CC BY
20
Д.А.Тукмаков
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УЧЁТА ИЗМЕНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ КАНАЛА
НА ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИКИ СРЕДЫ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант №19-01-00442.
Аннотация. Работа посвящена исследованию влияния учёта изменяющейся площади сечения канала на параметры моделируемых газодинамических функций течения сплошной среды. Проводиться сопоставление результатов расчёта математическими моделями с учётом и без учёта изменения площади сечения. Моделируемый газ описывается как теплопроводный. Также проводиться сопоставление численных расчётов течения несжимаемой жидкости в канале переменного сечения с результатами физического эксперимента.
Ключевые слова: гидродинамика, математическое моделирование, каналы с переменным сечением, стационарные потоки, идеальный газ.
NUMERICAL STUDY OF INFLUENCE OF ACCOUNTING CHANGE OF CHANNEL SECTION
ON THE DYNAMICS OF THE ENVIRONMENT DURING MATHEMATICAL MODELING ONE-DIMENSIONAL STATIONARY FLOWS
Abstract. The work is devoted to the study of the effect of taking into account the changing channel cross-sectional area on the parameters of the simulated gas-dynamic functions of a continuum flow. A comparison is made of the calculation results by mathematical models with and without changes to the section. The simulated gas is described as heat conductive. A comparison is also made of numerical calculations of fluid flow in a variable section channel with the results of a physical experiment.
Key words: hydrodynamics, mathematical modeling, channels with variable cross section, stationary flows, ideal gas.
Функционирование многих технических устройств связано с течениями газообразных, жидкостных или многофазных сред в каналах с различными конфигурациями сечений [1-15]. При этом во многих случаях каналы могут иметь переменное (вдоль длины канала) сечение. В связи с этим важной для технологии машиностроения проблемой является теоретическое описание и моделирование течений сплошных сред в каналах с изменяющейся геометрией сечений [12,13]. В настоящее время имеется целый ряд подходов к описанию подобных процессов [4]. Особый интерес представляют потоки многофазных сред [4,8-11,14,15]. Часто течение однофазной среды в соплах переменного сечения превращается в течение двухфазной паро-жидкостной смеси. В случае установившегося течения можно предполагать, что процессы движения сплошной среды зависят лишь от одной пространственной переменной, что наиболее предпочтительно в плане численного или аналитического решения уравнений динамики. При этом, несмотря на одномерность течений, возникает необходимость учёта изменения сечения канала, по которому течёт среда. В данной работе проводиться сопоставление результатов расчёта одномерных течений сжимаемого теплопроводного газа с использованием математических моделей учитывающих и не учитывающих изменяющуюся геометрию канала. Также проводиться сопоставление численных расчётов одномерного течения несжимаемой жидкости с результатами физического эксперимента.
Математические модели стационарных течений.
Ниже представлена система уравнений, описывающая стационарное течение невязкого, сжимаемого, теплопроводного газа, без учёта изменения сечения канала [1] :
D.A.Tukmakov
dp
2Ро Ро/ Ро+АР -! *
dx
du 1 dp dx pudx'
dT / -1 fiu du
dx j R dx
dp ( 1 dp 1 dT dx \ p dx T dx
Здесь р, и, Т, р, у, К, ¡XI - давление, скорость, температура, плотность, постоянная адиабаты, газовая постоянная и молярная масса газа; х,Ь,р0, Др-пространственная переменная, длина канала, начальное давление и заданный перепад давления между входом и выходом из канала.
В работах [2,3] представлена математическая модель описывающая стационарное течение идеального газа с учётом изменяющейся геометрии канала:
с1р уМ2 р
dx М2-1
2с/ i i „г 1 dA
—- 1+ у-1 М---
d A dx
du _ 1 dp 2сfu dx pude d
dT _ r~ 1 M2T dA dx M2 -1 A dx '
dp _ M2 pdA dx M2 -l A dx
Здесь M=u0/c- число Маха, c-скорость звука, u0 -начальная скорость газа, d=d(x), A=A(x)- функции изменения ширины и площади сечения канала, cf -коэффициент сопротивления.
Монографии [3,4] описывают общую методологию исследования динамики двухфазных потоков, состоящих из несжимаемой жидкости с дисперсными включениями в виде пузырьков газа. На основе указанных в монографиях подходов возможно получить математическую модель, позволяющую проводить учёт как влияния газообразной компоненты на динамику смеси, так и влияния изменяющегося сечения канала:
' ±
А
dp dA
— = 1 PlU --T,
dx dx
du -1 (A±.
dx PjuA V dx
+ | (3)
и
Функция т, -описывает потерю импульса за счёт трения жидкой и газовой компонент смеси. с/1 =24/ , Не, = р/и1) /]/. с/2 = 0.079/ Яе2 где р,. т],- плотность и динамическая вязкость 1-ой компоненты двухфазного потока, индекс «2»-жидкость и индекс «1» -газообразная компонента.
Так как системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1)-(3) являются нелинейными, то для интегрирования уравнений применяется численный алгоритм - метод Рунге- Кутта 4-го порядка [16].
Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка для дифференциального уравнения можно представить в
виде:
/ = / ,у 0 = у0
h Уп-\ ~Уп+7 аы+2а2п+2а1п 6 + «4„ •
Результаты расчётов.
При расчётах динамики газа по моделям (1)-(2) параметры исследуемой среды соответствовали воздуху. На рис.1 представлено схематичное изображение конфузора. В расчётах предполагалось, что начальная ширина канала 0.5 м, конечная ширина -0.1 м, длина канала 1 м, начальная скорость газа- ^=30 м/а Начальное давление на входе в канал ^=104800 Па, конечное давление -рг=101250 Па.
В общем случае функция изменения ширины канала задавалась следующим образом:
d(x)=do, 0^^; d(x)=do+a(x-L1); L1<x<L;
Функция изменения площади сечения канала имеет вид - A(x)=л(d(x))2)/4
Рис.1 Схематичное изображение сужающегося канала.
На рис.2 (а-г) представлены результаты расчётов динамики газа полученные решением уравнений математических моделей, учитывающих и не учитывающих изменение сечения канала. Можно наблюдать, что решение системы уравнений (2) даёт меньшие значения температуры и большие значения для плотности газа. Решение, полученное с учётом изменения сечения канала показывает значение давления ниже, а значение скорости выше при входе газа в канал и до точки x=0.68 м включительно. В целом решения для параметров стационарного течения невязкого теплопроводного газа, полученного без учёта изменения сечения канала, имеет более монотонный вид, хотя распределения температуры газа, полученные по обеим моделям, сильно отличаются, но параметры давления и скорости газа на выходе из канала близки.
р, КПа
105,0104,5104,0103,5103,0102,5102,0101,5 101,00,0
р кг/м 1,21 -
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 X, м
1,201,191,181,171,161,150,0
1,0 X, м
0,2
0,4
0,6
0,8
б
а
и, м/с
90807060504030
0,0
1,0 х, м
т, к
305 300295 290 285280 275
270
0,0
0,2 0,4
0,6 0,8 1,0 х, м
в г
Рис.2 Пространственные распределения физических параметров среды: а-давления, б-плотности, вскорости г-температуры рассчитанные по математическим моделям с учётом- кривая 1 и без учёта -кривая 2.
Далее исследовалось течение жидкости с пузырьками воздуха в сопле. Длина сопла составляла -L=0.25 м, ширина стационарной части сопла d0=0.00625 м, длина стационарной части сопла--^=0.0125 м-рис.3, угол раствора сопла составлял 120, начальное давление на входе в сопло составляло- р0=82 кПа. Исследуемая с помощью системы уравнений (3) среда состояла из воды и взвешенных в ней пузырьков воздуха. Численное моделирование показывает, что при прохождении жидкости с пузырьками газа через сопло в «горле сопла» -в стационарной части диффузора происходит увеличение давления, относительно давления на входе в сопло, также происходит уменьшение скорости течения-рис.4, рис.5,а. При этом в следствии инерционности потока уменьшение давления и увеличение скорости течения начинается лишь в точке x=0.0134 м.
угол раствора сопла
Рис.3 Схематичное изображение сопла.
Моделируемое течение потока жидкости с пузырьками газа в сопле со стационарной частью и диффузором по параметрам физической области и начальному давлению соответствовало физическому эксперименту, проведённому в работе [17]. В физическом эксперименте максимальное давление среды наблюдалось в стационарной части сопла и составляло 85 кПа, соответствующие численные результаты составляют 84700 Па. Минимальное давление, которое достигается на выходе из сопла-рис.5,б, составляло-12630 Па для численного решения и 9200 Па для физического эксперимента. Таким образом, численные расчёты показывают, что параметры стационарного течения несжимаемой жидкости рассчитанные по модели (3) имеют хорошее соответствие результатам физического эксперимента.
В целом результаты моделирования течений газа в канале с изменяющемся сечением показали, что решение, получаемое по математической модели без учёта изменения площади сечения канала, имеет более линейный характер, что может быть нежелательно при расчёте течения в каналах со сложной геометрией. Численное моделирование динамики жидкости в сопле показали работоспособность модели (3).
Рис.4 Пространственные распределения давления газа в стационарной части сопла и при переходе из стационарную часть сопла в расширяющуюся.
u м/с
19,5 ■
19,0 ■
18,5 ■
18,0 ■
17,5 ■
17,0 ■
16,5 ■
16,0 ■
15,5 ■ 0
p, КПа
908070 60 50 40 30 20 10
00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25 x, М
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
x, м
а
б
Рис.5 Пространственные распределения физических параметров среды: а-скорости, б-давления.
ЛИТЕРАТУРА
Седов, Л.И. Механика сплошной среды Т.2 / Л.И. Седов -М.: Наука. 1970-569 с.
Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа/ Л.Г. Лойцянский -М.: Издательство "Дрофа"-2003 г. -784 c.
Барилович, В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение. / В.А. Барилович -СПб.: Изд. Политехнического университета - 2009- 425 с.
Дейч, М.Е. Газодинамика двухфазных сред / М.Е. Дейч, Филиппов Г.А. - М.:Энергоиздат 1981-472 с.
Тукмаков, Д.А. Моделирование колебаний газа в акустическом резонаторе при помощи неявной конечно-разностной схемы //Теория функций ее приложения и смежные вопросы. Материалы Х-ой международной научной конференции. Казань: Издательство Казанского государственного университета- 2011- С. 345 - 347.
Тукмаков, А.Л., Тукмаков, Д.А. Применение неявной конечно-разностной схемы с весами для моделирования колебаний газа в акустическом резонаторе// Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева-2011- № 4- c. 119127.
Тонконог, В.Г., Тукмаков, Д.А. Нелинейные колебания газовзвеси и дрейф твердой фазы в акустическом резонаторе проточного типа //Инженерно-физический журнал- 2013. - N° 3- С.576-583.
Тукмаков, А.Л., Кашапов Н.Ф., Тукмаков Д.А., Фазлыйяхматов М.Г. Процесс осаждения заряженной полидисперсной газовзвеси на поверхность пластины в электрическом поле //Теплофизика высоких температур- 2018- выпуск 4- с.498-502. Грибин, В.Г., Коршунов, Б.А., Тищенко, А.А. Исследование внутриканальной сепарации влаги в турбинных сопловых решетках // Теплоэнергетика. - 2010. - № 9. — с. 17-20.
Xie D., Xinggang Y., Wangfan L. Numerical Simulation of Water Droplets Deposition on the Last-Stage Stationary Blade of Steam Turbine// Energy and Power Engeneering. - 2010. - V. 2. - № 4. — P. 248-253.
Троицкий, А.Н., Агапов, Р.В. Исследование образования жидких пленок на сопловых лопатках турбинной ступени в области малых значений степени влажности// Теплоэнергетика. - 2010. - № 9. — С. 47-53.
Крайко, А. Н., Мышенков, Е. В., Пьянков, К. С., Тилляева Н. И. Влияние неидеальности газа на характеристики сопел Лаваля с внезапным сужением // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 5. - С. 191-204.
Кочетков, Ю. М. Турбулентность сложных каналов // Двигатель. - 2008. -№3 (57).-С. 50-53.
Богданов, В.С., Фадин, Ю.М., Шаптала, В.В., Гавриленко, А.В. Характеристики потоков цементно-воздушной смеси при пневмотранспортировании цемента // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - 2016. -№ 2. - С. 110-112.
Филиппов Г.А., Грибин В. Г., Тищенко А.А, Гаврилов И.Ю., Тищенко В.А. Экспериментальное исследование влияния начальной влажности на распределение параметров эрозионно-опасной жидкой фазы за сопловой турбинной решеткой// Вестник МЭИ. -2013. -№ 1.е. 46-55.
Вержбицкий, В.М. Основы численных методов. / В.М. Вержбицкий- М. : Высш. шк- 2002-840 с.
Теоретическое и экспериментальное исследование течения вскипающих жидкостей в области давлений ниже атмосферного [Текст]/ ФГБОУ ВПО "Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ", отчёт о НИР Грант РФФИ №09-01-97013, 2009.
Р.А. Тюленева, А.А. Илюхин ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
Аннотация. В статье рассматривается более углубленное изучение одной из интереснейших тем математического анализа «Интегралы Эйлера первого и второго рода».
Ключевые слова: Гамма-функция, Бета-функция, свойства, взаимосвязь, применение.
R. A. Tyuleneva, A. A. Ilyukhin THE EULERIAN INTEGRALS
Abstract. The article deals with a more in-depth study of one of the most interesting topics of mathematical analysis "Euler Integrals of the first and second kind".
Key words: Gamma function, Beta function, properties, interrelation, application.
Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для их вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, но и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые гамма- и бета- функции Эйлера.
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, применение ее свойств помогает при изучении многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря ее введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение ее все же часто облегчает использование гамма- функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции [8,9]. Задача интегрирования некоторых выражений считается решенной, если она приводит к вычислению эйлеровых интегралов, свойства которых изучены с разных точек зрения, что позволит также изучить свойства некоторых функций, элементарно не представимых.
Цель данной работы - изучить возможность различных представлений гамма- и бета- функции, их свойства, установить между ними взаимосвязь.
Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция) представим в виде:
Где
а, Ь > О (2),
об этих неравенствах скажем чуть позже.
А равенство (1) определяет функцию от двух переменных a и b параметров, называемую Бета-функцией.
Наименование ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.
Область определения
Теперь о неравенствах, указанных выше:
Для сходимости интеграла (1) при х = 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: а > 0, а для сходимости интеграла при х = 1 необходимо и достаточно, чтобы Ь > С. Тем самым обоснована необходимость в неравенствах.
