CC BY
11
запускает когнитивные процессы. Эти процессы - воображаемые или воплощенные путем их записи - соответствуют некоторым ограничениям: «двигая вещи вокруг», мы на самом деле выполняем на материальных знаках законные и, следовательно, значащие операции, тем самым увеличивая математическое знание (с. 359).
Р. С. Гранин
2019.03.007. КОСТРЕЙЕ С. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ: ФРЕГЕ И ДЕАН. COSTREIE S. The geometrical basis of arithmetical knowledge: Frege & Dehaene // Theoria: An international journal for theory, history and foundations of science. - Bilbao, 2018. - Vol. 33, N 2. - P. 361-370.
Ключевые слова: логика; интуиционизм; Фреге; Деан; арифметическое познание; синдром Герстманна; эффект пространственно-числовой ассоциации ответных реакций.
Автор статьи - Сорин Кострейе - является ассоциированным профессором философии в Бухарестском университете. Его основные научные интересы лежат в области философии математики, философии языка, ранней аналитической философии (особенно философии Фреге) и ранней современной философии (прежде всего философии Лейбница) (с. 370).
В статье Кострейе исследует позднюю позицию относительно геометрического источника арифметического знания Готлоба Фреге1, писавшего в работе «Числа и арифметика» о «детсадовских числах» и «априорном способе познания», утверждая, что они могут иметь «геометрический источник». Автор доказывает, что это утверждение соотносится с некоторыми недавними результатами в исследованиях арифметики и некоторыми современными позициями в научной литературе, посвященной арифметическому позна-
1 Фридрих Людвиг Готлоб Фреге (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 18481925) - немецкий логик, математик и философ. Представитель школы аналитической философии. Сформулировал идею логицизма, направления в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике».
нию, особенно с позицией Станисласа Деана1. Также автор пытается показать, в какой степени логика (Фреге) совместима с интуиционизмом (Деан) (с. 361).
Кострейе отмечает, что арифметику обычно представляют как абстрактную, непространственную область, населенную числами, которые являются своего рода логическими объектами, далекими от обладания какими-либо геометрическими чертами. Более того, помимо этих черт, необходимых для когнитивных манипуляций, в арифметическом познании, по-видимому, нет никакой про-странственности. Тем не менее при более тщательном анализе явлений, связанных с математическим познанием, можно обнаружить, что пространственная и числовая обработка (данных, информации) тесно связаны между собой, и поэтому геометрические и арифметические знания имеют общую эпистемологическую основу. Следовательно, пишет Кострейе, его статья является частью более крупного проекта, в котором он пытается примирить традиционные философии математики, обычно рассматриваемые как несовместимые друг с другом, и интегрировать их в современные исследования.
Далее Кострейе пишет, что в работе Станисласа Деана «Числовой смысл» есть отрывки, которые звучат поразительно схоже с поздней позицией Фреге: «Основы любой математической конструкции базируются на фундаментальных интуициях, таких как понятия множества, числа, пространства, времени или логики. Это почти никогда не ставится под сомнение, так глубоко принадлежат они неприводимым представлениям, придуманным нашим мозгом. Математика может быть охарактеризована как прогрессивная формализация этих интуиций. Ее цель - сделать их более согласованными, взаимно совместимыми и лучше адаптированными к нашему опыту внешнего мира» (с. 367). Более того, что неудивительно, Де-ан, как и Фреге, ставит себя в стороне от тех, кто находится между платонизмом и интуиционизмом: «Гипотеза частичной адаптации математических теорий к закономерностям физического мира, возможно, может дать некоторые основания для примирения между платониками и интуитивистами. Платонизм наталкивается на неоспоримый элемент истины, когда подчеркивает, что физическое
1 Станислас Деан (фр. Stanislas Dehaene; род. 1965) - французский нейро-биолог. Его труды посвящены исследованиям процессов обработки числовых и текстовых данных в мозгу человека с использованием нейровизуализации.
единство организовано в соответствии со структурами, предшествующими человеческому разуму. [...] Числа, как и другие математические объекты, являются ментальными конструкциями, корни которых можно найти в адаптации человеческого мозга к закономерностям вселенной» (с. 368). Таким образом, как по Фреге, так и по Деану, очевиден вывод о «конкретности» математического познания в отношении с реальным миром: «Когда мы думаем о числах или совершаем арифметические действия, мы не полагаемся исключительно на очищенную, эфирную, абстрактную концепцию числа. Наш мозг немедленно связывает абстрактное число с конкретными понятиями: размером, местоположением и временем. Мы не занимаемся арифметикой «абстрактно»» (с. 368).
По всей видимости, пишет автор, и Фреге, и Деан утверждают существование своего рода геометрической эпистемической основы в наших знаниях о числе. Эта идея подкрепляется интуиционизмом Деана, который считает, что арифметическое познание основано и развивается от объективных геометрических априорных знаний. Так, например, результаты некоторых исследований показывают наличие специфической связи между величиной числа и стороной ответной реакции, так называемый эффект пространственно-числовой ассоциации ответных реакций (Spatial Numerical Association of Response Codes - SNARC). Этот эффект был впервые обнаружен в исследовании Деана и его коллег. Испытуемые выполняли задачу на установление четности числа, нажимая как можно быстрее левую кнопку, если число, предъявляемое по центру, было четным, и на правую, если оно было нечетным. Независимо от четности в случае маленьких чисел ответы левой рукой были быстрее ответов правой, и наоборот - при больших числах ответы правой рукой были быстрее, чем левой. Этот результат имеет ключевое значение для проблемы пространственного кодирования чисел. Это демонстрирует, что информация о числовой величине пространственно закодирована. Дальнейшие эксперименты, проведенные в этом направлении, подтверждают эту гипотезу и указывают на то, что: эксперимент работает и для отрицательных чисел; направление линии зависит от культуры; его происхождение носит скорее концептуальный, чем визуально-пространственный характер (с. 368).
Здесь важно видеть, что мы обычно располагаем числа вдоль воображаемой линии, что предполагает, что для умственной обработки чисел, мы должны предварительно поместить их на линию. Это говорит о существовании интересного факта, касающегося математического познания, а именно, что мы сначала эпистемически ассимилируем непрерывные линии, и только после определяем дискретные точки (на них). Из современных открытий эти идеи подтверждаются исследованиями, касающимися синдрома Герст-манна1. Эти нарушения могут препятствовать использованию написания многозначных чисел и формированию их визуальных образов (а также числовой линии), тем самым препятствуя вычислениям в уме. Многие люди формируют мысленное представление о последовательности чисел как числовые формы, из которых составляют последовательности. Деан описал их следующим образом: «Числовые формы можно сравнить с сознательной и обогащенной версией умственной числовой линии. В то время как ментальная числовая линия большинства людей проявляется только в условиях эксперимента, числовые формы легко доступны для осознания и также более богаты визуальными деталями, такими как цвет или точная ориентация в пространстве» (с. 369). Более того, для некоторых людей числа не только мысленно расположены на воображаемой линии, но и окрашены и размещены в определенных пространственных местах. Таким образом, кажется, что существуют некоторые априорные предварительные настройки нашего ума, которые помогают нам иметь дело с концепциями пространства и времени и которые состоят из своего рода предпосылок для всех видов математических знаний.
Подводя итог, автор пишет, что он до сих пор пытался понять, каким образом поздняя логика Фреге может быть соотнесена с математическим интуиционизмом, а именно с интуиционизмом Деана. Оба разделяли идею, что арифметическое мышление имеет геометрический эпистемологический источник, который одинаково объективен и априорен. Это интересный результат, который под-
1 В 1940 г. австрийский невролог Йозеф Герстманн показал, что поражение левой нижней теменной области может вызывать следующие симптомы: дисгра-фию или аграфию (затруднения в способности писать); дискалькулию или акаль-кулию (трудности в изучении или понимании математики); пальцевую агнозию (неспособность отличать пальцы рук); право-левую дезориентацию (с. 368).
тверждается многими современными исследованиями арифметики, показывающими, что арифметическое знание развилось и сформировалось в конечном итоге на геометрической эпистемической основе (с. 369).
Р. С. Гранин
2019.03.008. КАСТЕЛЛАНО Ф. НОН-КОНЦЕПТУАЛИЗМ, КОНЦЕПТЫ НАБЛЮДЕНИЯ И ДАННЫЕ.
CASTELLANO F. Non-conceptualism, observational concepts, and the given // Theoria: An international journal for theory, history and foundations of science. - Bilbao, 2018. - Vol. 33, N 3. - Р. 401-416.
Ключевые слова: Кристофер Пикок; «концепт обладания»; содержание сценария; протопропозиция; «миф о данности».
Автор статьи - Федерико Кастеллано - докторант Национального университета Кордовы (Аргентина) и Национального научно-технического исследовательского совета Аргентины. Основные направления его исследований - эпистемология и философия сознания.
Свою статью автор посвятил проблеме взаимосвязи наблюдения (в артикуляции концептуалистов) и восприятия (перцепции1). Он выдвинул два возражения против аргументации британского философа Кристофера Пикока2, который в книге «Исследование концептов» и последующих работах вывел нон-концептуалист-ский взгляд на перцепцию.
1 От лат. perceptio - восприятие, - процесс непосредственного активного отражения когнитивной сферой человека внешних и внутренних предметов (объектов), ситуаций, событий, явлений и т.п.
2 Кристофер Пикок (англ. Christopher Arthur Bruce Peacocke, род. в 1950 г.) -британский философ, известный своими работами в области философии сознания и эпистемологии. В последних работах по гносеологии отстаивает позицию рационализма.
3 Учение, названное позже концептуализмом (от лат. conceptus - мысль, понятие), развил впервые Пьер Абеляр. Согласно ему общие понятия не являются ни реальностями, ни простым словесным обозначением. В споре об универсалиях концептуалисты, как и номиналисты, отвергая учение реализма, отрицали реальное существование общего независимо от отдельных вещей, но в отличие от номиналистов признавали существование в уме общих понятий, концептов, как особой формы познания действительности.
