CC BY
21
ГЛАВА 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОБЛЕМ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА
УДК 62.192
Садьжов1 Г.С., Бабаев2 И.А.
1ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана», Москва, Россия 2ПАО «Радиофизика», Москва, Россия
ЗАВИСИМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК ВОССТАНОВИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
Доказаны формулы расчета показателей восстановления в зависимости от интенсивности и скорости восстановительного процесса.
Ключевые слова:
вероятность восстановления, гамма-процентное время восстановления, среднее время восстановления, интенсивность восстановления.
Пусть r - время восстановления технического объекта в результате контроля технического состояния или ремонта. Тогда
F(t) = Pr(r < t) - вероятность того, что в течение времени t после его отказа, объект будет восстановлен, Pr(0 - вероятность события, заключенного внутри скобок.
Обозначим через Q(t) - вероятность того, что объект не был восстановлен в течение времени t, т.е.
Q(t) = Pr(r] > t)
Очевидно, что
Q(t) + F(t) = 1
Известно, что среднее время восстановления определяется по формуле [1]
Р = E(r)
где EQ) - математическое ожидание величины, стоящей внутри скобок. Так как плотность распределения случайной величины равна f(t) = F'(t)
то
P = i™tf(t)dt (1)
Из формулы (1) видно, что этот показатель требует определения f( ) на всей временной оси, что практически является затруднительным. Выразим показатель Р через другие характеристики восстановительного процесса. В связи с этим приведем некоторые зависимости, установленные нами. Базовой формулой для решения этой задачи будет служить следующая формула, доказанная нами:
г1
P = i0 rYdy (2)
где Ту - гамма-процентное время восстановления, определяемое из следующего уравнения, как решение относительно t при заданном значении у, (0<у<1),:
F(t) = у (3)
Иногда уровень задают не в долях единицы, а в процентах; отсюда и название показателя.
Из формулы (2) следует, что существует по крайней мере одно значение у0, для которого
ryQ = P (4)
Формула вытекает из (2) согласно теореме о среднем для интегралов.
Например, для экспоненциального закона восстановительного процесса:
Q(t) = е-^,
где у. > 0 - постоянная, таким значением служит величина
у0 = 1-е-1 (5)
В самом деле, для среднего времени восстановления имеем
1
P = S0 Q(t)dt =
Решая уравнение (3) относительно £ Р(1) = 1- е-* = у
найдем гамма-процентное время восстановления равное
-Ы(1-у)
7)
Приравняв (6) к (7), найдем значение (5). Так как согласно (5)
Уо = 0,63, то, используя (4), имеем
Р = г0,63
Видно, что среднее время восстановления соответствует высокому уровню у.
Возникает вопрос: как выразить среднее время восстановления через низкий уровень значений у. В этой связи приведем другую формулу, доказанную нами [2]:
р = (8)
Например, найдем значение уо для экспоненциального закона.
Используя (6) и (7), легко найти уравнение для определения Уо:
Уо -Уо + е-2 = 0
Решая это уравнение, получим
у(1) = 0,17; у(2) = 0,83
Следовательно, согласно (8), имеем
Г0,17 + Г0,83 Р =-2-
Заметим, что значений уо, удовлетворяющих (8) может быть как конечное, так и бесконечное количество. Приведем пример, когда значений Уо бесконечное число.
Пусть на отрезке (0,1)
F( ) =
Тогда из уравнения (3) найдем Ту = I у
Для среднего времени восстановления, согласно 2), имеем
Р = :
Используя формулу
получим
1 I Уо + К1-Уо)
2 2
Видно, что значений Уо, удовлетворяющих этому равенству бесконечное количество.
В задачах моделирования процесса восстановления, как правило, задается интенсивность восстановления в зависимости от времени. В этой связи нами установлена следующая формула [3]:
Р = ^) (9)
Например, если ¡¡(= ^ > 0, то согласно (9) получим
1
Р = И
что совпадает с формулой (6), найденной ранее из других рассуждений.
Если же ¡О > й, где й> 0 - постоянная, то, согласно (9), имеем следующую оценку для среднего времени восстановления:
1
Р <Р й
Для гамма-процентного времени восстановления нами доказана следующая формула [4]:
ГУ йу
ГУ = (10)
Например, если ¡¡(= ^ > 0, то, согласно (10), найдем
1п(1 - у)
Гу =--
у ¡
что совпадает с ранее установленной формулой (7).
Если же ¡¡(С) > й> 0, где й > 0 - постоянная, то, согласно (10), получим следующую оценку
„ 1п(1 - у)
d
Доказанные формулы (9) и (10) не учитывают скорости изменения интенсивности восстановления. В связи с этим нами установлены следующие формулы [5-15]:
р>-
ln(i-y)
р =
М(0)
- Г ■>0
1 /fo)
_ ln(1-y) f1ln(1-^)y'(rp) _
'у .,(r„) Jo " -
(11) (12)
м(гу) -"О м3(г„)
Отсюда следует, что если интенсивность восстановления монотонно растет, то имеем
Р <
1
м(0);
Ту >-
ln(l-у)
д(0); ^ д(гу)
И, наконец, для случая = ^ > 0, где у - постоянная, имеем
1 1п(1-у)
Р= - Гу =--—
Таким образом, установлены формулы расчета основных показателей восстановления в зависимости от характеристик восстановительного процесса.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №07-80-00574-а и №10-08-00607-а).
и, напротив, если интенсивность восстановления монотонно убывает, то
ЛИТЕРАТУРА
1. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. - М.: Советское радио, 1967. 299с.
2. Sadykhov G.S. Average number of failure-free operations up to critical failure of a technologically dangerous facility: Calculation, limit and non-parametric estimates // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, January 2013, Volume 42, Issue 1, pp 81-88.
3. Sadykhov G.S. Technical condition control calculation for hazardous industrial facilities // Journal of Machinery Manufacture and Reliability, July 2014, Vol.43, Issue 4, pp. 327-332.
4. Sadykhov G. S., Babaev I. A. Nonparametric Assessments and Limiting Probability Values of the Hazardous and Safe States of a Technogenic-Hazardous Object // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2015. V. 44. №3. PP. 298-304.
5. Садыхов Г.С., Бабаев И.А. Непараметрические оценки и предельные значения опасных и безопасных состояний техногенно-опасного объекта // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2015, №2. С.15-28.
6. Садыхов Г.С., Савченко В.П., Сидняев Н.И. Модели и методы оценки остаточного ресурса изделий радиоэлектроники. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2015. 382с.
7. Садыхов Г.С., Савченко В.П. К проблеме оценки средней наработки до критического отказа тех-ногенно-опасного объекта // Надёжность и качество сложных систем. 2013. №1. С.54-57.
8. Юрков Н.К., Затылкин А.В., Полесский С.Н., Иванов И.А., Лысенко А.В. Информационная технология многофакторного обеспечения надежности сложных электронных систем//Надежность и качество сложных систем. 2013. №4. С. 74-79.
9. Садыхов Г.С., Савченко В.П., Елисеева О.В. Предельные и нижние оценки длительности безопасного срока эксплуатации техногенно-опасных объектов // Изд. ПГУ. Труды международного симпозиума "Надёжность и качество". 2015, Т.1, с.81-83.
10. Садыхов Г.С., Савченко В.П., Бабаев И.А. Расчёт и оценка вероятностей опасных и безопасных состояний техногенно-опасного объекта // Надёжность и качество сложных систем.2014, №4(8), с.69-77.
11. Садыхов Г.С. Расчёт показателей контроля технического состояния техногенно-опасного объекта // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2014, №4. С.120-126.
12. Садыхов Г.С., Бабаев И.А., Артюхов А.А. Показатели контроля технического состояния радиоэлектронной аппаратуры и их расчёт // Изд. ПГУ. Труды международного симпозиума "Надёжность и качество". 2014, Т.1, с.55.
13. Садыхов Г.С., Некрасова О.В., Бабаев И.А. Стационарные значения показателей восстановления работоспособности подсистем с параллельно соединёнными узлами в составе техногенно-опасных объектов // Изд. ПГУ. Труды международного симпозиума "Надёжность и качество". 2011, Т.1, с.62.
14. Садыхов Г.С., Назаренко Д.Б., Савченко В.П. Предельные значения показателей восстановления работоспособности подсистем с последовательно соединёнными узлами в составе техногенно-опасных обьектов // Изд. ПГУ. Труды международного симпозиума "Надёжность и качество". 2011, Т.1, с.63.
15. Xiangming Q., An X. Research on Renewal Function H(t) of General Machine Fault and It's Application // International Conference on Digital Manufacturing and Automation (ICDMA). 2010, V.2, PP. 268-270
УДК 62.192 Садыхов Г.С.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», Москва, Россия
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ПРОСТЕЙШИХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА
В работе доказываются необходимые и достаточные условия для проверки простейших законов распределения ресурса.
Ключевые слова:
количество безотказных срабатываний, вероятность безотказных срабатываний, интенсивность отказов при срабатывании.
Пусть ^ - количество безотказных срабатываний изделия. Примером срабатываний могут быть операция «включена» радиоэлектронная аппаратура в работу и операция «выключена» из нее, операции «сжатие» и «разжатие» для поршневых насосов, операция «коммутации» для коммутаторов сигналов, операция «переключение» для переключателей и т. д.
Для изделия, работающего в дискретном режиме применения, интенсивностью отказов при п-ом срабатывании называют величину, определяемую по следующей формуле [1]:
РгОТ=п)
Л = ■
п Рг(£>п)
где М.) - вероятность события, внутри скобок; п = 1,2,3 ...
Из определения (1) следует, что 0 < Лп < п
1)
заключенного
Для сравнения приведем традиционное определение интенсивности отказов изделия в момент времени I , которое рассчитывается по формуле [2]:
Рг(С<^<С+ДС|(^>С) )
Л (О = lim ■
(3)
где Рг((.)|(.)) - условная вероятность того события, что отказ произойдет внутри интервала времени (£,£ + Д£); наработка до отказа изделия, работающего в непрерывном режиме применения.
Заметим, что правая часть оценки (2) для показателя (3) может не выполняться. Покажем это. Пусть
9 1
Щ) = 10"2- . ч
Так как один месяц (м) содержит 720 часов (ч),
1
1
