CC BY
10
2006.04.007. ХИЛГЕВООРД Я. ПРОБЛЕМА ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ: ИСТОРИЯ ПУТАНИЦЫ. HILGEWOORD J. Time in quantum mechanics: A story of confusion // Studies in history a. philosophy of science. - L., 2005. - Pt.B: Studies in history a. philosophy of modern physics. - Vol. 36. - P. 29-60.
Статья Яна Хилгевоорда (Институт истории и оснований науки Утрехтского университета, Нидерланды) посвящена проблеме времени в процессе становления квантовой механики (КМ) в 20-30-х годах прошлого века. Одним из наиболее трудных и неразрешенных до сих пор вопросов, лежащих в основе КМ, является вопрос о том, какими свойствами в этой теории обладает время.
Суть проблемы состоит в следующем. При решении задач КМ параметр времени t существенно отличается от пространственных координат х, y, z. Если в теории относительности пространственные координаты х, y, z и время t формируют единый четырехмерный вектор в пространственно-временном континууме, то в КМ такой равноправности нет. В КМ существуют операторы положения частицы х, y, z, но нет оператора времени. Для теории относительности это является проблемой.
Хилгевоорд полагает, что в КМ необходимо различать внутреннее и внешнее время. В этой теории физические системы расположены в независимом от них, однородном и изотропном пространстве и времени и все результаты сформулированы относительно данного пространственно-временного фона. Такие координаты называются внешними координатами пространства и времени -х, y, z, t. Помимо них существуют внутренние пространственные и временные переменные, связанные с определенными физическими свойствами систем, которые стремится описывать теория. К ним относятся переменные положения частиц и переменные времени специальным образом введенных часов. Эти переменные являются динамическими и удовлетворяют уравнениям движения. В КМ может существовать лишь одно внешнее время, но внутренних параметров времени - бесконечное множество.
В КМ динамические переменные физических систем становятся операторами, а внешние координаты пространства и времени остаются скалярными числами. При этом независимый внешний фон пространства-времени в формате с-числа в КМ играет очень важную роль, потому что он предполагает наличие симметрии, ко-
торая обеспечивает законы сохранения энергии, импульса и углового момента. «Если мы хотим найти операторы времени, мы должны искать внутреннее время, обеспеченное наличием специальной физической системы - "часами"» (с. 31-32).
Происхождение проблемы связано с классической гамильтоно-вой механикой. Математический аппарат КМ был создан на базе уравнений классической гамильтоновой механики П.А.М. Дираком в 1925-1926 гг. Переход к КМ был совершен путем представления канонических переменных операторами и заменой скобки Пуассона коммутаторами. Этот процесс называют каноническим квантованием.
В классической гамильтоновой механике иногда находят полезным включить ^ в набор динамических переменных системы. Тем не менее преобразование внешнего параметра времени в динамическую переменную - неестественная процедура. При таком введении времени существуют факторы, препятствующие обычному переходу от формализма Лагранжа к формализму Гамильтона. Среди них можно отметить тот факт, что со временем сопряжен отрицательный гамильтониан. При этом появляется дополнительное уравнение, которое делает канонические переменные д, р взаимно зависимыми.
В гамильтоновой механике ^ играет роль параметра времени. Нет причин присваивать ^ динамической переменной. Теория относительности также не требует этого, поскольку обобщенные координаты необязательно должны характеризовать положение частиц. Единственный подходящий пример, когда время можно представить в качестве динамического параметра, - это случай одной частицы.
Дирак прилагал наибольшие усилия включить в КМ внешний параметр времени в качестве оператора. Его целью было расширить матричную механику В. Гейзенберга до теории относительности. Первоначально следовало получить квантово-механическое выражение для системы, в котором время явно присутствует в гамильтониане. Дирак утверждал, что принцип относительности требует, чтобы время рассматривалось точно так же, как и другие переменные, т.е. должно быть оператором. Рассматривая время по аналогии с другими переменными, он получил явную зависимость гамильтониана от времени. Однако это привело, в частности, к несогласованности уравнений, зависимости друг от друга канонических переменных. Позднее Дирак назвал свой метод «искусствен-
ным», но ему удалось добиться значительных успехов в формулировке релятивистского волнового уравнения. Сначала это уравнение рассматривалось в качестве описывающего поведение отдельной частицы со спином, например, электрона. В этом уравнении пространственные координаты электрона рассматривались как операторы, тогда как время было обыкновенным параметром (с-числом). Однако в дальнейшем уравнение стало интерпретироваться как уравнение для оператора поля в пространстве-времени, а координаты положения электрона - как координаты точки в пространстве, и совместно с параметром времени в форме с-числа формировали координату точки теперь уже в пространстве-времени. «Удивительно, но Дирак, по-видимому, так и не рассмотрел внутреннее время в КМ» (с. 37).
Гейзенберг был заинтересован прежде всего в демонстрации своих соотношений неопределенности. Для этого он рассматривал эксперимент Штерна - Герлаха. Этот эксперимент позволяет определить средний магнитный или электрический момент атома, а на основе этих данных определить внутреннюю энергию атома. Причем точность измерения энергии атома уменьшается по мере того, как укорачивается промежуток времени, в течение которого атом находится под воздействием отклоняющего поля: АЕА(~к. Время здесь играет роль внешнего времени - некоторого параметра, присущего экспериментальной установке. Экспериментатор может производить измерения более или менее долго. Другими словами, в этом эксперименте точность определения энергии может быть получена за счет длительности измерения.
В примере по определению энергии с помощью эксперимента Штерна - Герлаха время наиболее естественно интерпретировалось как внешнее время. Но фаза ф может рассматриваться как внутреннее время. Определение энергии и фазы также основано на эксперименте Штерна - Герлаха. Здесь задача эксперимента состоит в разделении двух пучков атомов с энергиями и Е2 соответственно. Гейзенберг делает вывод, что, когда пучки разделены, фазы являются неопределенными. Причем фазу здесь можно рассматривать как внутреннее время. Однако ф не наблюдаема в КМ. Более того, она включает обе неопределенности - АЕ и А Поэтому этот пример показывает только то, что в нем используется внешнее
время ^ для разделения состояний с энергиями Е1 и Е2, а взгляд Гей-зенберга на проблему времени остается неясным.
Н. Бор мало интересовался проблемой времени в КМ. Это, вероятно, является следствием того факта, что в его интерпретации КМ формализм играет второстепенную роль. Центральной для него была концепция дополнительности. Бор независимо вывел соотношения неопределенности А(АЕ~АхАр~к из волнового описания и анализа Фурье. Здесь А1, АЕ, Ах, Ар обозначают точно не установленные величины размеров волнового пакета. В противоположность Гейзенбергу, который связывал соотношения неопределенности с коммутационными соотношениями между операторами, Бор под А1 понимал ширину волнового пакета во времени.
Э. Шрёдингер развивал релятивистскую КМ. Перед ним стоял вопрос, противоречат ли идеи теории относительности КМ. Он писал: «Математически ясные и простые формулы преобразования Лоренца связаны с очень значительными трудностями с точки зрения КМ... Математически их, конечно, можно избежать, вообразив две достаточно массивные и абсолютно твердые физические системы. С физической точки зрения, однако, необходимо иметь в виду, что такие системы не могут существовать» (цит. по: с. 48-49).
В качестве примера таких систем Шрёдингер предлагал рассмотреть часы. Он анализировал синхронизацию часов посредством световых сигналов и доказывал, что измерение пространственного расстояния между двумя точками объекта массы т не определено по крайней мере на величину к/4кте. Это означает, что установление точной пространственно-временной координаты требует очень массивных часов.
В квантовой механике время - это не оператор, а простое с-число; его значения предполагаются точно известными. Шрёдингер рассматривает это как очень серьезный недостаток КМ, поскольку точное определение времени может быть только в том случае, когда существуют идеальные часы. Однако идеальные часы в КМ будут иметь спектр энергии, варьирующийся от плюс до минус бесконечности. Отсюда он сделал вывод о том, что с физической точки зрения такая система существовать не может. Поскольку теория относительности нуждалась в идеальных часах, для того чтобы установить систему координат в пространстве-времени, возник серьезный конфликт между теорией относительности и КМ. В его ана-
лизе преобразования Лоренца различие между внутренним и внешним пространством и временем было размытым.
Джон фон Нейман разработал математический фундамент КМ. Он считал, что основная слабость квантовой механики - ее нерелятивистский характер, который различает время ^ и три пространственные координаты х, у, г. Фон Нейман допускает объективную концепцию одновременности. Фактически, в то время как все другие величины (особенно х, у, г, тесно связанные с ^ в преобразовании Лоренца) представлены операторами, времени соответствует обыкновенный числовой параметр I, как и в классической механике.
Кроме этого, система, состоящая из двух частиц, имеет волновую функцию, которая зависит от шести пространственных координат и только от одной временной координаты, хотя в силу преобразования Лоренца было бы желательно наличие двух временных координат. «Возможно, это связанно, - писал фон Нейман, -с нерелятивистским характером КМ, так что мы можем игнорировать естественные законы минимума продолжительности измерений. Это может быть пояснением, но не самым удачным!» (цит. по: с. 51). Еще одну слабость квантовой механики фон Нейман видел в том, что внешний параметр времени не квантован. Пространственные координаты, появлявшиеся в преобразовании Лоренца, интерпретировались им как переменные положения частиц, т.е. как внутренние переменные.
В одной из сносок своей знаменитой энциклопедической статьи В. Паули замечает, что общее время отличается от координат, поскольку временная координата предполагается точно заданной. При этом он ссылается на Шрёдингера, который подчеркивал, что идеальные часы, которые показывают точное время, будут обладать бесконечно большой неопределенностью по энергии и, следовательно, бесконечной энергией. Но это не должно означать, что обычная концепция времени противоречит КМ, поскольку к таким идеальным часам можно приближаться с произвольной точностью.
Паули считал, что невозможно ввести оператор времени Отсюда можно допустить, что гамильтониан обладает непрерывностью всех собственных значений (от минус бесконечности до плюс бесконечности), хотя дискретные значения гамильтониана тоже могут присутствовать.
Автор в итоге считает, что с-числовой характер внешнего времени - не проблема, поскольку внешние пространственные координаты тоже с-числа в КМ. Нет необходимости вводить для времени оператор. К тому же внешнее время в форме с-числа предполагает наличие симметрии, которая обеспечивает законы сохранения энергии, импульса и углового момента. А путаница возникла, вероятно, из-за смешения внутреннего и внешнего времени и приравнивания времени пространству.
А.В. Журавлев, В.А. Яковлев
