CC BY
25
АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА АСФЕРИЧЕСКИХ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ю.А. Комарова Научный руководитель - д.т.н., профессор Л.Н. Андреев
Рассмотрены коррекционные возможности в области Зейделя отражающих поверхностей второго порядка: параболы, гиперболы и эллипса. Из рассмотрения выражений коэффициентов аберраций третьего порядка сформулирована теорема об аберрационных свойствах этих поверхностей.
Уравнения кривых второго порядка имеют вид [1, 2]
у2 = 2г0 7 - (1 - е >2 , (1)
где г0 - радиус в вершине кривой, е - эксцентриситет кривой второго порядка. Для окружности е =0, для параболы е =1, для эллипса 0<е <1 и для гиперболы е >1.
Исходя из фокальных свойств кривых второго порядка [9], установлено, что оба фокуса являются сопряженными. Поэтому при расположении точки предмета в одном из фокусов отражающих поверхностей изображение находится в другом, и при этом гомоцентричность пучков лучей не нарушается, т.е. сферическая аберрация отсутствует. Ниже рассмотрены коэффициенты (1 ...£у) и аберрации третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка.
Коэффициенты аберрации третьего порядка, выраженные через параметры Р, Ж, п [1], имеют вид:
= И (Р + АР);
= Н (Р + АР) - ¡Ж;
Н 2 Н
Яш = — (Р + АР) - 2!—Ж - !2Ф; (2)
ИИ
АI
= п = -п = Ф; г0
Н 3 Н 2 Н
8у (Р + АР) - 3!^-т-Ж - 2!2—Ф, у И2 И1 И '
где И и Н - высоты пересечения 1-го и 2-го параксиальных лучей с асферической по-
( \2
верхностью, Р =
Аа
А!
1 Аа . 1 ^ а'-а 2 Аап
3
Аа —, Ж = —- Аа —, Ф = —;—, АР = -е , 2 , е - эксцен-
А1 ' '
п
п .1 п' И Ап2
V п У
триситет, п=-п}=1. Для параболоида, раскрывая выражения для Р,Ж,АР при: а}=0; а '=1; И1=/'=1; р1=1; != —1, из (2) имеем
£ = 0;
8.. = Ж = 0,5;
- (3)
= -Н -1 = -!р -1; ^
Я1У = 1;
- 3 — 2 — 3 2
= - Н2 + 2Н = - ?2 р + 2?п к 2 2 р
так как Р = -0,25, Ж = 0,50, АР = 0,25 , ? - приведенное положение входного зрачка относительно вершины поверхности (рис. 1).
Рис. 1. Параболическая отражающая поверхность
Для эллиптической (рис. 2) и гиперболической (рис. 3) отражающих поверхностей уравнения (2) при
а1 = -в; К = яа = -яв; я = ——;Н = ;I = пгаг1 = -(яр - я)
1 - е
1 - е 1 + е
имеют вид:
£ = я
(1 - е)
(1 + е)
2е2
- + -
2е2
(1 + е)3 (1 + е)3
= 0;
£'ш =
2(Яр - я)(1 - е)е
(1 + е)3 ; 4(* -я)яре 2(* -я)2(1 -е)
я(1 + е)2
■ + ■
я(1 + е)2
= п = --
д 1
п
= Ф;
Яу =-
6фр - ф2р 4(яр - я)2 (1 - е2)я2 + я2(1 + е2)
(4)
где я и яр - расстояние от предмета и входного зрачка до вершины поверхности.
Из рассмотрения (2), (3), (4) и (5) и фокальных свойств кривых второго порядка вытекает следующая теорема.
У отражающих поверхностей второго порядка (парабоидальной, эллипсоидальной и гипербоидальной):
1. при расположении предмета в одном из фокусов сферическая аберрация исправлена (£¡=0), при этом гомоцентричность пучка лучей не нарушается;
2. при выполнении п. 1. кома третьего порядка (п) не зависит от положения входного зрачка (бр);
3. при выполнении п. 1. астигматизм третьего порядка (£ш) зависит от положения входного зрачка (яр) и при расположении предмета и входного зрачка в сопряженных фокусах ^ и соответственно, он исправлен (£¡¡¡=0);
4. при выполнении п. 1. дисторсия третьего порядка зависит от положения входного
зрачка (яр) и при яр=0 и я р =
2г
2 + е
исправлена (5у=0);
г
0
5. кривизна поверхности изображения, определяется (£гу), не зависит от положения
г
входного зрачка (5Р) и эксцентриситета (е), так как Б1У = Ф = —.
Рис. 2. Эллиптическая отражающая поверхность
-5"
■У
Рис. 3. Гиперболическая отражающая поверхность
Для эллипсоида и гиперболоида:
5 = ■
1 - е
или 5 = ■
1 + е
(5)
В заключение следует отметить, что приведенные результаты исследования кор-рекционных свойств отражающих асферических поверхностей второго порядка в области Зейделя могут быть полезны при проектировании зеркальных и зеркально-линзовых оптических систем.
г
0
г
г
0
0
Литература
1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1989. -379 с.
2. Русинов М.М. Композиция оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1989. - 383 с.
3. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. - М: Недра, 1965. - 195 с.
4. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. - М.-Л.: Машиностроение. 1966. -564 с.
5. Панов В.А., Андреев Л.Н. Оптика микроскопов. - Л.: Машиностроение, 1976. - 432 с.
6. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. - 218с.
7. Зверев В.А., Точилина Т.В. Оптотехника проектирования оптических приборов. -СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. - 457с.
8. Андреев Л.Н. Прикладная теория аберраций. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. - 96 с.
9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956. - 608 с.
10. Андреев Л.Н., Комарова Ю.А. Коррекция сферической аберрации в двухзеркальной концентрической оптической системе.// Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. -Т.51. - №1.- С.71-74.
11. Андреев Л.Н., Голодкова И.О. Зеркально-линзовый светосильный объектив с плоским полем.// Изв. вузов. Приборостроение. - 2007. - Т.50.- №3. - С.59-61.
