CC BY
19
ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ
97.03.015. МАЙЕР В. ГОТТЛОБ ФРЕГЕ.
MAYER V. Gottlob Frege. - München: C.H. Beck Verl., 1996. - 176 S.
Верена Майер (Ин-т философии, логики и теории науки Мюнхенского ун-та, Германия) отмечает, что Фреге существенно повлиял на стиль философии ХХ в. Он надеялся с помощью логики освободить мышление от неясностей, обусловленных языком. "Витгенштейновское утверждение "То, что вообще может быть сказано, может быть сказано ясно" было вдохновлено Фреге" (с. 10). Автор стремится описать внутренние связи между историческим окружением, в котором складывались идеи Фреге, его математическими интересами, его "Исчислением понятий" и его философскими и в особенности семантическими утверждениями. Книга написана так, чтобы ее могли читать и люди, не владеющие аппаратом современной логики.
Фреге родился 8 ноября 1848 г. в старом ганзейском городе Висмаре. Его отец основал и возглавлял частную школу для девочек, там же преподавала и его мать. Фреге учился в Йенском университете. Математику он изучал у Эрнста Аббе, физику - у Карла Шнелля, а философию - у историка философии Куно Фишера. Позднее в Гёттингене он слушал лекции Р.Г.Лотце, одного из наиболее крупных эпигонов немецкой классической философии.
Для Фреге всегда были неприемлемы неясность и неточность. Стремлением к ясности и точности проникнута вся его творческая
деятельность. В то же время основания такой точной науки, как математика, представлялись ему недостаточно ясными в своих фундаментальных понятиях. Цели их прояснения была посвящена его работа 1879 г. "Исчисление понятий" (далее - ИП), носившая подзаголовок "Построенный по арифметическому образцу формальный язык чистого мышления". Здесь строился формальный язык, предназначенный заменить естественный язык в математических доказательствах с целью сделать эти доказательства более строгими и надежными. Это была совершенно пионерская работа, весьма непривычная и по стилю, и даже по внешнему виду. Фреге использовал столь своеобразный язык, что в одной из рецензий его работу сравнивали с японскими иероглифами. Работа была не понята и отвергнута как математиками, так и философами Все немногие рецензии на нее были отрицательными. Такая же участь, впрочем, ожидала и его дальнейшие работы. Его лекции в университете тоже собирали весьма незначительную аудиторию. Так, Р. Карнап, посещавший курс лекций Фреге, вспоминал, что слушателей всего было трое. Значение работ Фреге было осознано только после его смерти.
Чтобы понять значение идей Фреге, надо взглянуть на состояние логики в XIX в. Тогда было распространено представление о том, что логика фактически включает три раздела: чистую (или формальную) логику, рассматривающую основные формы и законы мышления; прикладную логику, занимающуюся методами научного исследования; теорию познания, исследующую связь между мышлением и действительностью. Господствовало убеждение, определенное И.Кантом, что логика есть полностью завершенная наука. Поэтому попытки математизации логики (предпринятые, например, Дж.Булем) воспринимались как ненужное усложнение. Лотце писал, что булева логика слишком далека от используемого языка и что предлагаемые ее упрощения окупаются значительными усложнениями в других местах.
В логике XIX в. весьма живо обсуждалась проблема разграничения логики и психологии. Какова природа "общих форм и законов мышления", которые, как предполагалось, изучает логика? С
одной стороны, было ясно, что исследование логики мышления - вовсе не то же самое, что исследование повседневного мышления большинства людей, ибо последнее является по большей части нелогичным и ассоциативным. С другой стороны, именно смешение аристотелевского учения о формальном выводе и психологизированной теории познания составляло характерную черту логики XIX в.
Споры о психологизме в логике шли вокруг понимания "логики как физики" (т.е. как науки, описывающей естественные процессы мышления подобно тому, как естественные науки изучают природу) и "логики как этики" (т.е. как нормативной науки, формулирующей законы рассуждения, в котором из истинных посылок следует истинное заключение). Однако сторонники "логики как этики" боролись с психологизмом непоследовательно. Так, учитель Фреге в философии Р.Г.Лотце выступал против применимости психологии в логике, но при этом первую главу своей "Логики", посвященную "чистой, или формальной, логике" начал с психологического по своей сути исследования происхождения понятий и представлений.
Фреге понимал логику как искусственную знаковую систему, служащую для выражения логических отношений. В этом его подход был противоположен подходу Буля. Дж.Буль строил свою алгебру логики как техническое средство для решения логических задач, подобно тому как алгебра является техникой для решения уравнений. При этом он полностью абстрагировался от содержания знаков используемой им системы. Фреге же принял во внимание содержание выражений. Его целью являлся язык, а не просто исчисление.
Вообще говоря, с идеей искусственного языка в истории философии связаны четыре различные программы, ставящие перед собой разные цели. Так, Я.Бёме стремился воссоздать праязык всего человечества. Раймонд Луллий мечтал об универсальном языке, способном служить как интернационализации науки, так и миссионерской деятельности. В логике Пор-Рояля Арно и Николь стремились развить общую философскую грамматику, способную лучше, нежели естественный язык, выражать "грамматику мышления". И,
наконец, Г. В. Лейбниц выдвинул идею языка, служащего для открытия новых истин. Фреге же строит свой искусственный язык для адекватного выражения логических отношений, которые в естественном языке выражаются зачастую искаженно. С его точки зрения, традиционная аристотелевская логика, следуя естественному языку, неадекватно выражает некоторые логические отношения.
Фреге считается одним из основателей аналитической философии. Обращение этого философского направления к языку вытекало из представления, что существует взаимозависимость между языком, ментальными процессами и содержанием мышления. Вместе с тем определенный аспект этого представления, а именно идея, что неточности языка негативно отражаются на мышлении, присутствовал в философии задолго до появления аналитической философии.
Проблемы взаимоотношения языка и мышления обострились в XIX в. под влиянием социополитических факторов. Колониальная политика крупных европейских держав привела европейскую культуру к осознанию факта существования иных культур, картин мира и языков, чья структура решительно отличается от структуры индоевропейских языков. В этом свете взаимосвязь культуры и языка стала казаться более тесной, а представления о принципиальной автономии мышления от языка - все более сомнительными. Одним из первых обратил внимание на тесную связь картины мира и структуры языка В. фон Гумбольдт. Одновременно с работой Фреге "Основные законы арифметики" (далее -ОЗА) литературный критик и философ Фр.Маутнер опубликовал работу "Критика языка", в которой доказывал, что умственные процессы полностью определяются языком.
Признание зависимости мышления от языка поставило философию XIX в. перед дилеммой: с одной стороны, логика должна быть наукой об инвариантных структурах мышления; с другой стороны, эти структуры выражаются в языке и с помощью языка, а язык определяется психологическими, культурными, историческими особенностями тех или иных народов.
В XIX в. философы еще не были готовы принять релятивистские выводы относительно законов логики, которые могли вытекать из подобных посылок. Например, с точки зрения Лотце, структуры предложений естественного языка параллельны структурам выражаемых ими суждений. Грамматические и логические категории соответствуют друг другу. Однако эти категории являются одновременно и категориями мышления и в таком своем качестве независимы от языка и лишь отображаются им. Подобное заключение, конечно, оставляет нерешенными много проблем, особенно если учесть, что язык выражает не только логические отношения, но и субъективный психический опыт, а также служит средством коммуникации. Лотце связывает языковые значения со сферой психического и субъективного, а логические значения - со сферой объективного. Но это вызывает дальнейшие вопросы о том, что представляет собой эта объективность, а различение "языкового" и "логического" остается непроясненным.
На таком историческом фоне становится более понятной та радикальность, с которой Фреге отбрасывает традиционную логику. Фреге стремился прежде всего усовершенствовать методы научного исследования. Поэтому его ИП начинается с изображения того, как протекает научное познание. Отдельные наблюдения наводят на общие утверждения, т.е. гипотезы, из которых (возможно, совместно с другими утверждениями) выводятся подтверждаемые следствия. Однако естественный язык отображает эти цепочки выводов несовершенным образом. Например, слова "следовательно", "итак" и т.п. подчас употребляются там, где нет никакого логического вывода. Недостаточность естественного языка особенно остро чувствуется в математике, где доказательства не могут проверятся в опыте, но обосновываются чисто логически. Поэтому необходимо разработать особые средства для выражения математических - и вообще научных -суждений и выводов. Фреге сравнивает естественный язык с глазом, а свое ИП - с микроскопом. Подобное сравнение показывает, что ИП призвано выразить не все аспекты естественного языка, но лишь те, что имеют значение для научного исследования, т.е. для построения цепочек
выводов, подобно тому как микроскоп заменяет глаз не во всех его функциях, но лишь в функции инструмента научного наблюдения. Не без некоторого пафоса Фреге пишет во введении к ИП, что "философия должна... сломить господство слов над человеческим духом" (цит. по с.49). Отсюда можно понять, что для Фреге мышление существует независимо от языка. Система знаков естественного языка конвенциональна и может быть улучшена. ИП призвано быть зеркалом мыслей и их логических связей, т.е. не просто исчислением, но выражением определенного содержания.
Поскольку классическая аристотелевская логика ориентирована на естественный язык, Фреге радикально отказывается от принятого в ней анализа суждений и начинает свой анализ с различения суждения и его содержания. Суждение означает признание его содержания истинным. Поэтому Фреге убежден, что суждение - это особое логическое отношение, которое должно иметь и особый знак для своего выражения. Например, в математическом доказательстве некоторые предложения могут фигурировать как гипотезы. Для Фреге это означает необходимость различения суждения и утверждаемого им содержания. Данное различение является первым примером логического отношения, которое лишь приблизительно и неоднозначно выражается естественным языком. Проводимое классической логикой различение общих и частных суждений лежит, по мнению Фреге, на уровне содержаний. В то же время различение категорических, гипотетических и дизъюнктивных суждений указывает, с его точки зрения, не на логические, но на грамматические признаки, и потому логика его не рассматривает. Традиционное различение аподиктических и проблематических суждений тоже не соответствует никакой логической категории - модальную логику Фреге считает излишней.
Фрегевский анализ внутренней структуры суждения радикально порывает с традициями аристотелевской логики: вместо выделения субъекта и предиката от различает в суждении функцию и ее аргумент. На место аристотелевской силлогистики, в которой возможность вывода опирается на наличие "среднего термина" в посылках, Фреге ставит
рассмотрение условной связи между содержаниями суждений - "Если А, то В". Значение связки "если... то", по мнению Фреге, не требует обращения к значениям составных частей А и В. При этом "если...то" не имеет отношения к каузальной связи. Таким образом, фрегевское рассмотрение условной связи существенно отходит от норм естественного языка. Он приводит пример суждения "Если солнце светит, то 3х7=21", которое, с его точки зрения, выражает условную связь, хотя это и расходится с нормальным использованием языка.
Далее в книге подробно излагается фрегевская система (эквивалентная современной пропозициональной логике и логике предикатов) и введенная им символика, чрезвычайно сложная и существенно отличающаяся от современной логической символики.
В 1884 г. вышла в свет работа Фреге "Основания арифметики" (ОА). Вообще говоря, проблема оснований стояла перед высшей математикой на протяжении всего XIX в. Данная проблема решалась на пути выражения основных понятий математического анализа через понятия арифметики. Например, ставилась задача определить действительные числа в терминах натуральных чисел. Логицизм Фреге, т. е. убеждение, что арифметика сводима к логике, можно рассматривать как дальнейшее развитие программы арифметизации математики с целью поставить ее на прочное основание. В ИП Фреге определил понятие "следующий в ряду", позволяющее с помощью индуктивного определения вывод натуральных чисел как следующих в ряду за единицей. Это означало, что точность и бесспорность арифметических суждений стали зависеть от определения единицы или от общего определения числа. Если числа суть психические или эмпирические объекты, то такова и вся арифметика. Если же их можно определить чисто логически, то математика становится наукой, суждения которой столь же необходимы и безусловны, как и логические суждения.
Фреге выступал против кантовской трактовки арифметики как синтетического суждения априори. Он полагал, что Кантово определение синтетических суждений априори зависит от традиционной логики с ее анализом суждения как соединения субъекта и предиката. Поскольку сам
Фреге отказался от такого анализа, для него было неприемлемо и используемое Кантом различение аналитических и синтетических суждений. С его точки зрения, суждение аналитично, если оно представляет собой определение или логический закон. Таким образом, программа логицизма равнозначна утверждению, что вся арифметика состоит из аналитических суждений. Но при этом цель Фреге состояла вовсе не в том, чтобы низвергнуть учение Канта о синтетическом априори и априорных формах интуиции (что поставили своей задачей неопозитивисты), поскольку он полагал, что основания геометрии и в самом деле являются синтетическим априори.
Подход Фреге к арифметике мотивируется его антипсихологизмом. В предисловии к ОА он формулирует три основных принципа своего исследования: 1. Четко отличать психологическое от логического, субъективное от объективного. 2. Рассматривать значения слов во взаимосвязи предложений, а не изолированно. 3. Не упускать из вида различие понятия и предмета.
В ИП Фреге еще не проводит четкого противопоставления психологического и логического. Подобно Лотце и другим логикам того времени, он считает, например, что суждение составлено из представлений. В ОА же Фреге, рассматривая математические суждения, составными частями которых являются числа, разъясняет, насколько абсурдно считать их представлениями: тогда у каждого представляющего субъекта были бы свои числа. Представления расплывчаты, субъективны и преходящи, а суждения математики объективны и носят вневременной характер. Поэтому логическое определение числа должно опираться на понятия, которые следует четко отличать от представлений.
Фреге указывает, что постижение понятия не является простым актом интеллектуального созерцания, а требует огромной интеллектуальной работы, подчас на протяжении столетий. Отсюда можно заключить, что он рассматривал понятия как объективные сущности, являющиеся предметами интерсубъективного исследования, подобно тому как факты являются объектами естественнонаучного исследования.
Второй методологический принцип ОА, вошедший в литературу как "принцип контекстуальности", на первый взгляд свидетельствует против платонизма Фреге. Обсуждая значение этого принципа, автор обращает внимание на то, что Фреге не употребляет его нигде, кроме ОА. Тем не менее данный принцип в последующих обсуждениях стал фигурировать как один из наиболее характерных фрегевских принципов. М.Даммит, например, считал его наиболее важным философским утверждением Фреге, открывающим направление холизма в философии языка. Для многих современных философов этот принцип выступает как общий семантический принцип значения любых слов вообще. Но в ОА речь идет только об арифметических суждениях. И в таком контексте данный принцип является не семантическим, а чисто эвристическим. Он говорит о том, что анализ суждений первичен по отношению к анализу понятий и предметов. Поскольку задачей исследования в ОА является логическое определение числа, большое значение приобретает вопрос о том, к какой категории - понятий или предметов - принадлежат числа. В свете принципа контекстуализма ответ на данный вопрос надо искать на пути анализа суждений, содержащих числовые выражения. В самом деле, что такое число? До Фреге никто не пытался подойти к этому вопросу путем анализа суждений о числах. Числа рассматривались "сами по себе". В связи с этим автор подчеркивает, что подход Фреге в ОА есть образчик аналитического (в смысле философии языкового анализа) исследования.
Основные логические категории ОА - «понятие» и «предмет». Числа - не свойства предметов (корреляты понятий). Например, книга может рассматриваться и как 1 (книга), и как 160 (страниц). Поскольку в разных аспектах она может характеризоваться разными числами, числа не могут считаться свойствами книги самой по себе.
Фреге указывает и на затруднение, связанное с таким представлением о числах, согласно которому мы в процессе счета абстрагируемся от особенностей предметов и рассматриваем их просто как различные. Фреге видит тут следующую проблему. Если мы рассматриваем предметы как действительно различные, то они не являются одинаковыми единицами, сложение которых образует сумму.
Если мы абстрагируемся от различий предметов, то они должны сливаться в одно, и потому не возникает никакой множественности, которую можно было бы сосчитать.
Как же тогда точная наука «арифметика» может базироваться на неясном и неопределенном понятии «число»? Фреге обращается, согласно своему контекстуальному принципу, к анализу высказываний, содержащих числовые выражения, например: "В этой группе пять деревьев". Логическая структура такого суждения, по его мнению, отличается от грамматической. Оно высказывается не о предмете, а о понятии. С логической точки зрения, оно утверждает, что понятию "группа" соответствует числу 5. Любое утверждение о числах Фреге анализирует следующим образом: "Число, соответствующее понятию Б, равно числу, соответствующему понятию в". Это показывает, что число принадлежит логической категории предметов, но не показывает еще, что это за предметы.
Далее Фреге вводит понятие одно-однозначного соответствия, на основании которого он и дает определение кардинального числа: «Число, соответствующее понятию Б, есть объем понятия "быть равномощным понятию Б". Например, 0 определяется как объем понятия «быть равномощным понятию "не равный самому себе"», а 1 - как объем понятия «быть равномощным 0», ибо только один предмет, а именно 0, подпадает под это понятие. Сконструированные таким образом 0 и 1 Фреге считает имеющими чисто логическую природу.
Таким образом, числа выступают пока в качестве свойств понятий. Однако в научных контекстах они оказываются не свойствами, а предметами. На это указывает, в частности, их использование с определенным артиклем. Поэтому важнейшим моментом фрегевского определения числа является переход от понятия к объему понятия. Объем понятия - это как бы понятие в облике предмета, понятие, становящееся предметом. "Трудности, вытекающие из этого шага, преследовали его до конца его дней" (с.92).
Фреге исходит из различения логических и грамматических структур. Но как же можно, исходя из предложений естественного языка,
получить что-то такое, чему эта структура совсем не соответствует? Для Фреге как для математика здесь нет проблемы. Он считает, что предложения математики вовсе не определяются структурой и употреблением естественного языка, но даны сознанию непосредственно. Так, понятие числа вовсе не абстрагировано из предложений естественного языка. Последние служили лишь исходным пунктом анализа.
При построении определения числа Фреге использовал предложения и естественного, и искусственного языка. И это поставило перед ним семантические проблемы: что такое вообще значение языковых выражений? Этот вопрос важен для Фреге еще и потому, что он не принимает формалистического подхода к математике. Он утверждал, что знак, лишенный значения, - это вообще не знак, но физическое явление - чернильное пятно определенной конфигурации. Никакие проблемы не могут быть решены с помощью знаков, лишенных значения. Поскольку же математические символы служат для решения определенных проблем, их непозволительно рассматривать как знаки, лишенные значения. Вопросы значения Фреге анализирует в серии статей, последовавших после выхода в свет ОА. В них он исходит из понятия функции и различает, с одной стороны, функцию и выражение для нее, а с другой - функцию и аргумент. Так, в Дх) х входит в выражение для функции, но не в саму функцию. Функции Фреге характеризует как неполные (ненасыщенные) выражения, а аргументы -как полные (насыщенные). В своих семантических работах он переносит это различение на высказывания естественного языка. Здесь он рассматривает понятия как функции, а предметы - как аргументы. Понятие есть функция, значением которой для любого аргумента является «истина» или «ложь».
Понятие истины является одним из важнейших и одновременно сложнейших понятий логики Фреге. В одной из своих заметок он пишет: "Истина - это то, что я принимаю как не нуждающееся в объяснении" (цит. по: с.143). В то же время он убежден, что понятие истины имеет для
логики такое же значение, как понятие прекрасного для эстетики или понятие добра для этики.
Если понятия являются функциями, то объемы понятий, или множества предметов, на которых функция принимает значение «истина», являются полными выражениями и, следовательно, предметами. Здесь заложена возможность применения функции к самой себе.
Автор подробно рассматривает известное фрегевское различение смысла и значения, после чего переходит к анализу его работы "Основные законы арифметики" (ОЗА), первый том которой вышел в 1893 г. В этом труде Фреге, опираясь на свои предыдущие исследования, предлагает полную реализацию программы логицизма. Он использует свое определение понятия числа и формулирует аксиомы арифметики как логические законы. Он уверен, что тем самым он ставит математику на бесспорное и надежное основание.
Через 10 лет после первого тома вышел в свет второй том, в котором Фреге рассматривает уже основания математического анализа. Он строит определение действительного числа. Такое число уже нельзя определить как объем понятия, и эта проблема приводит Фреге к различению кардинальных и ординальных чисел. Хотя данное различение стало общепринятым, само определение действительного числа у Фреге признано неудачным, поскольку оно содержит экзистенциальные предпосылки.
В июне 1902 г., незадолго до выхода в свет второго тома ОЗА, Б.Рассел сообщил Фреге об обнаруженном им парадоксе, вытекающем из рассмотрения области значения функции в качестве предметов. Из такого рассмотрения вытекала возможность применения понятия к самому себе как к своему аргументу. Фреге в послесловии к ОЗА сообщил читателям об этом парадоксе, а Расселу написал, что его открытие подрывает не только один определенный закон из формулировки законов арифметики, но и саму возможность построить логическое основание арифметики. Ведь сам Фреге в критических экскурсах, предпринимавшихся им по
ходу рассуждений в ОЗА показал, что все альтернативные подходы к основаниям арифметики неудовлетворительны.
Так можно ли вообще построить основания для математики? Рассел предложил решение, состоявшее в том, чтобы не рассматривать классы (области значений функции) как объекты в собственном смысле слова. Классы у Рассела превращались в новую логическую категорию. Однако подобное умножение логических категорий представлялось Фреге сомнительным. Он не признал пути, по которому пошли Б.Рассел и А. Уайтхед, но не нашел и никакого другого.
Впрочем, это не означало для Фреге крушения трудов всей его жизни. Он не считал нужным пересматривать ИП. В 1910 г. на лекциях, которые посещал Р.Карнап, он по-прежнему выражал уверенность, что на основе ИП можно построить всю математику. Однако он не предпринимал попыток показать, как это можно сделать. В 1918 г. в одном из писем он сообщал, что он многие годы помимо своей воли думал над этим вопросом, и потом вдруг все стало ясно. Что он имел в виду? Автор на основе анализа поздних заметок Фреге выдвигает два предположения. Либо Фреге имел в виду, что крушение логицизма обусловлено дефектами естественного языка - склонности всех индоевропейских языков к субстантивированию глаголов и прилагательных. В таком случае неудача логической конструкции - знак того, что борьба с естественным языком еще не завершена. Либо речь идет о том, что арифметика и геометрия вырастают из одного общего источника и что вся математика есть по сути своей геометрия и потому является синтетическим априори.
ЗА.Сокулер
