CC BY
81
Ячеистые сети: развитие, динамика потоков
Птицын ГА., Бакер АА, МТУСИ
Области применения и реализация. В настоящее время современный мир все чаще сталкивается с понятием "ячеистые сети", все больше информационных и материальных потоков передаются по ячеистым сетям, или так называемым Mesh Networks. Хотя в градостроительстве ячеистые сети применяются уже давно для осуществления перевозок пассажиров, товаров. Другим примером использования ячеистых сетей являются системы жизнеобеспечения зданий. Отличительной особенностью ячеистых сетей является отсутствие в них центрального управляющего устройства. Вместо него каждый узел наделен возможностями связи и действует как прямопередающая-ся точка или коммутатор для транзитных сообщений. Узел такой сети может посылать и принимать сообщения, действовать как маршрутизатор, выбирая кратчайший путь через своих соседей. Идея беспроводных ячеистых сетей успела получить распространение в индустриальных распределенных системах сбора и обработки данных. В качестве узлов используются датчики со встроенной логикой или преобразователи, которые не только собирают данные, но и выполняют их предварительную обработку. Сетевой процессор, логика и беспроводной интерфейс сосредоточены внутри каждого узла-участника сети, поэтому необходимость в централизованной коммутации исчезает. Структурно-ячеистая сеть может строиться из колец,
которые могут иметь как одинаковый размер (сеть регулярна), так и отличный друг от друга (сеть нерегулярна). Вместе с тем имеется источник (Sonet), в котором определение ячейки радикально отличается. Под ячейкой понимается полносвязный элемент размером три, четыре узла. Известны работы, посвященные исследованию ячеистых сетей, например, [1], где рассматривается распад сетей на фрагменты. Но оценка и анализ нагрузки дуг, длин путей в зависимости от размера и числа ячеек, способа их соединения еще не проводились.
Классификация ячеистых сетей. Сети сообщений состоят из двух элементов: узлов и дуг. Из них строят сети любого размера и разнообразной структуры. При создании ячеистых сетей предполагается, что основным строительным элементом ее является ячейка или одно кольцо. Минимальный размер — это три узла. Ячейка имеет одну избыточную по сравнению с деревом дугу. Присоединение любым способом еще одной ячейки одновременно означает, что в сети появляется одна избыточная дуга. Таким образом, число избыточных дуг в ячеистой сети равно числу ячеек. Внутри ячеек не может быть дуг-перемычек. Если таковая есть, то это означает, что в сети имеется две ячейки. Сеть будем называть развивающейся, если в ней происходит приращение числа ячеек.
Ячейки друг с другом при одномерном развитии могут соединяться либо через узел, либо контакт ячеек организуется через одну или более общих дуг (рис.1). Наряду с одномерными сетями могут строиться и двухмерные сети (рис. 2), т. е. совокупность ячеек может
РИс.1. Варианты построения одномерных ячеистък сетей:
а), б) ячейка — треугольник; в), г) ячейка — квадрат; а), в) контакт ячеек узлом; б), г) контакт ячеек дугой
Рис. 2. Двухмерные ячеистые сети
а)
б)
Рис. 3. Двухмерные ячеисто-кольцевые сети: а) паутинка; б) цилиндр
о и
РИс. 4. Зависимость средней длины пути от диаметра сети (ячейка — треугольник, квадрат)
наращиваться не только в длину, но и в ширину. Очевидно, что при двухмерном построении контакт ячеек организуется только через дугу. Наращивание, развитие двухмерных сетей может происходить либо только в одном измерении, либо одновременно в обоих. Нельзя исключить и появление трехмерных сетей. Наиболее просто можно представить такую сеть, составленную из множества кубиков.
При смыкании концов одномерной (или двухмерной) разомкнутой ячеистой сети возникает ячеистое кольцо в вице бус или цилиндрической поверхности. В градостроительстве широкое распространение получили две ячеистых структуры: квартальная и паутинка. При квартальном построении улицы перпендикулярны друг другу. По этому принципу построены Пекин, Манхеттен (Нью-Йорк), Измайлово (Москва), Майкоп и многие другие. Паутинка лежит в основе построения Москвы.
Постановка задачи. Ограничения. Допущения. Принимаем, что в сети, независимо от ее размера и структуры, каждый узел является одновременно истоком и стоком. Узлы сети полнодоступны, т. е. от каждого узла-истока сообщения поступают во все остальные узлы-стоки. Длины дуг равны. Межузловые потоки одинаковы по интенсивности. При этих условиях однородная сеть становится симметричной, а в ней симметричные узлы имеют одинаковые деревья кратчайших путей, симметричные дуги — одинаковую нагрузку, что позволяет резко сократить объем вычислений [2, 3]. Выбор варианта пути осуществляется по минимуму его длины.
Необходимо установить динамику длин путей, нагрузки дуг для однородных развивающихся регулярно ячеистых сетей в зависимости от числа узлов, ячеек, габаритных размеров сети. Длину пути считаем в дугах. Нагрузка дуг характеризуется числом соединений (струй) [2]. Сеть является развивающейся. Под развитием понимаем приращение сети в виде целой ячейки от изначального состояния одной ячейки. После каждого прибавления рассчитываются характеристики потоков нового состояния сети. Полученные значения общих сумм длин путей, нагрузки дуг проверяются на свойство арифметических рядов (конечные разности исходного ряда чисел должны быть постоянны). Порядок многочлена определятся числом рядов разностей [2, 4].
Динамика длин путей по сети. Ограничимся треугольной и квадратной ячейками. Развитие сети одномерное. Контакт ячеек узлом или дугой. Приращение сети регулярное по одной ячейке. Арифметический ряд общих сумм длин путей для пилообразной сети получен построением деревьев кратчайших путей: 6; 28; 74; 152; 270; 436; 658...Эта последовательность имеет три ряда разностей, из которых последний имеет одинаковые значения, равные 8. Параметрами ряда являются Оц = 6; 021 = 22; а31 = 24; 041 = 8, что позволяет составить биномиальную формулу к-ого члена ряда а^. Получаем кубический многочлен. Значение Dj — средней длины пути находится из отношения общей суммы длин путей ЕЕ Dj к общему числу соединений. Средняя длина пути по пилообразной сети
^ = 1(2а2 + 2с-3)/(3(2сМ)), (1)
где С — диаметр (размер) сети по основанию (<С = 2; 3; 4;.).
Для сравнения напомним, что средняя длина пути п линейной разомкнутой сети равна D¡j = 1(п + 1)/3, где I — длина дуги, п — размер (число узлов) сети.
Зависимости средней длины пути для линейной и пилообразной сетей показаны на рис. 4. Они практически параллельны.
Итак, значения общих сумм длин путей пилообразной сети, расположенные в порядке возрастания числа ячеек (контакт узлом) от одной и более, образуют арифметический ряд кубического многочлена.
При контакте треугольных ячеек ребром уменьшается диаметр сети, сокращается и длина сети. Ряд значений общей суммы длин путей 6;14;26;44;68;100;140...Поскольку при четных значениях числа ячеек ^ > 4) сеть становится несимметричной, то необходимо рассматривать арифметические ряды общих сумм длин путей отдельно для четных и нечетных ^ Графическая зависимость D¡j от диаметра сети показана на рис.4. Она практически совпадает с зависимостью от размера плинейной сети. Для нечетного числа ячеек ЕЕ = <С(<С - 1)(4(С + 3)/3. Тогда Dj = <С(4(С + 1)/(6(2с1-1)).
Значения общих сумм длин путей для одномерной сети с треугольными ячейками при контакте их дугой также образуют кубические многочлены отдельно для четных и нечетных значений .При четном значении числа ячеек общая сумма длин путей
ЕЕ Dj = <С(<С-1)(4(С-5)/3,тогда Dj = с1(4с1-5)/(6(2с1-3)).
Переход сети от четного числа ячеек у нечетному не меняет диаметр сети. Например, если R = 2 или 3, то с = 3.
Наиболее широкое представление получили сети с квадратной ячейкой. По аналогии с предыдущим одномерная сеть может быть построена при контакте ячеек узлом или дугой. Общие суммы длин путей, расположенных в порядке приращения числа ячеек при контакте узлом образуют ряд кубического многочле-на:16;80;228;496;920;1536;2380...Параметры этого ряда а11=16 ; 021 =64; 03, =84; а4] =36. Выразив к-ый член этого ряда через диаметр сети (при контакте ячеек узлом с = 3;5;7;8;11...), получаем
а1к= №-№ + 5)/4 = ЕЕ ^, (2)
разделив ЕЕ D¡jна у= (3с-1)3(с-1)/4, (3)
получаем Ц| = 1(3^ + 5)/3(3с-1)). (4)
Графическая зависимость D¡j = 1(с1) — это прямая при малых значениях с = 3; 5; 7, практически совпадающая с зависимостью D¡j=((п) для линейной сети. При значениях с >9 функция Dj = 1(с1) проходит ниже зависимости = ((п). Так, расхождения при а,п = 9 составляют 3,181-3,331; при <с,п = 11 значения D¡j равны 3,831-41.
Характеристики двухмерно развивающейся ячеистой сети (ячейка-квадрат)
а 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ь 1 2 3 4 5 6 7 8 9
п 3 8 15 24 35 48 63 80 99
У 6 56 210 552 1190 2256 3906 6320 9702
И Dü 8 112 560 1840 4760 10528 20832 37920 64680
1-яразн. 104 448 1280 2920 5768 10304 17088 26760
2-я разн. 344 832 1640 2848 4536 6784 8672
3-я разн. 488 808 1208 1688 2248 2888
4-яразн. 320 400 480 560 640
5-я разн. 80 80 80 80
А — размер сети по длине;
В — размер сети по ширине;
п — размер сети(число узлов).
При контакте квадратных ячеек дугой оценка общей суммы и среднего значения длин путей производится, исходя из габаритных размеров сети а и Ь (число узлов по длине и ширине). При одномерном развитии (а=уаг,Ь=еоп$|) общие суммы длин путей, расположенных в порядке регулярного приращения а (или Ь), образуют арифметический ряд кубического многочлена. Если Ь=2, а=уаг(1; 2; 3;...а), то этот ряд имеет значения 2; 16; 50; 112; 210; 352...Параметры ряда а]]=2, а21=14, а31=20, а4] =8. Средняя длина пути по сети = (а + 2)/3. В общем случае средняя длина по сети из квадратных ячеек размером а на Ь узлов равна одной трети произведения длины дуги I на сумму габаритных размеров сети. т.е.
D = l(a + b)/3
(5)
Эта функция справедлива и для линейной сети, если считать, что ширина ее b = 1. Зависимоси D~ от a = var, b = const проходят параллельно друг другу и выше, чем для линейной сети. При одновременном развитии сети с квадратной ячейкой как в направлении а, так и в направлении b арифметический ряд общих сумм длин путей имеет пять рядов разностей, т.е. является многочленом пятой степени. Пусть стартовая позиция размеров сети a = 3, b = 1.Приращение габаритов регулярное a+1,b+1 .Числовые значения приведены в таблице. Поскольку n = ab, у = ab(ab-1), то зависимость D~ от a и b является прямолинейной.
ЕЕ Dj — общая сумма длин путей между всеми парами узлов сети. Поскольку стартовое значение b = 1, то число членов ряда k равно ширине сети b. Обозначим ряд чисел ЕЕ D~ через a ]г Члены первой разности ряда ЕЕ D~ через 02,. Члены второй разности ряда ЕЕ Dj через Оз, и т.д Всего рядов разностей пять, так как последний ряд а61 имеет постоянные значения. Параметрами ряда являются первые члены ряда ЕЕ D^ и его разностей a]]=8, 02]=104, аз,=344, а4, =488, а5] =320, а6]=80. Относительно k-числа членов ряда ЕЕ D~ имеет вид
А1к аіі* С^-і + аоГ С1 кі + атГ С\_і + алГ С
к-1 21 к-1 TU31
к-1
Здесь — число сочетаний из (к-1) по ¡.
Динамика нагрузки дуг. В пилообразной сети каждый узел независимо от его положения обслуживает собственные исходящие и входящие межузловые потоки, число которых равно п-1 или 21?,где п — размер сети, I? — число ячеек сета [2,4]. Дуги основания пилы(за исключением концевых) обслуживают также транзитные потоки. Максимальная нагрузка наблюдается в дугах средней части основания "пилы" (3 = 1?2 (1?-нечетное) или
Ртах= К2 -1 (Учетное) (6)
Нагрузка \ дуги от центра основания пилы
(3, = [Я2 -41Р) (Р-нечетное) или (3, = [Я2 - (21+1 )2). (7)
Нагрузка боковых сторон зубьев складывается из собственных исходящих и входящий потоков и п в сумме сторон равна
ЕВ = ЕВ = n-1 = 4R.
г ис г вх
(8)
В сети с квадратной ячейкой размером а на b узлов выбор направления движения осуществляется по min длины пути. Если сеть позволяет организовать несколько одинаковых по длине альтернативных путей, то межузловой поток распределяется поровну по каждому их вариантов (у. = const).B общем случае нагрузка всех дуг разреза сети (разрез параллелен одной из сторон, например, стороне b) определяется по правилу произведения сумм сторон относительно разреза дуг сети: на стороне, откуда идут сообщения, суммируются условные мощности истоков; на стороне куда идут сообщения, суммируются условные мощности стоков
Eßi = b2 i(a-i),
(9)
+ а51' С4к-1 + аб1 С5к-1
где ¡-номер разрезанной дуги в направлении а (¡=1,2,3...(а-1). Нагрузка одной из дуг разреза сети пропорциональна отношению общей нагрузки дуг разреза сети к числу разрезанных дуг:
P¡ = Ь2 ¡(ан); в = Ьа2/4; P¡ = Ь(а2 -1)/4 (а — нечетное). (10)
Если Ь = 1,то имеем линейную сеть, для которой
P¡ = ¡М; втах = п2/4(п — четное);
втах= (п2-1)/4 (а — нечетное). (11)
Максимальное значение нагрузки наблюдается в средних от краев дугах сети.
Литература
1. Гладкий В.С, Гуревич ИМ., Кириченко Т.В.Характеристики связности сетевых систем из ненадежных элементов//Труды учебных институтов связи — Л.: ЛЭИС, 1990. — Вып. № 148. — С.57-64.
2. Птицын ГА, Ивин ЮЗ. Динамика нагрузки дуг и живучести развивающихся сетей сообщений//Электросвязь. — 2003. — № 4. — С. 34-37.
3. Птицын ГАИвин ЮЗ. Динамика средней длины пути сообщений и уязвимости развивающихся сетей //Электросвязь — 2003. — № 7. — С. 38-40.
4. Птицын ГА, Ивин ЮЗ. Живучесть динамических сетей телекоммуникаций/Учебное пособие. — М.: МТУСИ ,2003. — 80 с.
+
