CC BY
62
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
УДК 538.935
ФОНОННОЕ ТРЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ КРИСТАЛЛОВ © 2011 г. Г.Ф. Ефремов, Д.А. Петров, А.О. Маслов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского efremov@rf.unn.ru
Поступила о редакцию 01.02.2011
Исследуется вопрос о поляронной проводимости кристаллов с учетом деформации кристаллической решетки электроном проводимости. Развивается концепция фононного трения, позволяющая учесть как флуктуационные и диссипационные механизмы взаимодействия электрона проводимости и поля фононов, так и изменение закона дисперсии кристаллической решетки. Получено стохастическое уравнение для оператора координаты электрона, описывающее броуновское движение электрона в кристалле, вычислен тензор проводимости изучаемой системы.
Ключеоые слооа: фононное трение, поляронный на, оптические фононы, тензор проводимости.
Введение
Эффект электронной проводимости кристаллов имеет достаточно длинную историю. Первоначально в физике существовало представление, согласно которому за проводимость различных веществ ответственны свободные электроны. В работах Пекара и Ландау [1, 2] было показано, что в действительности за проводимость отвечают не свободные электроны, а некоторые квазичастицы, впоследствии получившие название поляронов.
Полярон представляет собой сложную динамическую систему - квазичастицу, способную свободно перемещаться по кристаллической решетке и состоящую из электрона проводимости и окружающего его поля поляризации кристаллической решетки, вызванного ее деформацией этим электроном.
В современной литературе существует несколько подходов к исследованию поляронного эффекта, имеющих свои преимущества и недостатки. В общем случае их можно разделить на две группы, первую из которых составляют методы, использующие квантово-механический подход [1-15], а вторую - методы, основанные на квантово-статистическом способе описания [16-28]. Разнообразие различных подходов и методов, акцентирующих свое внимание на определенных особенностях этого явления, приносит неоспоримую пользу в составлении общей картины изучаемого эффекта.
эффект, полярон большого радиуса, масса поляро-
Теория поляронной проводимости, основанная на этих подходах, имеет ряд значительных результатов, среди которых можно выделить некоторые достижения в попытке разработать теорию, учитывающую взаимодействие поляронов [25], дисперсию фононов решетки [26], применение теории поляронной проводимости к описанию проводящих полимеров [27] и учет поляронного эффекта в системах квантовых точек [29-36]. Несмотря на достаточно большое число решенных проблем, все еще остается ряд вопросов, требующих особого рассмотрения. Один из них связан с необходимостью при исследовании поляронного эффекта и связанной с ним проводимости кристаллов учитывать не только действие фононного поля на электрон проводимости, но и обратное воздействие. Действительно, уже в силу того, что кристаллическая решетка является неидеальной, вследствие ее деформации свободным электроном, необходимо при изучении поляронного эффекта принимать во внимание как изменение закона дисперсии фононов, так и существенно взаимозависимый характер взаимодействия между электроном проводимости и полем поляризации, поскольку изменение закона дисперсии влияет не только на выражения, определяющие свободные фононы и поле поляризации, но и на их взаимодействие с электроном проводимости. Все это приводит к достаточно сложной картине электрон-фононного взаимодействия, требующей для своего рассмотрения специальных методов.
В настоящей работе исследуется поляронная проводимость ионных и ковалентных кристаллов с учетом указанного выше характера элек-трон-фононного взаимодействия в наиболее простом - одночастичном - случае, когда в кристалле имеется всего один свободный электрон, взаимодействующий с окружающим его полем фононов. В качестве метода данного исследования используется метод открытых квантовых систем [37, 38], позволяющий с единых позиций рассматривать флуктуационные и диссипаци-онные процессы в изучаемой системе, а также учесть изменение закона дисперсии кристаллической решетки в задаче о поляронной проводимости. Целью настоящей работы является вычисление в наиболее общем виде как основной характеристики полярона - его массы и ее зависимости от температуры кристалла, начальной скорости электрона и частоты внешнего поля, так и тензора проводимости изучаемой системы.
Постановка задачи
Рассмотрим электрон проводимости, инжектированный в кристалл с некоторой начальной скоростью и взаимодействующий с полем фононов кристаллической решетки. Взаимодействие включается адиабатически в момент t = -ж . Кроме того, будем считать, что область динамической части поляризации, вызванной деформацией электроном кристаллической решетки и сопровождающей электрон при его движении, имеет размеры много больше периода этой кристаллической решетки, что соответствует модели полярона большого радиуса, позволяющей в данной задаче использовать так называемое континуальное приближение, при котором кристаллическая решетка заменяется сплошной средой с феноменологическим параметром диэлектрической проницаемости £ . Будем также считать, что на кристалл действуют слабые внешнее постоянное магнитное поле Б = В0и периодическое во времени электрическое поле с правой круговой поляризацией.
Гамильтониан рассматриваемой системы в приближении эффективной массы имеет следующий вид
н = ^~ (р - - а! + Г - Ят4 - ег • E(t), (1)
2т ^ с ]
где т - эффективная масса электрона, А - векторный потенциал магнитного поля, Г - гамильтониан поля фононов, Е^) = Е0 (х0 sin(юt) + +у0 cos(юt))- внешнее переменное электрическое поле, Иы - оператор электрон-фононного
взаимодействия, который удобно записать в каноническом виде с помощью разложения в ряд Фурье
Hmt =Х 0, (t=Е Qb (tX (t), (2)
k k
где Qk (t) есть Фурье-гармоники поля поляризации, с которым взаимодействует электрон.
Случайное взаимодействие электрона проводимости с фононами приводит к возникновению броуновского движения этого электрона по кристаллу. С математической точки зрения случайность взаимодействия означает, что переменные фононной подсистемы - поля фононов являются случайными функциями, обладающими некоторой статистикой. Для ее определения достаточно конкретизировать вид гамильтониана этой подсистемы. В общем случае он является квадратичным по переменным Qk (t) и их
сопряженным импульсам Qk (t). В связи с этим с большой точностью можно считать, что невозмущенные переменные фононного поля Qk (t) обладают гауссовой статистикой.
Данные обстоятельства приводят к необходимости при исследовании поляронной проводимости использовать некоторое стохастическое уравнение для переменных электрона со строго определенным аддитивным флуктуаци-онным источником. К выводу этого уравнения мы и переходим.
Стохастическое уравнение, поляронный эффект и тензор проводимости
1. Стохастическое уравнение для оператора координаты электрона проводимости
Используя представление Г ейзенберга, а также гамильтониан (1), несложно показать, что оператор координаты электрона удовлетворяет следующему уравнению
m d r(t) - — [r(t) х B]= eE(t) +
dt2 с (3)
+ X ikQk (t)Xk (t).
k
Применяемый в данной работе подход [38] дает возможность при исследовании различных диссипативных процессов учесть вклад флуктуаций изучаемой системы, тем самым позволив рассматривать различные температурные эффекты. Данное обстоятельство делает необходимым определение величины флуктуаций ее переменных. В дальнейшем будем считать, что состояния рассматриваемой системы находятся достаточно далеко от точек фазового перехода. Это означает, что флуктуации переменных системы малы по сравнению с их средними значениями.
Стохастическое уравнение, которое мы собираемся получить, должно учитывать изменение закона дисперсии кристаллической решетки, вызванное ее деформацией электроном проводимости. Сам же факт изменения закона дисперсии является следствием взаимного действия электрона проводимости и поля поляризации. Данный характер взаимодействия в первую очередь означает его немарковость, определяющуюся наличием некоторой «истории» взаимодействия, которая математически выражается функциональной зависимостью переменных поля поляризации от переменных электрона.
Воспользуемся теперь свойством фононной подсистемы, согласно которому она незначительно изменяет свое состояние под действием электрона в силу того, что поле фононов обладает во много раз большим числом степеней свободы, чем электрон, имея при этом некоторую аналогию с термостатом. Учитывая, что электрон оказывает слабое воздействие на фононную подсистему, представим переменные поля поляризации Qk (7) в виде функционального ряда по действующей на него силе, т.е. по Хк (7)
Qk (7) = Ql (7) + | ^ф к (7; 71X-к (71) +
+ | dt 11 dt2 ф к (7; 71,72)1 [X_к (71), X_к (72)]+ + (4) + •••,
где Ql(t) - невозмущенные переменные поля поляризации, фк (7,71), фк (7; 71,72) - флуктуи-рущие отклики, которые, согласно [39], имеют вид
фк (7;71) = ^Ы(7),О-к (71)]_Л(7 - 71), фк(7;71,72) = Г-О ^[[Qk0(t),Q-k(71)]-, (5)
ф* (?; ?0 = я(к, ? - ?і) =
б*(^2)]-П(? - ?1>Л(?1 - ?2),
г Ы(?), Q-0* (о]\ц(? - ?Д
(7)
Подставляя теперь (6) в (3) и симметризуя
произведение Ql (?) и е,кг(?), ввиду их некомму-
тативности, получим
d2 г(?) ег... „-і
да ——--------[г(?) X В] =
Л? с
= еЕ(?) + /£ к1 О0(?), е/кг(?) ]+
(8)
+ /
+ ж ..
| dtl Б(к, т)- [е
_|е ;кг(?) е-‘кг(?1) 2 ’
]+.
"Л (7)есть функция Хэвисайда, учитывающая принцип причинности в формуле (4). Квадратные скобки [ ]- и [ ]+ в формулах (4) и (5) обозначают коммутатор и антикоммутатор соответственно.
Ввиду малости флуктуаций переменных фо-нонной подсистемы функции отклика (5) можно заменить в (4) их средними значениями. Учитывая теперь, что Ок (7) обладают гауссовой статистикой, найдем
Qk (7) = Ок (7) + | (7; 71X - к (71), (6)
где фк (7; 71) определяет среднее значение линейного отклика по невозмущенному значению фононного поля, которое представляет собой не что иное, как функцию Г рина фононов
Рассмотрим подробнее уравнение (8). Последнее слагаемое в правой части этого уравнения, определяющееся функцией Грина фононов, характеризует вклад фононной подсистемы в динамику электрона при воздействии последнего на поле поляризации. Кроме этого уравнение (8) учитывает также и вклад флуктуаций в динамику электрона, который в общем случае определяется вторым слагаемым в правой части этого уравнения и, в частности, флуктуирующими невозмущенными переменными фононного поля 00 (7). Выделяя, согласно определенному методу [38], флуктуационный источник в уравнении (8), окончательно получим следующее стохастическое уравнение
d2г(7) е г.
т-----^- — Г'
dt с
где \(7)- флуктуационный источник с равным нулю средним значением по невозмущенному состоянию фононного поля, F(t)- фононная сила трения, учитывающая как непосредственное воздействие фононов на электрон, так и параметрический вклад в динамику электрона флуктуаций фононной подсистемы. Эта сила имеет вид
-- - [Г(?) х В] = еЕ(?) + F(?) + К?), (9)
F(t) = X /к У Л?і Г £(к, т) 2 [е/кг(?), е]+
+
+ М (к, т) - [е/кг(?), е -кг(?1)] й
(10)
где М (к, т)— функция корреляции невозмущенных переменных поля поляризации, связанная с функцией Грина фононов, согласно теореме Калена-Вельтона [39], через спектральную плотность флуктуаций фононного поля:
Г йш г (к) ^
5 (к, ш) = й 1т{^(к, ш)}сШ
2Т
(11)
М (к, т) = -11 (к, ш)е -шт, (12)
+
где Т - температура кристалла, ш ґ (к) - невозмущенный закон дисперсии кристаллической решетки для оптических фононов.
Усредняя уравнение (9) по невозмущенному состоянию фононной подсистемы, переходя в нем к континуальному приближению, расцепляя произведения электронных плотностей е/кг(?)е /кг(?1), е ,кг(?1)е/кг(?) [40] и принимая при этом во внимание, что флуктуации переменных системы малы по сравнению с их средними значениями, получим
- ш
Л2 (г(?))
Л?2
е
тс
Г(?))
Л?
х В
+ж
= — Е(?) - | Л?1 у(? - ?1)((г(?)) - (г(?1))),
где у(? - ?1)- коэффициент фононного трения, имеющий вид
4Пы кг Г
у(т) = п(т)----^ Г Г Л0Лкк (^(к, т) х
тЙкіі 0 0
х cos
+М (к ,т^іп
Г ^
V2т уу
х sin(0)cos2(0)e
/к(У) ТСО$(0)
(г(ш)) + /ю[(г(ю)) х шь ]-
- (У(ю) - У(0)Хг(ю)) = е
где шь = еВ0 / тс - циклотронная частота,
+ж
у(ю) = Г Лте'шту(т).
(15)
(16)
Выделим в коэффициенте фононного трения у (га) действительную и мнимую части
У(га) = У1(га) + *У 2(®). (17)
Подставляя (17) в (15) и выполняя простейшие преобразования, найдем
(13)
-Ю21 1 +
Ї1(ю) -У1(0)
ю
г(ю)) ■
(14)
кЛ - период обратной решетки, N - число элементарных ячеек кристалла, (V} - начальная
скорость электрона.
Рассмотрим ряд эффектов, которые могут быть описаны на основе уравнения (13).
2. Поляронный эффект
Одним из эффектов, который позволяет описать уравнение (13), является поляронный эффект, возникающий в данной модели как следствие динамического электрон-фононного взаимодействия, проявляющегося в том, что основные характеристики полярона становятся функциями от переменных как самого электрона, например его начальной скорости, так и кристаллической решетки - температуры, периода и т.д.
Основной характеристикой этого эффекта является масса полярона, образующаяся из-за взаимодействия электрона проводимости с окружающим его полем поляризации кристаллической решетки, возникающим вследствие ее деформации. В некоторых случаях эта масса может быть много больше истинной эффективной массы электрона проводимости [3].
Определим на основе уравнения (13) массу полярона. Для этого возьмем преобразование Фурье от левой и правой частей этого уравнения
+ йв [(г (га)) X ШL ] - / (у 2 (~~) - У 2 (0)) ^ (18)
х /г(га)) = — Е(га). т
Согласно форме уравнения (18), массу поля-рона можно определить следующим образом:
тро1 = 1 + У 1(га) -У1(0) (19)
т га2
В работе авторов [40] было произведено исследование температурной и частотной зависимости массы полярона в случае, когда начальная скорость электрона настолько мала, что ей можно пренебречь. Была установлена глубокая внутренняя зависимость между временем релаксации импульса полярона и его массой. При этом было показано, что в квантово-механическом пределе, т.е. при нулевом значении частоты внешнего поля и температуры кристалла, выражение для массы полярона полностью совпадает с расчетами, проведенными на основе теории возмущений [41].
В реальных физических системах - кристаллах электрон проводимости обладает конечной начальной скоростью, наличие которой может сильно изменить основные характеристики по-лярона. В связи с этим представляет большой интерес изучение влияния на рассматриваемый эффект конечной начальной скорости электрона. Это позволяют сделать выражения для массы полярона (19) и коэффициента фононного трения (14).
3. Тензор проводимости системы
Определим на основе уравнения (13) тензор проводимости системы. Используя хорошо известный способ вычисления проводимости [4143] и пропуская элементарные математические преобразования, запишем окончательный ответ
(л (7)) = е^ТЙ- = СТд (га)Е, (7), (20)
х
где оа (ю) = s^l (ю) + аа (га) - тензор проводимости системы, состоящий из симметричной sil (га) и антисимметричной аа (га) частей, которые имеют вид
(1 0 1
Опуская математические преобразования,
&а (га) = СТ1(га) •
Г(га)
01
т (гаД(га)-гаь)2 +Г2(га) ( 0 1 1
(1 0 1 01
-1 0
а и (га) = ст 2 (га) •
е2 -гаД(га) + га ь
т (гаД(га)-гаь)2 +Г2(га)
( 0 1 1 -1 0
где
Д(га) = -
т
ро1
т
=1+
У 1(га) - У 1(0)
га
Л У 2 (га) - У 2 (0)
I (га) =---------------------------.
запишем окончательный ответ
Е, (7) = Pil (га)], (7) + Р,7 (га) jl (7X
где
Р а (га) =
ст
det ст
(21)
V0 ' у
Р„(га) = -СТ2(га) ( 0
det ст
-1
(25)
(26)
(27)
(22)
(23)
Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ранга, как например $п(га), эквивалентен некоторому аксиальному вектору. Учитывая это, преобразуем (25) к следующему виду
Е1 (7) = ра (га);) (7) + [)(7) х Ь], (28)
где аксиальный вектор Ь , согласно постановке задачи, имеет только одну компоненту
ь =Р ^ (га)г0, (29)
которая равна
Физическое содержание Sil (га) и ап (га) таково, что симметричная часть тензора проводимости определяет диссипацию энергии в изучаемой системе, т.е. джоулево тепло, выделяющееся при прохождении тока через кристалл, а антисимметричная часть характеризует так называемый эффект Холла [41^43].
Рассмотрим ряд особенностей, следующих из формул (21)—(23). Первая из них, связанная с диссипацией энергии в системе, заключается в том, что как ширина линии поглощения, так и частота внешнего поля, при которой поглощение имеет максимальное значение, определенным образом зависят от температуры кристалла. Это видно уже из того, что функции Д(га) и Г(га), входящие в (23), от которых непосредственно зависит выражение для ширины линии поглощения и резонансной частоты, являются функциями температуры кристалла.
Вторая особенность связана с антисимметричной частью тензора проводимости. Она заключается в появлении дополнительного, наряду с холловским, электрического поля, колли-неарного холловскому полю.
Определим выражение для этого дополнительного электрического поля, которое, в силу используемого подхода, в дальнейшем будем называть динамическим.
Для этого преобразуем выражение (20) к виду Е1 (7) = ст -‘(га); (7), (24)
где ст -/(га) - тензор, обратный тензору проводимости сти (га).
ъ, =Р^(га) = —г (га/. -гаД(га))
(30)
В слабых магнитных полях связь векторов Ь и В в изотропном теле является линейной
Ь = RB, (31)
где коэффициент пропорциональности R, который может быть как положительным, так и отрицательным, называется постоянной Холла.
Подставляя (30) в (28) и выполняя простейшие преобразования, получим
Е1 (7) = ра (га)(7) - ^(7) х в],. + (32)
+ Ф(га)[Х7) х 2о I, где R = 1/ ес - постоянная Холла,
ф(га) = гаД(га) = —р0- га. (33)
е е
Остановимся более подробно на соотношении (32). Второе слагаемое в этой формуле характеризует собой не что иное, как обычный эффект Холла. Последнее же слагаемое в (32) определяет искомое динамическое электрическое поле, возникающее вследствие немарково-сти взаимодействия электрона проводимости и поля поляризации и зависящее, согласно (33), от массы полярона. При этом следует заметить, что для его существования принципиально именно переменное внешнее электрическое поле. Действительно, при га ^ 0, что соответствует наличию только постоянного электрического поля, динамическое поле исчезает, поскольку ф(га) стремится к нулю при га ^ 0. Еще одно свойство динамического поля состоит в том, что его направление зависит от поляризации внешнего электрического поля.
2
е
га
В заключение к этой части определим отношение абсолютной величины динамического поля к холловскому. Оно имеет следующий вид
E = mpo1 — E (34)
^ din Hall ■>
m raL
где EHall - холловское электрическое поле.
Заключение
Подведем некоторые итоги произведенного исследования. В первую очередь следует отметить, что развиваемая в данной работе концепция фононного трения, основанная на методе открытых квантовых систем, позволяет исследовать диссипативные процессы в изучаемой системе учитывая как непосредственное взаимодействие фононного поля и электрона проводимости, так и вклад флуктуаций в динамику последнего, что дает возможность рассматривать различные температурные эффекты.
В работе получен ряд интересных результатов, среди которых стоит особо выделить возможность исследовать влияние начальной скорости электрона на массу полярона, определить температурную зависимость ширины линии поглощения и резонансной частоты. Кроме этого в настоящей работе было показано, что учет немарковости взаимодействия электрона проводимости и поля поляризации приводит к возникновению дополнительного электрического поля, коллинеарного холловскому и непосредственно связанного с переменным характером внешнего электрического поля, действующего на эту систему.
В заключение необходимо подчеркнуть, что все полученные в данной работе результаты, так или иначе, являются следствием фононного трения, возникающего вследствие динамического электрон-фононного взаимодействия, имеющего принципиальное значение в данной модели.
Список литературы
1. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.: Гостехиздат, 1951. 206 с.
2. Ландау Л.Д. Эффективная масса полярона. Собрание трудов. Т. 2. Физматлит, 2008. С. 41.
3. Поляроны / Под ред. Ю.А.Фирсова. М.: Наука, 1975. 423 с.
4. Rammer J. Quantum transport theory. Reading, Massachusetts: Perseus Books, 1998. 520 p.
5. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.) Аспекты теории полярона. М.: Физматлит, 2004. 176 с.
6. Feynman R.P., Hellwarth R.W., Iddings C.K., Platzman P.M. //Phys. Rev. 1962. 127. P. 1004.
7. Lee T.D., Low D., Pines D. //Phys. Rev. 1953. V. 90. P. 297.
8. Смондырев А.М.//ТМФ. 1986. Т. 68. С. 29-44.
9. Davydov A.S., Enol’skii V.Z. //ZETF. 1988. V. 94. P. 177-181.
10. Волокитин А.И. //ТМФ. 1989. Т. 80. С. 399404.
11. Минлос Р.А. //ТМФ. 1992. Т. 92. С. 255-268.
12. Карасев М.В., Перескоков А.В. //ТМФ. 1993. Т. 97. С. 78-93.
13. Мухоморов В.К. // ФТТ. 2000. Т. 42. Вып. 9. С. 1559.
14. Фирсов Ю.А., Кудинов Е.К. //ФТТ. 2001. Т. 43. Вып. 3. С. 431.
15. Мясников Э.Н., Мясникова А.Э., Мастропас
З.П. //ФТТ. 2006. Т. 48. Вып. 6. С. 984-987.
16. Селютин А.Ю. //ФТТ. 2008. Т. 50. Вып. 1. С. 17-22.
17. Мясников Э.Н., Мастропас З.П. //ФТТ. 2009. Т. 51. Вып. 5. С. 966-971.
18. Спирина Е.Ю., Хрусталев О.А., Чичикина М.В. //ТМФ. 2000. Т. 122. С. 417-425.
19. Кочетов Е.А., Смодырев М.А. //ТМФ. 1981. Т. 47. С. 375-386.
20. Osaka Y. // Prog. Theor. Phys. 1952. V. 22. P. 437-446.
21. Овчинникова М.Я., Овчинников А.А. //ТМФ. 1971. Т. 7. С. 129-138.
22. Балабанян Г.О. //ТМФ. 1982. Т. 50. С. 301307.
23. Горшков С.Н., Родригес К., Федянин В.К. //ТМФ. 1983. Т. 56. С. 467-475.
24. Боголюбов Н.Н. (мл.), Плечко В.Н. //ТМФ. 1985. Т. 65. С. 423-434.
25. Каширина Н.И., Лахно В.Д. //УФН. 2010. Т. 180. С. 449-473.
26. Мясников Э.Н., Мясникова А.Э. // ЖЭТФ. 1999. Т. 166. Вып. 4. С. 1386-1397.
27. Shein L.B., Mack J.X. // Chem. Phys. Lett. 1988. V. 149. P. 109.
28. Боголюбов Н.Н. (мл.), Киреев А.Н., Курбатов А.М. //ТМФ. 1986. Т. 67. С. 115-128.
29. Hu C.D., Chang Y.H. // Phys. Rev. B. 1990. 42. N. 17.
30. Kadi Z.H.U., Shiwei G.U. // J. Mater. Sci. Technol. 1994. 10.
31. Sauvage S., Boucaud P., Lobo R.P.S.M., et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. 88. N. 17.
32. Shubert G., Wellien G., Weisse A., et al. // Phys. Rev. B. 2005. 72. P. 104304.
33. Hohenester U. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2007. V. 40. P. 315.
34. Fehske H., Wellien G., Loos J., Bishop A.R. // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P. 085117.
35. Samak Z., Saqqa B. // An - Najah Univ. J. Res. (N. Sc.) 2009. V. 23. P. 15.
36. Zoli M. // Adv. Cond. Matt. Phys. 2010. V. 10. P. 1155.
37. Бочков Г.Н., Ефремов Г.Ф. Нелинейные стохастические модели процессов и систем: Учебное пособие. Часть 1. Горький: Изд-во ГГУ, 1978. 114 с.
38. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для
открытых квантовых систем: Учебное пособие.
Горький: Изд-во ГГУ, 1982. 120 с.
39. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. Часть 1. М.: Физматлит, 2002. С. 437-448.
40. Ефремов Г.Ф., Петров Д.А., Маслов А.О. // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3(1). С. 44-53.
41. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников: Учебное пособие. Изд-во «Лань», 2008. С. 334-335.
42. Ландау Л.Д., Лифшиц EM. Электродинамика сплошных сред. Т. 8. М.: Физматлит, 2kk5. С. 136— 143.
43. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Физматлит, 2kk9. С. 89-93.
PHONON DAMPING AND CRYSTAL CONDUCTIVITY G.F. Efremov, D.A Petrov, A.O. Maslov
Crystal polaron conductivity is studied taking into account the crystal lattice deformation by a conduction electron. In addition, the concept of phonon damping is developed which allows one to take into account fluctuation and dissipative mechanisms of conduction electron and phonon field interaction as well as the change of the crystal lattice dispersion law. The stochastic equation has been derived for the electron coordinate operator describing Brownian motion of an electron in the crystal. The conductivity tensor of the system studied has been determined.
Keywords: phonon damping, polaron effect, polaron large of radius, mass of polaron, optical phonons, conductivity tensor.
