CC BY
77
ного развития его внешней и внутренней среды адекватной скобочной конструкции вида БУР (КСП (ИО (ИБ (ИК)))) ОЗ, его СИБ. Методология включает операции распознавания ситуации; предвидения возможных исходов дуэли сторон А и В в заданном Доктриной контексте, аспектах и условиях; адекватной реакция на угрозы нарушения ИБ объекта. Единый алгоритм исследований базируется на общих свойствах аргументов, приведенных в скобочной конструкции модели, таких как: наличие дуэли, вероятностного характера ее исходов и возможности использования универсальной математической модели лингвистической переменной вида: «имя состояния устойчивости развития объекта - области определения его параметров» в заданном контексте, аспектах условиях. Реализация такого алгоритма базируется на системе шестимерных координат оценки исходов дуэли на каж-
дом из трех уровней приведенной скобочной конструкции модели устойчивости развития (безопасность, конкурентоспособность, влияние на них человеческого и других факторов). Каждая координата снабжается измерительной шкалой и нормами требуемого целевого и функционального назначения.
Перспективными направлениями дальнейшего развития и совершенствования предложенной методологии являются:
- совершенствование теоретических основ математического моделирования информационной безопасности объектов защиты;
- поиск универсального алгоритма «глобальной» оптимизации интегрального исхода дуэли между сторонами А и В в условиях XXI века.
Статья поступила 16.01.2015 г.
1. Доктрина информационной безопасности Российской Федерации от 09.09.2000, № Пр. 1895 [Электронный ресурс]. URL: htt://docs.chtd.ru/documtnt/901770877
2. Концепция безопасности и устойчивости развития планеты Земля (принята ООН в Рио-де-Жанейро в 1992 г.) [Электронный ресурс]. URL: htt://www.unepcom.ru/development
3. Воробьев О.Ю. Эвентология. Красноярск: Изд-во СибФГУ, 2007. 434 с.
4. Ефремов В.С. Стратегическое планирование в бизнес-системах. М.: Финпресс, 2001. 240 с.
5. Жидко Е.А., Попова Л.Г. и др. Интегрированный менеджмент ХХ1 века: парадигма безопасного и устойчивого (антикризисного) развития: монография. Воронеж: Изд-во Воронеж. государственного архитектурно-строительного университета, 2011. 168 с.
6. Жидко Е.А., Попова Л.Г. и др. Интегрированный менеджмент ХХ1 века: проектное управление устойчивостью развития: учеб. пособие. Воронеж: Изд-во Воронеж. государ-
Библиографический список
ственного архитектурно-строительного университета, 2011. 168 с.
7. Жидко Е.А., Попова Л.Г. Информационная безопасность: концепция, принципы, методология исследования: монография. Воронеж: Изд-во ВГАСУ, 2013. 175 с.
8. Жидко Е.А. Экологический менеджмент как фактор эколо-го-экономической устойчивости предприятия в условиях рынка: монография. Воронеж: Изд-во ВГАСУ, 2009. 170 с.
9. Колмогоров А.Н. К логическим основам теории информации и теории вероятностей // Проблемы передачи информации. 1969. № 3. С. 3-7.
10. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1. Вып. 1. С. 25-38.
11. Саркисян С.А., Лисичкин В.А., Минаев Э.С. и др. Теория прогнозирования и принятия решений. М.: Высш. шк., 1977. 351 с.
12. Харкевич А.А. О ценности информации // Проблемы кибернетики. 1960. № 4. С. 53-57.
УДК 004.94
АДАПТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ, СОДЕРЖАЩИХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ТРЕНДЫ
© Ю.П. Хрусталев1, И.А. Серышева2, В.А. Лузгин3, Е.А. Ступина4
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Исследуются вопросы адаптации временных рядов, содержащих детерминированные тренды. В отличие от временных рядов, описываемых моделями авторегрессии-скользящего среднего, адаптацию которых можно выполнять, используя метод стохастического квазиградиента, рассматриваемый случай требует раздельной подстройки вектора параметров авторегрессии, скользящего среднего и величин детерминированных трендов. Предлага-
1Хрусталев Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники, тел.: (3952) 405107, e-mail: khrustalev@istu.irk.ru
Khrustalev Yuri, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Computer Engineering, tel.: (3952) 405107, e-mail: khrustalev@istu.irk.ru
2Серышева Ирина Анатольевна, старший преподаватель кафедры автоматизированных систем, тел: (3952) 405164, e-mail: sia_cyber@mail.ru
Serysheva Irina, Senior Lecturer of the Department of Automated Systems, tel.: (3952) 405164, e-mail: sia_cyber@mail.ru
3Лузгин Виктор Анатольевич, студент, тел.: 89641292000, e-mail: kepuby@inbox.ru
Luzgin Victor, Student, tel.: 89641292000, e-mail: kepuby@inbox.ru
4Ступина Елена Алексеевна, студентка, тел.: 89641296225, e-mail: ludus-stu@ya.ru
Stupina Elena, Student, tel.: 89641296225, e-mail: ludus-stu@ya.ru
ется методика решения подобных задач.
Ключевые слова: модели временных рядов; стохастическая аппроксимация; полиномиальные тренды; групповые эталоны.
ADAPTATION OF MODELS OF THE TIME SERIES CONTAINING DETERMINISTIC TRENDS Yu.P. Khrustalev, I.A. Serysheva, V.A. Luzgin, E.A. Stupina
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The adaptation problems of the time series containing deterministic trends are considered in the article. Unlike the time series described by autoregressive moving-average models, which can be adapted using a stochastic quasigradient method, the case under investigation demands a separate fine tuning of a parameter vector autoregressive, moving average and the parameters of deterministic trends. The methods to solve similar tasks are proposed. Keywords: time series models; stochastic approximation; polynomial trends; reference group.
Параметрическая оптимизация стохастических систем (СС) заключается в восстановлении их состояния на основе использования математических моделей [1]. Другими словами, одной из основных задач, связанных с параметрической оптимизацией СС, является оценка этих систем по результатам измерений. Если с таких позиций рассматривать вопрос обработки данных, получаемых в процессе функционирования групповых эталонов, то при конструировании алгоритмов, входящих в состав информационно-измерительных систем групповых эталонов (в частности, эталонов времени и частоты (ВиЧ)), можно использовать основные положения теории стохастических систем, изложенные в фундаментальной монографии [2], на которые мы опираемся в данной работе.
Одно из основных понятий теории СС - «состояние системы» - трактуется как вектор важнейших параметров, подлежащих оцениванию. Применительно к эталонам времени и частоты в качестве таких параметров обычно рассматриваются относительные отклонения частоты квантово-механических стандартов (мер времени и частоты), входящих в состав групповых эталонов (в Российской Федерации это водородные стандарты частоты, или, проще, водородные генераторы). Система позволяет измерять разности относительных отклонений частоты генераторов от приписанных им значений. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что при схеме измерений «каждый с опорным» результаты г^) представляют собой разности относительных отклонений частоты опорного генератора уоп и частоты у; генератора под номером I. Опорным будем считать генератор с номером 1, что не меняет общности разрабатываемой математической модели; I принимает значение от 2 до п, п - число генераторов в групповом эталоне. Таким образом,
Zi(s) = yi(s)-yi(s) + £(s),
(1)
где 5 - дискретное время, ф) - погрешность измерений.
Обычно интервал между измерениями составляет одни сутки. При обработке данных, получаемых на суточных интервалах, шумами измерений, ввиду их малости, пренебрегают.
Из уравнения (1) видно, что измерения описыва-
ются линеиными уравнениями с матрицей измерении Н:
г 1 -1 0 - 0т
Н =
10
1
0
10 0 - -1
В результате система измерений, выполняемых в групповых эталонах, имеет вид [3]
Z = HY
(2)
Ранг матрицы Н равен п - 1. В этом случае решение уравнения (2) находится с помощью псевдообратной матрицы. Тогда составляющая у1 - относительное отклонение частоты опорного генератора - равна среднему арифметическому результатов измерений:
A(s)= 1x^(5).
(3)
Из теории СС следует, что оценка их состояния находится с помощью математических моделей, описывающих динамику системы. В рассматриваемых системах - групповых эталонах физических величин -результаты измерений упорядочены во времени, т.е. являются равнопромежуточными временными рядами, поэтому при обработке данных естественно использовать модели временных рядов - модели авто-регрессии-скользящего среднего (динамические стохастические модели). Поскольку при обработке данных, получаемых на суточных интервалах, шумами измерений можно пренебречь, то для определения вектора состояния У^) достаточно получить оценку состояния у; какой-либо из составляющих вектора У. Оценки остальных составляющих найдутся непосредственно из результатов измерений при замене величины у; ее оценкой у;.
Оценка у1 находится с использованием прогнозирующих моделей по формуле [3]:
Л(0 = 1яЦ^) + й(1)),
(4)
где у;(1) - прогноз величины у;, вычисленный на предыдущем такте обработки данных. (В выражении (4) суммирование ведется при индексах ¿, меняющихся от 1 до п, для чего в сумму добавлено «фиктивное
измерение» г1=у1-у1 = 0. Это дает возможность использования формулы (4) с учетом прогноза у^)).
Прогнозирующие модели авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) строятся с помощью широко известной методики Бокса-Дженкинса [4]. В процессе функционирования групповых эталонов выполняются косвенные измерения г1. Методика построения моделей АРСС по результатам косвенных измерений детально изложена в работах [3, 5, 6]. Бокс и Дженкинс придерживаются мнения, что для получения «достаточно хороших» моделей временных рядов необходимо иметь временные ряды, содержащие не менее ста точек. При обработке данных, получаемых на суточных интервалах, такое требование приводит к большой временной задержке между моментами ввода в эталон новых генераторов (или после их перенастройки) и моментами включения результатов измерений с их участием в состав группы (т.е. при вычислении оценки у1 по формуле (4)). Наиболее приемлемый подход для уменьшения этой задержки заключается в использовании адаптивных процедур.
Адаптивные процедуры, разработанные в рамках теории СС, опираются на методы стохастической аппроксимации. Ю.М. Ермольев [7] рассматривает метод стохастического квазиградиента, который был использован авторами настоящей статьи для адаптации одномерной модели временного ряда [8]. При этом строилась последовательность точек:
ßs+i = -psasßs),
(5)
где ß^- вектор параметров модели на такте s; 7iß -операция проектирования в область допустимых значений; ps-коэффициент адаптации; as- градиент
целевой функции (функция потерь).
Операция проектирования в случае процесса авторегрессии первого порядка сводится к ограничению коэффициента фг по модулю 1. Коэффициент адаптации ps полагается равным -. При функции потерь, равной сумме квадратов ошибок прогнозов, градиент as равен удвоенной ошибке прогноза. Более подробно этот эксперимент описан в [6]. Процесс адаптации достаточно быстро сходится, обеспечивая убывание функции потерь (сумма квадратов ошибок прогноза).
Рассмотренный в [8] пример носит иллюстративный характер, так как реальные временные ряды, описывающие процессы изменения частоты водородных генераторов, зачастую содержат детерминированные тренды. В общем случае временные ряды могут быть представлены следующей математической моделью:
y(s) = ¿(s) + ß(s) + C(s), (6)
где A(s) - детерминированный тренд; B(s) - сезонная составляющая; C(s) - случайная составляющая; s = 1,2,... - дискретное время. При анализе реальных временных рядов, описывающих процессы изменения частоты водородных генераторов, сезонные составляющие не обнаружены [6]. Поэтому член B(s) можно исключить из модели (6). Таким образом, мы представляем исследуемый процесс как сумму двух со-
ставляющих: С (s) - процесс АРСС, Л (s) - детерминированный тренд.
Рассмотрим процедуру адаптации временных рядов, содержащих линейные тренды. Это, во-первых, в большинстве случаев не противоречит реальности [6], а во-вторых, расширение полученных результатов на тренды, описываемые полиномами более высоких порядков, не представляет трудности.
Известно, что процедура подстройки вектора параметров р и коэффициентов линейного тренда Ь0 и Ь1 должна производиться раздельно, так как рассматриваемая задача может быть отнесена к задаче стохастического программирования со сложными функциями регрессии [7]. При этом в обязательном порядке необходима раздельная корректировка коэффициентов авторегрессии-скользящего среднего и оценок Ь0 и Ь1. Более того, как показано в работе [9], при идентификации систем, содержащих детерминированную и стохастическую составляющие, невозможно получение однозначного решения поставленной задачи. В нашем случае это очевидно: допустимо бесчисленное множество комбинаций параметров детерминированного тренда и составляющих вектора р, доставляющих минимум функции потерь. Таким образом, еще раз убеждаемся в необходимости раздельного рассмотрения вероятностной и детерминированной составляющей временного ряда.
В дальнейшем, говоря о параметрах тренда, будем подразумевать только коэффициент Ь1. Влияние члена Ь0 можно не учитывать, т.к. в реальных системах информацию о его величине просто получить с помощью «внешних сличений» эталона (т.е. с использованием космических навигационных систем).
Пример временного ряда, содержащего линейный тренд, приведен на рис. 1. Ряд сгенерирован на основе модели «формирующего фильтра». При этом на детерминированный тренд с углом наклона (коэффициент bj 0.03 был наложен процесс авторегрессии первого порядка. Коэффициент посчитали равным 0.5. Среднее квадратическое отклонение (СКО) «белого шума», возбуждающего систему, равнялось 0.5.
У*
150
Рис. 1. Временной ряд, полученный наложением процесса авторегрессии первого порядка на линейную функцию
Прежде чем производить адаптацию полученного временного ряда, провели успешные исследования по раздельной адаптации двух переменных рядов: 1) содержащего только процесс авторегрессии с заданным; 2) временного ряда, содержащего детерминированный тренд с аддитивным шумом. Первый эксперимент описан в работе [8]. При этом использовался метод стохастического квазиградиента, а процесс подстройки коэффициента ф1 проводился по формуле (5).
Подстройка коэффициента Ь1, определяющего угол наклона детерминированного тренда, осуществлялась в соответствии с рекомендациями Ю.М. Ермольева при описании процедуры адаптации со сложной функцией регрессии [7]. Эти рекомендации полностью совпадают с методом стохастической аппроксимации (процедура Роббинса-Монро) [10], когда коррекция величины Ь1 пропорциональна погрешности прогноза текущего члена ряда. Вес р5, или коэффициент адаптации, равен 1. Естественно, что и этот эксперимент дал положительные результаты.
Несмотря на кажущуюся простоту проведенных исследований, из их результатов следуют весьма серьезные выводы:
1. Поскольку раздельная подстройка параметров ф1 и Ь1 дает положительные результаты, можно рассмотренные процедуры использовать в более общем случае, связанном с одновременной подстройкой этих величин.
2. Общий прогноз временного ряда, содержащего детерминированный тренд с наложенным на него процессом АРСС, должен содержать сумму прогнозов, обусловленных этими составляющими.
3. Для вычисления составляющей прогноза, обусловленной детерминированным трендом, достаточно иметь оценку коэффициента Ь1, вычисленную на предыдущем такте обработки данных (в случае, когда тренд - линейный).
4. Для вычисления составляющей прогноза, обусловленной процессом авторегрессии первого порядка, требуется знать текущее состояние этого процесса.
Последний пункт крайне важен, т.к. подразумевает возможность разбиения временного ряда на две составляющие. Для решения этой задачи предложена следующая методика.
Шаг 1. Проводится статистический анализ начального участка временного ряда , имеющегося в распоряжении исследователя. Строится функция линейной регрессии у(я) = Ь1 • 5 (по указанным выше причинам коэффициент Ь0 в модель не включается).
Шаг 2. Из исходного ряда (на начальном участке) удаляется линейная функция. Для оставшейся составляющей ряда строится динамическая стохастическая модель (модель АРСС).
Шаг 3. В процессе адаптации вычисляются прогнозы обеих составляющих ряда . Общий прогноз находится их суммированием. Ошибка прогноза ДУ5 находится как разность между «истинным» значением ряда и его прогнозом У5-1(1), вычисленным на
предыдущем такте.
Шаг 4. Ошибка прогноза ДУ5 делится на две составляющие:
- ошибка, обусловленная погрешностью оценки угла наклона линейного тренда;
- ошибка, вызванная погрешностью оценки стохастической составляющей.
Для выполнения этой операции воспользуемся результатами статистического анализа, выполненного на начальном участке временного ряда. При построении линейной регрессии и моделей АРСС находятся суммы квадратов остатков, полученные на конечном этапе построения моделей. Так как эти суммы пропорциональны остаточным дисперсиям, то вес, определяющий долю каждой составляющей процесса в общей ошибке прогноза, должен быть пропорциональным этим дисперсиям (по существу мы решаем задачу, обратную задаче объединения неравноточных измерений, что и обусловило такой подход к определению веса; разумеется, его сумма должна равняться единице).
Значение текущей составляющей стохастического процесса находится как сумма прогноза этого процесса, вычисленного на основе модели АРСС, и его ошибки.
Как указывалось выше, временной ряд, имитирующий процесс изменения относительного отклонения частоты водородного стандарта при наличии линейного тренда частоты, генерировался при следующих исходных данных: У1 =0; Ь0 = 0; Ь1 = 0.03; ф1 = 0.5; аа = 0.5 - СКО белого шума, «возбуждающего» систему). Статистический анализ сгенерированного ряда из 150 точек дал следующие оценки параметров процесса: = 0.0384; = 0.529.
Эти оценки будем в дальнейшем считать «истинными значениями параметров». Весьма значительное расхождение между величинами Ь1 и Ь1150 вызвано большой дисперсией белого шума, «возбуждающего» систему.
Оценки параметров, полученные на начальном интервале (по выборке из 50 точек), равны: ¿1 = 0.0384, ф15о = 0.529. Именно с этих значений и начинается процесс адаптации (процедура построения моделей временных рядов, т.е. линейной регрессионной модели и модели авторегрессии первого порядка, проводилась с помощью пакета прикладных программ 8ТЛТ!8Т!СЛ).
Процесс адаптации модели авторегрессии при наличии детерминированного тренда, описанный выше, реализован в программе, написанной в МЛТИСЛй. «Разбиение» погрешности прогноза на каждом шаге адаптации, производимая в пропорции 2:1, соответствует суммам квадратов остатков от линейной функции и сумме, полученной при построении модели авторегрессии.
Процесс подстройки параметров ф1 и Ь1 показан на рисунках 2 и 3, из которых видно, что он проходит в нужном направлении. Незначительное улучшение оценки коэффициента Ь1 после адаптации (¿^ =
0.0384, blso = 0.0376, 6ll50 = 0.0 39) свидетельствует лишь о том, что начальное приближение, полученное по 50 точкам (¿i50), незначительно отличается от «истинного» значения этого параметра (оценка по 150 точкам - ¿i150). Все же следует отметить, что абсолютная погрешность оценки этого параметра уменьшилась в процессе адаптации более чем в два раза.
Рис. 2. Процесс адаптации коэффициента ф1
0.08
0.06
\ 0.04
0.02
150
Рис. 3. Процесс подстройки коэффициента Ь1
График квадратов остатков, полученных в процессе адаптации, мы здесь не приводим, поскольку он почти ничем не отличается от соответствующего рисунка в работе [8], (средний квадрат остатков довольно быстро убывает с каждым шагом).
Все вышесказанное относится к процессам адаптации одномерных моделей временных рядов при наличии линейных детерминированных трендов. Присутствие полиномиальных трендов более высокого порядка не меняет сути рассмотренной методики. Достаточно лишь при подстройке детерминированной составляющей оценивать на каждом такте адаптации не один параметр Ь1, а несколько. Например, при включении в модель полинома третьей степени необходимо оценивать коэффициенты Ь1, Ь2, Ь3 (коэффициент Ь0, в силу указанных выше обстоятельств, в модель включать не следует).
Переход к многомерным моделям временных рядов и их адаптации основан на том, что результаты
измерений, выполняемых в групповых эталонах, представляют собой разности относительных отклонений частоты опорного генератора и всех остальных генераторов, входящих в групповой эталон ВиЧ. При этом следует для каждого такта 5 рассматривать величины 2; О) = У1(5) -У;0), 1=2,..., П.
Имея в распоряжении начальные оценки величин уг и у;, можно построить соответствующие динамические модели - модели АРСС и вычислять прогнозы этих величин, а, стало быть, и величин г; на один такт вперед. Процедура адаптации таких многомерных моделей основана на минимизации математического ожидания квадрата ошибки прогноза, т.е. величины
- ¿5_1(1))2. Подробно эта процедура, при отсутствии детерминированных трендов, исследована в статье [11].
Если рассматривать систему обработки данных, получаемых в групповых эталонах ВиЧ, как информационно-измерительную систему, включающую в себя не только измерительную аппаратуру, но и программу вычисления оценок у^), то можно все исследованные в данной работе положения применять к многомерным моделям временных рядов, содержащих детерминированные тренды. При этом, учитывая, что ряды относительных отклонений частоты водородных генераторов не коррелированы (во всяком случае, такое требование должно выполняться для эталонов, функционирующих в нормальном режиме), можно произвести декомпозицию вектора на отдельные составляющие и рассматривать полученные ряды оценок у^б) в качестве «истинных» значений у;. Тогда все представленные выше положения можно применить к адаптации многомерных моделей, содержащих детерминированные тренды.
Выводы. Предлагаемая методика позволяет производить адаптацию прогнозирующих моделей временных рядов при наличии в них детерминированных составляющих. Использование адаптивных моделей позволяет значительно сократить этап первоначального накопления данных. Так, при обработке данных, полученных на суточных интервалах, можно строить модель АРСС по рядам, состоящим примерно из 50 точек, вместо рекомендованных авторитетными специалистами 100-120 точек. Как следствие - уменьшается задержка между моментом включения в состав группового эталона новых генераторов и началом использования результатов измерений, выполненных с участием этих генераторов, на 2-3 месяца.
При рассмотренной выше методике адаптации коэффициент р0 полагался равным —Ц, где к - объем
первоначальной выборки. После обнаружения разладки модели следует от режима «подстройки» параметров моделей переходить к режиму их «перенастройки». Однако для этого необходимо решить проблему обнаружения момента разладки, что и определяет направление дальнейших исследований.
Статья поступила 25.11.2014 г.
1. Острем К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Б.и., 1973. 321 с.
2. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2000. 999 с.
3. Khrustalev Yu. P. Statistical and dynamic processing of data obtained when handling time and frequency standards // Measurement Techniques. 2004. V. 47. №. 6. P. 555-561.
4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с.
5. Khrustalev Yu.P., Serysheva I.A. Increasing of robustness of estimators of the state of time and frequency standards // Measurement Techniques. 2014. V. 57. №. 5. P. 519-525.
6. Хрусталев Ю.П., Акулов В.М., Ипполитов А.А., Курыше-ва Л.Н. Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты // Вестник ИрГТУ. 2012. № 7. С. 22-29.
ский список
7. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976. 239 с.
8. Серышева И.А., Хрусталев Ю.П. Метод стохастического квазиградиента в задаче адаптации прогнозирующих моделей // Вестник ИрГТУ. 2013. № 12. С. 25-30.
9. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. 384 с.
10. Невельсон М.Б., Хасминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972. 304 с.
11. Серышева И.А., Хрусталев Ю.П. Адаптация многомерных динамических стохастических моделей // Современные технологии. Системный анализ. 2014. № 2 (42). С. 78-84.
