Абстрактный автомат и формирование кортежа с непересекающимися соединениями Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

УДК 519.172

АБСТРАКТНЫЙ АВТОМАТ И ФОРМИРОВАНИЕ КОРТЕЖА С НЕПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ СОЕДИНЕНИЯМИ

ЧЕЧЕНЯ В.С._

Рассматривается проблема проведения соединений печатных плат в области BGA. Предлагается универсальная математическая модель проведения соединений между контактами BGA компонент для вывода их на периферию, что очень важно при проектировании плоских конструктивов. Описывается формирование рисунка схемы с матричным расположением контактов для соединений, которые не пересекаются. Показывается, что кортеж элементов схемы может быть использован для описания соединений, проверки загрузки макродискрета. Введение

При проектировании современных сложных электронных устройств характерной особенностью является применение микросхем большой и сверхбольшой степени интеграции - это печатные платы, которые содержат корпуса типа LGA, BGA, CGA.

Сложность проектирования плоских конструктивов в области расположения различного рода матричных корпусов заключается в получении качественного рисунка проведения соединений. При этом главная цель состоит в том, чтобы вывести все соединения на периферию BGA, используя как можно меньше слоёв. Несмотря на то, что задача трассировки печатных плат является одним из самых актуальных в области проектирования БИС и СБИСи, несмотря на изобилие разработанных методов, ученые и проектировщики не могут добиться получения качественного рисунка схемы в области BGA и зачастую трассировка внутреннего пространства BGA компонентов обычно осуществляется либо вручную, либо по шаблону.

На разрешение задачи получения качественного рисунка схемы способна повлиять только разработка математического аппарата для проектирования плоских конструктивов в области размещения компонент матричных корпусов. 1.Постановка задачи

Для решения подобных задач необходим принципиально новый подход к процессу трассировки [1,2]. Поэтому в данной работе представлен метод построения рисунка схемы без пересечения проводников с минимальным количеством слоев для проектирования плоских конструктивов с BGA компонентами. Разработан математический аппарат проведения соединений, оценки качества проведения соединений, оптимизации полученного решения. Предложенная математическая модель проведения соединений в целях формирования кортежа соединений представлена в виде циклического фрагмента.

Поэтому сам процесс проведения соединений можно описать как комбинаторную задачу размещения и перестановки элементов.

2. Обзор литературы

Микросхемы в корпусе BGA относительно недороги и имеют малые размеры [3]. Но, несмотря на свою популярность применения, трассировка печатных плат с участием корпусов BGA проблематична. Причин, по которым необходим быстрый выход на периферию, несколько. Обычная последовательная трассировка с перекладкой не устраняет кратных пересечений проводников. В связи с этим могут появляться «лишние межслойные переходы», ещё больше увеличивая плотность размещения контактов [4]. В свою очередь увеличение межслойных переходов влечет за собой ряд других факторов -уменьшение толщины проводников и расстояний между ними, специфики межслойных соединений, что является катастрофой для BGA. Несмотря на развитие САПР, современные программные средства не в состоянии справиться с поставленной задачей [4]. Поэтому зачастую качество выполненной работы, а именно рисунок проведения соединений оставляет желать лучшего.

Поэтому, исходя из актуальности задачи, исследование посвящено разработке математического аппарата для получения рисунка схемы проведения соединений в области BGA, который соответствует конструкторско-технологическим требованиям.

3. Материалы и методы

Рассмотрим методы формирования кортежа соединений, когда местоположение контактов на внешнем контуре должно быть представлено циклическим фрагментом, т.е. расположение контактов должно быть задано в виде циклической последовательности [1,2,5-7]. Математическая модель проведения соединений в целях формирования кортежа соединений в виде циклического фрагмента заключается в формировании последовательности соединений различного уровня. Проведение соединений ассоциируется с размещением и перестановкой элементов в кортеже. На каждом шаге построения между контактами текущего уровня необходимо разместить следы соединений контактов предыдущего уровня. При этом нужно произвести равномерное проведение соединений по макродискретам.

Рассмотрим подробно структуру макродискрета (рис. 1). В качестве примера рассмотрим макродискрет М1.

Рис. 1. Макродискрет Мб

Макродискрет состоит из четырех контактов: правый нижний контакт bi, левый нижний контакт ai, правый верхний контакт b2, левый верхний контакт Ьз. Также имеются четыре топомет-рических линии в виде направленных отрезков (bi,b2),(b2,b3),(b3,ai),(ai,bi). Из нижнего правого контакта имеется возможность проведения только четырех соединений. Таким образом, на уровне Ub ^<t bit b2| Ьз|> имеется четыре возможных способа расположения следов соединений предыдущего уровня. Стрелками указано возможное место расположения следов предыдущего уровня. Таким образом, можно характеризовать каждое расположение элементов в кортеже характеристическим вектором Sb. В характеристическом векторе Sb позиции с ненулевым значением характеризуют след соединений предыдущего уровня, например (рис. 2): кортежу ybi = <ai,bi,b2,b3> соответствует характеристический вектор Sbi= (i,0,0,0); кортежу yb2 = <bi,ai,b2,b3> соответствует характеристический вектор Sb2 = (0,i,0,0); кортежу yb3 = <bi,b2,ai,b3> соответствует характеристический вектор Sb3= (0,0,i,0); кортежу yb4 = <bi,b2,b3,ai> соответствует характеристический вектор Sb4 = (0,0,0,i).

• 6 — функция переходов АА, которая парам состояние — входной сигнал (Бш^) ставит в соответствие состояние АА Бб, т.е. Бб = (Бш^), Бб е 8;

• А — функция выходов АА, которая парам состояние — входной сигнал (Бш^) ставит в соответствие выходной сигнал АА yg, т.е. yg = (Бш^), yg е У;

• — начальное состояние. АА работает в дискретные моменты времени, и в момент времени 1 = 0 автомат всегда находится в состоянии Б1. В момент времени 1 = 0 + А1 автомат может перейти в другое состояние.

Рис. 3. Проведение соединений в макродискрете Mi

Рис. 4. Граф работы автомата

БЬ1 Бь2 = Бьз = БЬ4 =

=(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

Рис. 2. Распределение соединений в уровне Ь

Для описания процесса последовательного построения соединений, начиная с макродискрета М1, воспользуемся методами теории автоматов [15-17].

Определение. Абстрактный автомат является математической моделью дискретного устройства и описывается шестикомпонентным набором АА = (8,Х,У, а, Л ,а1), где

• 8 = {81,82,...,Бт,...,Бм} - множество состояний;

• X = {х1,Х2,...,Х^...,Хр} — множество входных сигналов;

• У = {у1,у2,...^,...,уа} — множество выходных сигналов;

Рассмотрим формирование кортежа для уровня Ь (рис. 3 и рис. 4). Здесь имеется всего один элемент множества входных сигналов х1 = {<Ь1,Ь2,Ьз>,<а1>}, состоящий из кортежа контактов уровня Иь (саМИь = 3) и следа соединения контакта а1 нижнего уровня Иа (саМИа = 1). Состояние автомата определяется множеством 8, состоящим из четырех характеристических векторов: Б1 = (1,0,0,0), 82 = (0,1,0,0), бз = (0,0,1,0), 84 = (0,0,1,0). Мощность каждого вектора определяется как саг^ = саМИк + 1, т.е. мощность кортежа контактов текущего слоя плюс единица. Функция переходов г) паре состояния = (0,1,0,0) и входному сигналу х1 = {<Ь1,Ь2,Ьз>,<а1>} ставит в соответствие состояние АА в виде вектора 6 = (0,Ь1,а1,Ь2,0,Ьз,0). Функция выходов Л = (1>1,а1,Ь2,Ьз) паре состояния Б2 = (0,1,0,0) и входному сигналу х1 = {<Ь1,Ь2,Ьз>,<а1>} ставит в соответствие один из элементов множества выходных сигналов У, а именно у = <Ь1,а1,Ь2,Ь2>. Начальное состояние определяется как 82 = (0,1,0,0).

АА,,

АЛ,

АЛ,

АА, |—

АА„

Рис. 5. Последовательность выполнения работы автоматами для построения внешнего циклического фрагмента

В общем случае процесс построения циклического фрагмента для внешних выводов компонента BGA можно представить как последовательную работу абстрактных автоматов, где вы-

ходной сигнал одного автомата является входным сигналом следующего автомата (рис. 5). На уровне Ис ^ <Т с1Т с2Т сзТ с4Т с5Т> имеется шесть возможных способов расположения следов соединений предыдущего уровня. Стрелками указанно возможное место расположения следов предыдущего уровня. Одновременно могут быть задействованы только четыре следа соединений из предыдущего уровня. Рассмотрим эти возможности, перечислив все характеристические векторы

Если при проведении соединений учитывать равномерное их распределение по макродискретам, то с этой целью нужно исключить из рассмотрения векторы 8с1,8с2,8сз,8сб,8с7,8с14 , так как по сторонам с2 - сз и сз - с4 диагонального макродискрета (3 и 4 места в характеристическом векторе) осуществляется проведение по одному соединению. Но данные стороны принадлежат одному диагональному макродискрету Мз, то есть получается, что в данном макродискрете Мз осуществляется проведение двух соединений. А это противоречит требованиям равномерного распределения соединений по макродискретам. Сформируем кортежи (рис. 6) для уровня с относительного кортежа предыдущего уровня Ь и вектора 8с4 = (1,1,1,0,1,0) : Ус1 ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т>

а1 Ь1 Ь2 0 Ьз 0 <а1,с1,Ьх,с2,Ь2,сз,с4,Ьэ,с5>; Ус2 ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т>

Ь1 а1 Ь2 0 Ьз 0 <Ь1,с1 ,Я1,с2,Ь2,сз,с4,Ьэ,с5>; Ус3 ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т> Ь1 Ь2 а1 0 Ьз 0 <Ь1,с1 ,Ь2,с2,Я1,сз,с4,Ьэ,с5>; Ус4 ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т> Ь1 Ь2 Ьз 0 а1 0 <Ь1,с1 ,Ь2,с2,Ьэ,сз,с4,Я1,с5>.

Рис. 6. Кортежи для характеристического вектора 8с4 = (1,1,1,0,1,0)

Рассмотрим формирование кортежа усз для уровня Ис усз = <Ь1,с1,Ь2,с2,а1,сз,с4,Ьз,с5>.

В автомате ААс имеется четыре элемента множества входных сигналов

х1 = {<с1,с2,сз,с4,с5>,<а1,Ь1,Ь2,Ьз>}, х2 = {<с:,с2,сз,с4,с5>,<Ь:,а1,Ь2,Ьз>}, хз = {<с:,с2,сз,с4,с5>,<Ь:,Ь2,а1,Ьз>}, х4 = {<с1,с2,сз,с4,с5>,<а1,Ь1,Ь2,Ьз>}, состоящих из кортежа контактов уровня Ис (саг-dUc = 5) и следа соединения контакта а1,Ы,Ь2,Ьз нижнего уровня Иь (саМИа = 4). Состояние автомата определяется множеством 8, состоящим из 15-ти характеристических векторов: 81 = (1,1,1,1,0,0), 84 = (0,1,1,1,1,0), 8з = (0,0,1,1,1,1), 84 = (1,1,1,0,1,0) и т.д. Мощность каждого вектора определяется как саМУ1 = саМИс + 1, т.е. мощность кортежа контактов текущего слоя плюс единица. Функция переходов 6 паре состояния = (1,1,1,0,1,0) и входному сигналу хз = {<с1,с2,сз,с4,с5>,<Ь1,Ь2,а1,Ьз>} ставит в соответствие состояние АА в виде вектора 6= (Ь1,с1 ,Ь2,с2,а1 ,сз,0,с4,Ьз,с5,0).

Однако в макродискрете М4= {<Ь2,а1,с4>, <с4,Ьз,с5>, <с5,Ьз>, <Ьз,а1,Ь2>} осуществляется проведение двух соединений а1 и Ьз. Для удовлетворения конструктивно-технологических условий для равномерной загрузки макродискретов

Подряд четыре компонента Подряд три компонента Подряд два компонента

8с1 = (1,1,1,1,0,0) 8с4 = (1,1,1,0,1,0) 8с10 = (1,1,0,1,1,0)

8с2 = (0,1,1,1,1,0) 8с5 = (1,1,1,0,0,1) 8с11 = (1,1,0,0,1,1)

8сз = (0,0,1,1,1,1) 8сб = (0,1,1,1,0,1) 8с12 = (0,1,1,0,1,1)

8с7 = (1,0,1,1,1,0) 8с1Э = (1,1,0,1,0,1)

8с8 = (1,0,0,1,1,1) 8с14 = (1,0,1,1,0,1)

8с9 = (0,1,0,1,1,1) 8с15 = (1,0,1,0,1,1)

©—9-лг-©.....@

© (Э ©......©

......©

ё в ¿>

Ус1 =

<а1,с1,Ь1,с2,Ь2,сз,с4,Ьз,с5> ©-.....®

у ©

ф——¡О)-......©

<а> (£> (й>_

Ус3 =

<Ь1,с1 ,Ь2,с2,а1,сз,с4,Ьз,с5>

©—.....

——©

© (£) <Й)

Ус2 =

<Ь1,с1,а1,с2,Ь2,сз,с4,Ьз,с5>

© в ф)

Ус4 =

<Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,а1,с5>

ш

Рис. 7. Проведение соединений для уровня с Рис. 8. Граф состояния автомата

осуществляем сдвиг вправо на свободные места соединения а1 и Ьз в функции перехода вектора (рис. 9):

6 = (Ь1,С1,Ь2,С2,а1,Сз,0,С4,Ьз,С5,0) —»

6 = (ЬьС1,Ь2,С2,0,Сз,а1,С4,0,С5,Ьз), тем самым меняя состояние автомата на Б1з = (1,1,0,1,01).

Усз ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т>

Ь1 Ь2 0 а1 0 Ьз ^ <Ьх,с1 ,Ь2,с2,сз,ах,с4,С5,Ьэ>.

Рис. 10. Ус4 = <Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,а1,С5> ^ <Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,С5,а1>

Таким образом, формируется множество кортежей для уровня с:

(а> в

Ус5 =

<а1,с1,Ь1,с2,Ь2,сз,с4,С5,Ьз>

ф ё) (5)

Ус7 =

<Ь1,с1 ,Ь2,с2,а1,сз,с4,С5,Ьз>

Ус6 =

<Ь1,с1,а1,с2,Ь2,сз,с4,С5,Ьз>

© ё)

Ус8 =

<Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,С5,а1>

Рис. 9. Преобразование Усз = <Ь1,с1,Ь2,с2,а1,сз,с4,Ьз,с5> ^ =<Ь1,с1,Ь2,с2,сз,а1,с4,С5,Ьз>

ФуНКЦИЯ ВЫХОДОВ Л = (Ь1,С1,Ь2,С2,0,Сз,а1,С4,0,С5,Ьз) паре состояния Б1з = (1,1,0,1,0,1) и входному сигналу х1 = {<с1,с2,сз,с4,с5>,<Ь1,Ь2,а1,Ьз>} ставит в соответствие один из элементов множества выходных сигналов У, а именно Уз = <Ь1,С1,Ь2,С2,сз,а1,с4,с5,Ьз>. Но тогда и конечное состояние определится как Б1з = (1,1,0,1,0,1). Рассмотрим кортеж Ус4 =

<Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,а1,С5>. В макродискрете М4 = {<Ь2,Ьз,с4>,<с4,а1,с5>,<С5,Ьз>,<Ьз,с4,Сз,а1,С2,Ь2>} осуществляется проведение двух соединений а1 и Ьз. Для удовлетворения конструктивно-технологических условий выполняем сдвиг вправо соединения а1 и получаем новый кортеж (рис.10):

Ус4 = <Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,Сз,с4,С5,а1>

Ус4 ^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т>

Ь1 Ь2 Ьз 0 а1 0 ^ <Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,сз,с4,ах,С5> ^

^ <Т с1 Т с2 Т сз Т с4 Т с5 Т> Ь1 Ь2 Ьз 0 0 а1 ^ <Ь1,с1,Ь2,с2,Ьз,Сз,с4,С5,Ьз>

Рис. 11. Кортежи с характеристическим вектором

Бс5 = (1,1,1,0,0,1)

в й

Ус9 =

<ах,с1,с2,сз,Ьх,с4,Ь2,С5,Ьз>

(£> Ф й

Ус11 =

<Ьх,с1 ,с2,сз,Ь2,с4,ах,С5,Ьз>

о <й>

© ©

(5) (£) (Й)

Ус10 =

<Ь1,с1,с2,сз,а1,с4,Ь2,С5,Ьз>

(¿) в (й)

Ус12 =

<Ь1,с1,с2,сз,Ь2,с4,Ьз,С5,а1>

Рис. 12. Кортежи с характеристическим вектором

Бс8 = (1,0,0,1,1,1)

На уровне Иа= <ТdlТd2ТdзТd4Тd5Тd6Тd7Т> имеется восемь возможных способов расположения следов соединений предыдущего уровня. Стрелками указано возможное место расположения следов предыдущего уровня. Одновременно могут быть задействованы только девять следов соединений из предыдущего уровня. Для равномерного распределения всех соединений, возникает необходимость прокладки двух соединений в одном макродискрете. Рассмотрим эти возможности, перечислив все характеристические векторы

= (2,1,1,1,1,1,1,1); 8С2 = (1,2,1,1,1,1,1,1);

8сз = (1,1,2,1,1,1,1,1); 8С4 = (1,1,1,2,1,1,1,1);

8С5 = (1,1,1,1,2,1,1,1); 8С6 = (1,1,1,1,1,2,1,1);

8а7 = (1,1,1,1,1,1,2,1); 8сШ = (1,1,1,1,1,1,1,2).

Из рассмотрения следует исключить векторы Sd4 и Sd5, как заведомо не отвечающие требованию равномерной загрузки соединений в макродискретах, так как количество соединений в диагональном макродискрете больше двух. Предположим, что для уровня

И ^<ТdlТd2ТdзТd4Тd5ТdбТd7Т> вектором "У^ с участием предыдущего кортежа уровня Ис Ус17 = <с1,а1,с2,сз,Ь1,с4,Ь2,с5,Ьз> формируется новый кортеж

Уа1 ^ <Т dl Т d2 Т dз Т d4 Т d5 Т dб Т d7 Т>

с1, а1 с2 сз Ь1 с4 Ь2 с5 Ьз ^

<с1,а1Д,с2^2,сз4з,Ь1^4,с445,Ь2Д,с547,Ьз> Здесь распределение соединений по макродискретам имеет вид (рис. 1з): М1 = {<Ь1,Ь2>,<Ь2,Ьз>,<Ьз,а1>,<а1,Ь1>}; М2 = {<с1,а1,с2>,<с2,Ь1,Ь2>,<Ь2,Ь1>,<Ь1,а1,с1>}; Мз = {<с2,сз>,<сз,Ь1,с4>,<с4,Ь2>,<Ь2,Ь1,с2>}; М4 = {<Ь2,с4>,<с4,Ь2,с5>,<с5,Ьз>,<Ьз,Ь2>}; М5 = {^1,с242>,^2,с2>,<с2,а1,с1>,<с1,а1Д>}; Мб = {<d2,Cз,dз>,<dз,Cз>,<Cз,C2>,<C2,d2>};

М7 = {<dз,Ьl,d4>,<d4,C4,d5>,<d5,C4,Ьl,cз>,<cз,dз>}; М8 ={<Cз,Ьl,C4,d5>,<d5,Ь2,dб>,<dб,Ь2,C4>,<C4,Ьl,Cз>}; М9 = {<с4,Ь24б>^б,с5^7>^7,с5><с5,Ь2,с4>}.

Рис. 1з. Кортеж у<и =

<Cl,al,dl,C2,d2,сз,dз,Ьl,d4,C4,d5,Ь2,d6,C5,d7,Ьз>

В макродискрете М8 проведены три соединения. Для получения кортежа с более равномерным распределением соединений по макродискретам следует осуществить сдвиг соединений, начиная с а1 до с5 вправо: Уdl =

<с1,а1Д,с2^2,сз4з,Ь1^,с445,Ь2^б,с5^7,Ьз> ^ <Cl,d 1,al,d2,C2,dз,Cз,d4,Ьl,d5,C4,dб,Ь2,C5,d7,Ьз>

=<сl,dl,al,d2,c2,dз,cз,d4,bl,d5,c4,d6,b2,c5,d7,bз>

<с ,di ,ei,ai ,d2,e2,c2,e3,d3,e4,c3,e5,d4,e6,bi,d5,e7,c4,d6,es,b2, c5, e9,d7,b3>

Для уровня Ue ^ <teite2te3te4te5te6te7te8te9t> вектором Sei = (2,2,1,1,1,1,2,2,2,2) c участием предыдущего кортежа yd1 =

<сl,dl,al,d2,c2,dз,cз,d4,bl,d5,c4,d6,b2,c5,d7,bз> уровня Ud формируем новый кортеж ye1 ^ <t e1 t e2 t e3 t e4 t es T e6 t e7 t es T e9 t> с1, d1 a1, d2 c2 d3 c3 d4 b1, d5 c4, d6 b2, c5 d7, Ьз ^ <сl,dl,el,al,d2,e2,c2,eз,dз,e4,cз,e5,d4,e6,bl,d5,e7,c4, d6, e8,b2,c5,e9,d7,b3>.

Здесь распределение соединений по макродискретам имеет вид (рис. 16).

М1 = {<Ь 1 ,b2>,<b2,b3>,<b3,a1>,<a1 ,Ь 1>}; М2 = {<c1,a1,c2>,<c2,b1,b2>,<b2,b1>,<b1,a1,c1>}; Мз = {<c2,c3>,<c3,b1,c4>,<c4,b2>,<b2,b1,c2>}; М4 = {<b2,c4>,<c4,b2,c5>,<c5,b3>,<b3,b2>};

М5 = {<d1,a1,d2>,<d2,c2>,<c2,a1,c1>,<c1,d1>}; Мб = {<d2,c2,d3>,<d3,c3>,<c3,c2>,<c2,d2>}; М7 = {<d3,c3,d4>,<d4,b1,d5>,<d5,b1,c3>,<c3,d3>}; Ms = {<c3,b1,d5>,<d5,c4,d6>,<d6,,c4>,<c4,b1,c3>}; M9 = {<c4,d6>,<d6,b2,c5,d7>,<d7,c5>,<c5,b2,c4>};

M10 = {<e1,a1,d2,e2>,<e2,d2>,<d2,a1,d1>,<d1,e1>};

M11 = {<e2,c2,e3>,<e3,d3>,<d3,c2,d2>,<d2,e2>}; M12 = {<e3,d3,e4>,<e4,c3,d4>,<d4,c3,d3>,<d3,e3>}; M13 = {<e4,c3,e5>,<e5,d4,e6>,<e6,d4>,<d4,c3,e4>}; M14 = {<d4,e6>,<e6,b1,d5,e7>,<e7,d5>,<d5,b1,d4>}; M15 = {<d5,e7>,<e7,c4,d6,es>,<es,d6>,<d6,c4,d5>}; M16 = {<d6,es>,<es,b2,c5,e9>,<e9,d7>,<d7,c5,b2,d6>}.

(к) S. \\©\\v\ \ " ^

э

U-%

.....0

D.....

<3> <3> & © ¿> ö

Рис. 16. Кортеж

yf1 =

<Cl,dl,fl,el ,a1 ,d2,f2,e2,c2,e3,f3,d3,e4,c3,f4,e5,d4,f5,e6,f6,b1 ,f7, d5, e7,fB,c4,d6,f9,eB,b2,f10,c5,e9,f11,d7,b3>

Рассмотрим распределение соединений по макродискретам для данного кортежа уп (рис. 17):

М1 = {<Ь1,Ь2>,<Ь2,Ьз>,<Ьз,а1>,<а1,Ь1>}; М2 = {<С1,а1,С2>,<С2,Ь1,Ь2>,<Ь2,Ь1>,<Ь1,а1,С1>}; Мз = {<С2,Сз>,<Сз,Ь1,С4>,<С4,Ь2>,<Ь2,Ь1,С2>}; М4 = {<Ь2,С4>,<С4,Ь2,С5>,<С5,Ьз>,<Ьз,Ь2>}; М5 = {<ё1,а142>,^2,С2>,<С2,а1,С1>,<С1Д>}; Мб = {<d2,С2,dз>,<dз,Сз>,<Сз,С2>,<С2,d2>};

М7 = {<dз,cз,d4>,<d4,Ьl,d5>,<d5,Ьl,cз>,<cз,dз>}; М8 = {<Сз,Ь145>,^5,С44б>,^б„С4>,<С4,Ь1,Сз>}; М9 = {<С4,dб>,<dб,Ь2,С5,d7>,<d7,С5>,<С5,Ь2,С4>};

М10 = {<е1,а142,е2>,<е2^2>,^2,а1Д>,^1,е1>}; М11 = {<e2,С2,eз>,<eз,dз>,<dз,С2,d2>,<d2,e2>}; М12 = {<eз,dз,e4>,<e4,cз,d4>,<d4,cз,dз>,<dз,eз>}; М1з = {^Сз^^Д^^бД^^^з^^; М14 = {<d4,eб>,<eб,Ьl,d5,e7>,<e7,d5>,<d5,Ьl,d4>};

М15 = {^^^^Д^^Д^^^Д^;

М1б = {<dб,e8>,<e8,Ь2,С5,e9>,<e9,d7>,<d7,С5,Ь2,dб>}.

М17 = {<fl,el,al,d2,f2>,<f2,e2>,<e2,d2,al,el>,<el,fl>}; М18 = {<f2,e2,С2,eз,fз>,<fз,eз>,<eз,С2,e2>,<e2,f2>}; М19 = {<fз,dз,e4,cз,f4>,<f4,cз,e4>,<e4,dз,eз>,<eз,fз>}; М20 = {<f4,e5,d4,f5>,<f5,d4,e5>,<e5,cз,e4>,<e4,cз,f4>}; М2l={<f5,eб,fб>,<fб,Ьl,f7>,<f7,Ьl,eб,d4,С5>,<e5,d4,f5>}; М22={<e5,d4,eб,Ьl,f7>, <f7,d5,e7,f8>, ^^ДД^, <eб,d4,e5>};

М23={<eб,Ьl,d5,e7,f8>, <f8,С4,dб,f9>, <f9,dб,С4,e7>,

^ДД^б^;

М24= {<e7,С4,dб,f9>, <f9,e8,Ь2,fl0>, <fl0,Ь2,e8>,

М25= {<e8,Ь2,fl0>, <fl0,С5,e9,fl1>, <fl1,e9>,

Из распределения соединений по макродискретам следует, что по макродискретам М21 (d4,eб,Ьl,d5,e7) и М22 (ЫД^^Д) проходит 5 соединений. По макродискрету М2з проходит четыре соединения (С4Д^8,Ь2). Попробуем распределить соединения более равномерно. С этой целью (см. рис. 17) осуществим перестановку пар соединений (Сз^4) и ^Д). Получим другой кортеж уп.

Распределение соединений по макродискретам имеет другой вид:

М1 = {<Ь1,Ь2>,<Ь2,Ьз>,<Ьз,а1>,<а1,Ь1>}; М2 = {<С1,а1,С2>,<С2,Ь1,Ь2>,<Ь2,Ь1>,<Ь1,а1,С1>}; Мз = {<С2,Сз>,<Сз,Ь1,С4>,<С4,Ь2>,<Ь2,Ь1,С2>}; М4 = {<Ь2,С4>,<С4,Ь2,С5>,<С5,Ьз>,<Ьз,Ь2>}; М5 = {<dl,al,d2>,<d2,С2>,<С2,al,Сl>,<Сl,dl>}; Мб = {^2,С2Д>,^з,Сз>,<Сз,С2>,<С2Д>}; М7 = {<dз,cз,d4>,<d4,Ьl,d5>,<d5,Ьl,cз>,<cз,dз>}; М8 = {<Сз,Ь1Д>,^5,С4Д>,^б„С4>,<С4,Ь1,Сз>}; М9 = {<С4,dб>,<dб,Ь2,С5,d7>,<d7,С5>,<С5,Ь2,С4>};

М10 = {<el,al,d2,e2>,<e2,d2>,<d2,al,dl>,<dl,el>}; М11 = {<e2,С2,eз>,<eз,dз>,<dз,С2,d2>,<d2,e2>}; М12 = {<eз,dз,сз,e4>,<e4,d4>,<d4,cз,dз>,<dз,eз>};

М1з = {^Д^^^^^бД^^^}; М14 = {^^^бДД^^^Д^^ДД^;

М15 = {<d5,e7>,<e7,С4,dб,e8>,<e8,dб>,<dб,С4,d5>}; М1б = {<dб,e8>,<e8,Ь2,С5,e9>,<e9,d7>,<d7,С5,Ь2,dб>}.

М17 = {<fl,el,al,d2,f2>,<f2,e2>,<e2,d2,al,el>,<el,fl>}; М18 = {<f2,e2,С2,eз,fз>,<fз,eз>,<eз,С2,e2>,<e2,f2>}; М19 = {<fз,dз,cз,e4,f4>,<f4,e4>,<e4,cз,dз,eз>,<eз,fз>}; М20 = {<f4,d4,e5,f5>,<f5,e5>,<e5,d4,e4>,<e4,f4>};

М21 = {^^^б^^б^^^^^^Д^^^^^};

М22={<e5,eб,Ьl,f7>, <f7,d5,e7,f8>, <f8,e7,d5,Ьl,eб>, <eб,d4, e5>};

М2з = {<eб,Ьl,d5,e7,f8>, <f8,С4,dб,f9>, ^Д^^, <e7,d5,Ьl,eб>};

М24= {<e7,С4,dб,f9>, <f9,e8,Ь2,fl0>, ^юД^^ <e8,dб,С4,e7>};

М25= {<e8,Ь2,fl0>, <fl0,С5,e9,fl1>, ^П^, <e9,С5,Ь2,e8>}.

Но все равно в макродискретах М22,М2з и М24 имеется по 4 соединения. Попробуем поменять местами пару соединений (Ь^б), получим новый кортеж (рис. 18):

УА =

<ClД,fl,el,alД,f2,e2,С2,eз,fзД,cз,e4,f4Д,e5,f5,Ьl,fб, eб, П7, d5,e7,f8,С4,dб,f9,e8,Ь2,flo,С5,e9,fll,d7,Ьз>.

Рис. 17. Новый кортеж

Уя =

<с1 Д ,П1,С1 ,al,d2,f2,e2,c2,eз,fз,dз,cз,e4,f4,d4,e5,f5,eб,fб,bl,f7, d5,e7,f8,С4,dб,f9,e8,b2,flo,С5,e9,fll,d7,bз>

Рис. 18. Новый кортеж

Уя =

<Cl,dl ,С1,а1 ,d2,f2,e2,c2,eз,fз,dз,cз,e4,f4,d4,e5,f5,bl ^^^Д ,e7,f8,С4,dб,f9,e8,b2,fl0,С5,e9,fl1,d7,bз>

Распределение соединений по макродискретам имеет вид:

М1 = {<Ь1,Ь2>,<Ь2,Ьз>,<Ьз,а1>,<а1,Ь1>}; М2 = {<С1,а1,С2>,<С2,Ь1,Ь2>,<Ь2,Ь1>,<Ь1,а1,С1>}; Мз = {<С2,Сз>,<Сз,Ь1,С4>,<С4,Ь2>,<Ь2,Ь1,С2>}; М4 = {<Ь2,С4>,<С4,Ь2,С5>,<С5,Ьз>,<Ьз,Ь2>}; М5 = {<dl,al,d2>,<d2,С2>,<С2,al,Сl>,<Сl,dl>}; Мб = {^2,С24з>,^з,Сз>,<Сз,С2>,<С2Д>};

М7 = {^з,Сз44>,^4,Ь1Д>,^5,Ь1,Сз>,<СзД>}; М8 = {<cз,Ьl,d5>,<d5,С4,dб>,<dб,,С4>,<С4,Ьl,cз>}; М9 = {<С44б>,^б,Ь2,С5Д>,^7,С5>,<С5,Ь2,С4>};

М10 = {<el,al,d2,e2>,<e2,d2>,<d2,al,dl>,<dl,el>}; М11 = {<e2,С2,eз>,<eз,dз>,<dз,С2,d2>,<d2,e2>}; М12 = {<eз,dз,сз,e4>,<e4,d4>,<d4,cз,dз>,<dз,eз>}; М1з = {<e4,d4,e5>,<e5,Ьl,eб>,<eб,Ьl,d4>,<d4,e4>};

М14 = {^Д^б^^Д^^^^^Д^^;

М15 = {<d5,e7>,<e7,С4,dб,e8>,<e8,dб>,<dб,С4,d5>}; М1б = {<dб,e8>,<e8,Ь2,С5,e9>,<e9,d7>,<d7,С5,Ь2,dб>}.

М17 = {<fl,el,al,d2,f2>,<f2,e2>,<e2,d2,al,el>,<el,fl>}; М18 = {<f2,e2,С2,eз,fз>,<fз,eз>,<eз,С2,e2>,<e2,f2>}; М19 = {<fз,dз,cз,e4,f4>,<f4,e4>,<e4,cз,dз,eз>,<eз,fз>}; М20 = {<f4,d4,e5,f5>,<f5,e5>,<e5,d4,e4>,<e4,f4>}; М21 = {<f5,Ьl,fб>,<fб,eб,f7>,<f7,eб,Ьl,e5>,<e5,f5>}; М22 =

{<e5,Ьl,eб,f7>,<f7,d5,e7,f8>,<f8,e7,d5,eб>,<eб,Ьl,e5>};

М2з =

{<eб,d5,e7,f8>,<f8,С4,dб,f9>,<f9,dб,С4,e7>,<e7,d5,eб>}; М24=

{<e7,С4,dб,f9>,<f9,e8,Ь2,flo>,<flo,Ь2,e8>,<e8,dб,С4,e7>}; М25=

Но теперь можно поменять местами пару соединений (Ь1,С5) и сдвинуть вправо соединения e7,С4,dб,e8,Ь2 распределив их равномерно по макродискретам. В результате получим следующий кортеж (рис. 19):

УА =

<Cl,dl,fl,el,al,d2,f2,e2,С2,eз,fз,dз,cз,e4,f4,d4,e5,f5,Ьl,fб,eб

è é ö» © é s

Рис. 19. Новый кортеж

yfi =

<ci ,di ,fi,ei ,ai,d2,f2,e2,C2,e3,f3,d3,C3,e4,f4,d4,e5,f5,bi,f6,e6,f7,

d5, e7,f8,C4,d6,f9,es,b2,fio,C5,e9,fii,d7,b3>

Распределение соединений по макродискретам имеет вид:

Mi = {<bi,b2>,<b2,b3>,<b3,ai>,<ai,bi>}; М2 = {<Ci,ai,C2>,<C2,bi,b2>,<b2,bi>,<bi,ai,Ci>}; М3 = {<C2,C3>,<C3,bi,C4>,<C4,b2>,<b2,bi,C2>}; M4 = {<b2,C4>,<C4,b2,C5>,<C5,b3>,<b3,b2>}; M5 = {<di,ai,d2>,<d2,C2>,<C2,ai,Ci>,<Ci,di>}; Мб = {<d2,C2,d3>,<d3,C3>,<C3,C2>,<C2,d2>}; M7 = {<d3,C3,d4>,<d4,bi,d5>,<d5,bi,C3>,<C3,d3>}; M8 = {<C3,bi,d5>,<d5,C4,d6>,<d6,,C4>,<C4,bi,C3>}; M9 = {<C4,d6>,<d6,b2,C5,d7>,<d7,C5>,<C5,b2,C4>}; Mio = {<ei,ai,d2,e2>,<e2,d2>,<d2,ai,di>,<di,ei>}; Mii = {<e2,C2,e3>,<e3,d3>,<d3,C2,d2>,<d2,e2>}; Mi2 = {<eз,dз,cз,e4>,<e4,d4>,<d4,cз,dз>,<dз,eз>}; Mi3 = {<e4,d4,bi,e5>,<e5,e6>,<e6,bi,d4>,<d4,e4>}; Mi4 = {<d4,bi,e6>,<e6,,d5,e7>,<e7,d5>,<d5,bi,d4>}; Mi5 = {<d5,e7>,<e7,C4,d6,e8>,<e8,d6>,<d6,C4,d5>}; Mi6 = {<d6,e8>,<e8,b2,C5,e9>,<e9,d7>,<d7,C5,b2,d6>}.

Mi7 = {<fi,ei,ai,d2,f2>,<f2,e2>,<e2,d2,ai,ei>,<ei,fi>}; Mi8 = {<f2,e2,C2,e3,f3>,<f3,e3>,<e3,C2,e2>,<e2,f2>}; Mi9 = {<f3,d3,C3,e4,f4>,<f4,e4>,<e4,C3,d3,e3>,<e3,f3>}; M20 = {<f4,d4,bi,f5>,<f5,e5>,<e5,bi,d4,e4>,<e4,f4>}; M2i = {<f5,e5,f6>,<f6,e6,f7>,<f7,e6,e5>,<e5,f5>}; M22 = {<e5,e6,f7>,<f7,d5,f8>,<f8,d5,e6>,<e6,e5>}; M23 = {<e6,d5,f8>,<f8,e7,f9>,<f9,e7>,<e7,d5,e6>}; M24={<e7,f9>,<f9,C4,d6,e8,fio>,<fio,e8>,<e8,d6,C4,e7>}; M25 =

{<e8,fio>,<fio,b2,C5,e9,fii>,<fii,e9>,<e9,C5,b2,e8>}. Выводы

Предложенная математическая модель позволяет описать рисунок проведения соединений между контактами BGA компонент теоретико-множественными методами без конкретной прорисовки на плоскости. Данная модель позволяет хранить, описывать и видоизменять информацию общего рисунка соединений как в случае непересекающихся соединений, так и соединений с пересечением.

Литература: 1. Курапов С.В., Дваподхода к проведе-ниюсоединений в плоских конструктивах / Курапов С.В., Давидовский М.В. // Компоненты и технологии. 2015. №7. C. i42-i47. 2. Курапов С. В. Методыпостро-ениятопологического рисунка графа / Курапов С. В., Толок А. В. // Автоматика и телемеханика. 2013. №9. C.78-97. 3. Charles P. BGA Breakoutsand Routing. 2oio. i7op. 4. Лузин C. САПР TopoR: трассировкапе-чатных плат с BGA-компонентами / Лузин C., Полубасов О. М.:СТА-ПРЕСС. Современная электроника. 2oo8. №7. С.44-48. 5. Кофман А. Введение в приклад-нуюкомбинаторику / А. Кофман. М.: Наука, ГРФМЛ, 1975. 480 с. 6. Свами М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. М.: Мир, i984. 455 с. 7. Комбинаторныеалгоритмы, теория и практика / [Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт Н. Дер]. М.: Мир. 1980. 480 с.

Transliteratedbibliography:

1. Kurapov S.V., Dva podhoda k provedeniju soedinenij v ploskih konstruktivah / Kurapov S.V., Davidovskij M.V. // Komponenty i tehnologii. 2015. № 7. s. 142 -147.

2. Kurapov S. V. Metody postroenija topologicheskogo risunka grafa / Kurapov S. V., Tolok A. V. // Avtomatika i telemehanika. 2013. №9. C.78-97.

3. CharlesPfeil BGA Breakoutsand Routing / C. Pfeil, 2010. 170p.

4. Luzin C. SAPR TopoR: trassirovka pechatnyh plat s BGA-komponentami / Luzin C., Polubasov O. M.: STA-PRESS, Sovremennaja elektronika. 2008. №7. 1.44-48.

5. Kofman A. Vvedenie v prikladnujukombinatoriku / A.Kofman. M.: Nauka, GRFML, 1975. 480 s.

6. Svami M. Grafy, seti i algoritmy / M. Svami, K. Thulasiraman. M.: Mir, 1984. 455 s.

7. Kombinatornye algoritmy, teorija i praktika / [Je. Rejngold, Ju. Nivergelt, N. Der]. M.: Mir, 1980. 480 s.

Поступила в редколлегию 23.08.2016

Чеченя Вадим Сергеевич, преподаватель информатики КВНЗ «Запорожский педагогический колледж» ЗОР. Адрес: Украина, 69000, Запорожье, ул. Запорож-кого козачества, 6, e-mail: chechenj a@ukr. net. Chechenja Vadim Sergeevich, Informatics teacher, KVNZ "Zaporozhye Pedagogical College" ZOR. Address: Zaporozhskogo kozachestva str., 6, Zaporizhzhya, Zaporizhzhya, 69000, Ukraine, e-mail: chechenja@ukr.net.