CC BY
15
Лапласа) является отличительной чертой кантианской космологии. Но точки зрения Канта и Лапласа резко различались в ряде вопросов. Например, Кант исходил из эволюционного развития холодной пылевой туманности, в ходе которого сперва возникло центральное массивное тело - будущее Солнце, а потом уже возникли планеты. Лаплас считал первоначальную туманность газовой и очень горячей, находящейся в состоянии быстрого вращения. Сжимаясь под действием силы всемирного тяготения, туманность, вследствие закона сохранения момента количества движения, вращалась все быстрее и быстрее. Из-за больших центробежных сил, возникающих при быстром вращении в экваториальном поясе, от него последовательно отделялись кольца. В дальнейшем эти кольца конденсировались, образуя планеты. Таким образом, согласно Лапласу, планеты образовались раньше Солнца. Однако, несмотря на такое резкое различие между двумя гипотезами, общей их особенностью является представление о том, что Солнечная система возникла в результате закономерного развития туманности.
В.А.Яковлев,
О.С.Яковчук
2006.01.006. ХИСМАЙЕР Б.С., ВЕДРАЛ В. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ В СРАВНЕНИИ С ОПТИЧЕСКОЙ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬЮ. HIESMAYR B.C., VEDRAL V. Termodynamical versus optical complementarity. - Mode of access: http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0501015 (Vol.1, 4 Jan 2005).
Б.С. Хисмайер (Институт теоретической физики, Вена, Австрия) и В.Ведрал (Институт экспериментальной физики, Вена, Австрия; Институт им. Эрвина Шрёдингера, Вена, Австрия; Школа физики и астрономии Лидсского университета, Великобритания) устанавливают соответствие между макроскопическими термодинамическими величинами и дополнительностью при волновой интерференции. Они показывают, что хорошо известные контрастность и предсказуемость в экспериментах с двойной щелью связаны с магнитной чувствительностью и намагниченностью спиновой цепи. Это дает возможность анализировать взаи-
мозаменяемость термодинамических величин с помощью того же самого информационно-теоретического способа, который используется при анализе корпускулярно-волнового дуализма, что привносит новое понимание сложных термодинамических моделей (фазовые переходы, переход от дифракции света на одной щели к интерференции на двух щелях и т.п.).
Спиновые цепи анализируются в рамках многих контекстов уже более века. Они часто дают очень точные модели для твердых тел, в рамках которых можно изучать макроскопические свойства последних. Обычно изучаются реакции твердых тел на внешние условия (изменяющееся магнитное поле, температура и др.). Стандартный подход должен позволить построить гамильтониан для цепи, который можно диагонализировать через последовательность преобразований. Полученные собственные значения используются затем для определения функции распределения. В принципе из этого могут быть выведены все макроскопические величины. Но физики обычно не интересуются деталями диагонализации, ибо функции распределения сами по себе не дают достаточного знания соотношений между выведенными макроскопическими величинами.
Основная цель этой работы состоит в том, чтобы получить некие возможности для дальнейшего понимания термодинамических величин, проводя аналогии между явлениями оптической интерференции и суммированием экспоненциальных факторов больцмановской энергии в функции распределения спиновой решетки. Эта аналогия может помочь выяснить взаимозаменяемость таких термодинамических величин, как намагниченность и магнитная восприимчивость (подобно взаимозаменяемости интерференционных полос и информации о путях лучей света в интерферометре). Здесь есть также аналогия между фейнмановским квантово-механическим пропагатором и термодинамической функцией распределения.
Во-первых, для двухщелевого эксперимента авторы представляют дополнительность между «предсказуемостью» волны-частицы, проходящей через одну из щелей, и контрастностью интерференционных полос. Предсказуемость и контрастность суть
пара дополнительных свойств в том смысле, что «чем лучше мы будем знать одну, тем хуже сможем определить другую». Во-вторых, они обсуждают соответствие между интерференцией на двойной щели и термодинамической функцией распределения для цепи невзаимодействующих двухуровневых систем. Показывается, что существует термодинамическая аналогия для динамической двухщелевой дополнительности. Эта термодинамическая дополнительность проявляется во взаимозаменяемости соотношений между намагниченностью системы и ее чувствительностью: чем выше значение одной из них, тем ниже значение другой. Данный результат применим для более сложных взаимодействующих спиновых цепей и позволяет понять фазовые переходы в том же самом духе.
Понятие дополнительности в интерференционных экспериментах (или в двухщелевых экспериментах) является основной составляющей любой физической теории волн. Оно находится и в основании квантово-механического корпускулярно-волнового дуализма. Для обсуждения интерференции авторы используют язык квантовой физики, подчеркивая при этом, что «полный анализ применим для любой (классической или квантовой) волновой теории». Качественное утверждение, что наблюдение интерференционной картины и какое-то обнаружение информации являются взаимоисключающими, было недавно переведено на количественный язык: было найдено уравнение, в котором имеется величина, обозначающая контрастность полос, квантифицирующая резкость или контраст интерференционной картины (свойство, подобное волновому). Обнаружена и величина, которая обозначает предсказуемость траектории, т.е. априорное знание, которое можно иметь в отношении выбранной траектории с помощью интерференционной системы (корпускулярно-подобное свойство).
Авторы иллюстрируют, как дополнительность проявляет себя в термодинамических системах. Предположим, что мы имеем ансамбль N двухуровневых невзаимодействующих систем с собственными значениями. Соответствующее уравнение содержит всю термодинамическую информацию, которую можно получить о системе. Существует взаимозаменяемость между намаг-
ниченностью и чувствительностью (восприимчивостью на спин) при фиксированной температуре: чем больше одна из величин, тем меньше другая, и наоборот. Физически этого следует ожидать, поскольку чем больше намагниченность, тем больше знаний о направлении спина мы можем получить. При этом мы будем также знать, что различные спины слабо коррелированны (в статистическом смысле), и, следовательно, мала восприимчивость.
Чтобы сравнить это с волновой дополнительностью (классической и квантовой), авторы обсуждают интерференционную картину от двух щелей. Из формулы для интенсивности можно получить выражение для предсказуемости, которое удовлетворяет соотношению дополнительности. Оказывается, что предсказуемость функционально ведет себя так же, как и контрастность. Развивая эту аналогию, можно идентифицировать энергию спинов с переменной положения в двухщелевом эксперименте и (подобно этому) обратную пропорциональность больцмановской константы к с расстоянием между щелями ^ В этом случае температура Т соответствует эффективной ширине щели, а энергия Е связывается с положением детектора у. Для фиксированной энергии, если температура низкая (соответствует узкой щели), контрастность стремится к нулю, и поэтому (из существующей дополнительности) предсказуемость достигает максимального значения.
Можно формализовать взаимозаменяемость термодинамических (нормализованная намагниченность и чувствительность) и оптических (предсказуемость и контрастность) величин. Общий способ выражения дополнительности между ними должен состоять в том, чтобы получить функцию £, простирающуюся от -1 до 1, и сравнить ее квадрат с ее производной. Можно увидеть, что общее решение соответствующего уравнения имеет форму гаус-сиана (или форму производной функции распределения для двухуровневой системы). В оптическом случае предсказуемость в точности является различием между квадратами мод двух амплитуд для каждой щели. Поскольку каждая амплитуда является гауссовой, эта величина ведет себя так же, как гиперболический тангенс. В термодинамике функция распределения для двухуров-
невой системы является функцией распределения экспоненциальных больцмановских факторов для двух состояний, которые пропорциональны гиперболическому косинусу. После процедуры дифференцирования для получения намагниченности это снова дает нам функцию гиперболического тангенса.
Во многих приложениях активно используется гейзенберговская модель. Гамильтон модели был диагонализирован. В пределе большого количества частиц (которым обычно и интересуются при расчетах термодинамических величин) получается функция распределения, которая показывает, что форма этих величин стала более сложной. Контрастность задается с помощью гиперболического косинуса, соответствующего двух-щелевому эксперименту, однако чувствительность на спин, т.е. измеримая величина, является суммой всех квадратичных кон-трастностей.
Утверждаемое авторами соответствие между волновой оптикой и термодинамикой позволяет интерпретировать фазовые переходы очень просто. Термодинамический фазовый переход имеет место, если интерференция в соответствующей оптической установке появлялась из картины, которая эффективно является дифракцией на щели. Если мы не имеем интерференцию между двумя различными больцмановскими вкладами, то тогда не существует фазового перехода. Простейший пример - пространственная размерная модель Г.А. Изинга. Эта модель не является двухуровневой системой, и поэтому не существует фазового перехода.
В то же время модель Изинга, в которой внешнее поле направлено по оси х транверсивно оси ъ, ведет себя иначе. Ее свободная энергия нелинейно зависит от магнитного поля. Получаемые значения намагниченности и чувствительности все еще удовлетворяют соотношению дополнительности. Но авторы нашли для этой модели две различные области поведения. Для внешнего критического поля отсутствует интерференция, что соответствует неупорядоченной фазе (низкая контрастность). В точке критического значения поля интерференция появляется, т.е. имеются упорядоченная фаза и предсказуемость. Этот квантовый фазовый переход происходит при нулевой температуре.
Интерференция при высоких температурах также приводит к увеличению контрастности, но это не имеет отношения к фазовому переходу. Поэтому переход от порядка к хаосу представляет собой изменение в направлении от эффективной дифракции на отдельной щели к сценарию интерференции на двойной щели.
Таким образом, рассмотрение поведения сложных термодинамических систем как паттернов двухщелевой интерференции дает возможность понять сложное взаимодействие макроскопических свойств твердых тел. Оно позволяет проследить такое взаимодействие вплоть до экспоненциальных факторов в функции распределения, которая играет ту же самую роль, что и передаточная функция амплитуды в оптике или матрица плотности в квантовой механике. Следующий естественный шаг должен быть сделан для объяснения систем большей размерности, для чего следует провести аналогию с многощелевой дифракционной решеткой. Полезно объяснить эту аналогию, в частности, в отношении определения свободной энергии в оптике.
Авторы выражают надежду, что их работа поможет развить интуицию в отношении определения того, какие методы диагона-лизации могут быть успешно применены и к каким моделям, и того, почему некоторые методы испытывают неудачу для некоторых сценариев. Так, в 1931 г. Х. Бёте использовал сложную процедуру для диагонализации одномерной модели Изинга. Он поставил перед собой задачу развить методику применения этой процедуры для двухмерной модели. Однако задача не была решена в форме публикации. Можно сделать вывод, что одномерная модель Изинга не демонстрирует явление интерференции и потому проста. Критическое же поведение двумерной модели решающим образом зависит от интерференции.
В. Д. Эрекаев
