CC BY
14
4. Knudsen C. Chaos Without Periodicity // American Mathematical Monthly. 1994. Vol. 101. P. 563-565.
5. Gulick D. Encounters with Chaos. New York: McGraw-Hill. 1992.
6. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic Chaos in One-Dimentional Continuous Systems // World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. 2016. Vol. 90. 561 p.
7. Süli E., Mayers D. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge // Cambridge University Press. 2003.
8. Fehlberg E. Low-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to some heat transfer problems // NASA Technical Report. R-315. 1969.
9. Fehlberg Er. (1970). Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit SchrittweitenKontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme // Computing. 1970. Vol. 6. Is. 1-2. P. 61-71. D0I:10.1007/BF02241732.
10. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides // ACM Transactions on Mathematical Software. 1990. Vol. 16. P. 201-222.
11. Dormand J. R.; Prince P. J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6 (1). P. 19-26.
12. Kantz H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 185. P. 77-87.
13. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a time series // Phys-ica 16 D. 1985. P. 285-317.
14. Rosenstein M. T., Collins J. J., Carlo J. De Luca. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Phyica D. 1992. T. 65. P. 117-134.
15. Кантор Б. Я., Богатыренко Т. Л. Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек // Доклады АН УССР. Cер. А. 1986. № 1. С. 18-21.
16. Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Encyklopädie der mathematischen wissenschaften. 1910. Vol. 4, № 4. P. 311-385.
УДК 621.01
3D МОДЕЛЬ ФРЕЗЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ШЛИЦЕВЫХ ВАЛОВ
Т. М. Мясоедова1, И. Г. Браилов2
'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный аграрный университет имени П.А. Столыпина, г. Омск, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-136-142
Аннотация — Повышение производительности операций фрезерования червячными фрезами можно добиться путем обоснованного использования режущего инструмента. Ошибки при фрезерной обработке минимизирует рациональный выбор параметров резания. В частности, к технологическим параметрам процесса фрезерования шлицевых валов помимо производительности обработки и стойкости инструмента относят геометрию режущего инструмента и силы резания. Расчет сил при такой обработке требует моделирования всего технологического процесса в целом и червячной фрезы в частности. На данном этапе развития технологий проектирования актуально применение средств и методов автоматизации, а также разработка адекватных математических моделей режущего инструмента. Целью работы является получение пространственной математической модели червячной шлицевой фрезы. Задача исследования: разработка математической 3D модели фрезы для обработки шлицевых валов позволяющая находить точки, принадлежащие режущим лезвиям фрезы, что дает возможность определять силы, действующие на определенный участок режущего лезвия. Компьютерное исследование выполняется с помощью САПР на основе методов 3D-моделирования. Как основной метод разработки аналитической модели червячной фрезы применяется векторное описание геометрии режущих кромок инструмента с учетом движения в параметрах станочных систем, что позволяет математически описать пространственную модель фрезы в целом суммой векторных функций. В работе определены зависимости, выраженные параметрическими векторными функциями, описывающими режущие лезвия червячной фрезы для нарезания шлицевых валов с учетом винтовых движений в двух направлениях. Использование такой модели совместно со средствами автоматизации проведения расчётов и проектирования позволяет существенно сократить экспериментальные исследования.
Ключевые слова: режущая кромка, червячная шлицевая фреза, аналитическая модель, векторные функции.
I. Введение
Моделирование червячных фрез - геометрически точных деталей сложной формы - реализуют при использовании математических моделей, включающих их аналитическое описание, разработанных алгоритмов и расчетов, а также необходимых данных [1, 2, 3 и др.]. Современные системы автоматизации проектирования осуществляют проектирование червячных фрез в интерактивном режиме путем большего количества проектных операций [4]. Поверхности сложной геометрической формы задают: аналитическим, проективным, кинематическим способами. Если рассматривать геометрически сложную поверхность с точки зрения математического описания поверхностей и методов их получения на металлорежущих станках, то векторные формы представления кривых или поверхностей предпочтительней, поскольку поверхности на металлорежущих станках образуются при относительном движении заготовки и инструмента, а векторные формы представления легко допускают геометрические преобразования. В работе геометрические преобразования координат осуществляются матричным преобразованием координат - мощным инструментом при проектировании сложнопрофильных инструментов - поскольку позволяют достаточно просто записывать координаты любых объектов в разных системах координат, составлять уравнения линий и поверхностей. С помощью винтовой линии можно описать любые движения в пространстве [5].
II. Постановка задачи
Фреза для обработки шлицевых валов является сложным с геометрической точки зрения объектом. Шлицы получают с использованием таких фрез на специальных шлицеобрабатывающих станках. Обработка производится методом обката при сложном относительном движении режущих лезвий инструмента и заготовки. Формирующие режущие лезвия, выполненные в виде радиусных участков, в процессе обработки в каждый момент времени находятся в разных пространственных положениях, снимают разную и переменную толщину срезаемого слоя, часть объема претерпевает постоянное изменение силовых параметров. В связи с этим для расчета силовых характеристик требуется дифференцированный подход.
III. Теория
Основными определяющими факторами сил, действующих на дифференциально малый участок режущего лезвия фрезы, являются прочностные и теплофизические свойства обрабатываемого материала. Силы, как известно, при фрезеровании зависят от толщины срезаемого в данный момент времени материала. Сама толщина срезаемого слоя зависит от положения точки, принадлежащей режущему лезвию фрезы в пространстве и соответственно от проекций силы резания, действующей в данный момент на режущий клин на оси координат станка. Предлагаемые методы профилирования червячных фрез [3] не позволяют определить пространственное положение точки на режущем лезвии в дифференциально малой окрестности.
Нахождение точек координат при моделировании можно определить, если двигаться по векторам или по радиусным участкам векторных функций. Координаты аналогичных точек на соседних зубьях этой же рейки находятся путем параллельных переносов. На фрезе точки всех зубьев расположены по винтовой. Другими словами, координаты точек всех зубьев следует рассчитывать с учетом винтового закручивания. Для этого необходимо вычислить координаты по винту каждой точки с учетом движения по оси фрезы.
Для углубления автоматизации проектирования в работе предлагается 3D модель фрезы на основе описания векторными функциями режущих лезвий зубьев, рейки фрезы и всех реек в объеме.
На рис. 1 представлен профиль зуба червячной фрезы в нормальном сечении. Каждый участок профиля описывается соответствующим вектором (Fx ...f5), привязанным к своей локальной системе координат. Координаты zi...z5, а также yi...y5 рассчитываться по известной методике [6]. В принятой координации в своих локальных системах координат векторы F1( F3, F5 записываются выражениями:
(1)
0
Г1 = -У1
—z 1
0
Гз = 0
Z3
0
fs = —У5
z 5
(2)
(3)
Радиусные участки описываются векторными функциями окружностей в параметрической форме. Так, вектор Г2 и вектор Г4 описываются функциями:
0
Г2 = R2 sin Ф2 , (4)
R2 cos Ф2
Гд =
0
R4 sin ф4 R4 cos ф4
(5)
В формулах (4) и (5) углы ф2 и ф4 изменяются от своих минимальных значений ф; (min) до максимальных ф;(max) т. е., фн2 < ф2 < фк2 и фн4 < ф4 < фк4.
Рис. 1. Профиль зуба червячной фрезы в нормальном сечении, представленный соответствующими векторами
Вычисление координат точек, находящихся на векторах производится в каждой локальной системе координат. Единичные вектора определяются через задания значения каждого вектора. Так, на примере вектора (см. рис. 1). Проекция единичного вектора ё(гх) на ось OZ вычисляется:
Z(A)-0
ez(r1) =
|ri!
Проекция того же вектора на ось OY имеет вид:
e„(ri) =
Y(A)-0 |ri!
Модуль вектора |Г1|:
|ril = Viz(A)]2 + [y(A)]2 . Для векторных функции Г2 , Г2 начальные углы фн2 , фн4 находятся:
фн2 = п- arcsin —,
■ (y4-y3) фн4 = arcsin———
(6)
(7)
(8)
(9)
Конечные углы фк2, фк4 вычисляются исходя из конечных координат точки A и A', вычисленных в системе Y(2)O(2)Z(2) или Y(4)O(4)Z(4) соответственно (рис. 1).
■ (y2-y3) фк2 = п — arcsin 2
фк4 = arcsin
|Г4| '
(10)
В выражениях (9) и (10) модуль вектора |Г2| и координаты У2, У4 известны из вычисленных значений координат центров радиусов по методике [6]. Значения углов фн и фк должны приниматься в радианах. Это позволяет избежать отслеживания четвертей, в которых учитываются знаки угла.
Для описания зуба в целом все векторы, отражающие соответствующие режущие лезвия, приводятся к единой системе координат зуба. Если принять за начало координат всего зуба систему координат 1-го зуба, то каж-
дый зуб запишется уравнениями зубьев в своих локальных системах координат и приведенных к системе координат всего зуба путем использования матриц параллельных переносов. В общем виде уравнение имеет вид:
^(З) = М • Го^З) + Гь
где М - матрица параллельных переносов. Матрица параллельных переносов имеет вид:
(11)
0 0 0
M = 0 1 0
0 0 1
Вектор гм(З), на который отстоит /-ая система координат каждого вектора от системы координат зуба. В результате зуб в целом описывается набором векторных функций вида (11).
На рис. 2 представлена рейка в нормальном сечении. Зубья отстают друг от друга на величину шага /. Тогда любой вектор на других зубьях относительно системы координат первого зуба находятся из выражения
rijk = M • rok + rij ,
В формуле вектор r0k имеет вид
Гок = t • j ,
На первом зубе j = 0, n - количество зубьев на рейке, индекс j -й имеет значения 0 < j < n.
ГЧ = Mi • roi + ri ,
где ri - вектор в собственной системе координат.
В системе координат рейки выражение для /-го векторау-го зуба имеет вид
rijr = ^2 • r0r + rij ,
(12)
(13)
(14)
(15)
Описание зубьев одной рейки привязывается к системе координат рейки, которая совпадает с системой координат первого зуба (рис. 2). Каждый последующий зуб описывается в системе координат рейки за счет параллельных переносов на вектор, равный / - шагу зубьев фрезы.
Рис. 2. Профиль рейки червячной шлицевой фрезы в нормальном сечении
Фреза имеет несколько реек, расположенных по окружности, а каждая рейка имеет несколько идентичных зубьев. Каждая рейка и ее зубья находятся матричными преобразованиями поворотов на соответствующий угол относительно глобальной системы координат фрезы (рис. 3).
В общем виде выражение для каждого вектора в системе координат фрезы описывается функцией
rijrf = M3 • r0f + ■
ijr
(16)
где /-й - вектору-го зуба к-ой рейки.
В работе принято, что система координат первой рейки находится в плоскости Х02. Зубья на фрезе расположены по винтовой линии и удалены друг от друга на шаг. Это означает, что если рассматривать соседние точки на одном векторе или на соседних векторах, то они так же расположены по винтовой линии. Для рас-
смотрения этого необходимо брать во внимание фрезу в целом. Винтовая линия образуется при нарезании стружечных канавок, которые на фрезе наклонены относительно оси OZf на угол у0 , который соответствует радиусу фрезы Я0, (рис. 3).
Рис. 3. Угол наклона реек на фрезе
При заданном угле настройки у0 для нарезания стружечных канавок на шлицевой фрезе определяется параметр «а». Он указывает на соотношение шага нарезаемой канавки к длине окружности на принятом радиусе фрезы Я0, который соотносится к началу координат первого зуба, первой рейки. Параметр «а» находится из соотношения, указывающего на величину перемещения точки, находящейся на винтовой, по координате z
ъ = а • Р.
Шаг винтовой линии £ на радиусе Я0 за полный оборот Р = 2п определяется
£ =
tanyо
(17)
(18)
При перемещении на величину шага круговая вектор-функция делает полный оборот, т.е. Р = 2п
Угол Р в формуле изменяется в пределах 0 < Р < Ртах по формуле
Р = В
1 т я V
Максимальное значение Рт
вычисляется
(19)
где В - длина фрезы, измеряемая по оси OZ рис. 3.
При перемещении следует учитывать закручивание и изменение величины Я0, что влияет на изменение координат точек х, у, z на всех векторах. Тогда вектор на первой рейке Г^будет иметь вид.
RicosFi
Мт^ , (20)
аР
IV. Результат
Разработана аналитическая модель фрезы, которая описывает режущие лезвия всей шлицевой фрезы. По предложенной модели могут быть вычислены все точки, принадлежащие режущим лезвиям фрезы, что, в свою очередь, дает возможность определять силы, действующие на определенный участок режущего лезвия. А также получать массив данных, позволяющий использовать эту модель при автоматическом проектировании червячной шлицевой фрезы.
V. Обсуждение результатов В результате с учетом винтового движения могут быть рассчитаны координаты x, y, z любых точек на любом векторе и помещены в массив. Поскольку фреза имеет несколько реек, то при переходе к последующим рейкам следует учитывать, что при повороте на угол у система координат рейки смещается по оси OZ, поскольку она движется по винтовой линии на цилиндре диаметром 2R0 (см. рис. 2).
Величина смещения ax • у (рис. 2) зависит от шага нарезания зубьев и угла у. На первой рейке у = 0. Сама величина угла у измеряется в радианах
2п
у = Y' (21>
где k - число реек на фрезе. Величина смещения по оси OZ (см. рис. 2) относительно закоординированной первой рейки
Zi = a^ уг (22)
Она рассчитывается аналогично, как это имело место быть при расчёте по винтовым стружечным канавкам. При этом за один оборот вокруг оси фрезы все точки рейки смещаются на шаг t, если рассматривать в нормальном сечении. Учитывая, что смещение следует рассматривать по оси OZ, то можно принять
Zi = a^ у^ cos Yo. (23)
Отсюда величина смещения по оси OZ и ахна величину п:
ai = — (24)
1 2п v '
Фреза имеет несколько реек в своей конструкции - 6.. .8 [7]. Тогда смещение соседней рейки произойдет за поворот относительно оси на величину у1, который равен
2п
у1 = р (25)
где k - число реек на фрезе.
В результате все точки векторов первой рейки сместятся по оси OZ и повернутся на угол у 1.
j = М3 • fijR + ai • у1 . (26)
Матрица М3 имеет вид
10 0 М3 =0 cos у1 -sin у1 . 0 sin у1 cos у1
В результате решена одна из задач автоматизации проектирования червячной шлицевой фрезы, а именно найдены зависимости пространственного положение точки на режущей кромке фрезы, которые позволяют рассчитать силовые характеристики при фрезерной обработке червячной шлицевой фрезой.
VI. Выводы и заключение Предложенная векторная математическая модель режущих лезвий фрезы позволяет рассчитать координаты точек на фрезе, как статическими их положениями, так и при имитации движения. Фреза рассматривается в пространстве, принятая модель позволяет находить точки, принадлежащие режущим лезвиям, которые производят или не производят снятие металла в процессе обработки. Это, в свою очередь, дает возможность определять силы, действующие на определенный участок режущего лезвия. Таким образом, кроме геометрических данных, модель (рис. 1) позволяет рассчитать дифференциальные характеристики: Т, нормали Л/, бинормали В в любой точке режущих лезвий. Дифференциальные характеристики позволяют определить силы, действующие на фрезу в любом ее положении.
Единичные вектора дифференциальных характеристик на разных рейках, а затем и в разных пространственных положениях, позволяют раскладывать удельные составляющие сил при фрезеровании на оси координат.
Суммирование сил от всех положений также позволяет рассчитывать мгновенные силы в каждом положении фрезы, что в практическом применении позволит повысить производительность операций при фрезерной обработке шлицевых валов, за счет рационального использования червячных шлицевых фрез, а именно выбора таких параметров резания, которые минимизируют ошибки обработки и гарантируют работоспособность режущего инструмента.
Список литературы
1. Yan Xu, Xingguang Duan, Yucan Zhao. The development of worm hob CAD system // IEEE International Conference Mechatronics and Automation, 2005. Vol. 4. INSPEC Accession Number: 8946975. DOI: 10.1109/ICMA.2005.1626765.
2. Tadeusz Nieszporek, Andrzej Piotrowski. Automation of Hob Design // Software Engineering (WCSE). 2010 Second World Congress on Software Engineering. Vol. 2. DOI: 10.1109/WCSE.2010.87.
3. Nikolaos Tapoglou, Aristomenis Antoniadis. Hob3D: A Novel Gear Hobbing Simulation Software // Proceedings of the World Congress on Engineering. 2011. Vol. 1. WCE 2011. 2011, London, U.K.
4. Чемборисов Н. А., Девжеева Т. Г. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов // Металлообработка. 2010. № 4. С. 2-6.
5. Litvin F. L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory // 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge. 2004. 800 p.
6. Radzevich Stephen P. Gear Cutting Tools: Fundamentals of Design and Computation. CRC Press // Taylor & Francis Group. 2010. 786 p.
7. Ngoc-Thiem Vu, Shinn-Liang Chang, Jackson Hu, and Tacker Wang. Computer -Aided Design of Helical Cutting Tools // International Journal of Applied Physics and Mathematics. Vol. 2, no. 2. March 2012.
УДК 621.396.67
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РАЗБОРНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ
М. Н. Одинец, Н. В. Кайгородцева, И. В. Крысова
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
DO1: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-142-148
Аннотация - Активное развитие спутниковой связи и систем автоматизированного проектирования поднимают проблему проектирования параболических антенн на новый виток развития. Целью работы было исследование влияния конструкции зеркала параболической антенны на ее выносливость при ветровой нагрузке. Задачей исследования являлся автоматизированный анализ напряженно-деформированного состояния различных конструкций компьютерных моделей зеркала параболоида, состоящего из сегментов и цельного, при моделировании условий эксплуатации. Особенностью проведенного исследования является то, что на полученную сборкой модель накладывались жесткие связи по контактирующим поверхностям сегментов зеркала антенны и только потом генерировалась сетка конечных элементов. Проведенный анализ показал преимущество конструкции антенны разборной, состоящей из кольцевых сегментов, перед конструкцией цельной антенны. Расчет напряженно-деформированного состояния антенн позволяет сделать вывод, что деление конструкции антенны на параболические и циклические сегменты повышает ее прочность и жесткость. В дальнейшем это может быть использовано для минимизации массогабаритных характеристик антенны. Представленный в статье способ моделирования конструкции зеркала параболической антенны с использованием метода конечно-элементного анализа позволяет использовать полученные результаты при проектировании параболических антенн.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, сегментация поверхности параболической антенны.
I. Введение
Сегодня важными являются вопросы проектирования конструкции антенн (разборная, цельная или раскладная), максимально сохраняющей свои характеристики при различных условиях ее эксплуатации (ветер, вибрация, обледенение и т.п.). В настоящее время существует достаточно обширная база специальных программных продуктов для разных отраслей промышленности. При этом, по-прежнему ведутся работы по поиску и внедрению новых методов и методик в разработку сложных устройств и конструкций, например, таких, как средства радиотехники и связи.
