CC BY
19
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 539.23 : 548.12
Р. А. БРАЖЕ, А. А. ГРИШИНА
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ДВУМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ С ИНВЕРСНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДСИСТЕМОЙ
Из кинетического уравнения Больцмана получены выражения для коэффициентов электропроводности, теплопроводности и Холла в двумерных кристаллах, допускающих инверсию электронной подсистемы. Показано, что при инверсии электронной подсистемы кристалла возникает отрицательная абсолютная электропроводность, а теплопроводность отрицательной быть не может. В гальваномагнитных явлениях при инверсии электронной подсистемы изменяются на противоположные направления возникающих холловского и продольного электрических полей.
Ключевые слова: электропроводность, теплопроводность, эффект Холла, эффект магнитосопротив-ления.
Явления переноса в электропроводящих твёрдых телах описываются кинетическим уравнением Больцмана [1] для функции распределения электронов по координатам и импульсам /(г,р, 0:
З/ дг др Vд(
\
со
'с
Здесь V- скорость электрона, Р- сила, действующая на электрон со стороны внешнего поля. При расчётах кинетических свойств столкнови-тельный член обычно записывается в приближении времени релаксации:
/
\
81
51
\
/
/-/о
где г - время релаксации, а /0 - равновесная
функция распределения. В случае линейного отклика системы на внешнее поле / = /0(я)+ /},
где /о(я) - равновесная функция распределения, вычисленная для средней электронной плотности. Тогда (1) принимает линеаризованный вид:
дА , д/о - | ¥о г. /. , /о(«)-/о(») (2)
дг дг др т т
Р. А. Браже, А. А. Гришин, 2007
Электропроводность. В однородном электриче
ском поле
где е - элементарный заряд, а верхний и нижний знаки относятся соответственно к электронам и дыркам. В стационарном состоянии системы
д//дг = 0 и, кроме того, функция распределения не зависит от координат. Поэтому (2) можно переписать в виде
3/0 в=_л
др
Далее учтём, что
^Ь=ЩдЕ=^
др дЕ др дЕ
и, следовательно,
/> =+ет
V
дЕ
\
/
№
(3)
Плотность поверхностного тока
7 -+е\\>сіп,
(4)
где с1п - поверхностная концентрация электронов, приходящаяся на интервал с1р импульсов.
Каждому электрону соответствует своя волновая функция. С учётом спина плотность электронных
состояний в пространстве волновых векторов к на единицу площади для двумерных кристаллов
равна 2/(2;г)^.
Тогда в к -пространстве
сіп =
(2я)
а так как р = Тік, то в р -пространстве
сіп = \/(р,і)с12р.
Н1
(5)
Так как равновесная функция распределения не даёт вклада в ток, то заменяя / на /] и подставляя (3), (5) в (4), получаем
2 Єгт '
У =
к
\с12р
\
Полагая для определённости, что зона проводимости изотропна, а ток течёт по оси х, заменим V на vx и далее, усредняя по углу, подста-
вим V
х) = V2/2. Тогда (6) запишется в виде
е2тЕх Г 2 2Г д/оЛ
Л=—р*
И
V
дЕ
(7)
Считая зону параболической с энергией
Е =
2т
*
где т - эффективная масса электрона, и расписывая
і
сі р = Ілрсір,
перепишем (7) в виде
/ 2 * пт о
Интегрируя последнее выражение по частям, получаем
}*=-
2те2тЕ
Ь2ш*
Р г0
00 Є тЯ 00 +2
О П Ш о
Первое слагаемое обращается в ноль, так как на верхнем пределе /о = 0, а на нижнем пределе
р = 0. Второе слагаемое после умножения на 2
2А
, согласно (5), равно поверхностной концентрации электронов в зоне. В итоге получаем закон Ома в дифференциальной форме:
] = оЕ,
(8)
где
<7 =
пе^т
т
(9)
удельная (на единицу площади двумерного кристалла) электропроводность металла.
При наличии анизотропии энергетических зон
*
эффективная масса т' электронов будет зависеть от направления. Если электроны находятся в инверсном состоянии, то они окажутся вблизи потолка зоны проводимости, где их эффективная
масса т <0 [2]. В этом случае мы имеем дело с отрицательной абсолютной электропроводностью (<т < 0) - явлением, теоретически предсказанном В. И. Рыжим для неравновесных двумерных электронных систем еще в 1969 г. (см. обзор
[3]).
Теплопроводность. В отсутствии электрического поля, но при наличии температурного градиента (пусть он направлен по оси х), в стационарном случае уравнение Больцмана (2) принимает вид
Уо
дх
Принимая во внимание
/о = /о
=“
А
(10)
\
Е-Ер
квТ{х)
\
/
где Ер - энергия Ферми, а кв - постоянная Больцмана, (10) можно переписать в виде
а/о СЕ-Ер с1Т
8Е{ Т Ах
\
/
/і
(11)
Плотность поверхностного теплового потока в типичных металлах можно найти, считая, что тепловая энергия электронов равна их кинетической энергии:
(а2р
' 2' ту
V
*хА>
У
где /] находится из выражения (10).
Сравнивая полученное выражение с (7), видим, что в окончательном выражении для вместо
Ех будет градиент температуры с1Т/оЬс, а вме-2
сто е - произведение
ту
Іі!^Лквт^ = -ік2вт.
т
т
Таким образом, уравнение теплопроводности принимает вид
ОТ
(Лх
(12)
где коэффициент теплопроводности
К = 3 — кдТ.
пг
*
(13)
Отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности даёт хорошо известный закон Видемана - Франца [4]:
\2
К
СГ
= 3
V
Т.
Из (12) видно, что когда электронная подсистема находится в инверсном состоянии (состоянии с отрицательными эффективными абсолютной температурой и массой электрона) коэффициент теплопроводности остаётся положительным.
В диэлектрических двумерных кристаллах теплопроводность гораздо меньше и обусловлена переносом энергии фононами. В этом случае
Крк « су1, (15)
где с - удельная теплоёмкость (на единицу площади) фононного газа; V - средняя скорость движения фононов, приблизительно равная скорости звука; / - средняя длина их свободного пробега.
В полупроводниковых двумерных кристаллах необходимо учитывать как электронную, так и фононную составляющую коэффициента теплопроводности, а также влияние примесей, эксито-нов, биполярной диффузии и многие другие факторы.
Гальваномагнитные явления. Эффект Холла. Вновь запишем уравнение (1) в приближении времени релаксации для однородной стационарной системы [1]:
У-р+Ь—Л = 0.
др т
(16)
Здесь Ё теперь включает не только силу, действующую со стороны электрического ПОЛЯ, но и силу Лоренца, действующую со стороны магнитного поля, перпендикулярного току:
Ё = ~{еЁ + е[уВ]У Определяя /| как вклад в функцию /, линейный по электрическому полю, запишем (16) в виде
+ е[ЇВ])+ ЩгЁ + е[уВ])- — = 0. дЕ др т
В первом слагаемом у[у5] = 0, а во втором
слагаемом можно пренебречь членом с электрическим полем, так как он второго порядка малости по сравнению с первым слагаемым. В результате получаем
е^-уЁ + еЩуВ]-^- = 0.
дЕ др т
(17)
Поскольку магнитное поле лишь поворачивает траектории движения электронов в плоскости,
перпендикулярной вектору В, будем искать Д в виде, аналогичном (3), заменив вектор Е на
(14) некоторый вектор Ее^:
/, =ет
/
\
#0
дЕ
\
уЕ
(18)
/
Тогда дифференцируя (18) по р - ту, получаем
Мі
др
= ЄТ
% а/о . а2/0.(-£ у
+
т дЕ дЕ
• (19)
Последнее слагаемое в (19) не даёт вклада при подстановке в (17), так как приводит к члену,
содержащему множитель у[уВ] = 0. Остальное приводит к уравнению
откуда
0,
т
(20)
Так как теперь у =оЕер, где сг определяется выражением (9), находим
сг та
т
(21)
Второе слагаемое в (21) отвечает компоненте электрического поля, перпендикулярной току и магнитному полю. Соответствующий
коэффициент пропорциональности называется постоянной Холла:
1
Я =
(22)
та (ге)п Она имеет тот же знак, что и носители заряда. Из (22) видно, что инверсия электронного газа в металле никакого влияния на знак коэффициента Холла не оказывает. Однако при отрицательной эффективной массе электрона изменяются на противоположные направления плотности тока и холловского поля, т. е. полярность холловского напряжения также изменяется.
Заметим, что мы вывели выражение (22), считая электроны свободными. Более строгий подход, учитывающий влияние кристаллической
решётки привёл бы к замене т на т*, а учёт анизотропии зоны проводимости потребовал бы
учёта зависимости т* от направления. Однако это никак бы не повлияло на конечный результат, так как в (22) масса электрона не входит.
В двумерных собственных полупроводниках ситуация осложняется наличием двух типов носителей заряда: электронов и дырок. В этом случае вместо п в (22) следует подставить «взвешенную» концентрацию носителей в зоне проводимости и в валентной зоне, причём «вес» зависит от подвижности носителей в каждой из
зон:
п =
(,пеЪе + плЬк)'
«А -«А
где пе,П1г и Ье,Ь^ - соответственно концентрации и подвижности электронов и дырок.
В анизотропных кристаллах наряду с эффектом Холла имеет место другое гальваномагнит-ное явление - эффект магнитосопротивления. Оно связано с появлением не только поперечного (холловского) электрического поля, но и продольного электрического поля, вызывающего
изменение сопротивления образца электрическому току, пропорциональное квадрату напряжённости магнитного поля. В случае инверсии газа свободных носителей заряда одновременно изменяются на противоположные направления тока и этого продольного электрического поля. Так что при инверсии величина магнитосопротивления не изменяется, а изменяется лишь его знак.
Полученные в работе результаты могут быть полезны в объяснении ряда аномальных явлений переноса, наблюдаемых в неравновесных двумерных электронных системах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Харрисон, У. Теория твёрдого тела / У. Харрисон. - М.: Мир, 1972. - 616 с.
2. Орешкин, П. Т. Физика полупроводников и диэлектриков / П. Т. Орешкин. - М.: Высш. школа, 1977. - 448 с.
3. Рыжий, В. И. Абсолютная отрицательная проводимость, индуцированная микроволновым излучением, и состояния с нулевым сопротивлением в двумерных электронных системах: история и современное состояние / В. И. Рыжий // УФН. - 2005. -Т. 175. - № 2. - С. 205 - 213.
4. Савельев, И. В. Курс общей физики. Т. 2 /И. В. Савельев. - М.: Наука, 1988. - 496 с.
в ©
Бралсе Рудольф Александрович, доктор физико-математических паук, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области физики твёрдого тела и математического моделирования неравновесных систем.
Гришина Алена Александровна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ. Имеет публикации по теории явлений переноса.
