Адаптация метода конечных элементов для решения нелинейной задачи расчета параметров объемного напряженно-деформированного состояния разрушаемого углепородного массива Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

© Л.Д. Павлова, В.Н. Фрянов, 2008

УДК 622.831.232

Л.Д. Павлова, В.Н. Фрянов

АДАПТАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕМНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РАЗРУШАЕМОГО УГЛЕПОРОДНОГО МАССИВА

Семинар № 4

Установлены зависимости секущего модуля деформаций пород в зонах нелинейного деформирования с учетом хрупкости и остаточной прочности горных пород для расчета параметров объемного напряженно-деформированного состояния разрушаемого углепородного массива

Деформирование горных пород может быть описано линейно-упругой моделью лишь до определенного уровня напряжений, за пределами которого линейная связь напряжений и деформаций нарушается. На рис. 1 приведена диаграмма деформирования горных пород при испытании на сжатие [1], на которой выделено три характерных участка: упругого, упруго-нелинейного и запредельного деформирования.

В зоне упругих деформаций горные породы в целом сохраняют свою структуру и свойства, поэтому, до некоторых величин напряжений о^ и деформаций £ч, определяющих предел упругости, между ними существует линейная связь. Модуль упругости в этой зоне остается постоянным.

В зоне необратимых деформаций в породах происходит раскрытие микро- и макротрещин, поэтому деформирование пород характеризует-

ся нелинейной связью между о и £ (рис. 1) и уменьшением секущего модуля деформаций (Ед = о / £).

В зоне запредельного деформирования, когда напряжения достигнут предела прочности породы осж, деформирование сопровождается снижением сопротивления пород вследствие формирования макротрещин и блоков, изменения механических свойств пород и прогрессирующего разрушения, что проявляется в спаде нагрузки на диаграмме «напряжения-деформации». Секущий модуль деформаций в предельной точке В достигает некоторого значения Едпр и уменьшается в зоне запредельных деформаций (рис. 1).

В горном массиве, в зависимости от деформированного состояния горных пород, могут одновременно существовать все три характерные области. Например, в окрестности горных выработок, где максимальные деформации наблюдаются вблизи контура выработки, образуются следующие области:

• примыкающая к контуру выработки область запредельных деформаций, разрушения или остаточной прочности горных пород;

• следующая за ней в глубь массива область необратимых деформаций

Рис. 1. Диаграмма «напряжения-деформации» при испьтании на сжатие

с постепенно возрастающей прочностью горных пород;

• в глубине массива породы находятся в состоянии упругого деформирования.

В зоне упругих деформаций значение секущего модуля деформаций равно значению модуля упругости.

Для вычисления секущего модуля деформаций в зоне необратимых деформаций нелинейный участок диаграммы можно аппроксимировать кривой второго порядка

о = а£2 + Ь£ . (1)

Коэффициенты а и Ь определяются из системы уравнений:

о у = а£у + Ь£ у

\0аж = а£сж + Ь£ж >

(2)

где оч — упругое предельное напряжение; осж — предел прочности пород в точке В (рис. 1); £сж — предел деформации пород в точке В (рис. 1).

Если обозначить модуль деформации в предельной точке Елпр

( Едпр = ож/£сж ), а модуль упругости

Еv (Еу = оу / £у) тогда коэффициенты системы (2) можно записать следующим образом:,

а =

Л

Р

у сж

1

"у

£ сж £ у

Еп - Е

дпр у

£ сж £ у

ь =

\

у

у £сж

= Е — Едпр ЕУ

у

8

£ - £

сж у

()

£ сж £ у

У

После подстановки коэффициентов (3) в формулу (1), уравнение участка диаграммы в зоне необратимых деформаций будет иметь следующий вид:

Едпр - Еу 2

о =------------------ £

£ сж - £ у

(

\

Е - Едпр Еу

у £ сж - £ у

\

£.

(4)

Одним из параметров, характеризующих площадь зоны упругих деформаций на диаграмме «напряжения - деформации» (рис. 1), является коэффициент хрупкости кхр. Если пред-

положить, что кхр = (£у / £сж)т, где т — эмпирический коэффициент, тогда уравнение (4) при т = 1 можно представить в виде

Еп=£жЙ)(-е')+Еу' (5)

Пусть Ед = ЕукПр, где п — эмпирический коэффициент. Тогда, учи-

тывая, что

0сж кхр

8у =

о„

Е„

8 сж

У

Еукхр

уравнение (5) будет иметь следующий вид

( Л \

1 --

Ед = Еу

М1!^ (<е- - о к )

\шу сж хр у

/

ХЄ < 8 < 8 .

у сж

(5)

Секущий модуль деформаций в зоне запредельных деформаций вычисляется с учетом остаточной прочности пород по формуле

Ел = кр Еу (6)

где кр — коэффициент остаточной прочности угля или породы.

Коэффициент остаточной прочности породы можно вычислять на основе теории Кулона [3]. Считая главные напряжения о1; о2,о3 равноправ-

Рис. 2. Графическое изображение предельных поверхностей пирамиды Кулона в пространстве главных напряжений [3]

ными, критериальные уравнения Кулона определяют в пространстве шесть плоскостей, которые образуют шестигранную пирамиду (рис. 2)

о, = о с + о ^5,

7,7 = 1,2,3, (7*7)

где ос — предел прочности пород при одноосном сжатии; гід5 = (1 + віпф)/ (1 - Біпф); ф — угол внутреннего трения.

В области растяжения шестигранную пирамиду венчает трехгранная пирамида, сформированная тремя плоскостями

о,- = о„ /=1,2,3

(8)

где ор — предел прочности пород при растяжении (ор < 0).

В сечении шестигранной пирамиды плоскостью о1 = о2, проходящую через ось о3 и гидростатическую ось, углы наклона верхнего и нижнего ребер пирамиды а и в определяются соответственно по формулам:

л/СС^ф

1еа =-------

+ С^ф С^ф

(9)

1§аР =

ТС (+с^ф)

где С — сцепление.

Однако, в случае объемного напряженного состояния, для определения границ зоны нарушенных пород, т.е. нахождения конечного элемента вне пирамиды Кулона, требуется шестикратная проверка главных трех напряжений в зоне сжатия и

трехкратная — в зоне растяжения для каждого конечного элемента. Поэтому в настоящей работе предлагается аппроксимировать шестигранную пирамиду Кулона конусом. Критерий подобного вида является обобщенным критерием Кулона-Мизеса. Для конуса, вершина которого совпадает с вершиной шестигранной пирамиды Кулона и угол раскрытия которого равен углу раскрытия пирамиды (9), обобщенный критерий Кулона-Миз-еса будет иметь вид:

| = (С^ф + °ос,) ) [ я/ 4 - (<х + р )с];

1° ос, = о р

(10)

По результатам сравнения напряженного состояния пород в конечных элементах относительно предельной поверхности конуса коэффициент остаточной прочности породы в эле-

но-деформированного состояния (НДС) массива горных пород с нелинейными характеристиками: варьируемой жесткости, начальных напряжений, начальных деформаций [1]. При решении нелинейных задач методом конечных элементов осуществляются несколько последовательных решений упругих задач заданной области с изменяемыми параметрами.

В данной работе предлагается способ модификации матриц жесткости элементов в зависимости от механических свойств слоистого горного массива, и секущих характеристик, связывающих полные напряжения и деформации [4].

Матрица жесткости идеально упругого материала (Щ) при фиксированном модуле упругости (Е) определяется по формуле (12).

Е - ц) ц ц 0 0 0

ц Е- ц) ц 0 0 0

Е ц ц Е - ц) 0 0 0

Е+ц )Е - ц) 0 0 0 (1 - 2ц )2 0 0

0 0 0 0 (1- 2ц)) 0

0 0 0 0 0 (1- 2ц )/2

(12)

где ц — коэффициент Пуассона.

менте определяется следующим образом:

к тос, >если о ос, ^о р

Р= 1оПШд = оос,> если оос, > ор ’ пред пред

где тос, и оос, — предельные октаэдрические напряжения, вычисленные по критерию Кулона-Мизеса.

Существуют различные процедуры определения параметров напряжен-

Реальный массив осадочных горных пород в силу особенностей его формирования имеет, как правило, слоистое строение. При этом если механические свойства отдельных слоев разные, то и матрицы жесткости материалов для элементов, расположенных в этих слоях, различаются. Для заданного модуля упругости по слоям матрица жесткости будет иметь вид

-5 0 5 Ю 15 20 25 30 35 40

Расстояние от забоя, м

Рис. 3. Зона поврежденных и разрушенных пород кровли на основе обобщенного критерия Кулона-Мизеса

Ц = в (Е) (13)

где Б[ — модуль упругости / -го слоя, /

= 1, N0; N0 — количество слоев.

Тогда локальные матрицы жесткости конечных элементов, в зависимости от их принадлежности к угольному пласту или породному слою с заданным начальным модулем упругости, описываются соотношениями:

В= в (Е). м

где / — номер элемента, ] = 1, N N — количество элементов.

При упругом решении, используя локальные матрицы жесткости конечных элементов (14), строится глобальная матрица жесткости и решается система уравнений с использованием стандартных процедур метода конечных элементов для определения параметров объемного НДС слоистого массива горных пород.

Под нагрузкой необратимые деформации в элементах свидетельствуют о нелинейной упругости, свя-

занной с напряжениями нелинейными соотношениями. В этом случае на основе анализа полученных параметров НДС слоистого горного массива матрицы жесткости конечных элементов модифицируются с учетом деформированного состояния горных пород в зоне влияния системы горных выработок.

Для каждого элемента значение секущего модуля деформации в зависимости от состояния породы в /-том конечном элементе /-того вычисляется следующим образом:

Е у в зоне упругих деформаций;

по формуле (5), в зоне

Еду = < необратимых деформаций;

по формуле (6), в зоне

запредельных деформаций.

(15)

Тогда локальная матрица жесткости конечного элемента, с учётом не-

обратимых и запредельных деформаций, будет иметь вид:

Всу = В (Еду ). (16)

При нелинейном решении, используя локальные матрицы жесткости конечных элементов (16), строится глобальная матрица и повторно решается система уравнений для определения перемещений в узлах элементов и параметров НДС слоистого массива горных пород.

Результаты определения зоны поврежденных и разрушенных пород кровли при камерной отработке пласта, полученные на основе обобщенного критерия Кулона-Мизеса, приведены на рис. 3 в виде изолиний коэффициента остаточной прочности пород. Граница зоны поврежденных пород соответствует изолинии, имею-

1. Амусин Б.З. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики / Б.З. Амусин, А.Б. Фадеев. — М.: Недра, 1975. — 144 с.

2. Физико-технические свойства горных пород и углей Кузнецкого бассейна: Справочник / Г.Г. Штумпф [и др.]. — М.: Недра, 1994. — 447 с.

шей значение коэффициента остаточной прочности kp = 1.

Полученные границы зоны обрушения подработанных пород кровли хорошо согласуются с результатами натурных наблюдений, описанных в работах основоположников горной геомеханики A.A. Борисова, Г.Н. Кузнецова, С.Т. Кузнецова, В.Д. Слесаре-ва, Г.Ё. Фисенко и др. Это позволяет сделать вывод о том, что установленные зависимости секушего модуля деформаций пород в зонах нелинейного деформирования с учетом хрупкости и остаточной прочности горных пород удовлетворительно описывают механизм разрушения горных пород, а также обеспечивают простой способ прогнозирования их прочностных свойств при разнообразных видах объемного напряженного состояния.

------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Прочность и деформируемость горных пород / Ю.М. Карташов [и др.]. — М.: Недра, 1979. — 269 с.

4. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике / А.Б. Фадеев. — М.: Недра, 1987. — 221с. ШИЗ

— Коротко об авторах

Фрянов В.Н. — доктор технических наук, профессор,

Павлова Л.Д. — кандидат технических наук, доцент,

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет», г. Новокузнецк.

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 4 симпозиума «Неделя горняка-2008». Рецензент д-р техн. наук, проф. С.А. Гончаров.