CC BY
38
та в сторону обсуждения проблем о том, что делает приемлемым или неприемлемым принятие данного концепта (в философском контексте в противоположность научному).
Л.А.Боброва, Д.А.Шарапов, В.А.Яковлев
2005.03.007. ШАПИРО С. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ: МЕТАФИЗИКА, ЭПИСТЕМОЛОГИЯ, СТРУКТУРА. SHAPIRO S. Foundations of mathematics: Metaphysics, epistemology, structure // Philos. quart. - Oxford, 2004. - Vol.54, N 1 (214). - P.16-37.
Практически каждая математическая теория, пишет Стюарт Шапиро (Университет штата Огайо и Университет St. Andrews), может быть интерпретирована в рамках теории множеств. Поэтому теория множеств может по праву считаться основанием для математики. Является ли теория множеств достоверным основанием, зависит от того, для чего именно предназначено это основание. Одна цель - философская, для обеспечения метафизического базиса математики. Другая - эпистемологическая, для обеспечения базиса математического знания. Еще одна - для помощи математике в расширении понимания различных областей знания. Еще одна - для обеспечения базы, позволяющей изучить связи и взаимодействия между различными областями математики, их относительными возможностями и т. д. Поскольку сформулированные цели различны, возможность для определения единственного основания для всей математики является маловероятной.
В качестве основания математики можно рассматривать различные математические и философские структуры. Конечно, наиболее известной из них является теория множеств. Ее общепризнанной кодификацией является аксиоматическая система ZFC (Цермело -Френкеля - Кантора. - Реф.), однако существуют и другие теории множеств, как и расширения системы ZFC новыми аксиомами, введением понятий определенности и законами больших кардиналов. В качестве других общеизвестных оснований рассматриваются логика высшего порядка, структурализм, традиционная логика, неологицист-ская абстракция, теория доказательств, разветвленная теория типов и теория категорий. Можем ли мы согласиться с тем, что математики
могут иметь более чем одно основание или, возможно, различные основания, служащие различным целям?
Для ответа на этот вопрос необходимо прояснить, чем мы интересуемся. Очевидно, ответ зависит в большой степени от определения того, что представляет собой «основание» и для чего оно предназначено. Довольно часто в философии наиболее важной частью вопроса является понимание значений слов в вопросе. Конечно, здесь ключевые пункты -это «основание» и «математика».
Ясно, что слово «основания» имеет множество различных значений. В результате большинство дискуссий по различным вопросам являются противоречивыми или принимают, например, такой оборот. Некто может утверждать или может просто принимать как очевидное то, что отношение следования, лежащее в основе основания, должно быть полным или эффективным, и тогда на этих основаниях отказаться от логики второго порядка. В свою очередь, приверженцы логики второго порядка считают, что такое отношение следования не эффективно. Чтобы исключить противоречивость, автор предлагает рассмотреть отдельно различные значения слова «основание». При этом он придерживается позиций структурализма.
1. Онтология. Один из видов оснований - метафизический. В этом смысле основание обеспечивает элементарную онтологию для математики, определяя, что представляет собой предмет математики. Как в философских, так и в математических терминах предложенное основание определяет связь математических терминов и область математических кванторов. Так, фундаменталист, использующий теорию множеств, утверждает, а возможно просто претендует на то, что все математические объекты - числа, функции, геометрические точки и линии, топологические пространства, группы и т.д. - действительно являются множествами; любой традиционный логицист, последователь Г.Фреге заявляет, что математические объекты являются логическими объектами. Одни из представителей направления структурализма, к которому причисляет себя и автор, считают, что математические объекты являются пространственными областями в структурах. Другое направление в структурализме (Джеффри Хелман; Geoffrey Hellman) стоит на позициях, что математика не имеет явственной онтологии.
Со времен Платона философы обнаружили различие между их собственной точкой зрения и взглядом математиков. Метафизическая природа математических объектов является исключительно философ-
ской проблемой. Большинство математиков не интересуются такими элементарными онтологическими вопросами. В роли математиков они заботятся об элементарной природе математических объектов только в той степени, в которой эта природа касается их профессиональных забот, например свойств чисел и точек. Конечно, это различие (между взглядами философов и математиков) зависит от того, какие математические свойства противопоставляются метафизическим.
Любую из существующих математических теорий можно, конечно, интерпретировать в рамках теории множеств. Но можно аксиоматизировать теорию структур и затем на ее основе интерпретировать существующие математические теории. И можно интерпретировать математические теории в категории категорий. Но что дадут результаты интерпретаций? Поскольку каждую математическую теорию можно интерпретировать в более чем одной системе, то как мы узнаем, которая из них верна?
Проблема усугубляется тем, что обычно существует не один путь для интерпретации данной математической теории, такой как арифметика, в каждом из предложенных онтологических оснований. Предположим, что кто-то утверждает, что область А является единственным основанием для всей математики, и что кто-то еще утверждает, что таким основанием является другая область В. Предположим также, что каждый ухитряется интерпретировать существующую в настоящее время математику в рамках своей собственной предпочтительной онтологии. Предположим также, что сторонник А соглашается с тем, что теория В является легитимной областью математики; он только настаивает на том, что В не является настоящим основанием. Сторонник В делает аналогичное утверждение относительно А, признавая, что это легитимная, но не являющаяся основанием область математики. Следовательно, существуют две интерпретации: В в А и А в В. Задачей для нейтрального наблюдателя является понимание того, которая из этих интерпретаций представляет действительную онтологию, а которая является просто реинтерпретацией.
Одной из причин такой ситуации является то, что сама по себе математика не выбирает между альтернативными онтологическими основаниями. В математике будет работать любое из оснований. Причиной того, что сторонники оснований А и В могут объяснить любую из существующих в настоящее время математических теорий,
включая другие основания, является общая структура двух основополагающих теорий. Например, теоретико-множественная иерархия и область структур - это чуть больше, чем разные варианты обозначений друг друга. Теоретико-множественная иерархия строится так, чтобы быть максимальной областью определения, в которой можно моделировать каждый тип изоморфизма. Так как изоморфные системы пользуются одновременно структурой, полнота V означает его способность воплощать любую структуру. И снова структура представляет все, что имеет значение для математики. То же самое относится к универсуму ante rem структур, категории категорий и т.д.
Существует ограниченная вариация на тему онтологических оснований, не предполагающая заранее что-либо о метафизических свойствах и, таким образом, не становящаяся жертвой споров о приоритетности. У.Куайн поддерживает теоретико-множественное основание из соображений экономии или онтологической расчетливости. Куайн на общенаучных основах предлагает проект по приведению в порядок и обновлению системы наших убеждений. Но, принимая доктрину Куайна, мы, хотим того или нет, ограничиваем себя существованием множеств. Более того, мы можем интерпретировать любую существующую в настоящее время математическую теорию, используемую в науке в рамках теоретико-множественной иерархии. Такие доктрины Куайна, как относительность онтологии и непостижимость референции, принимают во внимание возможность альтернативных оснований, одинаково приемлемых на общих научных основаниях. Таким образом, мы не полностью доверяемся множествам. При принятии системы убеждений мы доверяем структуре, такой же состоятельной, как и структура той или иной теории множеств. Теория множеств и альтернативные подходы не должны конкурировать. Выбор того или другого не является способом установления истины. На вопрос, почему именно в онтологии возможно более чем одно основание математики, может быть дан следующий ответ: математика -это наука о структурах. Каждое из альтернативных оснований является примером всевозможных математических структур, используемых в науке, а поскольку математика работоспособна, структура представляет все то, что имеет значение в математике.
2. Эпистемология. Второй смысл «основания» - эпистемологический. Это основание обеспечивает исходное подтверждение каждой обоснованной отрасли математики. Фреге утверждал, что его
определения в пределах логики обеспечивают корректный эпистемологический базис для арифметики и анализа. Целью его логицизма являлся показ аналитичности арифметических истин; по мнению Фреге, если при нахождении доказательства и прослеживания его до примитивных истин мы продвигаемся только к общим законам логики и определениям, тогда истина является аналитической.
Автор предлагает модифицировать точку зрения Фреге заменой слова «логика» словами «логика плюс теория множеств» и последующим изменением определения для сохранения принадлежности чисел к собственным классам. Приемлема позиция, что предложенное основание обеспечивает исходное подтверждение аксиом и теорем, которые уже известны. Перефразируя Фреге, «доказательство возможного является хорошей математической и философской практикой». Чтобы доказать утверждения, воспринимаемые как аксиомы, мы обеспечиваем определения базисных элементов основополагающей теории в терминах основания. По Фреге, «в действительности целью доказательства является не просто установить несомненную истинность утверждения, но также и дать возможность для понимания зависимости одной истины от другой. После того как мы убедились в том, что камень нельзя сдвинуть... остается следующий вопрос, что именно его удерживает так прочно?» (цит. по: с.23).
Одно дело - интерпретировать теорию А в рамках теории В, и другое - утверждать, что теория В обеспечивает первичное обоснование А (с помощью интерпретации). Например, евклидову геометрию можно объяснить в рамках вещественного анализа. Однако в свою очередь вещественный анализ может быть интерпретирован в рамках евклидовой геометрии. Итак, считаем ли мы, что вещественный анализ обеспечивает первичное обоснование евклидовой геометрии, или мы считаем, что геометрия обеспечивает первичное обоснование для анализа? Доказываем ли мы существование вещественных чисел с привлечением определений на основе точек или доказываем реальность точек и линий с привлечением определений на основе вещественных чисел?
В литературе по неологицизму предлагается более умеренный тип эпистемологического фундаментализма, в котором нет зависимости от объективных метафизических и асимметричных основных связей между суждениями. Идея состоит в том, что основание предоставляет один из возможных путей, на котором рассматриваемые ма-
тематические суждения могут стать известными. Не имеет значения, придет ли кто-либо к знанию утверждений через предложенное основание. Одной из целей деятельности является демонстрация того, что математические утверждения априорно познаваемы. То есть цель состоит в том, чтобы показать, что эти утверждения допускают их познание априорным способом - однако это и означает, что они априорно познаваемы. Суть программы - реконструктивная эпистемология.
Неологицизм стоит перед проблемой «яйца и курицы» (впрочем, серьезной). Схема Фреге утверждает, что аксиомы Пеано - Деде-кинда для арифметики второго порядка могут быть выведены из «принципа Юма плюс определения»; но чтобы обеспечить необходимый эпистемический базис для основных правил арифметики, необходимо быть уверенным в том, что теория, полученная на основе принципа Юма, на самом деле является арифметикой.
Таким образом, каждая из теорий по возможности обеспечивает обоснованное эпистемическое основание для некоторой математической теории. Однако какой смысл в этом случае считать, что одна из них или они обе могут обеспечить «априорный путь от превосходства логики второго порядка к полному пониманию и превосходству истины фундаментальных законов» вещественных чисел? Какой смысл полагать, что абстракции, полученные по различным правилам, являются на самом деле вещественными числами?
С точки зрения структурализма, все различные изложения арифметики сводятся к одной и той же структуре, и, таким образом, все они являются правильными в той мере, в какой правильным может быть изложение. Конечно, некоторые изложения являются более четкими, а некоторые имеют важные математические разветвления, но в философском плане между ними нет различий. Они все верны в том смысле, что они дают правильную структуру. При этом для структуралиста вопрос о эпистемическом происхождения будет не очень интересен. Даже при этих условиях различные изложения теории натуральных чисел будут играть важную эпистемическую роль.
3. Математика. Четкая формулировка третьего смысла «основания» предложена Пенелопой Мэдди1. В толковании Мэдди «задачей теоретико-множественного основания является выделение мате-
1 См.: Maddy P. Naturalism in mathematics. - Oxford, 1997.
матически значимых особенностей математического объекта и нахождение теоретико-множественного суррогата с этими же особенностями» (цит. по: с.25). Такой подход восприятия объектов как множеств отличен от метафизического и эпистемологического фундаментализма, сформулированных выше. Математический фундаменталист не заявляет, а возможно, и не обращает внимания на то, являются ли числа, точки и т.д. множествами; скорее, в математике будет использован тот факт, что некоторые множества точно отображают числа.
Мэдди делает вывод о том, что эти математические преимущества оснований достаточны: «Нет необходимости ни в метафизике, ни в онтологии или эпистемологии для подслащивания этой чашки чая!» (цит. по: с.26). Тем не менее успех математического фундаментализма имеет некоторые философские ветвления. Не для подслащивания чашки чая, а для того, чтобы помочь нам разглядеть, на что похожа чашка. Таким образом, теоретико-множественная иерархия «обеспечивает суд последней инстанции для вопросов математического существования» (там же). Если мы хотим знать, существует ли математический объект определенного типа, мы задаем вопрос, существует ли теоретико-множественный суррогат такого типа. Несмотря на то что математика имеет репутацию ясной и точной науки, в ней часто встречаются значительные разногласия. В их числе, кроме естественности натуральных чисел, и отрицательные, иррациональные, трансцендентальные, мнимые и комплексные числа. Уже названия этих категорий указывают на то, что их существование некогда было сомнительным. Если обратиться к прошлому, то «новые» категории были введены в математические теории тремя путями. Один из них состоял просто в постулировании существования математических объектов, удовлетворяющих определенным законам. Комплексные числа подобны вещественным числам, но из них нельзя извлекать квадратный корень; несобственные точки похожи на вещественные точки, но расположены в других местах. Конечно, если есть сомнения в существовании категорий, то постулирование разрешает спорные вопрос. Второй метод - неявное определение. Математик дает описание системы категорий обычно с помощью точного определения законов этой системы и затем заявляет, что данное описание применимо к любому семейству, удовлетворяющему оговоренным законам. Третий метод - построение, в котором математик определяет новые категории как комбинации уже установленных объектов. Определе-
ние Гамильтоном комплексных чисел как пары вещественных соответствует этому подходу. Последний метод, очевидно, является наиболее надежным и наиболее эффективным. В нем не делаются дополнительные предположения; не считаются решенными спорные вопросы.
Такое построение дает надежные суррогаты и правильные представления для прежних вызывающих вопросы категорий. В данном случае нет априорной причины ждать существования унифицированного математического основания. Эксперименты с парадоксами должны сделать нас осторожными при рассмотрении возможности создания теории, годящейся для всего, - или даже теории заменителей для всего. Но похоже, это именно то, что мы имеем при использовании аксиоматики 2БС.
Аналогично, у нас нет достаточных причин ожидать существования единственного математического основания. Если есть одно основание, то почему не могут существовать два или больше? Если теряется интерес к тезису о существовании метафизической субстанции, которая лежит в основе всех математических объектов, нам не нужно рассматривать альтернативные основания как конкурирующие между собой. Уже известно, что очень похожие структуры могут иметь много суррогатов в теоретико-множественной иерархии. Почему же не могут также существовать суррогаты в другой области математики? Дадим возможность цвести всем цветам, даже если не все из них способны на это.
Конечно, если обе из двух областей математики являются допустимыми основаниями в вышеупомянутом смысле, тогда, вероятно, каждая представляет легитимную область математики. Поэтому каждая область математики будет иметь суррогат для другой области. Это может инициировать дискуссию о том, что именно является суррогатом, а что действительным основанием, однако с математической точки зрения это будет ошибочная дискуссия. «Любое определение того, что действительность не следует анализировать с помощью множеств, представляет собой большое заблуждение математической онтологии, то же верно и для обратного утверждения» (с.27). В данных обстоятельствах обсуждение идентичности неуместно.
Я.Московакис утверждал1, что «деликатность проблемы в специфических случаях состоит в точной формулировке правильного определения понятия "правильное представление" и в доказательстве, что таковое существует» (цит. по: с.26). Может ли быть полностью показана «достоверность» суррогатов? Является ли «деликатная проблема» математическим вопросом? Если первоначальная теория была формализована, то ответ на оба вопроса «да». Формализация сама по себе является математическим объектом, и можно установить правильность суррогатов по отношению к формализованной теории. Используя формализованные теории, можно установить адекватность формализации.
Автор анализирует аналогию, которую провела Мэдди между математическим теоретико-множественным фундаментализмом и новым общепринятым тезисом о том, что «все изучаемое в естественных науках является физичным». Мэдди обращает внимание на то, что «из физикализма не следует, что ботаникам, геологам, астрономам и всем остальным следовало бы стать физиками». Подобным образом теоретико-множественному математическому фундаменталисту нет необходимости утверждать, что каждую отрасль математики следовало бы изучать методами теории множеств. Теоретику в области категорий нет необходимости убеждать, что каждую область математики следовало бы изучать методами теории категорий и т.д.
Автор согласен с таким утверждением. Однако ключевое различие между математическим фундаментализмом и физикализмом касается обсуждения «суррогатов». Мэдди и Московакис правильно настаивают на том, что мы не отождествляем вещественные числа с определенными множествами, как это делает Дедекинд в рациональных числах. Все, чего мы хотим или в чем нуждаемся, это «правильные представления» вещественных чисел. В противоположность этому физикализм провозглашает, что ресурсы физики могут обеспечить истинную тождественность любой физической концепции или объекта, будь они из химии, биологии, психологии и т.д. (оставив в стороне щекотливые вопросы, такие как различие между типовой и символической идентичностями в членораздельном физикализме). Например, одним из важных открытий было то, что тепло представляет собой среднюю кинетическую энергию. Это не значит, что осторожный фи-
1 См.: Moschovakis Y. Notes on set theory. - N.Y., 1994.
зикалист откажется от обсуждения «тождественности» и будет утверждать, что только средняя кинетическая энергия является «правильным представлением» тепла независимо от того, что это может значить.
Ответы на эти вопросы лежат в тезисе о том, что математика является наукой о структуре. Все, что имеет значение в науке о натуральных числах, это их связь между собой. В том смысле, что мы не исследуем натуральные числа в арифметике, а скорее структуру натуральных чисел, форму, являющуюся общей для любой счетно-бесконечной системы объектов с отношением следования, удовлетворяющим индукции и другим постулатам Пеано. Структура может быть охарактеризована с помощью аксиоматики, которая является неявным определением. Характеризация является успешной, если она категориальна - если все ее модели изоморфны. (Здесь снова видна роль логики, выходящей за пределы первого порядка.) Так как изоморфные модели эквивалентны, значимые свойства любой модели хороши, как и любые другие. Можно изучать структуру, изучая ее примеры.
Б.Рассел писал, что математик может принять версию структурализма, даже если это не может сделать философ. В отличие от математиков, философы строго придерживаются «существования или внутренней природы» математических объектов. Структуралист ante rem (самостоятельной реальности) воспринимает, например, существование и «внутреннюю природу» натуральных чисел как их отношение друг к другу. Элиминирующий структуралист отрицает то, что математические объекты имеют природу (в смысле, что они не существуют как независимые объекты). Даже это обсуждение лежит за пределами компетенции математики. Поэтому здесь не так велико расхождение между точкой зрения математики и философа-структуралиста в математике.
Вот почему вышеупомянутые вопросы тождественности не имеют значения для математика (даже если они важны для философа); в известном смысле такие вопросы неуместны. Если зафиксирована структура, зафиксировано все математически значимое. Любой пример структуры будет пригоден, если стоит цель фиксирования истинных величин. Более того, когда мы обнаружим пример структуры в неисчерпаемом контексте, таком как иерархия теории множеств, тогда мы можем ссылаться на могущественную теорию из этого
«контекста» 2БС аксиоматики, чтобы пролить свет на данную структуру.
В сущности, интерпретация в рамках теории множеств является переводом с оригинального языка на язык теории множеств. Обычно это побуждает математика к ясному изложению всех определений и доказательств. Таким образом выносятся на свет и подтверждаются любые скрытые предположения и леммы. Например, одним из так называемых расхождений в «Элементах» Евклида является предположение о том, что если линия проведена из внутренней области круга (окружности) во внешнюю, тогда она должна делить на части круг (рассекать окружность). Можно подумать, что нет необходимости утверждать это: как можно в этом сомневаться? Однако, как только основы (первообразные функции) переводятся на язык теории множеств, мы видим, что теорема не вытекает из первоначальных аксиом и предположений. Если доказательство должно быть строгим, оно не должно ссылаться на геометрическую интуицию, и мы видим необходимость в точных аксиомах непрерывности, предложенных более поздними геометрами.
Если возникает спор относительно правильности доказательства в реальном мире профессиональных математиков, перенос полемики в мир теории множеств не поможет. Если обнаружится какая-нибудь сложность в первоначальном доказательстве - а она должна быть, если по поводу его корректности действительно есть разногласия, - тогда перенос доказательства в теорию множеств полностью затруднен. По этому поводу, вероятно, должны быть споры. Более того, окончательное теоретико-множественное доказательство почти наверняка не будет (окончательным) выводом. Должна быть предоставлена информация об этапах вычисления. Автор доказательства будет утверждать, что все расхождения очевидны, и некоторые из них на самом деле очевидны. Но будет много этапов, и может оказаться неочевидным, что ясны все расхождения. К тому же окончательный результат, если кто-либо получит его, окажется ужасно длинным. Никто не сможет следовать этому результату. Если авторы придерживаются пути использования студентов и компьютеров для проверки результатов, следует обеспокоиться возможностью человеческих ошибок в части, контролируемой студентами, и возможностью программной ошибки или неисправности оборудования.
В целом, математики всегда предпочитают скорее интуитивное доказательство, чем вывод, который формально является правильным, но труден для понимания. Специалисты в области математики, как правило, не уверены в доказательстве, если они его не понимают.
А.И.Панченко, С.А.Ягола, В.А.Яковлев
2005.03.008. ПЁЙНЕНБУРГ Ж., АТКИНСОН Д. КОГДА МЫСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫ.
PEIJNENBURG J., ATKINSON D. When are though experiments poor ones // J. of general philosophy of science. - Dordrecht etc., 2003. -Vol.34, N 3. - P.305-322.
Ж.Пёйненбург и Д.Аткинсон (философский факультет Грёнин-генского университета, Нидерланды) пишут, что и философия, и наука широко используют мысленный эксперимент (МЭ). Но в ряде случаев МЭ является неудовлетворительным, т.е. с его помощью не удается разрешить противоречие, для устранения которого он предпринимается. Авторы указывают два признака, которые позволяют в каждом конкретном случае выяснить, является ли МЭ неудовлетворительным.
Первый признак заключается в том, что МЭ порождает у разных людей противоречивые умозаключения. Другими словами, удается построить, как минимум, две логически непротиворечивые цепочки рассуждений, которые приводят к диаметрально противоположным выводам. Таким образом, неудовлетворительный МЭ не приводит к одному и тому же заключению большинство людей, и не существует способа сделать выбор между противоречащими друг другу заключениями из эксперимента. Второй признак заключается в том, что логические заключения, полученные как результат МЭ, основываются на интуитивных предположениях, правильность или ошибочность которых должна была быть продемонстрирована этим же МЭ (conclusions beg the question, т.е. выводы порождают вопросы об их обоснованности). Получается не только то, что различные люди, проводящие неудовлетворительный МЭ, приходят к противоречивым заключениям, но и то, что эти заключения включают в себя интуитивные представления, для прояснения которых и был поставлен МЭ.
