике, робототехнике, энергетических и телекоммуникационных сетях и т.п. При этом возникает новая проблема, связанная с управлением группой взаимосвязанных объектов. На сегодняшний день предложено достаточно методов и подходов для управления многоканальными объектами. Так, в [2] предложен новый метод вложения систем, позволяющий синтезировать статические регуляторы, обеспечивающие инвариантность по отношению к возмущениям. В [5] предложен метод вспомогательного контура для компенсации возмущений, обобщенный затем для управления ли-

нейными [6, 7], нелинейными [8] и неминимально-фазовыми [9] многоканальными объектами. В [10] предложен алгоритм, близкий по идее к настоящей работе и позволяющий синтезировать простые алгоритмы компенсации возмущений. В [11] рассмотрено адаптивное управление многосвязными объектами с неминимальной реализацией эталонной модели. В [12, 13] представлена адаптивная схема управления по выходу нелинейными многоканальными системами с неизвестным нестационарным запаздыванием. В [14, 15] на базе метода бэкстеппинга предложено адаптивное управление для класса нелинейных многоканальных систем с несимметричными входными ограничениями. В [16] рассмотрена задача робастного слежения за эталонным сигналом на скользящих режимах. В [17] предложена адаптивная схема стабилизации многоканальной системы с использованием наблюдателя с большим коэффициентом усиления. Задача адаптивного дискретного управления нестационарной многоканальной системой на базе нечеткой логики рассмотрена в [18]. В [4] предложены алгоритмы управления многоканальными объектами с использованием метода скоростного градиента. Задачи адаптивного управления с оптимизацией, оптимального управления непрерывными и дискретными линейными, нелинейными, стохастическими объектами рассмотрены в [19, 20].

Несмотря на большое количество результатов в области управления многоканальными системами, по-прежнему актуальной задачей остается поиск простых алгоритмов управления, что особенно важно при управлении большой группой взаимосвязанных объектов. Одним из таких алгоритмов является «последовательный компенсатор», впервые предложенный в [12] для управления параметрически неопределенными объектами. Достоинство данного алгоритма состоит в простоте реализации и подборе настраиваемых параметров. Настоящая работа посвящена обобщению метода «последовательного компенсатора» на управление многоканальными системами управления.

В работе на примере двухканальной системы управления рассматривается применение метода [21] для управления многоканальными объектами, связанными через каналы выходов. Предполагается, что параметры каждой подсистемы неизвестны и доступны измерению только скалярные входы и выходы. Получены децентрализованные регуляторы и условия на расчет их параметров, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость выходов каждой локальной подсистемы. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма.

В отличие от [10], где предложены результаты, схожие с результатами настоящей работы, здесь будет применен алгоритм «последовательный компенсатор», который не содержит дополнительного динамического звена (вспомогательного контура) для выделения возмущений. Исходя из этого, предложенный здесь алгоритм будет иметь меньший динамический порядок.

Постановка задачи

Ради простоты обобщения метода [21] на многоканальные системы рассмотрим двухканальный объект управления, математическая модель которого представлена следующими выражениями:

МО=(1)

а(р) а(р)

у2® = ^ «2(0 + Щ *(0, (2)

в(р) е(р)

где р = ё / Л - оператор дифференцирования; выходные переменные уДО, У 2(0 измеряются, но их производные не поддаются измерению; а(р) = р" + ап-1 р"-1 +... + ах р + а0, Ь(р) = Ьтрт +... + Ь1 р + Ь0, с(р) = сгрГ + сг-1 рГ 1 +... + С р + сй, е(р) = р2 + е2 е-1 +... + е1р + е0, ё(р) = +... + р + ё0, /(р) = /¡р' + /¡-\р'1 + .. + /р + с0 - операторы с неизвестными коэффициентами; т < п -1; g < г -1;

передаточные функции (я) = Ь(5) и W2 (я) = ё(5) имеют относительные степени р1 = п - т и

а(я) е(я)

р2 = 2 - g соответственно, 5 - комплексная переменная; полиномы Ь(я) и ё(я) - гурвицевы, а коэффициенты Ьт > 0, > 0. Цель управления состоит в том, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость положений равновесия у1 = 0 и у2 = 0 .

Синтез алгоритма управления

В соответствии с [21] выберем закон управления для каждого канала следующим образом:

«,(/) = -Л( р)5п(/), (3)

|12(t ) — CT^t),

(4)

^Р, -1С ) = °1 ("^11«" k12^12« - ... - k1;Pl-A;Pl ) + k11 y,(t) )

u2 =-к2a2 (p)^21(t):

(5)

^21 (t ) = CT2^22(t),

^22 (t) = ^2§23(tX

-1 (t) = CT2 ("k21^21 (tЬ k22^22 (t) - ... - k2;p2-1^2;p2-1 (t) + k21 У2 (t)) >

k — + H1 , — K2 + H2 •

(6)

(7)

где числа ц > 0, ц2 > 0 и оператор а1 (р) степени р1 -1 и а2 (р) степени р2 -1 выбираются таким об-

разом, чтобы передаточные функции H1 (5) — -

a1(5 )b(s )

и H2( 5 ) — -

a 2( 5) d (5)

были строго

а(я) + ц1а1 (я)Ь(я) е(я) + ц2а2 (s)b( я)

вещественно положительными, числа > к, ст2 > к2, а коэффициенты ки , к2( рассчитываются из требований экспоненциальной устойчивости систем (4), (6) при нулевых входах у1 (/), у2 (/).

Закон управления (3)-(7) является технически реализуемым, так как содержит только известные или измеряемые сигналы. Однако требуется найти аналитические условия его применимости для стабилизации объекта (1), (2) или, иными словами, найти ограничения на числа кс1, к2 и сти ст2, при которых система (1)-(7) является экспоненциально устойчивой.

Основной результат Проведем ряд преобразований. Подставляя (3) в уравнение (1), получим

с( р)

(8)

У 1(t) — [(p)У1 (t)] + 44У2 (t) — ^E-kja1 (p)У1 (t) + (pH (t)] + 44У2 (t)

а( р) а( р) а( р) а( р)"

где функция ) (?) - оценка первой выходной переменной, ошибка 81 (?) = у1 (?) - у1 (?). Аналогично для второго канала, подставляя (5) в (2), имеем

у 2« = 44 [-к 2 а 2 (р) У 2 (?)] + 44 у= 44 [-к 2 а 2(р)у 2« + к 2 а 2(р)8 2(/)] + 44 У^ (9) е(р) е(р) е(р) е(р)

где функция у2 (?) = (?) - оценка второй выходной переменной, 82 (?) = у2 (?) - у2 (?).

После простых преобразований модели (8), (9) можно представить как

Ь(р)а 1 (р) г к у ,А , , |к . , А1 , с(р)

a( p) + p)a1( p) d ( p)a 2 ( p)

У1(t) —

У 2(t) —

e( p) + Ц2 d ( p)a2( p)

где передаточные функции

b( 5)a 1( 5)

[-к 1У 1(t) + (|H1+K 1)61(t)] +

[-K 2У 2 (t) + (H 2 +K 2)6 2 (t)] +

a( p) + H1^( p)a1( p)

f ( p)

У 2(t) ,

e( p) + H2 d ( p)a2( p)

У 1(t ),

H 1(5) — -

; h 2(5) —-

d (5)a 2 (5)

(10) (11)

(12)

а(я) + ц 1 Ь(я)а 1(я) е( я) + ц 2 ё (я)а 2 (я)

строго вещественно положительны. Представим (10), (11) в форме вход-состояние-выход:

х (Г) = А1х1 (Г) + Ь (-к,У! (Г) + (ц + К!)8, (?)) + q1 у2 (г), (13)

у,(/) = сТ х1(?), (14)

Х2 С) = А2Х2 (?) + Ь2 (-К2у2 (?) + (Ц + К2 )82 (?)) + q2у1 (?) , (15)

у2(0 = с2 х 2(0, (16)

где х1(?) е Я",х2(?) е Я2 - векторы переменных состояния (10), (11); А1, Ь1, q1 с1, А2, Ь2, q2 и с2 -соответствующие матрицы перехода от (10), (11) к (13), (14) и (15), (16).

Так как передаточные функции (12) удовлетворяет условиям строгой вещественной положительности, то в силу леммы Якубовича-Калмана [3] можно указать симметрические положительно определенные матрицы Р1, Р2, удовлетворяющие следующим матричным уравнениям:

А[ Р1 + РА =01, РЛ = с,

■А-2 Р2 + Р2 А2 — , Р2^2 — С2 , где 01 — 0[ , 02 — - некоторые положительно определенные матрицы. Представим модели (4), (6) в векторно-матричной форме:

^) — Ст1 ((?) + й1к11 у,«)),

№) — ш,

§г(?) — а2 ((2(1) + ¿2¿21 Ут(?)), у2(() — ^ §2(0,

0 1 0 ... 0

(17)

(18)

(19)

(20) (21) (22)

где Г =

-к„, -£22

-к

2;р2-1

dT =[0 0 0 ... 1]

КрЧ-!)х1 ;

0],

(Р2-1)х1 '

-к -к -к -к _ ""11 12 "13 1;р! -1

— [0 0 0 ... 1](р21)Х1 и — [1 0 0 ... 0](р-1)Х1, Ът2 — [1 0 0 Введем в рассмотрение векторы отклонений:

1Ь(0 — ^ *(?) - §1(0, (23)

Ъ(?) — ^2 У2(0 - §2«, (24)

тогда в силу структуры , ^ ошибки б1 (?) и 6Т (?) можно представить как

Е1 (?) — У1 (?) - У (?) — К^У1 (?) - ИТ§1 (?) — ИТП1 (?) , (25)

62 (?) — У2 (?) - У2 (?) — Ь2И2У2 (?) - К §2 (?) — Ь2 П2 (?) . (26)

Дифференцируя векторы (23), (24), получаем:

П1 (?) — ^ у (?) - а (Г (^У1 (?) - П1 (?)) + ^ У1 (?)) — ^ У (?) + а^п (?) - а (^кц + Г И1)У1 (?), (27)

П2 (?) — И2У2 (?) - а2 (Г2 (И2У2 (?) - Пт (?)) + ¿2*21У2 (?)) —

И2У2 (?) + а2Г2П2 (?) - а2 (¿2¿21 + ^ )У2 (?) . (28)

Так как й1к11 — -Г1И1 и ¿2 к21 — -Г2 И2 (может быть проверено подстановкой), то

П (?) — ^У (?) + ^Г^ (?), 61 (?) — ИТП1 (?), (29)

П2 (?) — Ь2У2 (?) + а2Г2П2 (?), 62 (?) — КП2 (?), (30)

где матрицы Г1, Г2 - гурвицевы в силу расчета параметров к1 систем (4), (6) и, следовательно,

ГТ N1 + N^1 —-03, ГТ N 2 + N2 Г2 —-04 (31)

где N1 — N > 0, N2 — N2 > 0 и 03 — 0Т > 0 , 04 — 04 > 0.

Условия работоспособности закона управления (3)-(7) для стабилизации системы (13)-(16), (19)-(22), (29), (30) приведены в следующей теореме.

Утверждение. Рассмотрим двухканальную систему (1), (2). Пусть числа р1 — п - т > 0 и р2 — г - g > 0, а полиномы ¿(я) и ё ^) - гурвицевы.

Пусть числа 0 <8< 0,5 , к1 и к2 такие, что выполняются неравенства: -01 +5(ц1 +к1)с1сТ +к-1Р^^Т Р1Т +к-1сТ qT ЬТ2 Ь2 q2c1 +5АТ А1 <-0 < 0, -02 +5(ц2 +к2)с2сТ +к-1P2q2qТР2Т +к-1сТqTЬТb1q1c2 +5АТА2 <-0 < 0. Пусть числа а1 и а2 такие, что выполняются неравенства: -а103 +5-1(ц1 +к1)МТ +5-1N1hcT с1ИТ NT +к1N1hcT Ь1ЬТ с1ИТ NT +(ц1 +к1)N1hcT с1ИТ +(ц1 +к1)ИЬТЬ1ИТ +к1N1hcTс1ИТNT <-0 <0,

-а204 +8-1(ц2 +к2)ИИт +5-1N2hcТ с2Ит N2 +к2 N 2ИсТ Ь2ЬТ2 с2Ит N +(ц2 +к2)N2hcТ с2Ит +(ц2 +к2)ИЬ2Ь2Ит +к2N2hcТс2ИтN2 <-0<0.

Тогда система (13)-(16), (29), (30) экспоненциально устойчива. Доказательство. Рассмотрим следующую функцию Ляпунова:

V(?) = х[ (?)Р,х, (?) + х2 (ОР2х2 (?) + (?)^п, (?) + пТ «N2П2 (?). (32)

Дифференцируя (32) с учетом уравнений (13), (15), (25)-(30), получаем V (?) = х, (?) ( Р1 + Р1А1 )х,(0 - 2к1х[ (0Р1Ь1 у1(?) + 2(ц +к1) х[ (/)Р1Ь1Ь[ п,(?) +2хТ (?)РЛ Ут(?)

+х2 (?) (А2Р2 + Р2 А2) х2 (0 - 2К2х2 (?)Р2Ь2у2 (?) +2(ц + К2 )хТ (?)Р2Ь2^П2 (?) +2хТ (?)P2q2У, (?)

+а,п1 (?) (( N. + ^Г, ))) +2п1 (?^А< А1х1(?) - (?ЖЛсТ Ь1 у1(?) +2(ц + к,)п1 (?ЖДсТ Ь^ П1 (?)

+2пТ(?^АсТЬlqlУ2(?) +а2п2(?)(ГN2 + N2Г2)) +2чТ(?ЖтИт^х2(?) -Т^пТЮ^ИтсТЬтУтЮ

+2(^2 +К2)п2№И2Ст2Ь2П2 (?) +2п2(?^2и2сТЬ2q2У1(?). (33)

Воспользуемся следующими оценками:

2(ц +К1)хТ (?)сХп, (?) < 5(ц +К1)хТ (?)с1< х1 (?) + 5-1(ц, +К1)П П1 ( ?), 2хТ (?)Р1Я1 у2 (?) < к21хТ (?)PlqlqTРТ х1 (?) + К2у2 (?),

2(ц +К2)х2 (?)Ст^П2 (?) < 5(^2 + К2)хТ (?)с2с2х2 (?) + 5-1 (Ц2 + К2)пТ С^ТП2 (?) ,

2х2 (?)P2q2У1 (?) < к-1х2 (?)P2q2q2Р2Тх2 (?) + КУ12 (?),

2п1 (?)NlhlСTА1х1(?) <5-1п1 (?ЖАсТс^ NTП1 (?) + 5хТ (?)А,А1х1(?),

-2к,п1 (?)NlhlСTЬу, (?) < к,п1 (?ЖЛсТЬ1ЬТсХNTп, (?) + к,у,2 (?),

2(ц + к,)пТ(?)NlhlСTЬХ п,(?) < (ц + к,)п, (?)NlhlСTсХп,(?) +(ц + к,)п,(?^ХЬХп,(?),

2п1 (?)NlhlСTЬlqlУ2(?) < к,п[ (?)NlhlСTсХNTп, ( ?) + к,-1х2(?)с2qTЬТЬ^х2(?), 2п2 (?)N2и2с2А2х2 (?) < 5-1п2 (?)N2И2сТп2 (?) + 5хТт (?)АТ2А2х2 (?), -2К2пТ(?)^ИтсТЬ2У2 (?) < К2пТ(?)^Ит<Ь2ЬТСтИТNTпт(?) + К2У22(?),

2(^2 + К2 )п2 (?Ж2И2СТ^^ П2 (?) < (Цт + К2 )П^ (?)N2И2СТСт^ П2 (?) +(Цт + К2 )П^ (?^тЬТ^^П2 (?) ,

2п2(?Ж^ТЬ2q2у,(?) < К2пТ(?)^И2СТСтИТNTпт(?) + (?)сТqTЬТЬ2q2С1Хl(?). Принимая во внимание полученные оценки и подставляя в (33) уравнения (17), (18), (31), можно получить следующее соотношение для производной (33):

V(?) < -х, (?)0,х1 (?) - х2 (?)02х2 (?) - а,п1 (?)03п, (?) - п2 (?)04П2 (?) +5(ц, +к,)хТ (?)с,с,х, (?) +к2!хТ (?)PlqlqTР,Тх,(?) +Кт-1хТ (?)сТqTЬТb2qтСЛ(?) +5хТ (?)АТ А,х,(?) +5(цт +к2)х2(?)с2с2 х2(?) +к-1х2(?)Р2 q2qT Р2Т х2(?) +к,-1хТ(?)сТ qT ЬТ Ь1q1c2 х2(?) +5хТ(?) АТ А2 х2(?) +5-1(ц, +к,)п1 (?)и,и1 п, (?) +5-1п1 (?)NlhlСT N п, (?) +к,п1 (?)NlhlСT Ь,ЬТ сХ NT п, (?) +(ц + к,) пТ (?)NlhlСT сХ п, (?) +(Ц, + к,) пТ (?)И,ЬТ ЬХ п, (?) +к,п, (?)NlhlСT с^Т п, (?) +5-1(ц2 +к2)п2(?)и2 п2 (?) +5-1п2(?)N2h2c2 с2и2 N2 п2 (?) +К2 п2(?)N2 и2с2 Ь2ЬТ с2и2 NT п2(?) +(^2 + К2)пТ 2С2С2ИТ2 п2 (?) +(^2 + К2)п2 №2Ь^Ь2итп2 (?) +К2пТ (?)N2и2^с2и[N2п2 (?). (34)

Пусть числа 0 <5< 0,5 , к, и к2 такие, что выполняются неравенства:

-О, +5(ц, + к,)с,сТ +кT1P1q1qTР,Т +к2-1сТqTЬТ2Ь2q2c1 +5АТА, < 0 < 0, (35)

-02 +5(ц2 + К2)с2сТ +к-1P2q2q^Р2Т +К,-1сТqT"Ь^Ь1q1c2 +5АТА2 < -о < 0. (36)

В этом случае из выражения (34) следует:

V(?) <-хТ (?)0,х, (?) - хТ(?)0тхт(?) -а,пТ (?)03п,(?) -атпТ(?)04пт(?) +5-1(Ц, +к,)пТ (?)ИХп, (?) +5-1пТ (?)NlhlcT СlhNT п, (?) +к,пТ (?)NlhlcT Ь,ЬТ с,ИТ NT п, (?) +(ц + к, )пТ (?)NlhlcT с,ИТ п, (?) +(ц, + к, )пТ (?)И,ЬТ Ь,ИТ п, (?) +к,пТ (?)NlhlСT NT п, (?) +5-1 (Цт + Кт )пТ (?)ИтИТ пт (?) +5-1пТ(?Ж 2И2сТ с2ИТ N2 п2(?) +К2 пT(?)N2h2 сТ2 Ь2 ЬТ2 с2 ИТ2 NT п2(?) +(ц2 +к2) пТ(?)N2h2cT с2ИТ п2(?) +(ц2 +к2)пТ(?)И2ЬТЬ2ИТп2(?) +К2пТ(?)N2И2сТс2ИТN2п2(?). (37)

Пусть числа а1 и а2 такие, что выполняются неравенства -а,03 +5-1(ц, +к,)ИИТ +5-1N1hcT с,ИТ +к1N1hcT Ь,ЬТ с,ИТ NT +(ц, +к1)N1hcT с,ИТ +(ц, +к,)ИЬТЬ,ИТ +к1N1hcTс,ИТNT <-0 <0, (38)

-а204 +8 1(ц2 +К2)иит +8 ^2исТс2итN2 +к2N2исТЬ2ЬТс2итNT +(ц2 +К2)^исТс2ит +(ц2 + к2)иьТь2ит +к2N2hcТс2итN2 <-0 < 0. (39)

Тогда из выражения (37) следует, что

V(?) < -хТ (?)0л (?) - хТ (?)0ТхТ (?) - апТ (?)03П (?) - а2пТ (?)04Пт (?). (40)

Из выражения (40) следует экспоненциальная устойчивость системы (13)-(16), (19)-(ТТ), (Т9), (30), что и требовалось доказать.

Замечание. При внимательном рассмотрении можно отметить, что неравенства (35), (36), (38), (39) не являются противоречивыми. Очевидно, что при некотором малом 8, больших к1 , к2 и еще больших а1 > к1, а1 > 8-1 и а2 > к2, а2 > 8-1 неравенства будут выполнены. Таким образом, в условиях неопределенности объекта в качестве возможного варианта настройки параметров к1 , к2, а1 и а2 можно увеличивать их значения до тех пор, пока не будут выполнены следующие условия:

|У1 (?) <80 для У?> ?1, (41)

|Ут(?) <80 для У?> ? т, (4Т)

где положительное число 80 задается разработчиком системы управления.

Для настройки параметров к — к1 + ц1 и к2 — к2 + ц2 воспользуемся алгоритмом

г г

И1(?) — , к2(0 — 2(т)ёт , (43)

?0 ?0 где функции Х1(?), X 2(?) выбираются как

[Х01 пРи |У1(0| >80 . /л [Х02 ПРи |Ут(0| >80 ....

Х1(?) — 1 I I Х2(?) — 1 I I (44)

[0 при |У1 (?) <80, [0 при |Ут(0| <80,

а числа Х01 > 0, Х02 > 0 . Для настройки а1 и а2 будем использовать алгоритм

а1 (?) — а01 (( (?))2, ат — а02 (((?)) , (45)

где числа а01 > 0 , а02 > 0. Очевидно, что в этом случае найдутся такие моменты времени ?1, ?2, начиная с которых (41) и (4Т) соответственно будут выполнены.

Результаты моделирования

Рассмотрим в качестве примера следующую двухканальную систему управления с неизвестными параметрами:

1 6 < 1-"ЛО —3-

53 + Т,5^2 + 0,5^ -1 53 + Т,5^2 + 0,5^ -1'

У,(0 —^-2-u,(t) —3-2-y2(t), (4б)

•МО = "2-7u2(t)---7У1 (t). (47)

5 - 5 +1 5 - 5 +1

Передаточные функции в первом и втором каналах имеют относительные степени р1 = 3 и р2 = 2

соответственно.

Алгоритм управления выбирается согласно (3)-(6):

ui(t) = -£(0 (p2 + p + l)^ii(0, (48)

|4П(0 = üi(t)^(t); (49)

[4i2 (t) = ai (t) (-0,5E,u(t) - 4^12 (t) + 0,5 y (t)),

u2 = -k2(t) (p + 1)^1(t), (50)

421 (t) = a2(t) ( ^21 (t) + У 2 (t)), (51)

Алгоритм адаптации выбирается в соответствии с (43)-(45) с параметрами: Х01 = 25, Х02 = 100, S0 = 0,1, a01 = 0,015, a02 = 0,04. (52)

Результаты моделирования при y1(0) = y2(0) = 2 представлены на рис. 1 и рис. 2. Таким образом, результаты моделирования подтверждают, что замкнутая система является устойчивой.

2,5 2

1,5

1

0,5 0

-0,5

-1

0

2

4

t,c

6

8

10

■ Vi(i) — V2(t) ■ - +5о Рис. 1. Выходные переменные системы (46)-(52)

120 100 80 60 40 20

0

4

6

10

t,c

■Ш СТ!(0

150 125 100 75 50 25

0

0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 t,c

-Ш ct2(î)

б

Рис. 2. Результаты моделирования функций настройки параметров (43), (45) для функций: к^), а-^) (а);

) , СТ2(0 (б) Заключение

В работе рассмотрена проблема синтеза закона управления для стабилизации по выходу линейных стационарных параметрически неопределенных многоканальных систем. В предположении, что известны относительные степени каждой из подсистем, на примере объекта второго порядка было показано, что алгоритм управления «последовательный компенсатор», впервые предложенный в [21], может быть успешно применен и в случае многоканальных систем. Эффективность алгоритма управления проиллюстрирована моделированием.

Литература

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

2. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006. 720 с.

3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.

4. Фрадков А.Л. Управление в сложных системах. М.: Наука, 1990. 296 с.

5. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.

6. Фуртат И.Б. Робастная синхронизация динамической сети с компенсацией возмущений // Автоматика и телемеханика. 2011. № 12. С.104-114.

7. Фуртат И.Б. Консенсусное управление линейной динамической сетью по выходу с компенсацией возмущений // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 4. С. 12-18.

8. Фуртат И.Б. Субоптимальное управление нелинейными мультиагентыми системами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 1 (83). С. 19-23.

9. Фуртат И.Б. Робастное управление определенным классом неминимально-фазовых динамических сетей // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. № 1. С. 35-48.

2

8

а

10. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. 268 с.

11. Паршева Е.А. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами со скалярными входом и выходом с неминимальной реализацией эталонной модели // Автоматика и телемеханика. 2005. № 8. С. 118-127.

12. Mirkin B., Gutman P.-O. Lyapunov-based adaptive output-feedback control of MIMO nonlinear plants with unknown, time-varying state delays // Proc. 9th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Prague, Czech Republic, 2010. Part. 1. P. 33-38.

13. Mirkin B., Gutman P.-O. Adaptive output-feedback tracking: the case of MIMO plants with unknown, time-varying state delay // Systems and Control Letters. 2009. V. 58. N 1. P. 62-68.

14. Cavallo A., Natale C. A robust output feedback control law for MIMO plants // Proc. 15th IFAC World Congress. Barcelona, Spain, 2002. V. 15, part. 1. P. 335-345.

15. Ge S.S., Li Z. Robust adaptive control for a class of MIMO nonlinear systems by state and output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 2014. V. 59. N 6. P. 1624-1629.

16. Qi R., Tao G., Jiang B. Adaptive control of MIMO time-varying systems with indicator function based parametrization // Automatica. 2014. V. 50. N 5. P. 1369-1380.

17. Chen M., Ge S.S., Ren B. Adaptive tracking control of uncertain MIMO nonlinear systems with input constraints // Automatica. 2011. V. 47. N 3. P. 452-465.

18. Ambrose H., Qu Z. Model reference robust control for MIMO systems // International Journal of Control. 1997. V. 68. N 3. P. 599-623.

19. Фомин В.Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

20. Narendra K.S., Annaswamy A. Stable Adaptive Systems. New Jersey: Prentice Hall, 2005. 512 p.

21. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 2002. № 11. С. 108-117.

Бобцов Алексей Алексеевич Фаронов Максим Викторович Фуртат Игорь Борисович

Пыркин Антон Александрович

Цзянь Ван

Aleksei A Bobtsov Maksim V. Faronov Igor B. Furtat

Anton A. Pyrkin Wang Jian

доктор технических наук, профессор, декан факультета, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, bobtsov@mail.ru аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, faronov_m@mail.ru

доктор технических наук, доцент, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация; ведущий научный сотрудник, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Российская Федерация, cainenash@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, a.pyrkin@gmail.com

научный сотрудник, Институт автоматизации, Университет Ханчжоу Дяньцзы, Ханчжоу, 310018, Китай, wangjian@hdu.edu.cn

D.Sc., Professor, Dean, Department head, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, bobtsov@mail.ru

postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg, 197101,Russian Federation, faronov_m@mail.ru

D.Sc., Associate professor, Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation; leading scientific researcher, Institute of Problems of Mechanical Engineering Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation, cainenash@mail.ru

PhD, Associate professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, a.pyrkin@gmail.com

researcher, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou, 310018, China, wangjian@hdu.edu.cn

Принято к печати 14.05.14 Accepted 14.05.14