CC BY
28
ки, по которым достаточно трудно ориентироваться. Несмотря на это поставленная задача была решена и искомая линия изображена в полном объеме.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва
1956 г., 420 с.
2. Сборник задач по геометрии, часть 2 под редакцией Л.С.Атанасяна, Москва «Просвещение» 1975 г., 176 с.
3. Гурский, Д. Е.Турбина, Mathcad для студентов и школьников, Питер 2005 г., 396 с.
В.Н. Сёмин, С.А. Донских, Т.С. Леонова, А.А. Кузьмин
ЭЛЕКТРЕТНАЯ ТЕМАТИКА В РАМКАХ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА В ШКОЛЕ
Аннотация. Устройства на основе электретов находят все большее применение в современных технических устройствах, что определяет необходимость изучения соответствующих вопросов в школьном учебном процессе. В статье рассматриваются варианты изложения вопросов электретной тематики на уроках физики и технологии в средней школе.
Ключевые слова: электрет,поляризация, электретный микрофон, предусилитель.
V. N. Semin, S. A. Donskikh, T. S. Leonovа, A. A. Kuzmin
ELECTRET SUBJECTS WITHIN THE EDUCATIONAL PROCESS IN THE SCHOOL
Abstract. Devices based on electret are increasingly used in modern technical devices, which determines the need to study the relevant issues in the school educational process. The article discusses the options for the presentation of the issues of electret subjects in physics and technology lessons in high school. Key words: electret, polarization, electret microphone, preamplifier.
Электреты -это диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего воздействия, вызывающего поляризацию, и создающие электрическое поле в окружающем пространстве. В результате поляризации на внешних поверхностях диэлектрика, прилегающих к электродам, появляются заряды, противоположные зарядам электродов рис.1. Заряды диполей, расположенных внутри диэлектрика, взаимно компенсируют друг друга, заряды диполей у поверхности не компенсированы. Весь образец в целом приобретает дипольный момент, образовавшийся в результате поляризации.
Рис.1. Электрическое поле электрета
Впервые термин "диэлектрик" ввел Фарадей в 1839 году. Согласно Фарадею в диэлектрике, в отличие от проводника, имеются не свободные, а связанные заряды, которые под действием электрического поля не могут смещаться на относительно большие расстояния. Поэтому внутри диэлектрика, находящегося во внешнем электрическом поле, всегда будет действовать некоторое электрическое поле, чего не может быть в проводниках. Исходя из аналогии между магнитными и электрическими явлениями, английский физик Оливер Хевисайд в 1896 году высказал предположение о том, что, подобно постоянным магнитам, могут существовать "постоянно заполяризованные диэлектрики", которые он назвал электретами Исследование электретных свойств веществ началось в 20-х годах прошлого века. Японский физик Егучи помещал смесь равных частей карнаубского воска и канифоли, нагретой до температуры размягчения (120-130°С) в сильное электрическое поле, которое не снималось до тех пор, пока температура воска не снижалась до комнатной. Далее было экспериментально подтверждено, что электреты могут быть получены из легкоплавких органических диэлектриков и стекол [2,3,4,6]. Постоянное поле электрета можно использовать либо непосредственно, либо косвенным образом, путем индуцирования переменного тока в поле электрета. Большинство известных применений электретов - это датчики или преобразователи сигналов.
^ второй половины прошлого века стали появляться публикации, в которых описывается применение электретов на учебных занятиях в школе. Определение электрета, в доступной для школьников форме, дает Ф.Ф.Волькенштейн в своей книге "Электроны и кристаллы". Согласно Волькенштейну: "Электрет - это
наэлектризованный диэлектрик с разведенными полюсами, являющийся, таким образом, электрическим аналогом магнита" [1]. В.И. Данильчук в своей статье «Изготовление электретов из оргстекла» [4] приводит метод изготовления термоэлектрета и последующего его применения на школьном уроке. При этом роль обкладок конденсатора играют две металлические пластины, площадью порядка 100 см2. Можно использовать два металлических диска, имеющихся в комплектах школьных электрометров. Обкладки конденсатора укрепляются с помощью эбонитовых держателей на штативе. Пластинку из оргстекла толщиной 1-3 мм разогревают над электрической плиткой до полного размягчения. Разогретую пластинку вставляют между обкладками конденсатора и прикладывают к ним сильное электрическое поле. С этой целью не металлические диски подают высокое напряжение от высоковольтного выпрямителя или от электрофорной машины. Размеры пластинки из оргстекла должны быть несколько больше размеров обкладок конденсаторов. Пластинка из оргстекла затвердевает в электрическом поле. После этого её вытаскивают из конденсатора и показывают с помощью электрометра, что получился термоэлектрет. Ориентированные полем молекулы-диполи как бы "вмёрзли" в вещество. Электретный заряд пластинки из оргстекла может сохраняться в течение нескольких суток и даже недель. Поднося к электрометру электрет с разных сторон, наблюдают отклонение стрелки электрометра. Можно показать ученикам, что если намочить электретную пластинку водой, то после её высыхания электретные свойства сохраняются. Если попытаться снять заряд заземлённым скальпелем, можно убедиться в том, что это оказывается невозможным, тогда как заряд с наэлектризованной трением точно такой же пластинки из оргстекла легко снимается.
В школьной практике электреты могут быть использованы для демонстрации, как самого электрет-ного эффекта, так и работы устройств на их основе [8]. В этом случае от электретов не требуется длительное сохранение поляризационного состояния, а одним из наиболее важных факторов является простота технологии изготовления и возможность восстановления рабочего состояния за небольшой промежуток времени. Этим критериям отвечает технология изготовления керамических электретов на основе легкоплавких сте-кол.Технология включает варку специального стекла, получение стеклянного порошка, прессование заготовки с последующим ее спеканием, поляризацию полученной керамики. Схема последовательности технологических операций представлена на рис.2
ТЕХНОЛОГИЧСКИЕ ОПЕРАЦИИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ КЕРАМИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРЕТОВ НА ОСНОВЕ ЛЕГКОПЛАВКИХ СТЕКОЛ
1 ВАРКА СТЕКЛА
ИЗМЕЛЬЧЕНИЕ СТЕКЛА
1
ФОРМОВАНИЕ ЗАГОТОВКИ
4 СПЕКАНИЕ КЕРАМИКИ
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СТЕЮГОКЕРАМИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА
Рис.2 Схема последовательности технологических операций
1. Варка стекла. Для варки стекла используются оксид свинца и оксид бора. Получить оксид бора можно из борной кислоты Н3ВО3, которую нужно поместить в пробирку и нагреть. Вначале будет наблюдаться вспучивание. При этом борная кислота будет обезвоживаться:
2Н3ВО3 = В2О3 + 3Н2О.
Когда вспучивание закончится и расплавленная масса уменьшится в объеме, на дне пробирки останется борный ангидрид.
Оксид свинца, если его нет в школьной лаборатории, готовят из азотнокислого свинца РЬ^О 3)2. Для этого азотнокислый свинец прокаливают в тигле или пробирке в пламени газовой горелки или спиртовки. При прокаливании азотнокислый свинец разлагается, выделяя кислород и бурые пары оксида азота
2РЪ(Ш3)2 = 2РЬО + 4Ш2 + 02. Оксид свинца - вещество, имеющее светло-желтую окраску, - остается на дне пробирки. Приступая к варке легкоплавкого стекла, сначала готовят исходную смесь веществ - шихту, которая стоит из 4 г оксида свинца, 1 г борного ангидрида. При отсутствии борного ангидрида его заменяют 1,4 г борной кислоты. Шихту следует перемешать и затем растереть в ступке в мелкий порошок в течение 20-30 мин. Шихту насыпают в небольшой фарфоровый или алундовый тигель и помещают в муфельную печь. Варка происходит при 550-600 °С в течение 20-30 мин. Расплав выливается из тигля на подложку из нержавеющей стали.
2. Измельчение. Полученное стекло измельчают и перетирают в ступке до порошкообразного состояния в течение 20-30 минут. Разделения частиц на фракции в зависимости от размера не требуется. При отсутствии в школьной химической лаборатории необходимых реактивов для варки стекла можно воспользоваться промышленно изготовляемыми стеклами, которые уже выпускаются в виде порошков
Таблица 1.
Промышленно выпускаемые легкоплавкие стекла
Марка стекла Температура начала размягче-ния,0С
БС - 70 406
БС - 80 400
БС - 90 385
БС -100 360
Такого рода стекла выпускаются ФГУП «ЦКБ РМ» (www.ckbrm.nm.ru) в виде порошков различного гранулометрического состава, величина зерна от 3 до 200 мкм.В крайнем случае для измельчения можно использовать стекло аптечных пипеток, однако температура спекания в этом случае будет более высокая, а элек-третный эффект слабее.
2. Формование порошков.Процесс формования изделий из порошкообразных материалов представляет собой важную технологическую операцию при применении порошковых технологий. Процесс формования включает следующие операции: монтаж пресс-формы, дозировка и помещение порошка в пресс-форму, приложения по заданному графику давления и извлечения образца из пресс-формы. Пресс-форма представляет собой цилиндр из стали с отверстием (матрица) диаметром 10 -15 мм, и пуансон (рис.3).
Рис.3. Устройство пресс-формы:1- матрица, 2- пуансон, 3- шихта
Для улучшения скольжения при сжатии возможно добавление нескольких капель глицерина. Прессование осуществляется с помощью школьного гидравлического пресса. Давление прессования 800-1000 кг/см2. 3. Спекание. Спекание представляет сбою процесс нагрева и выдержки спрессованного образца при температуре, которая составляет 0.7-0.8 температуры плавления материала порошка, при этом образуется изделие сзаданными свойствами. Движущей силой процесса спекания с термодинамической точки зрения является стремление порошковой системы к уменьшению свободной энергии, что связано с уменьшением суммарной поверхности. Спекание керамического образца осуществляется в муфельной печи. Температурный режим спекания приводится на рис.4.
Рис.4 Температурный режим спекания заготовки
5. Процесс поляризации. Следующим технологическим этапом является поляризация. Для ее осуществления используется кварцевая трубка длиной 10-12 см, диаметр трубки на несколько миллиметров превышает диаметр керамического образца и составляет 10-12 мм. На трубку наматывается и закрепляется электрическая спираль рис 5.
Г\
\ о о ооо о о
1 д
Рис. 5. Схема поляризационной установки 1- кварцевая трубка, 2- нагрвательный элемент
(спираль), 3- электроды, 4-заготовка, 5- источник постоянного напряжения
Внутрь трубки вводятся металлические электроды, на которые подается напряжение от высоковольтного источника напряжения (возможно использование электрофорной машины) рис. 5. Поляризация происходит при температуре150°-160°С в поле 3-5 кВ/см 20 - 30 мин, а затем образец охлаждается до комнатной температуры под воздействием поля. График температуры в процессе спекания приводится на рис 6.
Рис.6. Температурный режим процесса поляризации
На основе полученного керамического электрета можно изготовить электретный тахометр. Электрет, наклеивается на диск. При вращении диска электрет, проходя мимо неподвижного электрода, индуцирует в нем заряд. Этот заряд в виде импульса напряжения попадает на усилитель. Сигнал, имеющий П-образную форму, можно подавать на осциллограф или частотомер.
Введение электретной тематики в школьный курс мотивируется, в частности, той ролью, которую играют в современной жизни микрофоны. Так микрофон является первым звеном любого тракта звукозаписи, звукоусиления речи, является, компонентом компьютеров, средств радиосвязи (включая сотовую связь), бытовой радиоаппаратуры. Количество выпускаемых микрофонов в настоящее время исчисляется миллиардами. Наиболее высокие темпы развития сегодня приходятся на телекоммуникационную промышленность, робототехнику, индустрию здравоохранения, потребительскую электронику. Практически любое из указных направлений связано с изделиями, в которых используются микрофоны. Наиболее востребованы сегодня электретные микрофоны. Это обусловлено тем, что они имеют низкую цену, достаточно высокие рабочие характеристики, при этом они надёжны в эксплуатации и могут быть малогабаритными. Электретные микрофоны являются разновидностью конденсаторных микрофонов, мембрана выполняется из элек-третной пленки [3,9]. Наибольший эффект дают пленки толщиной 10 мкм из фторопласта, пропилена, поликарбоната. Пленка натянута на кольцо. Полиэтиленовую плёнку облучают пучком электронов, проникающих на небольшую глубину, чем создают пространственный заряд, который может сохраняться долгое время
Рис.7. Устройство электретного микрофона 1.Изолятор. 2.Металлическое кольцо, но которое натянута плёнка. 3.Основание, оно же одна из пластин микрофона. 4.Плёнка, она же другая пластина микрофона.
5.Выводы микрофона.
На плёнку также напыляют очень тонкий слой металла, который используется в качестве одного из электродов. Другим электродом служит металлический диск, плоская поверхность которого расположена на небольшом расстоянии от плёнки рис.7.Электретные микрофоны имеют достаточно высокое сопротивление емкостного характера, что вынуждает подключать их к усилителям с высоким входным сопротивлением. В
конструкцию практически всех электретных микрофонов входит предусилитель на полевых транзисторах, поэтому, несмотря на отсутствие необходимости в поляризующем напряжении, такие микрофоны требуют внешнего источника электропитания. Структурная схема капсюля электретного микрофона показана на рисунке 8.
Г1
Рис.8. Конструкция капсюля электретного микрофона. Т - полевой транзистор. Для демонстрации работы микрофона с помощью осциллографа необходимо подать питание на полевой транзистор микрофона от внешнего источника питания, например, как это предлагается в работе [5] рис.9. Сигнал с выхода устройства подается на вход осциллографа. Далее демонстрируется гармонический сигнал от камертона. Звуковой сигнал с микрофона в этом случае может быть прослушан с помощью колонок ПК.
Рис.9. Питание электретного микрофона от внешнего источника При подключении к компьютеру питание электретного микрофона происходит от звуковой карты компьютера. В этом случае к выводам микрофона подпаивается штекер «Джек». Распайка приводится на рис.10.[5].'
Рис.10. Подключение электретного микрофона к звуковой карте ПК Проверяется настройка микрофона и производится запись звука. Запись сохраняется в виде звукового файла и воспроизводится школьникам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волькенштейн, Ф.Ф. Электроны и кристаллы. М.: Просвещение, 1982.
2. Гороховатский,Ю.А. Электретный эффект и его применение//Соросовский образовательный журнал. - 1997. - №8. - С. 92 - 98.
3. Губкин,А.Н. Электреты.- М.: Наука, 1978. - 192 с.
4. Лисенкер,Г. Р. Физический эксперимент в школе. Пособие для ФБО учителей. Вып. 5. - М.: Просвещение, 1975. С. 82 - 83.
5. Питание электретных микрофонов. Фантомное питание в профессиональной аудио технике. Часть 1.:http://voitrec.blogspot Сот /2016/1 Ур^ате-тЛкгоАзпоу.Ыт! (дата обращения 01.04.2019).
6. Сёмин, В.Н. и др. Медленная объемно-зарядовая поляризация в кадмиево-боратных стеклах. //Физика ихимия стекла. - 1989. - №2. - Т15. - С. 186 - 189.
7. Сёмин, В. Н. , Мальцев В.Т., Панич А.Е. Поляризационные свойства стекол системы РЬО-СЮ//Изв АН СССР , сер. Неорган. материалы. - 1986. - №9. - Т.22. - С. 1550 - 1554.
8. Сёмин, В.Н.Абрамович Т.М., Мартыненко В.В. //Электреты в школьной практике Материалы научно-практической конференции «Информационно- коммуникационные технологии в подготовке учителя технологии и учителя физики» г. Коломна 8-10 апреля. -2008. - С.75 -77.
9. Сесслер, Г. - М.: Мир, 1983. - 487 с.
Д.А.Тукмаков
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УЧЁТА ИЗМЕНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ КАНАЛА НА ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИКИ СРЕДЫ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант №19-01-00442.
Аннотация. Работа посвящена исследованию влияния учёта изменяющейся площади сечения канала на параметры моделируемых газодинамических функций течения сплошной среды. Проводиться сопоставление результатов расчёта математическими моделями с учётом и без учёта изменения площади сечения. Моделируемый газ описывается как теплопроводный. Также проводиться сопоставление численных расчётов течения несжимаемой жидкости в канале переменного сечения с результатами физического эксперимента.
Ключевые слова: гидродинамика, математическое моделирование, каналы с переменным сечением, стационарные потоки, идеальный газ.
NUMERICAL STUDY OF INFLUENCE OF ACCOUNTING CHANGE OF CHANNEL SECTION
ON THE DYNAMICS OF THE ENVIRONMENT DURING MATHEMATICAL MODELING ONE-DIMENSIONAL STATIONARY FLOWS
Abstract. The work is devoted to the study of the effect of taking into account the changing channel cross-sectional area on the parameters of the simulated gas-dynamic functions of a continuum flow. A comparison is made of the calculation results by mathematical models with and without changes to the section. The simulated gas is described as heat conductive. A comparison is also made of numerical calculations of fluid flow in a variable section channel with the results of a physical experiment.
Key words: hydrodynamics, mathematical modeling, channels with variable cross section, stationary flows, ideal gas.
Функционирование многих технических устройств связано с течениями газообразных, жидкостных или многофазных сред в каналах с различными конфигурациями сечений [1-15]. При этом во многих случаях каналы могут иметь переменное (вдоль длины канала) сечение. В связи с этим важной для технологии машиностроения проблемой является теоретическое описание и моделирование течений сплошных сред в каналах с изменяющейся геометрией сечений [12,13]. В настоящее время имеется целый ряд подходов к описанию подобных процессов [4]. Особый интерес представляют потоки многофазных сред [4,8-11,14,15]. Часто течение однофазной среды в соплах переменного сечения превращается в течение двухфазной паро-жидкостной смеси. В случае установившегося течения можно предполагать, что процессы движения сплошной среды зависят лишь от одной пространственной переменной, что наиболее предпочтительно в плане численного или аналитического решения уравнений динамики. При этом, несмотря на одномерность течений, возникает необходимость учёта изменения сечения канала, по которому течёт среда. В данной работе проводиться сопоставление результатов расчёта одномерных течений сжимаемого теплопроводного газа с использованием математических моделей учитывающих и не учитывающих изменяющуюся геометрию канала. Также проводиться сопоставление численных расчётов одномерного течения несжимаемой жидкости с результатами физического эксперимента.
Математические модели стационарных течений.
Ниже представлена система уравнений, описывающая стационарное течение невязкого, сжимаемого, теплопроводного газа, без учёта изменения сечения канала [1] :
D.A.Tukmakov
dp
2Ро Ро/ Ро+АР -! *
dx
du 1 dp dx pudx'
dT / -1 fiu du
dx j R dx
dp ( 1 dp 1 dT dx \ p dx T dx
Здесь р, и, Т, р, у, К, ¡XI - давление, скорость, температура, плотность, постоянная адиабаты, газовая постоянная и молярная масса газа; х,Ь,р0, Др-пространственная переменная, длина канала, начальное давление и заданный перепад давления между входом и выходом из канала.
В работах [2,3] представлена математическая модель описывающая стационарное течение идеального газа с учётом изменяющейся геометрии канала:
с1р уМ2 р
dx М2-1
2с/ i i „г 1 dA
—- 1+ у-1 М---
d A dx
du _ 1 dp 2сfu dx pude d
dT _ r~ 1 M2T dA dx M2 -1 A dx '
dp _ M2 pdA dx M2 -l A dx
Здесь M=Uo/c- число Маха, с-скорость звука, u0 -начальная скорость газа, d=d(x), A=A(x)- функции изменения ширины и площади сечения канала, cf -коэффициент сопротивления.
Монографии [3,4] описывают общую методологию исследования динамики двухфазных потоков, состоящих из несжимаемой жидкости с дисперсными включениями в виде пузырьков газа. На основе указанных в монографиях подходов возможно получить математическую модель, позволяющую проводить учёт как влияния газообразной компоненты на динамику смеси, так и влияния изменяющегося сечения канала:
' ±
А
dp dA
— = 1 PlU --T,
dx dx
du -1 (A±.
dx PjuA V dx
+ | (3)
и
Функция т, -описывает потерю импульса за счёт трения жидкой и газовой компонент смеси. с/1 =24/ , Не, = р/и1) /]/. с/2 = 0.079/ Яе2 где р,. 1],- плотность и динамическая вязкость 1-ой компоненты двухфазного потока, индекс «2»-жидкость и индекс «1» -газообразная компонента.
Так как системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1)-(3) являются нелинейными, то для интегрирования уравнений применяется численный алгоритм - метод Рунге- Кутта 4-го порядка [16].
Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка для дифференциального уравнения можно представить в
виде:
/ = / ,у 0 = у0
h Уп-\ ~Уп+7 аы+2а2п+2а1п 6 + «4„ •
Результаты расчётов.
При расчётах динамики газа по моделям (1)-(2) параметры исследуемой среды соответствовали воздуху. На рис.1 представлено схематичное изображение конфузора. В расчётах предполагалось, что начальная ширина канала 0.5 м, конечная ширина -0.1 м, длина канала 1 м, начальная скорость газа- и0=30 м/с. Начальное давление на входе в канал -р0=104800 Па, конечное давление -р1=101250 Па.
В общем случае функция изменения ширины канала задавалась следующим образом:
а(х)=ао, 0<х<Ц; а(х)=ао+а(х-Ь1); Ь1<х<Ь;
Функция изменения площади сечения канала имеет вид - A(x)=л(d(x))2)/4
Рис.1 Схематичное изображение сужающегося канала.
На рис.2 (а-г) представлены результаты расчётов динамики газа полученные решением уравнений математических моделей, учитывающих и не учитывающих изменение сечения канала. Можно наблюдать, что решение системы уравнений (2) даёт меньшие значения температуры и большие значения для плотности газа. Решение, полученное с учётом изменения сечения канала показывает значение давления ниже, а значение скорости выше при входе газа в канал и до точки x=0.68 м включительно. В целом решения для параметров стационарного течения невязкого теплопроводного газа, полученного без учёта изменения сечения канала, имеет более монотонный вид, хотя распределения температуры газа, полученные по обеим моделям, сильно отличаются, но параметры давления и скорости газа на выходе из канала близки.
р, КПа
105,0104,5104,0103,5103,0102,5102,0101,5 101,00,0
р кг/м 1,21 -
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 X, м
1,201,191,181,171,161,150,0
1,0 X, м
0,2
0,4
0,6
0,8
б
а
и, м/с
90807060504030
0,0
1,0 х, м
т, к
305 300295 290 285280 275
270
0,0
0,2 0,4
0,6 0,8 1,0 х, м
в г
Рис.2 Пространственные распределения физических параметров среды: а-давления, б-плотности, вскорости г-температуры рассчитанные по математическим моделям с учётом- кривая 1 и без учёта -кривая 2.
Далее исследовалось течение жидкости с пузырьками воздуха в сопле. Длина сопла составляла -L=0.25 м, ширина стационарной части сопла d0=0.00625 м, длина стационарной части сопла--^=0.0125 м-рис.3, угол раствора сопла составлял 120, начальное давление на входе в сопло составляло- р0=82 кПа. Исследуемая с помощью системы уравнений (3) среда состояла из воды и взвешенных в ней пузырьков воздуха. Численное моделирование показывает, что при прохождении жидкости с пузырьками газа через сопло в «горле сопла» -в стационарной части диффузора происходит увеличение давления, относительно давления на входе в сопло, также происходит уменьшение скорости течения-рис.4, рис.5,а. При этом в следствии инерционности потока уменьшение давления и увеличение скорости течения начинается лишь в точке x=0.0134 м.
угол раствора сопла
Рис.3 Схематичное изображение сопла.
Моделируемое течение потока жидкости с пузырьками газа в сопле со стационарной частью и диффузором по параметрам физической области и начальному давлению соответствовало физическому эксперименту, проведённому в работе [17]. В физическом эксперименте максимальное давление среды наблюдалось в стационарной части сопла и составляло 85 кПа, соответствующие численные результаты составляют 84700 Па. Минимальное давление, которое достигается на выходе из сопла-рис.5,б, составляло-12630 Па для численного решения и 9200 Па для физического эксперимента. Таким образом, численные расчёты показывают, что параметры стационарного течения несжимаемой жидкости рассчитанные по модели (3) имеют хорошее соответствие результатам физического эксперимента.
В целом результаты моделирования течений газа в канале с изменяющемся сечением показали, что решение, получаемое по математической модели без учёта изменения площади сечения канала, имеет более линейный характер, что может быть нежелательно при расчёте течения в каналах со сложной геометрией. Численное моделирование динамики жидкости в сопле показали работоспособность модели (3).
Рис.4 Пространственные распределения давления газа в стационарной части сопла и при переходе из стационарную часть сопла в расширяющуюся.
u м/с
19,5 ■
19,0 ■
18,5 ■
18,0 ■
17,5 ■
17,0 ■
16,5 ■
16,0 ■
15,5 ■ 0
p, КПа
908070 60 50 40 30 20 10
00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25 x, М
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
x, м
а
б
Рис.5 Пространственные распределения физических параметров среды: а-скорости, б-давления.
ЛИТЕРАТУРА
Седов, Л.И. Механика сплошной среды Т.2 / Л.И. Седов -М.: Наука. 1970-569 с.
Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа/ Л.Г. Лойцянский -М.: Издательство "Дрофа"-2003 г. -784 c.
Барилович, В.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение. / В.А. Барилович -СПб.: Изд. Политехнического университета - 2009- 425 с.
Дейч, М.Е. Газодинамика двухфазных сред / М.Е. Дейч, Филиппов Г.А. - М.:Энергоиздат 1981-472 с.
Тукмаков, Д.А. Моделирование колебаний газа в акустическом резонаторе при помощи неявной конечно-разностной схемы //Теория функций ее приложения и смежные вопросы. Материалы Х-ой международной научной конференции. Казань: Издательство Казанского государственного университета- 2011- С. 345 - 347.
Тукмаков, А.Л., Тукмаков, Д.А. Применение неявной конечно-разностной схемы с весами для моделирования колебаний газа в акустическом резонаторе// Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева-2011- № 4- c. 119127.
Тонконог, В.Г., Тукмаков, Д.А. Нелинейные колебания газовзвеси и дрейф твердой фазы в акустическом резонаторе проточного типа //Инженерно-физический журнал- 2013. - N° 3- С.576-583.
Тукмаков, А.Л., Кашапов Н.Ф., Тукмаков Д.А., Фазлыйяхматов М.Г. Процесс осаждения заряженной полидисперсной газовзвеси на поверхность пластины в электрическом поле //Теплофизика высоких температур- 2018- выпуск 4- с.498-502. Грибин, В.Г., Коршунов, Б.А., Тищенко, А.А. Исследование внутриканальной сепарации влаги в турбинных сопловых решетках // Теплоэнергетика. - 2010. - № 9. — с. 17-20.
Xie D., Xinggang Y., Wangfan L. Numerical Simulation of Water Droplets Deposition on the Last-Stage Stationary Blade of Steam Turbine// Energy and Power Engeneering. - 2010. - V. 2. - № 4. — P. 248-253.
Троицкий, А.Н., Агапов, Р.В. Исследование образования жидких пленок на сопловых лопатках турбинной ступени в области малых значений степени влажности// Теплоэнергетика. - 2010. - № 9. — С. 47-53.
Крайко, А. Н., Мышенков, Е. В., Пьянков, К. С., Тилляева Н. И. Влияние неидеальности газа на характеристики сопел Лаваля с внезапным сужением // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 5. - С. 191-204.
Кочетков, Ю. М. Турбулентность сложных каналов // Двигатель. - 2008. -№3 (57).-С. 50-53.
Богданов, В.С., Фадин, Ю.М., Шаптала, В.В., Гавриленко, А.В. Характеристики потоков цементно-воздушной смеси при пневмотранспортировании цемента // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - 2016. -№ 2. - С. 110-112.
Филиппов Г.А., Грибин В. Г., Тищенко А.А, Гаврилов И.Ю., Тищенко В.А. Экспериментальное исследование влияния начальной влажности на распределение параметров эрозионно-опасной жидкой фазы за сопловой турбинной решеткой// Вестник МЭИ. -2013. -№ 1.е. 46-55.
Вержбицкий, В.М. Основы численных методов. / В.М. Вержбицкий- М. : Высш. шк- 2002-840 с.
Теоретическое и экспериментальное исследование течения вскипающих жидкостей в области давлений ниже атмосферного [Текст]/ ФГБОУ ВПО "Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ", отчёт о НИР Грант РФФИ №09-01-97013, 2009.
Р.А. Тюленева, А.А. Илюхин ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
Аннотация. В статье рассматривается более углубленное изучение одной из интереснейших тем математического анализа «Интегралы Эйлера первого и второго рода».
Ключевые слова: Гамма-функция, Бета-функция, свойства, взаимосвязь, применение.
R. A. Tyuleneva, A. A. Ilyukhin THE EULERIAN INTEGRALS
Abstract. The article deals with a more in-depth study of one of the most interesting topics of mathematical analysis "Euler Integrals of the first and second kind".
Key words: Gamma function, Beta function, properties, interrelation, application.
Во многих случаях первообразная от заданной элементарной функции не выражается конечными комбинациями основных элементарных функций. Об этих функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для их вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, которые представляются в виде собственного либо несобственного интеграла, зависящего не только от формальной переменной, но и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые гамма- и бета- функции Эйлера.
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, применение ее свойств помогает при изучении многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря ее введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение ее все же часто облегчает использование гамма- функции, хотя бы при промежуточных преобразованиях.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции [8,9]. Задача интегрирования некоторых выражений считается решенной, если она приводит к вычислению эйлеровых интегралов, свойства которых изучены с разных точек зрения, что позволит также изучить свойства некоторых функций, элементарно не представимых.
Цель данной работы - изучить возможность различных представлений гамма- и бета- функции, их свойства, установить между ними взаимосвязь.
Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция) представим в виде:
Где
а, Ь > О (2),
об этих неравенствах скажем чуть позже.
А равенство (1) определяет функцию от двух переменных a и b параметров, называемую Бета-функцией.
Наименование ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.
Область определения
Теперь о неравенствах, указанных выше:
Для сходимости интеграла (1) при х = 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: а > 0, а для сходимости интеграла при х = 1 необходимо и достаточно, чтобы Ь > С. Тем самым обоснована необходимость в неравенствах.
