CC BY
12
2003.01.012. ХИЛИ Р. О РЕАЛЬНОСТИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ.
HEALEY R. On the reality of gauge potentials // Philosophy of science. - East Lansing, 2001. - Vol. 68, N 4. - P.432-455.
Ричард Хили (Аризонский университет, США) исследует вопрос о реальности калибровочных потенциалов (КП) в физических теориях.
В классических теориях КП был просто удобным средством для генерирования соответствующего калибровочного поля. В квантовой механике (КМ) ему придается статус независимого физического свойства. До сих пор исследователи не пришли к единому мнению относительно его локальной или глобальной природы. Различные математические структуры, которые используются для его описания, не позволяют прояснить этот вопрос. Хили приводит аргументацию в пользу того, что в теории электромагнетизма, которая описывает квантовые частицы, подверженные классическому взаимодействию, КП наиболее корректно может быть понят как свойство физической ситуации, а его глобальный характер наиболее естественно может быть представлен с помощью понятия голономии замкнутых кривых в пространстве-времени.
Могут ли математические объекты, обычно относимые к КП, представлять что-то физически реальное «или же они существуют только для того, чтобы "смазывать вычислительные колеса"» (с. 432)? По мнению Хили, прежде чем пытаться трактовать квантовые калибровочные теории электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий, необходимо понять природу классических КП. К сожалению, соотношения между математической и физической структурами КП довольно сложно анализировать даже в класси-ческом случае. Но вместе с тем явления интерференции показывают, что локально определенные математические объекты, обычно относимые к КП, действительно представляют нечто физически реальное, причем физическая структура, которую они сами и задают, определенно имеет глобальный характер.
История электромагнитного потенциала (ЭМП) включала два этапа. Первый связан с появлением теории относительности, методы которой позволили заменить скалярный электрический и векторный магнитный потенциалы на единый четырехмерный ЭМП Ац, а само электромагнитное поле представить в виде тензорного поля F^v, сохраняющегося при калибровочных преобразованиях. Второй этап
связан с появлением волновой механики, которая позволила прямо ввести Ац в оператор Гамильтона теории вместо опосредованного способа построения теории через F^v в классическом законе лоренцевых сил. В 1959 г. Я.Ааронов и Д.Бом показали, что ЭМП может оказывать воздействие на пучок заряженных частиц и в отсутствие поля. Если исключить возможность мгновенного действия на расстоянии, то эффект Ааронова - Бома должен свидетельствовать о реальной физической природе ЭМП (и КП вообще).
Является ли КП действительным векторным полем? Его представление в виде такого поля математически достаточно просто и легко обобщается на другие калибровочные теории. Можно допустить следующий вариант интерпретации КП. Физически он является структурным множеством (четырехмерных) свойств пространственно-временных точек. Такое локально определенное структурированное множество свойств хорошо известно (например, оно может представлять свойства облака пыли), но в калибровочном случае обладает спецификой: кроме свойств электрического и магнитного полей, каждая точка пространства-времени имеет дополнительный набор калибровочных свойств, которые не оказывают влияния на траектории классических частиц, но локально воздействуют на фазу волновой функции заряженных частиц и поэтому могут влиять на интерференционную картину. Однако в отношении подобного представления существует ряд возражений. В частности, должна существовать единственная истинная калибровка, аналогичная некоторой выделенной истинной системе координат для описания некоторого явления, что физически неприемлемо.
После работы Т. Ву и С. Янга (1975) в математической физике стала широко применяться формулировка калибровочных теорий в рамках более богатой математической структуры - связки пучков расслоенного пространства (fiber bundle). Хили подчеркивает, что, несмотря на это, основной позитивный тезис его статьи может быть сформулирован и аргументирован независимо от метода расслоенных пространств.
Являются ли КП действительными значениями связности расслоенного пространства? В рамках формулировки связки пучков расслоенного пространства калибровочную свободу можно ассоциировать со свободой выбора сечения главного пучка (section for the principal fiber bundle), на котором КП и калибровочное поле пред-
ставлены как связность и кривизна соответственно. Предположение состоит в том, что принятая пучковая формулировка калибровочной теории мотивируется не только ее математической элегантностью и перспективой дальнейшего развития, но тем, что она обещает удовлетворительное представление калибровочной теории как теории локально определенных объектов. Однако это обещание невыпол-нимо, и поэтому само предположение непродуктивно.
Первый вопрос относительно данного предположения состоит в следующем: какой тип физической структуры может быть соотнесен со связностью на главном пучке расслоенного пространства? Иными словами, какие свойства и/или отношения каких объектов может представлять связность? Один из ответов включает представления о так называемом «мультисубстанциализме» (5иЬ51ап11уаИ$т) связки пучков, согласно которому каждая точка расслоенного пространства представляет физически различные реальные объекты, а связность пространства - множество внутренних физических отношений между ними. Иными словами, единичная точка четырехмерного пространства-времени является в действительности континуумом точек расслоенного пространства «над» данной точкой, а КП - настолько локально определенным объектом, насколько он характеризует внутренние отношения в первую очередь, между окружающими точками расслоенного пространства. В противо-положность этому точка зрения о наличии новых, еще неизвестных калибровочных свойств утверждает, что точки расслоенного пространства представляют внутренние калибровочные свойства пространственно-временных точек, а не объекты «над» этими точками, тогда как связность расслоенного пространства - отношения между этими калибровочными свойствами.
Являются ли КП голономиями? Голономии - это матема-тические структуры, которые задают автоморфизм слоя при заданном отображении замкнутой кривой на пространственно-временном многообразии. Эти структуры зависят от связности расслоенного пространства. Согласно калибровочной теории, наблюдаемые явления в данной калибровочной ситуации зависят от связности расслоенного пространства только через ее голономии. Другими словами, КП являются голономиями, а голономия - элементом группы Ли (группы симметрии калибровочной теории).
Какие физические структуры могут представлять голономии? Назовем отображение каждой самонепересекающейся кусочно
дифференцируемой замкнутой кривой петлей. Голономии отдельных кривых с одинаковыми образами связаны сходными преобразо-ваниями. Множество таких голономий является свойством самой петли, инвариантно представляемой так называемой петлей Вильсона - следом каждой голономии во множестве. Но само множество голономий данной петли имеет дополнительную структуру: оно формирует компоненты объекта с одинаковыми «внутренними» свойствами преобразования в качестве ассоци-ированного калибровочного поля. Изменение калибровки на открытом подмножестве пространственно-временного многообразия можно пассивно интерпретировать как новое выражение этого объекта в другом множестве «внутренних» координат, а активно -как преобразование объекта в новый объект путем «калибровочного вращения». Поэтому голономии петли могут быть представлены множеством физических свойств этой петли таким же образом, как и любое векторное поле или иной математический объект с хорошо определенными преобразованиями, который представляет множество физических свойств объекта в каждой точке.
Существенной особенностью данного подхода являются не свойства, представленные голономиями, а природа объекта, чьи свойства они представляют. С этой точки зрения голономии представляют глобальные свойства петли, которые не определяются внутренними свойствами точек на этой кривой. «Назовем любой процесс, включающий внутренние физические свойства области пространства-времени, которые не вытекают из внутренних физи-ческих свойств, приписываемых точкам пространства-времени в этой области, несепарабельным. Если голономии калибровочной теории действительно представляют глобальные свойства пространственно-временных петель, то эта теория должна описывать несепарабельные процессы» (с. 449).
Кривизна, которая является полем двух форм, непосред-ственно связана с голономиями: каждая компонента кривизны в заданной точке возникает как предел стягивания вокруг этой точки кривых к «области», очерчиваемой этой кривой. Тогда калибровочное поле и инфинитезимальные голономии являются «двумя сторонами одной и той же монеты». Свойства голономного подхода (в отличие от подхода новых калибровочных свойств) могут быть когерентно и даже эмпирически доступно сопоставлены результатам интерферен-ционных экспериментов.
Насколько обоснованно искать дополнительные локальные объекты или свойства в рамках альтернативных (точке зрения несепарабельных свойств голономии) подходов? Аргументы в пользу таких поисков могут быть, например, метафизическими, принимаю-щими форму возражения против существования несепарабельных свойств, поскольку допущение глобальных свойств, не определяемых составляющими элементами, метафизически неприемлемо. Отсюда и заключение, что «научная теория не может постулировать такие "свободно парящие" ("free-floating") глобальные свойства» (с. 451). Хили подобные возражения представляются недостаточными: «Они напоминают картезианские возражения против ньютоновской науки... Несепарабельные свойства голономии являются не более оккультными или ненаучными, чем ньютоновские силы» (с. 452).
В. Д. Эрекаев
